新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数指数函数的概念讲义

最新课程标准：

（１）通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．（２）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

知识点一 指数函数的定义

函数y＝ax（a>0且a≠１）叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.

错误! 指数函数解析式的３个特征

（１）底数a为大于0且不等于１的常数．

（２）自变量x的位置在指数上，且x的系数是１．

（３）ax的系数是１．

知识点二 指数函数的图象与性质

a>１ 0

图象

定义域 R

值域 （0，＋∞）

性

质 过定点 过点（0,１），即x＝0时，y＝１

函数值

的变化 当x>0时，y>１；

当x<0时，00时，0

当x<0时，y>１

单调性 是R上的增函数 是R上的减函数

错误! 底数a与１的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>１时，指数函数的图象是“上升”的；当0

规定底数a>0且a≠１的理由

（１）如果a＝0，则错误!

（２）如果a<0，比如y＝（—２）x，这时对于x＝错误!，错误!，错误!，错误!，…在实数范围内函数值不存在．

（３）如果a＝１，那么y＝１x＝１是常量，对此就没有研究的必要．

[基础自测]

１．下列各函数中，是指数函数的是（ ）

Ａ．y＝（—３）x Ｂ．y＝—３x

Ｃ．y＝３x—１ Ｄ．y＝错误!x

解析：根据指数函数的定义y＝ax（a>0且a≠１）可知只有D项正确．

答案：D

２．函数f（x）＝错误!的定义域为（ ）

Ａ．R Ｂ．（0，＋∞）

Ｃ．[0，＋∞） Ｄ．（—∞，0）

解析：要使函数有意义，则２x—１>0，∴２x>１，∴x>0．

答案：B

３．在同一坐标系中，函数y＝２x与y＝错误!x的图象之间的关系是（ ）

Ａ．关于y轴对称 Ｂ．关于x轴对称

Ｃ．关于原点对称 Ｄ．关于直线y＝x对称

解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选Ａ．

答案：A

４．函数f（x）＝错误!的值域为________．

解析：由１—ex≥0得ex≤１，故函数f（x）的定义域为{x|x≤0}，所以0

题型一 指数函数概念的应用[经典例题]

例１ （１）若函数f（x）＝（２a—１）x是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）

Ａ．（0,１）

Ｂ．（１，＋∞）

Ｃ．错误!

Ｄ．（—∞，１）

（２）指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，那么f（４）·f（２）等于________．

【解析】 （１）由已知，得0<２a—１<１，则错误!

（２）设y＝f（x）＝ax（a>0，a≠１），所以a—２＝错误!，所以a＝２，

所以f（４）·f（２）＝２４×２２＝6４．

【答案】 （１）C （２）6４

（１）根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠１，ax的系数是１．

（２）先设指数函数为f（x）＝ax，借助条件图象过点（—２，错误!）求a，最后求值．

方法归纳

（１）判断一个函数是指数函数的方法

１看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax（a>0，且a≠１）这一结构特征．

２明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．

（２）已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤

跟踪训练１ （１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则实数a的取值范围是________；

（２）下列函数中是指数函数的是________．（填序号）

１y＝２·（错误!）x ２y＝２x—１ ３y＝错误!x ４y＝xx ５y＝３1x ⑥y＝x13.

解析：（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，

则错误!解得a

（２）１中指数式（错误!）x的系数不为１，故不是指数函数；２中y＝２x—１＝错误!·２x，指数式２x的系数不为１，故不是指数函数；４中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；５中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填３．

答案：（１）（—∞，１）∪错误! （２）３

１．指数函数系数为１．

２．底数>0且≠１．

题型二 指数函数[教材P１１４例１]

例２ 已知指数函数f（x）＝ax（a>0，且a≠１），且f（３）＝π，求f（0），f（１），f（—３）的值．

【解析】 因为f（x）＝ax，且f（３）＝π，则a３＝π，解得a＝π13，于是f（x）＝π3x.

所以，f（0）＝π0＝１，f（１）＝π13＝错误!，f（—３）＝π—１＝错误!.

