备战2018版高考数学考试万能工具包第二篇考前必看解题技巧专题2.1巧用12个解题技巧

专题02 活用二级结论结论一 奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D 上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0.例1 已知函数()f x 和()g x 均为奇函数， ()()()2h x af x bg x =++在区间()0,+∞上有最大值5，那么()h x 在(),0-∞上的最小值为A. －5B. －3C. －1D. 5 【答案】C【变式训练】1．已知函数221sin 201722017x x f x x ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则20172017i i f =⎛⎫⎪⎝⎭∑=______． 2．已知函数()221(1x cosx sinx f x x cosx +-+=++x R)∈的最大值为Ｍ，最小值为ｍ，则Ｍ＋ｍ＝_____________．结论二 函数周期性问题已知定义在R 上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (2)如果f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.例2 【2018江西南昌集训】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x +=-，且()21f -=，则()()20162017f f +=（ ）A. 0B. 1-C. 1D. 2【答案】B【变式训练】1. 【2018山西太原第五中学模拟】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 52.定义在R 上的函数f(x)满足f(100)=( )A.-1B.0C.1D.2结论三 函数的对称性已知函数f(x)是定义在R 上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a 对称;(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x).特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.例3 【2018四川省广元市统考】已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)2f x f x ++-=，()()311g x x =-+，若函数()f x 图象与函数()g x 图象的交点为()()()112220182018,,,,,,x y x y x y ，则()20181iii x y =+=∑（ ）A. 8072B. 6054C. 4036D. 2018 【答案】B【变式训练】1. 【2018安徽省六安市第一中学模拟】设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时， ()1xf x =-⎝⎭，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()log 20(0,1)a f x x a a -+=>≠有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,14⎛⎫-⎪⎝⎭B. ()14，C. ()18，D. ()8+∞，2. 【2018贵州省遵义市模拟】已知()3201725x f x x +=-，函数()g x 对任意x R ∈有()()20182322013g x g x -=--成立， ()y f x =与()y g x =的图象有m 个交点为()11,x y ，()22,x y …，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A. 2013mB. 2015mC. 2017mD. 4m 结论四 反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=a x与y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称,即(x 0, f(x 0))与(f(x 0),x 0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.例4 【2018四川省成都市9校联考】已知函数()2f x x ax =-（1x e e≤≤， e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是A. 11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B. 11,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 11,e e e e⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D. 1,e e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【变式训练】设方程24xx +=的根为m ，方程2log 4x x +=的根为n ，则m n +=________；结论五 两个经典不等式 (1)对数形式≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.(2)指数形式:e x≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.例5 设函数f(x)=1-e -x.证明:当x>-1证明x>-1时,f(x)≥⇔x>-1,1-e -x≥⇔1-≥e -x(x>-1)⇔≥(x>-1)⇔x+1≤e x(x>-1).当x>-1时,e x≥x+1恒成立,所以当x>-1跟踪集训1.已知函数则y=f(x)的图象大致为( )2.已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线2+x+1有唯一公共点. 结论六 三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B 不共线,则平面上任意一点P 与A,B 共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得λμ且λ+μ=1.特别地,当P 为线段AB 的中点时例6 在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若12,3AD DB CD CA CB λ==+,则λ= A.13 B. 23 C. 13- D. 23- 【答案】B【变式训练】1.【2018河南省郑州市质量检测】如图，在ABC 中， N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且22=1111AP m AB BC ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为（ ）A. 1B.12 C. 911 D. 5112.【2018湖北省襄阳市调研】两个不共线向量OA OB 、的夹角为θ，M 、N 分别为线段OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且()OC xOA yOB x y R =+∈，，则22x y +的最小值为_______．结论七 三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则(1)O 为△ABC 的外心⇔|=(2)O 为△ABC 的重心⇔(3)O 为△ABC 的垂心⇔·(4)O 为△ABC 的内心⇔+c例7 已知A,B,C 是平面上不共线的三点,动点P λλλλ∈R,则点P 的轨迹一定经过( )A.△ABC 的内心B.△ABC 的垂心C.△ABC 的重心D.AB 边的中点 答案 C【变式训练】1.P是△ABC所在平面内一点,则P是△ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心2.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点Pλλ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心3.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点Pλλ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心结论八等差数列设S n为等差数列{a n}的前n项和.(1)a n=a1+(n-1)d=a m+(n-m)d,p+q=m+n⇒a p+a q=a m+a n(m,n,p,q∈N*).(2)a p=q,a q=p(p≠q)⇒a p+q=0.(3)S k,S2k-S k,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.n 的一次函数或常函数,.(5)S n(6)若等差数列{a n }的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m =m(a m +a m+1),S 偶-S 奇(7)若等差数列{a n }的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S 2m-1=(2m-1)a m ,S 奇=ma m ,S 偶=(m-1)a m ,S 奇-S 偶=a m (8)若S m =n,S n =m(m≠n),则S m+n =-(m+n). (9)S m+n =S m +S n +mnd.例8 设数列{}n a 的前n 项和S n ，且21n a n =-+，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项为（ ） A. 45- B. 50- C. 55- D. 66- 【答案】D 【解析】21,n a n =-+∴数列{}n a 是首项为1-，以2-为公差的等差数列， ()21212n n n S n ⎡⎤-+-+⎣⎦∴==-，2,n S n n n n-∴==-∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项和公差的等差数列， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前11项和为()()11101111662⨯⨯-+⨯-=-，故选D. 【变式训练】1. 等差数列{}n a 共有3m 项，若前2m 项的和为200，前3m 项的和为225，则中间m 项的和为（ ） A. 50 B. 75 C. 100 D. 1252. 【2018宁夏育才中学模拟】已知无穷等差数列{}n a 的公差0d >， {}n a 的前n 项和为n S ，若50a <，则下列结论中正确的是（ ）A. {}n S 是递增数列B. {}n S 是递减数列C. 2n S 有最小值D. 2n S 有最大值3. 已知项数为奇数的等差数列{}n a 共有n 项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则项数n 的值是__________. 结论九 等比数列已知等比数列{a n },公比为q,前n 项和为S n .(1)a n =a m ·q n-m,a n+m =a n q m=a m q n(m,n∈N *).(2)若m+n=p+q,则a m ·a n =a p ·a q (m,n,p,q∈N *);反之,不一定成立. (3)a 1a 2a 3…a m ,a m+1a m+2…a 2m ,a 2m+1a 2m+2…a 3m ,…成等比数列(m∈N *). (4)公比q≠-1时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等比数列(n∈N *).(5)若等比数列的项数为2n(n∈N *),公比为q,奇数项之和为S 奇,偶数项之和为S 偶,(6){a n },{b n }是等比数列,则{λa n n b n (λ≠0,n∈N *).(7)通项公式a n =a 1q n-1n.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n 的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.(8)与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.(9)三个数成等比数列,通常设为四个数成等比数列,3.例9 【2018河南省中原名校第五次联考】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3624,216S S ==，则数列{}n a 的公比为 （ ） A. 3 B. 13 C. 12D. 2 【答案】D【变式训练】1.【2018西藏拉萨一模】已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若124a =-， 489a =-，则当n T 取得最大值时， n 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足： ()*12211,2,1n n n a a S a a n N ++==+=-∈，则n S =___________.结论十 多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d 与共顶点的三条棱的长a,b,c 之间的关系为d 2=a 2+b 2+c 2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a 2+b 2+c 2.2.棱长为a 的正四面体内切球半径外接球半径例10 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面,3,4,5ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A. 17πB. 25πC. 34πD. 50π 【答案】C【变式训练】如图，在等腰梯形ABCD 中， 22AB CD ==， 060DAB ∠=， E 是AB 的中点，将ADE ∆， BEC ∆分别沿ED ， EC 向上折起，使AB 重合于点P ，若三棱锥P CDE -的各个顶点在同一球面上，则该球的体积为__________．结论十一 焦点三角形的面积公式(1)在椭中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2的面积2其中θ=∠F 1PF 2.(2)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则△PF 1F 2的面积其中θ=∠F 1PF 2.例11 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程. 【解析】设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a a c e ， ∴95122=-ab ，即952012=-a .解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 【变式训练】1.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）A. 33B. 32C. 3D.332. 双曲线116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3π则 △F 1PF 2面积为( ) A ．163 B ．323C ．32D ．42结论十二 圆锥曲线的切线问题1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R 2上一点P(x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=R 2.2.上一点P(x 0,y 0)3.已知点M(x 0,y 0),抛物线C:y 2=2px(p≠0)和直线l:y 0y=p(x+x 0).(1)当点M 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点M 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点M 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.例12 已知抛物线C:x 2=4y,直线l:x-y-2=0,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点,当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程.解析消去y,整理得x 2-4x+8=0,Δ=(-4)2-4×8=-16<0,故直线l 与抛物线C 相离.由结论知,P 在抛物线外,故切点弦AB 所在的直线方程为x 0x=2(y+y 0),即0x-y 0. 【变式训练】1.过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的方程为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=02.设椭圆点则椭圆C在点P处的切线方程为.结论十三圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆中:(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=2.在双曲线中,类比上述结论有:(1)k0(2)k1·k2(3)k0例13 已知椭圆的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为( )【变式训练】1.椭圆的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是.2.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.结论十四圆锥曲线中的一类定值问题在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA 与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.设A,B是椭圆上的两个动点在双曲线上,设A,B例14 已知抛物线C:y 2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B 是抛物线上的两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,且满足k PA +k PB =0.证明:直线AB的斜率k AB 为定值,并求出该定值.解析 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),k PA =k, 则k PB =-k(k≠0),又P(8,4), 所以直线PA 的方程为y-4=k(x-8),【变式训练】已知椭圆为椭圆上的定点,若其坐标为是椭圆C上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数.证明:直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值. 结论十五 圆锥曲线中的一类定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆上异于右顶点的两动点A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB同理,当以AB 为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线l AB (2)上异于右顶点的两动点A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB同理,对于左顶点(-a,0),则定点为(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,·=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,则直线AB过定点(0,2p).例15 已知抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.解析由题意知l AB的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设l AB:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由x得y2-2pty-2pm=0,从而Δ=(-2pt)2-4(-2pm)=4p2t2+8pm>0,即pt2因为以AB直径的圆过顶点O(0,0),即x1x2+y1y2=0,也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,把式①代入化简得m(m-2p)=0,得m=0或m=2p.(1)当m=0时,x=ty,l AB过顶点O(0,0),与题意不符,故舍去;(2)当m=2p时,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以l AB过定点(2p,0),此时m=2p满足pt2+2m>0.综上,l AB过定点(2p,0).【变式训练】已知椭圆直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线,垂足分别为A1,B1,E 为A1B1的中点.(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.例16 过抛物线y 2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N 两点,自M,N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1,N 1.当,求证:AM 1⊥AN 1.证明 证法一:如图所示,当,点,l 为其准线由抛物线定义得|MA|=|MM 1|,|NA|=|NN 1|,所以∠MAM 1=∠MM 1A ,∠NAN 1=∠NN 1A.因为MM 1∥NN 1,故∠M 1MA+∠N 1NA=180°,所以∠MM 1A+∠MAM 1+∠NN 1A+∠NAN 1=180°,所以∠MAM 1+∠NAN 1=90°,即∠M 1AN 1=90°,故AM 1⊥AN 1.由②可得y 1·y 2=-p 2.12),即AM 1⊥AN 1.证法三:同证法二得y 1·y 2=-p 2.即AM 1⊥AN 1.【变式训练】1. 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，直线3=2l x -：，若过焦点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，则以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上三个答案均有可能2.已知抛物线C:y 2=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,则k= . 【变式训练】 1．【答案】201811,122x t x t =-+=- ， ()()12f t f t +-= ， ()()12016012,2,....20172017f f f f ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则20172017i i f =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2018220182⨯=. 2．【答案】2 【解析】()2f 11sinx x x cosx =-++,又2y 1sinxx cosx =-++为奇函数 ∴()f x 的图象关于点()0,1对称，∴最大值对应的点与最小值对应的点也关于点()0,1对称 ∴m12M +=，即M m 2+= 故答案为：2结论二 函数周期性问题 【变式训练】 1. 【答案】A【解析】依题意()()()3f x f x f x -=-=-，故函数()f x 为周期为3的周期函数，()()()()()2220173672111log 27log 5f f f f =⨯+==--=--+=-，故选A.2.【答案】C结论三 函数的对称性 【变式训练】 1. 【答案】D【解析】∵()()22f x f x +=-，∴函数()f x 图象的对称轴为2x =，即()()4f x f x -=+， 又函数()f x 为偶函数，即()()f x f x -=， ∴()()4f x f x +=，∵函数()f x 为周期函数，且T 4=是一个周期．结合函数()f x 为偶函数，且当[]20x ∈-，时， ()1xf x =-⎝⎭，画出函数()f x 在区间()26-，上的图象（如图所示），并且()()()2?261f f f -===．∵在区间()26-，内方程()()log 20(01)a f x x a a -+=>≠，有且只有4个不同的根， ∴函数()y f x =和()y log 2a x =+的图象在区间()26-，内仅有4个不同的公共点．结合图象可得只需满足1{ log 81a a >< ，解得8a >．∴实数a 的取值范围是()8+∞，． 2. 【答案】D以12233...5m m m x x x x x x --+=+=+== ， 12233...3m m m y y y y y y --+=+=+==，设121...m m x x x x M -+++= ，则121...m m x x x x M -+++=，两式相加可()()()()1221215...25,2m m m m x x x x x x x x M m M m --++++++++===，同理可得 1213...2m m y y y y m -++++=， ()1mi i i x y =+∑ = 12...+m x x x +++ 1235...422m y y y m m m +++=+=，故选D.结论四 反函数的图象与性质 【变式训练】【答案】4【解析】由题意，方程24xx +=的根为m ，方程2log 4x x +=的根为n ，24m m ∴+=……①，24n log n += …… ②由①得24m m =-， 24m log m ∴=-（ ） 令4t m =- ，代入上式得24t log t -=24t log t ∴+= 与②式比较得t n =于是44m n m n -=∴+= 故答案为4． 结论五 两个经典不等式 1.【答案】B【解析】因为f(x){x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.令g(x)=ln(x+1)x,则由经典不等式ln(x+1)≤x 知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=恒成立,所以排除A,C,故选B.结论六 三点共线的充要条件 【变式训练】 1. 【答案】D【解析】设()()10133BP BN AN AB AC AB AB AC λλλλλλ⎛⎫==-=-=-+≤≤ ⎪⎝⎭，∴()13AP AB BP AB AC λλ=+=-+．又()222221*********AP m AB BC m AB AC AB mAB AC ⎛⎫⎛⎫=++=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴2{ 3111m λλ==-，解得611{511m λ==．∴511m =．选D ． 2.【答案】18【解析】因为,,C M N 三点共线，所以()1122t t OC tOM t ON OA OB -=+-=+，所以1,22t t x y -==， 12x y +=， 22x y +表示原点与直线102x y +-=动点的距离的平方，它的最小值为218⎛ =⎝⎭，填18． 结论七 三角形“四心”向量形式的充要条件 【变式训练】1. 【答案】D 【解析】由·,可得·(-)=0,即,同理可证是△ABC 的垂心.2. 【答案】C【解析】设BC 的中点为M,λλ的轨迹所在直线一定通过△ABC 的重心.结论八 等差数列 【变式训练】 1. 【答案】B【解析】设等差数列前m 项的和为x ，由等差数列的性质可得，中间的m 项的和可设为x+d ，后m 项的和设为x+2d ，由题意得2x+d=200，3x+3d=225，解得x=125，d=﹣50， 故中间的m 项的和为75， 故选B ． 2. 【答案】C 【解析】0d >， 50a <则{}n a 是递增数列， 但{}n S 应是先减后增数列， 故,A B 错误，()2122122n n n S na d -=+应有最小值，故C 正确故选C3. 【解析】由题意，11213132412122n n n n a a n S a a a a +++⎛⎫+⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭+⎛⎫⎝⎭=++⋯+== ⎪⎝⎭奇212246132412122n n n n a a n S a a a a a --+⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭=+++⋯+==偶 14,7.13n n n +∴=∴=- 结论九 等比数列 【变式训练】 1.【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33481124,,9273a q q q =-=-==，此等比数列各项均为负数，当n 为奇数时， n T 为负数，当n 为偶数时， n T 为正数，所以n T 取得最大值时， n 为偶数，排除B ，而()221242481923T ⎛⎫=-⨯=⨯= ⎪⎝⎭，()64444118248192399T ⎛⎫=-=⨯=> ⎪⎝⎭，()15966466697118188248333939T ⎛⎫⎛⎫=-=⨯==⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 4T 最大，选择C.2.【答案】21n-结论十 多面体的外接球和内切球 【变式训练】【解析】易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，34π3=⎝⎭，故答案为：． 结论十一 焦点三角形的面积公式 【变式训练】1.【答案】A【解析】设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F 故选答案A.2. 【答案】A【解析】：设θ=∠21PF F ，则3πθ=. ∴3166cot162cot221===∆πθb S PF F .故答案选A.结论十二 圆锥曲线的切线问题 【变式训练】 1.【答案】A【解析】如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).结论十三 圆锥曲线的中点弦问题【变式训练】【答案】【解析】 设PA 2的斜率为k 2,PA 1的斜率为k 1,则k 1·k 2又k 2∈[-2,-1],所以k 12.证明 设P(x 0,y 0),则A(-x 0,-y 0),C(x 0,0),k AC 又k PA 所以k AC 由k BA ·k PB知,k PB ·k BA =k PB ·k AC PB 所以k PB ·k=-1,即PA⊥PB. 结论十四 圆锥曲线中的一类定值问题【变式训练】【解析】设直线AE 的方程为消去y,整理得(4k 2+3)x 2+(12k-8k 2)x+4则x E同理,设直线AF 的方程为则x F所以k EF,将①②代入上式,化简得k EF 结论十五 圆锥曲线中的一类定点问题【变式训练】 【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立方程得y 得,(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0,结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题 【变式训练】 1. 【答案】C【解析】根据结论知道一AB 为直径的圆和准线相切，该抛物线的准线为1x =-，故这个圆和直线3=2x -是相离的关系。