错误! 要求f（0），f（１），f（—３）的值，应先求出f（x）＝ax的解析式，即先求a的值．

教材反思

求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于１的实数，所以a＝—３应舍去．

跟踪训练２ 若指数函数f（x）的图象经过点（２,9），求f（x）的解析式及f（—１）的值． 解析：设f（x）＝ax（a>0，且a≠１），将点（２,9）代入，得a２＝9，解得a＝３或a＝—３（舍去）．

所以f（x）＝３x.所以f（—１）＝３—１＝错误!.

设f（x）＝ax，代入（２,9）求出Ａ．

一、选择题

１．下列函数中，指数函数的个数为（ ）

１y＝错误!x—１；２y＝ax（a>0，且a≠１）；３y＝１x；４y＝错误!２x—１．

Ａ．0 Ｂ．１

Ｃ．３ Ｄ．４

解析：由指数函数的定义可判定，只有２正确．

答案：B

２．已知f（x）＝３x—b（b为常数）的图象经过点（２,１），则f（４）的值为（ ）

Ａ．３ Ｂ．6

Ｃ．9 Ｄ．8１

解析：由f（x）过定点（２,１）可知b＝２，

所以f（x）＝３x—２，f（４）＝9．可知C正确．

答案：C

３．当x∈[—１,１]时，函数f（x）＝３x—２的值域是（ ）

Ａ．错误! Ｂ．[—１,１]

Ｃ．错误! Ｄ．[0,１]

解析：因为指数函数y＝３x在区间[—１,１]上是增函数，所以３—１≤３x≤３１，于是３—１—２≤３x—２≤３１—２，即—错误!≤f（x）≤１．故选Ｃ．

答案：C ４．在同一平面直角坐标系中，函数f（x）＝ax与g（x）＝ax的图象可能是（ ）

解析：需要对a讨论：

１当a>１时，f（x）＝ax过原点且斜率大于１，g（x）＝ax是递增的；２当0

答案：B

二、填空题

５．下列函数中：

１y＝２·（错误!）x；２y＝２x—１；３y＝错误!x；４y＝３1x；５y＝x13.

是指数函数的是________（填序号）．

解析：１中指数式的系数不为１；２中y＝２x—１＝错误!·２x的系数亦不为１；４中自变量不为x；５中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．

答案：３

6．若指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，则f错误!＝________.

解析：设f（x）＝ax（a>0且a≠１）．

因为f（x）过点错误!，

所以错误!＝a—２，

所以a＝４．

所以f（x）＝４x，

所以f错误!＝４32＝错误!. 答案：错误!

7．若关于x的方程２x—a＋１＝0有负根，则a的取值范围是________．

解析：因为２x＝a—１有负根，

所以x<0，

所以0<２x<１．

所以0

所以１

答案：（１,２）

三、解答题

8．若函数y＝（a２—３a＋３）·ax是指数函数，求a的值．

解析：由指数函数的定义知错误!

由１得a＝１或２，结合２得a＝２．

9．求下列函数的定义域和值域：

（１）y＝２1x—１；（２）y＝错误!222x－.

解析：（１）要使y＝２1x—１有意义，需x≠0，则２1x≠１；故２1x—１>—１且２1x—１≠0，故函数y＝２1x—１的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（—１,0）∪（0，＋∞）．

（２）函数y＝错误!222x－的定义域为实数集R，由于２x２≥0，则２x２—２≥—２．

故0

[尖子生题库]

１0．设f（x）＝３x，g（x）＝错误!x. （１）在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象；

（２）计算f（１）与g（—１），f（π）与g（—π），f（m）与g（—m）的值，从中你能得到什么结论？

解析：（１）函数f（x）与g（x）的图象如图所示：

（２）f（１）＝３１＝３，g（—１）＝错误!—１＝３；

f（π）＝３π，g（—π）＝错误!—π＝３π；

f（m）＝３m，g（—m）＝错误!—m＝３m.

从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．