第四篇 考前必做小题，提前进入考试状态专题02 12道选择+4个填空一、选择题 1．已知集合(){}2,|4 A x y xy ==， (){},| B x y y x ==则A B ⋂的真子集个数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 72．已知复数z ＝2＋i ，则zz＝( )A ．35－45iB ．－35＋45iC ．53－43i D ．－53＋43i3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a4．(2018届高三·兰州一中月考)在电视台举办的一次智力答题中，规定闯关者从图中任选一题开始，必须连续答对能连成一条线的3道题目，闯关才能成功，则闯关成功的答题方法有( )A ．3种B ．8种C ．30种D ．48种5．已知实数x y 、满足不等式组21{0 10x x y m x y ≤-+≥+-≥,若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4,则实数m 的取值范围是A. (B. ⎡⎣C. ⎡⎤⎣⎦D. [6．(2018届高三·宝鸡调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为()A ．64B ．73C ．512D ．5857．【2018福建省泉州市模拟】设数列{}n a 的前n 项和n S ，若231n n S a =+，则4a = （ ） A. 27 B. 27- C.127 D. 127- 8．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝AC ＝3，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为( )A ．16916πB ．8πC ．28916πD ．2516π9．已知a ， b R +∈且115a b a b+++=，则a b +的取值范围是（ ） A. []14， B. [)2+∞， C. ()24， D. ()4+∞， 10．函数()e 3xf x x=的部分图象大致为( )A. B.C. D.11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且1,2a b ==则c =（ ）12．若存在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦使得不等式1ln 4x ax x ≤+成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A. 211,22e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B. 211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C. 211+,22e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 211+,24e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝π3，则BD ―→·CD ―→＝________.14．若当x θ=时，函数()3cos sin f x x x =-取得最小值，则cos θ=________________. 15．已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数,当[]2,4x ∈时()43log 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为__________.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =,12n n n S a a +=（*n N ∈），若()1211nn n n n b a a ++=-,则数列{}n b 的前n 项和n T =_______________.答案部分专题02 12道选择+4个填空一、选择题 1．【答案】B2．【答案】A【解析】因为z＝2＋i，所以zz＝2－i2＋i＝－25＝35－45i.3．【答案】C【解析】因为a＝log32＝1log23，b＝ln 2＝1log2e，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，又c＝5－12＝15，5＞2＝log24＞log23，所以c＜a，故c＜a＜b.4．【答案】D【解析】能连成横着的一条线的有123,456,789，共3种，能连成竖着的一条线的有147,258,369，共3种，能连成对角线的有159,357，共2种，故共有8种．又因为每种选择的答题顺序是任意的，故每种选择都有6种答题方法：如答题为1,2,3时，答题方法有：1→2→3,1→3→2,2→1→3,2→3→1,3→1→2,3→2→1.所以共有8×6＝48(种)答题方法．5．【答案】D6． 【答案】B【解析】 依题意，执行题中的程序框图，当输入x 的值为1时，进行第一次循环，S ＝1＜50，x ＝2；进行第二次循环，S ＝1＋23＝9＜50，x ＝4；进行第三次循环，S ＝9＋43＝73＞50，此时结束循环，输出S 的值为73. 7． 【答案】B【解析】∵231n n S a =+， ()112312n n S a n --=+≥ 两式相减得：2()1332n n n a a a n -=-≥，即()132nn a n a -=≥ 当1n =时， 11231S a =+，∴11a =- ∴13n n a -=-,∴34327a =-=- 故选：B 8．【答案】C9．【答案】A【解析】∵a ，b ∈R +，∴2ab 2a b +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得1ab ≥()24a b +． ∵115a b a b+++=， ∴（a+b ）11ab ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=5≥（a+b ）()241a b ⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭，化为：（a+b ）2﹣5（a+b ）+4≤0， 解得1≤a+b≤4，则a+b 的取值范围是[1，4]． 故选：A ． 10．【答案】C【解析】由题意得函数f (x )为奇函数，故排除B ； 又()113ef =<，故排除A ； 当0x >时， ()e 3x f x x =，所以()2(1)e 3xx f x x ='-，函数()f x 在区间()01，上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，故排除D ．选C ．11．【答案】B【解析】 由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos 5C =，由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c = B.12．【答案】B二、填空题 13．【答案】32a 2【解析】由菱形的性质知|BD ―→|＝3a ，|CD ―→|＝a ，且〈BD ―→，CD ―→〉＝π6，∴BD ―→·CD ―→＝3a ×a ×cosπ6＝32a 2.15．【答案】12【解析】由题意知， 1117)42222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（，又[]72,42∈，所以4171log 2222f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故填12.16．【答案】()111nn --++或2,1{,1n n n n n n +-+-+为奇数，为偶数 【解析】由12n n n S a a +=可知1122)n n n S a a n --=≥（，两式相减得()1112n n n n n n n n a a a a a a a a +-+=-=-，因为11a =，所以0n a ≠， 12n n a a +=-，构造()112n n n n a a a a +--+-= ，所以1n n a a --=1， 数列{}n a 是以1为公差，1为首项的等差数列，所以()11,1n n a n b n n ⎛⎫==-⋅+⎪+⎝⎭， ()111111111223341n n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当n 为偶数时， 111n T n =-++ ，当n 为奇数时， 111n T n =--+ ，综上所述()111nn T n -=-++ ,故填()111nn --++或2,1{ ,1n n n n n n +-+-+为奇数，为偶数.。

专题03 破解6类解答题一、三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名三角函数类解答题是高考的热点,其起点低、位置前,但由于其公式多,性质繁,使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名.(1)变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α).(2)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式,方法通常有:“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.(3)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,方法通常有“切化弦”“升次与降次”等.例1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.(变名)故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.(变角)变式:利用恒等变换变为sin A=.变名:利用二倍角公式实现三角函数名称的变化. 变角:把2A+的三角函数表示为2A 和的三角函数. ▲破解策略 求解此类题目的策略:既要注重三角知识的基础性,又要注重三角知识的应用性,突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点,把握变换方向,抓住内在联系,合理选择公式”是三角变换的基本要决.在解题时,要紧紧抓住“变”这一核心,灵活运用公式与性质,仔细审题,快速运算. 【变式训练】【2018四川省广元市一模】设函数()22cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取最大值时x 的集合； （2）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()32f A =， 2b c +=，求a 的最小值. 二、数列问题重在“归”——化归、归纳等差数列与等比数列是两个基本数列,是一切数列问题的出发点与归宿.首项与公差(比)称为等差数列(等比数列)的基本量.只要涉及这两个数列的数学问题,我们总希望把条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系,从而达到解决问题的目的.这种化归为基本量处理的方法是等差或等比数列特有的方法,对于不是等差或等比的数列,可从简单的个别的情形出发,从中归纳出一般的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数,也可根据题目的特点,将数列问题化归为函数问题来解决.例2 (2017课标全国Ⅲ,17,12分)设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n. (1)求{a n }的通项公式;(2)求数列的前n 项和.从而{a n }的通项公式为a n =(n∈N *).(2)记的前n 项和为S n .由(1)知==-.(化归)则S n =-+-+…+-=.归纳:通过条件归纳出a 1+3a 2+…+(2n -3)a n-1=2(n-1)(n≥2),进而得出{a n }的通项公式. 化归:把数列的通项分拆,利用裂项相消法求和.▲破解策略 “算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想,利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列,高考中通常考查的是非等差、等比数列问题,应对的策略就是通过化归思想,将其转化为这两种数列.【变式训练】【2018江西省师范大学附属中学、九江第一中学联考】已知正项数列{}n a 满足:()211,21n n a a n a =--= ()()211212.n n a n a n n --++-≥∈N 且(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求3223111111n n a a a a a a ++++++---的值.三、立体几何问题重在“建”——建模、建系立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型;建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.例 3 (2017课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.(建系)则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距同理可取m=(0,-1,),则cos<n,m>==.易知二面角D-AE-C为锐二面角,所以二面角D-AE-C的余弦值为.建模:构建二面角的平面角模型.建系:以两两垂直的直线为坐标轴.▲破解策略立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定,因此,复习备考时往往有“纲”可循,有“题”可依.在平时的学习中,要加强“一题两法(几何法与向量法)”的训练,切勿顾此失彼;要重视识图训练,能正确确定关键点或线的位置,将局部空间问题转化为平面问题;能依托于题中的垂直条件,建立适当的空间直角坐标系,将几何问题化归为代数问题.【变式训练】【湖南省株洲市2018届高三教学质量统一检测】如图,在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD 为梯形, //AB CD ,平面CBE 与平面BDE 垂直，且CB BE ⊥.（1）求证： ED ⊥平面ABCD ；（2）若,1AB AD AB AD ⊥==,且平面BCE 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值为66,求AF 的长. 四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要模型一找到,问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,同时,还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复杂事件.例4 (2016课标Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 01234≥5保 费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次1234≥5数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,(辨析1)故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(辨型1)(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,(辨析2)故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)====.(辨型2)辨型1:该问题为求随机事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解.辨析2:判断事件B发生,在一年内出险次数为4或≥5.辨型2:该问题为条件概率,可利用公式求解.▲破解策略概率与统计知识的复习应抓住基本概念、基本公式,不需要做难题、偏题、怪题.在审题时,一般按以下程序操作:(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立、独立等;(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等;(3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等;(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率.【变式训练】【2018湖南省长沙市第一中学模拟】2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点. （1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数(x) 10 2030 40 50 60 70 80愿意整体搬迁人数(y)8 17 25 31 39 47 55 66请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程y bx a=+（b保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：882122111,ˆˆ,16310,20400·ni iii i ini iiix y n x yb a y b x x y xx n x====-⋅⋅==-⋅==-∑∑∑∑.五、解析几何问题重在“设”——设点、设线解析几何试题知识点多,运算量大,能力要求高,综合性强,在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现,是考生“未考先怕”的题型,不是怕解题无思路,而是怕解题过程中繁杂的运算.因此,在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上,应突出解析几何“设”的重要性,以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁就简这一瓶颈.例5 (2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,(设点)于是直线AB的斜率k===1.(2)由y=,得y'=,设M(x3,y3),由题设知=1,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.设点:设出A,B两点坐标,并得出x1≠x2,x1+x2=4.设线:由(1)知直线斜率,再设直线方程为y=x+m,利用条件可求出m的值.▲破解策略解析几何的试题常要根据题目特征,恰当地设点、设线,以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等,常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有y=kx+b、x=my+n 及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等.【变式训练】【2018黑龙江省大庆市一模】已知椭圆2222:1x y C a b+= ()0a b >>，其焦距为2，离心率为22（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的右焦点为F ， K 为x 轴上一点，满足2OK OF =，过点K 作斜率不为0的直线l 交椭圆于,P Q 两点，求FPQ ∆面积s 的最大值.六、函数与导数问题重在“分”——分离、分解以函数为载体,以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题,多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论,复杂函数的零点的讨论,不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题,一般先求导,再变形或分解出基本函数,再根据题意处理.例6 (2017课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=ax 2-ax-xln x,且f(x)≥0. (1)求a;(2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x 0,且e -2< f(x 0)<2-2.当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0. 综上,a=1.(2)由(1)知f(x)=x 2-x-xln x, f '(x)=2x-2-ln x. 设h(x)=2x-2-ln x,(分解) 则h'(x)=2-. 当x∈时,h'(x)<0;当x∈时,h'(x)>0, 所以h(x)在单调递减,在单调递增.分离:把函数f(x)分离为x 与g(x)的积. 分解:构造h(x)=2x-2-ln x.▲破解策略 函数与导数压轴题计算复杂、综合性强、难度大.可以参变量分离,把复杂函数分离为基本函数;可把题目分解成几个小题;也可把解题步骤分解为几个小步,注重分步解答,这样,即使解答不完整,也要做到尽可能多拿步骤分.【变式训练】 已知函数()1ln f x ax x =-+（1）若不等式()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围；（2）在（1）中， a 取最小值时，设函数()()()()122g x x f x k x =--++.若函数()g x 在区间182⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恰有两个零点，求实数k 的取值范围；（3）证明不等式： ()2212ln 234n n n n-+⨯⨯⨯⨯>（*n N ∈且2n ≥）.答案精解精析一、三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名 【变式训练】【解析】（1）由题意得()()13cos2x 2122f x sin x cos x =--++ 13cos2x 212sin x =-+ cos 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，∵1cos 213x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴0cos 2123x π⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最大值为2．此时()223x k k Z ππ+=∈，即()6x k k Z ππ=-∈，∴5233A ππ+=，∴23A π=在ABC ∆中， 2b c +=， 1cos 2A =， 由余弦定理得()2222222cos a b c bc A b c bc b c bc =+-=++=+-又212b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴()22413a b c bc =+-≥-=，当且仅当1b c ==时取等号， ∴a二、数列问题重在“归”——化归、归纳 【变式训练】【解析】(1) ()221n n a n a --因为=()21121n n a n a --+-,⇒()()11n n n n a a a a -+-+=()()121n n n a a --+,0n a >所以,所以()1212n n a a n n --=-≥,又n a 因为=()()()112211n n n n a a a a a a a ----+-++-+=()()212331n n -+-+++=2n .(2)11n n a a +-=122111n n n a a a -+=+--=2211n +-=()()2111n n +-+=()111211n n n +-≥-+,所以原式=1111111111113243511n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()1111111113243511n n n ⎛⎫-+-+-+-++- ⎪++⎝⎭= 11121n n n +--+. 三、立体几何问题重在“建”——建模、建系【变式训练】【解析】（1)证明：因为平面CBE 与平面BDE 垂直故ED ⊥平面ABCD（2）由（1）知， ED 垂直DA ， ED 垂直DC ，又AD 垂直AB ， AB 平行CD ，所以DC 垂直DA ，如图，以D 为坐标原点， DA DC DE 、、分别为,,x y z 轴建立空间坐标系1,,2AD AB AB AD BD ==⊥=又,45CB BD CDB ⊥∠=︒，所以2DC =， 设DE a =则()()()1,1,0,0,2,0,0,0,B C E a()()1,1,,1,1,0BE a BC =--=-因为平面BCE 与平面ADEF 6，则6cos ,n m =，2624a =+1a =，即1AF DE == 四、概率问题重在“辨”——辨析、辨型 【变式训练】【解析】（1）由已知有 1221163108453645,36,0.820400845ˆ54ni ii n i i x y n x y x y bx n x==-⋅⋅-⨯⨯====≈-⨯⨯-⋅∑∑，360.80450a =-⨯=,故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为0.8y x =，所以当 2500x =时，25000.802000y =⨯=.（2）由题意可知X 的可能取值有1，2,3,4.()()132253534488131,2147C C C C P X P X C C ⋅⋅======， ()()2145354488313,4714C C C P X P X C C ⋅======. 所以 X 的分布列为X1 2 3 4p114 37 37 114()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 五、解析几何问题重在“设”——设点、设线 【变式训练】【解析】(1)因为椭圆焦距为2，即22c =，所以1c =,22c a =，所以2a =，从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=.()()22222222818214221121k k k k k k k -=+-+++ ()()()222222812121222121k k kk k k --==++， 令212t k =+，12t <<，则22232131222416t t S t t -+-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，当134t =时， S 取得最大值，此时216k =， 6k =±， S 取得最大值24. 六、函数与导数问题重在“分”——分离、分解 【变式训练】 【解析】(2)由(1)可知， 1a ≥，当1a =时， ()1ln f x x x =-+，()()()ln 22g x x x x k x =--++ ()2ln 22x x x k x =--++，()g x 在区间1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，即关于x 的方程()2ln 220x x x k x --++=在区间1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个实数根. 整理方程得， 2ln 22x x x k x -+=+，令()2ln 21,822x x x s x x x -+⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，， ()()2232ln 4'2x x x s x x +--=+， 令()232ln 4x x x x ϕ=+--， 1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()212'x x x xϕ-+=， 1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是()'0x ϕ≥， ()x ϕ在1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.因为()10ϕ=，当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， ()0x ϕ<，从而()'0s x <， ()s x 单调递减， 当(]1,8x ∈时， ()0x ϕ>，从而()'0s x >， ()s x 单调递增，19ln22105s ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()11s =， ()3312ln285s -=，因为()15726ln280210s s -⎛⎫-=>⎪⎝⎭，所以实数k 的取值范围是9ln21105⎛⎤+⎥⎝⎦，. (3)由(1)可知，当1a =时，有1ln x x -≥， 当且仅当1x =时取等号.。

备战高三考试万能工具包【2018版】专题03 跳出10个解题陷阱“陷阱”,顾名思义,它是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷. 陷阱一 混淆概念——理解概念抓本质例 1 【2018四川省广元市统考】已知a 是实数， i 是虚数单位，若()211z a a i =-++是纯虚数，则a =__________．易错分析 本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致多解.▲跳出陷阱 在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念. 跟踪集训【2018湖北省稳派教育联考】若0,0x y >>，则“2x y += A. x y = B. 2x y = C. 2,x =且1y = D. ,x y =或1y = 陷阱二 错用结论——公式定理要记准例2 【2018东北四校联考】已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A. []1,2- B. []0,1 C. []0,2 D. []1,0-易错分析 该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系. 【答案】A▲跳出陷阱 三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.如函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x+m)的图象;若向右平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x-m)的图象.若函数y=f(x)的图象上的点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍,则得到函数y=f的图象.跟踪集训已知函数()22sin 22cos 148f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到函数()g x 的图象，若12,x x 是()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两根，则()12sin x x +的值为（ ）A.B. C. D. 陷阱三 忽视验证——特例情况要谨记例3 已知椭圆+=1的半焦距为c,曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比到y 轴的距离大c.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线l 过点F,交曲线Γ于A,B 两点,过A,B 分别作曲线Γ的切线,交于点P,判断 ·是否为定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析 直线l 过点F 交曲线Γ于A,B 两点,经常设直线l 的方程为y=k(x-1),k≠0,漏掉了过点F的直线l与x轴垂直这一特殊情况,导致错误.正确解析(1)因为椭圆+=1的半焦距为c,所以c==1,因为曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,所以曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离.根据抛物线的定义,知曲线Γ的轨迹为抛物线.设抛物线Γ的方程为y2=2px(p>0),所以=1,解得p=2,所以曲线Γ的方程为y2=4x.(2)·为定值0.证明如下:①当过点F的直线l与x轴垂直时,则直线l的方程为x=1,根据抛物线的对称性知,点P在x轴上,所以PF⊥AB,所以·=0.由y2=4x(y<0),得y=-2,y'=-,所以过点B的切线PB的方程为y-y2=-(x-x2),即y=--;由得即P.所以直线PF的斜率k PF==-,所以k PF·k=-×k=-1,所以PF⊥AB.综上所述,·为定值,且定值为0.▲跳出陷阱 破解椭圆、抛物线、直线、平面向量的综合问题需注意:一是活用定义可加快求解速度,还可避开烦琐的运算;二是注意特殊情况,如用点斜式设直线方程时,应注意直线斜率不存在的特殊情形;三是注意适时转化,如例3,将判断·是否为0转化为判断两直线斜率的积是否为-1.跟踪集训数列{}n a 的前n 项和是n S ， ()111,2n n a S a n N ++==∈，则n a =__________．陷阱四 讨论漏解——参数标准要恰当例4 已知函数()()()22ln 0,f x x x a x x x a R =+-+>∈．（Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的0x >， ()22xf x x x e >+-+．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()()22af x x a x =---' ()()12x x a x+-=， 当0a ≤时， ()f x '对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以函数单调递增；当x 变化时， ()g x '和()g x 变化情况如下表()()0min g x g x == 00001ln 22x e x x x --=+-， 因为00x >，且01x ≠，所以()min20g x >=，因此不等式得证．易错分析 该题易出现的问题是讨论f(x)的单调性时,对参数进行分类讨论的标准不正确,造成分类的重复或遗漏.正确解析 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()()22af x x a x =---' ()()12x x a x+-=，()10x g x e x ='-=，此时方程有唯一解0x ，满足0010x e x -= 当x 变化时， ()g x '和()g x 变化情况如下表()()0min g x g x == 00001ln 22x e x x x --=+-， 因为00x >，且01x ≠，所以()min 20g x >=，因此不等式得证．▲跳出陷阱 含参函数单调性的分析是一个难点,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚,导致分类混乱.明确标准,合理分类是解决此类问题的关键,讨论含参函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序为①最高次幂系数是否为0;②方程f '(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系.分类后确定导函数的符号,应画出导函数的图象,根据图象与x 轴的相对位置确定导函数的符号,进而写出单调区间.【变式训练】已知()()xf x e ax a R =-∈（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点12,x x ，求a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证： 122ln x x a +<． 陷阱五 条件遗漏——细心审题不遗漏例5 用1,2,3,4,5,6组成各位数字不重复的六位数,满足1不在左、右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为( )A.432B.288C.216D.144易错分析 该题易出现的问题是不注意审题,导致漏掉或错用题中的限制条件. 答案 B正确解析 解法一:先考虑只有2,4相邻,可以用2,4相邻的个数减去2,4与6相邻的个数.2,4相邻,把2,4捆绑在一起,与另外4个数排列(相当于5个元素排列),1不在左、右两侧,则这样的六位数的个数为2!·3·4!=144.第三步,两组偶数插空(1,3,5全排列后形成4个空),不同的方法有种. 由分步乘法计数原理可得,满足只有两个偶数相邻的排法种数有=432.其中1在左、右两端的情况:第一步,选出两个偶数相邻(捆绑法),不同的方法有种; 第二步,1,3,5排列,且1在两端,不同的方法有种;第三步,两组偶数插空(1在两端,两组偶数只能插在1,3,5排好后形成4个空中的3个),不同的方法有种.故1在左、右两端的排法种数有=144.所以满足条件的排法种数有432-144=288.即满足题意的六位数的个数为288.故选B.▲跳出陷阱 排列组合的实际应用题中限制条件较多,如何处理这些限制条件是解决问题的关键.一般来说要遵循排列组合的基本策略:先组后排,特殊优先.组合中要注意均分问题,记住相应的规律,如本题有两个偶数相邻——捆绑法;只有两个相邻,即与第三个偶数不相邻——插空法,明确处理此类问题的基本顺序,然后逐步求解即可.【变式训练】 【2018河南省中原名校联考】已知函数()22sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()1cos 24x g x π⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象在区间,22m m ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有且只有9个交点，记为()(),1,2,,9i i x y i = ，则()91i i i x y =+=∑（ ）A.92π B. 8 C.982π+ D. 992π+ 陷阱六 推理不当——归纳类比要合理例 6 我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理:幂势既同,则积不容异.这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.设由曲线x 2=4y 和直线x=4,y=0所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1,由同时满足x≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2,根据祖暅原理,通过类比Γ2可以得到Γ1的体积为 .易错分析 该题易出现的问题是不能准确理解祖暅原理,只关注两个平面图形形状的差异性,找不出共性,导致错误类比.答案 32π正确解析 如图(1)和图(2),设图(1)中的阴影部分绕y 轴旋转一周得到的旋转体Γ'的体积为V',则V'=2,两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两个相距为8的平行平面之间,用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点的距离为|y|,则所得截面面积S 1=π(42-4|y|),S 2=π(42-y 2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|),所以S 1=S 2,由祖暅原理知,Γ'与Γ2的体积相等.因为Γ2由同时满足x≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体,所以它应该为一个大的球体减去两个半径一样的小的球体,体积为·43-2··23=64π,所以Γ1的体积为32π.▲跳出陷阱 类比推理的关键在于“类”,即找到两类事物的共性,这是类比推理的基础,在此基础上才能进行由此及彼的相关性质研究,如该题中两个截面面积相等是类比两个几何体体积相等的关键.【变式训练】【2018湖北省沙市中学模拟】“求方程34155x x⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解”有如下解题思路：设()3455x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在R 上单调递减，且()21f =，所以原方程有唯一解2x =.类比上述解题思路，不等式()()63222x x x x -+>+-的解集是__________．陷阱七 画图不准——数化“形”要准确例7 【2018河北省定州中学模拟】若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(-1,1］时f(x)=1-x 2,函数(),0{1,0lg x x g x x ≠== ,则函数()()()h x f x g x =- 在区间［-5，10］内零点的个数为A. 15B. 14C. 13D. 12易错分析 该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数. 【答案】B【解析】因为f(x+2)=f(x)，所以f(x)周期为2，，作图可知交点有14个，所以选B.▲跳出陷阱 该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、周期性与单调性等.如该题中的函数y=f(x),根据题意知,该函数图象既有对称中心,又有对称轴,所以该函数也具有周期性——其周期就是对称中心到相邻对称轴距离的4倍,所以该函数的周期为T=2×4=8.所以,可以利用周期性作出函数在已知区间之外的图象.【变式训练】设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2,0)时，f (x )＝x⎝⎭－1，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)在区间(－2,6)内恰有4个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭B. (1,4)C. (1,8)D. (8，＋∞)陷阱八 计算跳步——步骤过程要合理例8 如图所示的四棱锥 A-BCDE,四边形BCDE 是边长为3的正方形,AE⊥平面BCDE,AE=3,P 是边DE 上的一个动点,连接PA,PC.(1)若点Q 为棱AC 的中点,是否存在点P,使得 PQ∥平面AEB?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由;(2)当EP=ED 时,求平面AEB 和平面APC 所成二面角的正弦值.易错分析 求平面法向量时,常因点的坐标、向量的坐标或平面向量的数量积运算出错,导致所求的法向量有误;求平面AEB 和平面APC 所成二面角的正弦值时,易与求直线与平面所成角相混淆,导致所求的结果出错.正确解析 (1)当P 为DE 的中点时,PQ∥平面AEB. 理由如下:取AB 的中点M,连接EM,QM,如图所示.由Q为AC的中点,得MQ∥BC,且MQ=BC,(2)因为AE⊥平面BCDE,BE⊥DE,所以以E为原点,EB,ED,EA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,因为四边形BCDE是边长为3的正方形,EP=ED,AE=3,所以B(3,0,0),A(0,0,3),P(0,2,0),C(3,3,0).所以=(3,1,0),=(0,-2,3).易知平面AEB的一个法向量为n1=(0,1,0),设平面APC的法向量为n2=(x,y,z),由得取y=3,得平面APC的一个法向量为n2=(-1,3,2),所以|cos<n1,n2>|==,设平面AEB 和平面APC 所成的二面角为θ,则sin θ==,所以平面AEB 和平面APC 所成二面角的正弦值为.▲跳出陷阱 求两个平面所成角的正弦值需注意两处运算:一是求平面法向量,此时一定要认真求出点的坐标,利用“终减起”,求出向量的坐标,再通过联立方程,求出法向量的坐标;二是求两个平面所成角的正弦值,先计算两个平面所成角的余弦值,再利用同角三角函数的基本关系式,即可得结论. 【变式训练】 【2018吉林省实验中一模】已知数列{}n a 中， ()*111,3nn n a a a n N a +==∈+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）数列{}n b 满足()312nn n n n b a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ， 若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围． 陷阱九 转化不当——由此及彼要等价例9 【2018甘肃省张掖市一模】已知函数()()2xf x ax ea R =-∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求()y f x ='的最大值；（2）若对任意120x x ≤<都有()()()()221122ln222ln2f x x f x x +-<+-，求a 的取值范围. 易错分析 该题易出现的问题是不能根据已知条件转化为函数单调性求解. 【解析】（1）由()2xf x ax e '=-，得， ()1202ef a e a =-=⇒=，从而()()222ln20xh x ax e =+--≤' 在[)0,+∞上恒成立，令()()222ln2xF x ax e =+--，则()2xF x a e ='-，当12a ≤时， ()0F x '≤，所以函数()F x 在[)0,+∞上单调递减，则()()max 012ln20F x F ==-<， 当12a >时， ()20F x a ex '=-=，得l n2x a =，所以函数()F x 在[)0,ln2a 上单调递增，在[)ln2,a +∞上单调递减，则()()max ln22222ln220F x F a alo a a ==+--≤，即2ln222ln22a a a -≤-， 通过求函数ln y x x x =-的导数可知它在[)1,+∞上单调递增，故112a <≤， 综上，实数a 的取值范围是(],1-∞.▲跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如该题中的第(2)问根据不等式结构特征，转化为函数具有单调性。

第2篇 考前必看解题技巧专题01巧用12个解题技巧技法一 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.例1 (2017·山东卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a▲方法点睛 1.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题.2.特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解. 【变式训练】1. 如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.3∶12.函数f(x)=cos x·log 2|x|的图象大致为( )3.如图,点P 为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线,它们相交于点C,过点P 引BC,AC 的平行线,分别交AC 于点N,交BC 于点M,交AB 于D 、E 两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=( )A.1B.2C.D.技法二图解法(数形结合法)对于一些含有几何背景的题目,若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.例2 (1)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=,(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值等于( )A. B.C. D.1【答案】A【解析】(1)解法一(几何法):如图,a=,b=,c=.由题意有∠AOB=,点C在圆M上.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=||+||=sin+cos=.选A.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=||+||=sin+cos=.选A.(2) 【2018山西省太原市实验中学模拟】函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有8个不同实数根，则实数的取值范围是________【答案】要使关于x的方程，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（-1，--故答案为▲方法点睛 数形结合是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而导致错误的选择. 【变式训练】 1.已知函数f(x)=和函数g(x)=log 2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.42.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f (x )＝k (x ＋1)(k >0)恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1技法三 估算法估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.例3 (1)(2015湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y≥”的概率,p 2为事件“|x -y|≤”的概率,p 3为事件“xy≤”的概率,则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1(2)已知三棱锥P-ABC 的侧面与底面所成二面角都是60°,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面面积为 ( )A.12B.24C.6D.18答案 (1)B (2)B解析 (1)满足条件的x,y 构成的点(x,y)在正方形OBCA 及其边界上.事件“x+y≥”对应的图形为图①公式求出侧面面积为32,四个选项中只有24与之最接近,选B.▲方法点睛 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.如某些函数的取值范围或最值、函数图象的变化等问题,常用此法确定正确选项.【变式训练】设M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A.34 B.1 C.74D.2技法四 待定系数法待定系数法是为确定变量间的函数关系,设出未知数,然后根据所给条件确定这些未知数的一种方法,其理论依据是多项式恒等.多项式f(x)≡g(x)的充要条件是:对于任意的一个a 值,都有f(a)≡g(a);或者两个多项式各项的系数对应相等.例4 衣柜里的樟脑丸,会因为挥发而体积变小,刚放入的新樟脑丸体积为a,经过t 天后樟脑丸的体积V(t)与天数t 的关系为V(t)=a·e -kt,若新樟脑丸经过80天后,体积变为a,则函数V(t)的解析式为 .答案 V(t)=a·(t≥0)解析 因为樟脑丸经过80天后,体积变为a,所以a=a·e-80k,所以e-80k=,解得k=-ln ,所以V(t)=a·=a·,所以函数V(t)的解析式为V(t)=a·(t≥0).▲方法点睛破解此类题的关键是依题设所给的函数模型,利用待定系数法求解,本题的突破口是将题设中的自变量的值与相应的函数值代入所给关系式,得关于参数的方程,利用“两边取对数”,即可求出参数的值.【变式训练】1. 函数f(x)＝lg为奇函数，则实数a＝________.2.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________.技法五换元法换元法又称辅助元法、变量代换法.通过引入新的变量,可以把分散的条件联系起来,使隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,简化计算或证明.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.典型例题例5 椭圆+=1上有两点P、Q,O为原点,连接OP、OQ,k OP·k OQ=-.(1)求证:|OP|2+|OQ|2等于定值;(2)求线段PQ的中点M的轨迹方程.解析(1)证明:设P(4cos θ1,2sin θ1),Q(4cos θ2,2sin θ2),则k OP·k OQ=·=-,整理得cos θ1cos θ2+sin θ1sin θ2=0,即cos(θ1-θ2)=0.∴|OP|2+|OQ|2=16cos2θ1+4sin2θ1+16cos2θ2+4sin2θ2=8+12(cos2θ1+cos2θ2)=20+6(cos 2θ1+cos 2θ2)=20+12cos(θ1+θ2)cos(θ1-θ2)=20,即|OP|2+|OQ|2等于定值20.(2)由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的横、纵坐标分别为x=2(cos θ1+cos θ2),y=sin θ1+sin θ2,所以有+y2=2+2(cos θ1cos θ2+sin θ1sin θ2)=2+2cos(θ1-θ2)=2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为+=1.▲方法点睛由椭圆方程,联想到cos2θ+sin2θ=1,于是可进行“三角换元”(得到的是椭圆的参数方程),通过换元引入新的参数,转化为三角函数问题进行研究.本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”,在由中点坐标公式求出M点的坐标后,将所得方程稍作变形,再平方相加,即(cos θ1+cos θ2)2+(sin θ1+sin θ2)2,这是求点M的轨迹方程的关键一步.一般地,求动点的轨迹方程运用“参数法”时,我们可以将点的横、纵坐标分别表示为一个或几个参数的函数,再运用“消参法”消去所含的参数,即得到所求的轨迹方程.【变式训练】1. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值技法六构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知识及各种数学式子、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.典型例题例6 (1)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体各个面的面积中,最小的值为( )A.2B.8C.4D.8(2)已知m,n∈(2,e),且-<ln ,则( )A.m>nB.m<nC.m>2+D.m,n 的大小关系不确定答案 (1)B (2)A解析 (1)构造棱长为4的正方体,由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中点P 、B 分别为相应棱的中点.因为S △PAB =S △PBC =××4=4,S △ABC =×4×4=8,S △PAC =·AC·=×4×=8.因为8>4>8,所以该几何体各个面的面积中,最小的值为8,故选B.▲方法点睛 应用构造法的技巧:一是“定目标构造”,从已知条件入手,紧扣要解决的问题进行构造,把陌生问题构造为熟悉的问题;二是“解决构造的问题”,用相关的知识解决所构造的问题. 跟踪集训1.(2018·合肥模拟)如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________.2. 【2018湖北省襄阳市统测】已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为()y f x ='，满足()()f x f x '<，f (0) = 1，则不等式()xf x e <的解集为（）A. ()0+∞，B. ()1+∞，C. ()2-+∞，D. ()4+∞，技法七反证法反证法是指从命题正面论证比较困难,通过假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明原假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.反证法证明问题一般分为三步:(1)否定结论;(2)推导矛盾;(3)得出结论.典型例题例7 如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形答案 D得所以A2+B2+C2=++,即π=-π,显然该等式不成立,所以假设不成立.所以△A2B2C2不是锐角三角形,所以△A2B2C2是钝角三角形.故选D.▲方法点睛用反证法证明全称命题以及命题中含有“至少”“至多”关键词的问题比较简单.其关键是根据假设导出矛盾——与已知条件、定义、公理、定理或明显的事实相矛盾或自相矛盾.【变式训练】【2018吉林省长春市一五0中学模拟】设m、n、t都是正数，则4mn+、4nt+、4tm+三个数（）A. 都大于4B. 都小于4C. 至少有一个大于4D. 至少有一个不小于4技法八分离参数法分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法,通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解,从而避免对参数进行分类讨论的烦琐过程.该方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决.但要注意该方法仅适用于分离参数后能求出相应函数的最值或值域的情况.典型例题例8 【2018安徽省淮南市联考】已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B∴∴在上恒成立，∴在上减函数，∴,实数的取值范围为，故选B.▲方法点睛应用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题,关键在于准确分离参数,然后将问题转化为参数与函数最值的大小关系问题.分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化,如果参数的系数符号为负号,则分离参数时应注意不等号的变化,否则就会导致错解.【变式训练】已知函数，为自然对数的底数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围．技法九整体代换法整体代换法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将两数或多个数之和的表达式当成一个整体来处理,从而建立已知和所求之间的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值,可以避免烦琐的计算.该方法适用于等差、等比数列中连续几项和的有关计算.典型例题例9 (1)等比数列{a n}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为( )A.1B.2C.3D.5(2)已知函数f(x)的导函数为f '(x),且满足f(x)=2f 'cos x+sin x+2x,则f '=( )A.0B.C.1D.答案(1)C (2)B所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11===2.同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15===1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.(2)因为f(x)=2f 'cos x+sin x+2x,所以f '(x)=-2f 'sin x+cos x+2.令x=,得f '=-2f 'sin +cos+2,解得f '=.故选B.▲方法点睛整体代换法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系.【变式训练】已知x,y,z是正数,求证:++≥.技法十判别式法判别式法就是将实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),利用方程有解的充要条件(判别式Δ=b2-4ac≥0)求解.典型例题例10 已知α,β,γ为任意三角形的三个内角,求证:x2+y2+z2≥2xycos α+2yzcos β+2zxcos γ.证明设f(x)=x2+y2+z2-(2xycos α+2yzcos β+2zxcos γ)=x2-2(ycos α+zcos γ)x+y2+z2-2yzcos β,又Δ=4(ycos α+zcos γ)2-4(y2+z2-2yzcos β)=-4(ysin α-zsin γ)2≤0,所以f(x)≥0,即x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcos β+2zxcos γ.▲方法点睛判别式是方程、函数和不等式之间联系的重要工具,是不等式之间相互转化的重要桥梁,运用判别式法证明不等式有两种途径:(1)构造一元二次方程,然后利用Δ≥0来证明;(2)构造恒大于(或小于)零的二次函数,然后利用Δ≤0来证明.【变式训练】1.设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.2.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.技法十一割补法割补法主要是针对平面图形或空间图形采用的一种几何方法,其主要思想是把不规则图形转化为规则图形,这种方法常常用来求不规则平面图形的面积或不规则空间几何体的体积.典型例题例11 (1)如图,过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面CDP所成二面角的度数为( )A.90°B.60°C.45°D.30°(2)已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,∠BCD=∠BCE=,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2,则五面体EGBADC的体积为.答案(1)C (2)解析(1)把原四棱锥补成正方体ABCD-PQRH,如图所示,连接CQ,则所求二面角转化为平面CDPQ与平面BAPQ所成的二面角,而∠CQB是平面CDPQ与平面BAPQ所成二面角的平面角,又因为∠CQB=45°,所以平面PAB 与平面CDP所成二面角的度数为45°.(2)▲方法点睛对于一些不规则的几何体(图形),不能直接利用体积(面积)公式,此时必须对几何体(图形)进行相应的割补,将其转化为规则几何体(图形)以便于计算其体积(面积).【变式训练】1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.6B.8C.10D.122.函数y=cos x(0≤x≤2π)和y=1的图象所围成的封闭图形的面积为 .3. 【2018河南省联考】如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，且22AD BC CD ==，PA PB PD ==．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）若45PAD ∠=︒且，E ，F 分别是PA ，PC 的中点，求多面体PEBFD 的体积．技法十二 等体积转化法等体积转化法是通过变换几何体的底面,利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式求解相关问题的方法.其主要用于求解点到面的距离. 典型例题例12 【2018四川省广元市统考】如图四棱锥P ABCD -，底面梯形ABCD 中，//AB DC ，平面PAD ⊥平面ABCD ，已知（1）求证：BD PA ⊥；(2)线段PC 上是否存在点M ，使三棱锥P ABD -体积为三棱锥P MBD -体积的6倍.若存在，找出点M 的位置；若不存在，说明理由.【解析】（1∴222,AB AD BD =+BD AD ∴⊥，∴点M 是PC 上的一个靠近点P 的三等分点.▲方法点睛 利用等体积转化法求解点到平面的距离,关键是选择合适的底面,选择的底面应具备两个特征:一是底面的形状规则,面积可求;二是底面上的高比较明显,即线面垂直比较明显. 跟踪集训1. 【2018广东深圳高级中学模拟】如图,在正方体中,棱长为1,分别为与的中点,到平面的距离为A.B.C.D.2. 【2018甘肃张掖质检】如图，四边形ABCD 是矩面（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ；（2）设AC 与BE 相交于点F ，点G 在棱PB 上，且CG PB ⊥，求三棱锥F BCG -的体积.答案部分 技法一 特例法 【变式训练】2.【答案】B【解析】函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f =cos log 2=-cos , f =cos·log 2=-cos ,所以f =f,排除A,D;又f=-cos <0,排除C.故选B.3.【答案】A 【解析】不妨取点P ,则可计算S 1=×(5-4)=,易求得PD=2,PE=,所以S 2=×2×=,所以S 1∶S 2=1.技法二 图解法(数形结合法) 【变式训练】 1.【答案】C2.【答案】B【解析】直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1，0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以14≤k <13.技法三 估算法【变式训练】【答案】C【解析】如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故C 项满足.技法四 待定系数法 【变式训练】 1.【答案】-1【解析】因为函数f (x )＝lg为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即lg ＝－lg ⇒＝⇒a ＋⇒1－x 2＝(a ＋2)2－a 2x 2⇒a ＝－1.故答案为-1技法五 换元法 【变式训练】1. 【解】 设sinx ＋cosx ＝t ，则t∈[，由(sinx ＋cosx)2＝1＋2sinx·cosx 得：sinx·cosx∴ f(x)＝g(t)－2a)2＋（a>0），t∈[，t＝取最小值：－2a2－a当t取最大值：－2a2＋。

2018高考数学选择题智能解题技巧随着科技的发展，智能化已经变得无处不在。

在教育领域，智能化的应用也日益增多。

在高考数学选择题解题过程中，利用智能辅助工具可以提高解题效率，帮助考生更好地应对考试。

本文将介绍一些2018高考数学选择题智能解题技巧，以帮助考生在备考期间更好地应用智能辅助工具，提高解题水平。

一、充分利用智能手机应用随着智能手机的普及，我们可以通过下载合适的应用程序来辅助解题。

有一些数学应用程序，如Mathway、Photomath等，可以识别出图像中的数学题目，并给出相应的解答过程。

考生可以通过将题目拍照上传到这些应用程序中，得到详细的解题步骤，帮助自己理解每一步的解题思路。

此外，还有一些智能手机应用可以生成数学题目，供考生练习。

通过大量的练习，考生可以更好地熟悉各种类型的数学题目，提高解题速度和准确性。

二、利用在线学习平台在线学习平台是学习数学的重要工具之一。

考生可以登录相关的平台，参与在线的数学课程，同时也能访问平台上形成的数学解题题库。

这些题库会根据不同章节和难度分类，使考生能够有针对性地选择并解答相应的题目。

在线学习平台的好处是可以在任何时间、任何地点进行学习，极大地方便了学习者。

考生在使用在线学习平台时，可以通过观看教学视频、参与在线讨论等方式，得到更全面的解题思路和方法。

此外，平台上的反馈系统也能及时纠正考生在解题过程中的错误，帮助他们改进解题方法。

三、参加智能辅助训练班为了提高考生解题能力和应对高考数学选择题的水平，一些培训机构开始推出智能辅助训练班。

这些训练班会根据考试的最新趋势，结合智能辅助工具和人工智能技术，帮助考生更好地掌握解题技巧。

智能辅助训练班通过模拟真实考试环境，帮助考生熟悉题型和题量，并引导他们找到解题的最佳路径。

此外，训练班还会提供个性化的学习计划，帮助考生发现自身的薄弱环节，并有针对性地进行强化训练。

通过参加智能辅助训练班，考生可以更好地利用智能工具，提高解题水平，从而在考试中取得好成绩。

2018高考数学应战策略一、提高解答选择题的速度、填空题的准确度。

数学高考卷中的选择题是对知识的灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。

若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。

由于选择题的特殊性，由此提出解答选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。

解答选择题的常用方法：排除法、特殊值检验法、极端性原则、顺推破解法、逆推验证法（代答案入题干验证法）、正难则反法、数形结合法、递推归纳法、特征分析法和估算法等。

填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求“完整、严密”。

填空题中常见的规范性问题：①解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集);不等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间)表示。

②在写区间或集合时，要正确地书写圆括号、方括号或花括号，区间的两端点之间，几何的元素之间用逗号隔开。

二、解答题要牢记分段得分的原则，规范答题。

解答题需注意跳步得分，如果同一解答题的后一问需要用到前一问的证明结论或数字结果，前一问并没有完全解答出来，则可以在后一问中直接应用前一问的数值或结论，这样不影响第二问得分。

如果有些水平高的学生解题中用了高等数学或中学数学教材之外的结论，用结论前应有简单的文字说明或铺垫。

会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。

带单位的解答题，最后结果必须带单位；特别是应用题解题结束后一定要写符合题意的“答”。

排列组合题，无特别声明，要求出数值。

需分类讨论的题目，一般要写综合性结论；函数问题一般要注明定义域。

三、阅卷教师希望看到的是能够减轻阅读量的卷面，具体包括以下六点：①卷面清洁，这是最基本的要求；②书写工整，字迹清晰；③在规定的答题区域答题，否则做无用功；④表述是要根据分值思考要点，尽量细分，用分号或①②③④等符号清楚表述；⑤语言要简洁，答中要害；⑥语言表述要规范，尽量用专业术语。

注意1.答题工具:答选择题时，必须用合格的2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卡。

2018年高考数学解题的12种方法总结数学是高考考试中最能拉分的科目，因此大家在备考数学考试的时候要多下功夫，下面为大家带来2018年高考数学解题的12种方法总结这篇内容，希望能够帮助大家轻松应对2018年高考数学考试。

方法一、调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于空白状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入角色，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

方法二、内紧外松，集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。

方法三、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生旗开得胜的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的门坎效应，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。

方法四、六先六后，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行六先六后的战术原则。

1、先易后难。

就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。

2、先熟后生。

通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。

专题01 巧用12个解题技巧技法一 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.例1 (2017·山东卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC.a ＋1b＜log 2(a ＋b )＜b 2aD.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b2a▲方法点睛 1.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题. 2.特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解. 【变式训练】1. 如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A.3∶1B.2∶1 1∶C.41∶3D. 2.函数f(x)=cos x·log 2|x|的图象大致为( )3.如图,点P 为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线,它们相交于点C,过点P 引BC,AC 的平行线,分别交AC 于点N,交BC 于点M,交AB 于D 、E 两点,记矩形PMCN 的面积为S 1,三角形PDE 的面积为S 2,则S 1∶S 2=( )A.1B.2C.D.技法二 图解法(数形结合法)对于一些含有几何背景的题目,若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.例2 (1)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=,(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值等于( )A. B.C. D.1【答案】A【解析】(1)解法一(几何法):如图,a=,b=,c=.由题意有∠AOB=,点C在圆M上.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=||+||=sin+cos=.选A.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=||+||=sin+cos=.选A.(2) 【2018山西省太原市实验中学模拟】函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有8个不同实数根，则实数的取值范围是________【答案】要使关于x的方程，有且仅有8个不同实数根，设t=f （x ），则t 2+at+=0的两根均在（-1，--故答案为▲方法点睛 数形结合是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而导致错误的选择. 【变式训练】 1.已知函数f(x)=和函数g(x)=log 2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.42. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x]，x≥0，f （x ＋1），x<0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f (x )＝k (x ＋1)(k >0)恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1技法三 估算法估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.例3 (1)(2015湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y≥”的概率,p 2为事件“|x -y|≤”的概率,p 3为事件“xy≤”的概率,则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1(2)已知三棱锥P-ABC 的侧面与底面所成二面角都是60°,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面面积为 ( )A.12B.24C.6D.18答案 (1)B (2)B解析 (1)满足条件的x,y 构成的点(x,y)在正方形OBCA 及其边界上.事件“x+y≥”对应的图形为图①公式求出侧面面积为32,四个选项中只有24与之最接近,选B.▲方法点睛 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.如某些函数的取值范围或最值、函数图象的变化等问题,常用此法确定正确选项.【变式训练】设M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥0，y －x≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A.34 B.1 C.74D.2技法四 待定系数法待定系数法是为确定变量间的函数关系,设出未知数,然后根据所给条件确定这些未知数的一种方法,其理论依据是多项式恒等.多项式f(x)≡g(x)的充要条件是:对于任意的一个a 值,都有f(a)≡g(a);或者两个多项式各项的系数对应相等.例 4 衣柜里的樟脑丸,会因为挥发而体积变小,刚放入的新樟脑丸体积为a,经过t 天后樟脑丸的体积V(t)与天数t 的关系为V(t)=a·e -kt,若新樟脑丸经过80天后,则函数V(t)的解析式为.答案V(t)=a·(t≥0)解析因为樟脑丸经过80天后,体积变为a,所以a=a·e-80k,所以e-80k=,解得k=-ln ,所以V(t)=a·=a·,所以函数V(t)的解析式为V(t)=a·(t≥0).▲方法点睛破解此类题的关键是依题设所给的函数模型,利用待定系数法求解,本题的突破口是将题设中的自变量的值与相应的函数值代入所给关系式,得关于参数的方程,利用“两边取对数”,即可求出参数的值.【变式训练】1. 函数f(x)＝lg为奇函数，则实数a＝________.2. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________.技法五换元法换元法又称辅助元法、变量代换法.通过引入新的变量,可以把分散的条件联系起来,使隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,简化计算或证明.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.典型例题例5 椭圆+=1上有两点P、Q,O为原点,连接OP、OQ,k OP·k OQ=-.(1)求证:|OP|2+|OQ|2等于定值;(2)求线段PQ的中点M的轨迹方程.解析(1)证明:设P(4cos θ1,2sin θ1),Q(4cos θ2,2sin θ2),则k OP·k OQ=·=-,整理得cos θ1cos θ2+sin θ1sin θ2=0,即cos(θ1-θ2)=0.∴|OP|2+|OQ|2=16cos2θ1+4sin2θ1+16cos2θ2+4sin2θ2=8+12(cos2θ1+cos2θ2)=20+6(cos 2θ1+cos 2θ2)=20+12cos(θ1+θ2)cos(θ1-θ2)=20,即|OP|2+|OQ|2等于定值20.(2)由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的横、纵坐标分别为x=2(cos θ1+cos θ2),y=sin θ1+sin θ2,所以有+y2=2+2(cos θ1cos θ2+sin θ1sin θ2)=2+2cos(θ1-θ2)=2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为+=1.▲方法点睛由椭圆方程,联想到cos2θ+sin2θ=1,于是可进行“三角换元”(得到的是椭圆的参数方程),通过换元引入新的参数,转化为三角函数问题进行研究.本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”,在由中点坐标公式求出M点的坐标后,将所得方程稍作变形,再平方相加,即(cos θ1+cos θ2)2+(sin θ1+sin θ2)2,这是求点M的轨迹方程的关键一步.一般地,求动点的轨迹方程运用“参数法”时,我们可以将点的横、纵坐标分别表示为一个或几个参数的函数,再运用“消参法”消去所含的参数,即得到所求的轨迹方程.【变式训练】1. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx )－sinx·cosx－2a的最大值和最小值技法六构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知识及各种数学式子、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.典型例题例 6 (1)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体各个面的面积中,最小的值为( )A.2B.8C.4D.8(2)已知m,n∈(2,e),且-<ln ,则( )A.m>nB.m<nC.m>2+D.m,n的大小关系不确定答案(1)B (2)A解析(1)构造棱长为4的正方体,由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中点P、B分别为相应棱的中点.因为S△PAB=S△PBC=××4=4,S△ABC=×4×4=8,S△PAC=·AC·=×4×= 8.因为8>4>8,所以该几何体各个面的面积中,最小的值为8,故选B.▲方法点睛应用构造法的技巧:一是“定目标构造”,从已知条件入手,紧扣要解决的问题进行构造,把陌生问题构造为熟悉的问题;二是“解决构造的问题”,用相关的知识解决所构造的问题.跟踪集训1. (2018·合肥模拟)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________.2. 【2018湖北省襄阳市统测】已知定义在R上的可导函数 f (x)的导函数为，满足，f (0) = 1，则不等式的解集为（）A. B. C. D.技法七反证法反证法是指从命题正面论证比较困难,通过假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明原假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.反证法证明问题一般分为三步:(1)否定结论;(2)推导矛盾;(3)得出结论.典型例题例7 如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( )A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形答案 D得所以A2+B2+C2=++,即π=-π,显然该等式不成立,所以假设不成立.所以△A2B2C2不是锐角三角形,所以△A2B2C2是钝角三角形.故选D.▲方法点睛用反证法证明全称命题以及命题中含有“至少”“至多”关键词的问题比较简单.其关键是根据假设导出矛盾——与已知条件、定义、公理、定理或明显的事实相矛盾或自相矛盾.【变式训练】【2018吉林省长春市一五0中学模拟】设、、都是正数，则、、三个数（）A. 都大于 B. 都小于 C. 至少有一个大于 D. 至少有一个不小于技法八分离参数法分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法,通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解,从而避免对参数进行分类讨论的烦琐过程.该方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决.但要注意该方法仅适用于分离参数后能求出相应函数的最值或值域的情况.典型例题例8 【2018安徽省淮南市联考】已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B∴∴在上恒成立，∴在上减函数，∴,实数的取值范围为，故选B.▲方法点睛应用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题,关键在于准确分离参数,然后将问题转化为参数与函数最值的大小关系问题.分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化,如果参数的系数符号为负号,则分离参数时应注意不等号的变化,否则就会导致错解.【变式训练】已知函数，为自然对数的底数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围．技法九整体代换法整体代换法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将两数或多个数之和的表达式当成一个整体来处理,从而建立已知和所求之间的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值,可以避免烦琐的计算.该方法适用于等差、等比数列中连续几项和的有关计算.典型例题例9 (1)等比数列{a n}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为( )A.1B.2C.3D.5(2)已知函数f(x)的导函数为f '(x),且满足f(x)=2f 'cos x+sin x+2x,则f '=( )A.0B.C.1D.答案(1)C (2)B所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11===2.同理,a9+a11是a5+a7与a13+a15的等比中项,所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15===1.所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.(2)因为f(x)=2f 'cos x+sin x+2x,所以f '(x)=-2f 'sin x+cos x+2.令x=,得f '=-2f 'sin +cos+2,解得f '=.故选B.▲方法点睛整体代换法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系.【变式训练】已知x,y,z是正数,求证:++≥.技法十判别式法判别式法就是将实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),利用方程有解的充要条件(判别式Δ=b2-4ac≥0)求解.典型例题例10 已知α,β,γ为任意三角形的三个内角,求证:x2+y2+z2≥2xycos α+2yzcos β+2zxcos γ.证明设f(x)=x2+y2+z2-(2xycos α+2yzcos β+2zxcos γ)=x2-2(ycos α+zcos γ)x+y2+z2-2yzcos β,又Δ=4(ycos α+zcos γ)2-4(y2+z2-2yzcos β)=-4(ysin α-zsin γ)2≤0,所以f(x)≥0,即x2+y2+z2≥2xycos α+2yzcos β+2zxcos γ.▲方法点睛判别式是方程、函数和不等式之间联系的重要工具,是不等式之间相互转化的重要桥梁,运用判别式法证明不等式有两种途径:(1)构造一元二次方程,然后利用Δ≥0来证明;(2)构造恒大于(或小于)零的二次函数,然后利用Δ≤0来证明.【变式训练】1.设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.2.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.技法十一割补法割补法主要是针对平面图形或空间图形采用的一种几何方法,其主要思想是把不规则图形转化为规则图形,这种方法常常用来求不规则平面图形的面积或不规则空间几何体的体积.典型例题例11 (1)如图,过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面CDP所成二面角的度数为( )A.90°B.60°C.45°D.30°(2)已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,∠BCD=∠BCE=,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2,则五面体EGBADC的体积为.答案(1)C (2)解析(1)把原四棱锥补成正方体ABCD-PQRH,如图所示,连接CQ,则所求二面角转化为平面CDPQ与平面BAPQ所成的二面角,而∠CQB是平面CDPQ与平面BAPQ所成二面角的平面角,又因为∠CQB=45°,所以平面PAB与平面CDP所成二面角的度数为45°.(2)▲方法点睛对于一些不规则的几何体(图形),不能直接利用体积(面积)公式,此时必须对几何体(图形)进行相应的割补,将其转化为规则几何体(图形)以便于计算其体积(面积).【变式训练】1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.6B.8C.10D.122.函数y=cos x(0≤x≤2π)和y=1的图象所围成的封闭图形的面积为.3. 【2018河南省联考】如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，．（1）求证：平面平面；（2）若且，，分别是，的中点，求多面体的体积．技法十二等体积转化法等体积转化法是通过变换几何体的底面,利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式求解相关问题的方法.其主要用于求解点到面的距离.典型例题例12 【2018四川省广元市统考】如图四棱锥，底面梯形中，，平面平面，已知.（1）求证：；(2)线段上是否存在点，使三棱锥体积为三棱锥体积的6倍.若存在，找出点的位置；若不存在，说明理由.【解析】（1）证明：∵，∴，由题意得解得．∴点是上的一个靠近点的三等分点.▲方法点睛利用等体积转化法求解点到平面的距离,关键是选择合适的底面,选择的底面应具备两个特征:一是底面的形状规则,面积可求;二是底面上的高比较明显,即线面垂直比较明显.跟踪集训1. 【2018广东深圳高级中学模拟】如图,在正方体中,棱长为1, 分别为与的中点, 到平面的距离为A. B. C. D.2. 【2018甘肃张掖质检】如图，四边形是矩形平面.（1）证明：平面平面；（2）设与相交于点，点在棱上，且，求三棱锥的体积.答案部分技法一特例法【变式训练】2.【答案】B【解析】函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f =cos log2=-cos,f =cos·log2=-cos,所以f =f ,排除A,D;又f =-cos<0,排除C.故选B.3.【答案】A【解析】不妨取点P ,则可计算S 1=×(5-4)=,易求得PD=2,PE=,所以S 2=×2×=,所以S 1∶S 2=1.技法二 图解法(数形结合法) 【变式训练】 1.【答案】C2. 【答案】B【解析】直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1，0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以14≤k <13.技法三 估算法 【变式训练】【答案】C【解析】如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故C 项满足.。

答题策略与答题技巧（一）历年高考数学试卷的启发1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。

如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。

当然，我们也要考虑结论的独立性；3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键；（二）答题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。

一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。

当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。

一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答；2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。

切记不要“小题大做”。

注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。

虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。

多写不会扣分，写了就可能得分。

（三）答题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法，即“有形无数去找数，有数无形去配形；形之根源在平几，数的核心是解析.数形结合无限好，化繁为简创奇迹”；3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。

如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法，即“小题在前，特值当先”；5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择“设而不求”“点差法”，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；13.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；4.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15.三选二的三题中，极坐标与参数方程注意转化的方法，不等式题目注意柯西与绝对值的几何意义；16.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；17.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；18.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；19.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；20.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。