第一节_定积分的微元法(大专)
定积分是高等数学中的一个重要概念，它是微积分学的基础。定积分的微元法是定积分的一种重要解法方法。
定积分的定义是：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，并且在该区间内是有界的，那么将该区间分成许多小区间，每个小区间长度为 $ \triangle x $，并在每个小区间内任取一点 $x_i$，则当小区间宽度趋近于 0 时，Riemann和 $\sum f(x_i)
\triangle x$ 的极限称为函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作 $\int_a^b f(x)
dx$。
定积分的微元法可以简化定积分的求解过程，实现求解和计算的快速精确。
定积分的微元法公式是：
$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\max\limits_{i=1}^{n} \triangle x_i \to 0}
\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i) \triangle x_i \approx \sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i)
\triangle x$$
其中，$n$ 为区间 $[a,b]$ 被分成的小区间的数量，$\triangle x_i$ 为每个小区间的宽度，$\xi_i$ 为每个小区间中任意一个点的值，$x_i$ 是每个小区间的左端点。
根据定积分的微元法公式，我们可以将要求解的区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，记作 $[x_0,x_1], [x_1,x_2], …, [x_{n-1},x_n]$。在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中取一点 $x_i$，则定积分的值可以近似表示为：
$$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \triangle x_i$$
.1 定积分概念
定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点
，
把区间[a,b]分成n个小区间
，
设有常数I，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使得对于区间[a,b]的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有
成立，则称I是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作 。
接下来的问题是：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？以下给出两个充分条件。
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。
.2 牛顿－莱步尼兹公式及实例
定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则
。 (1) 证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数
也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即 。 (2)
在上式中令x = a，得。又由 (x)的定义式及上节定积分的补充规定知 (a) = 0，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的 (x)，可得
，
在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。
由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。
为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。
公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。
例1 计算定积分。
解 。
例2 计算。
经济数学---微积分教案
山 东 女子 学 院 1 第一节 不定积分的概念与性质
教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。
教学重点：原函数与不定积分的概念。
教学难点：原函数的求法。
教学内容：
一、原函数与不定积分的概念
定义1 如果对任一Ix，都有)()(xfxF 或 dxxfxdF)()(则称)(xF为)(xf在区间I 上的原函数。
例如：xxcos)(sin，即xsin是xcos的原函数。2211)1ln([xxx，即)1ln(2xx是211x的原函数。
原函数存在定理：
定理：如果函数)(xf在区间I 上连续，则)(xf在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(xF，使得对任一Ix，有)()(xfxF。
评注：⑴如果)(xf有一个原函数，则)(xf就有无穷多个原函数。
设)(xF是)(xf的原函数，则)(])([xfCxF，即CxF)(也为)(xf的原函数，其中C为任意常数。
⑵如果)(xF与)(xG都为)(xf在区间I 上的原函数，则)(xF与)(xG之差为常数，即
CxGxF)()( （C为常数）
⑶ 如果)(xF为)(xf在区间I 上的一个原函数，则CxF)(（C为任意常数）可表达)(xf的任意一个原函数。
定义2 若函数F(x)是f(x) 在区间I上的一个原函数，则表达式()FxC（其中C为任意常数）称为fx在区间I上的不定积分 记作 dxxf)( 经济数学---微积分教案
山 东 女子 学 院 2 其中称为积分号，fx称为被积函数，fxdx称为被积表达式，x称为积分变量。
例1：因为 23)3(xx， 得 Cxdsx332
例2：因为，0x时，xx1)(ln；0x时，xxxx1)(1])[ln(，得
编号：gswhsxxx2-2-01011
文华高中高二数学选修2--2第一章《导数及其应用》
1.5.3定积分的概念导学案
编制人:刘君杰 审核人:戴道亮 编制时间:2015年4月28日
学习目标：
1. 了解定积分的概念
2. 了解定积分的几何意义及性质.
3. 会通过四步曲求连续函数的定积分
重难点：
利用导数解决数学问题，形成知识网络
分析信息将问题进行转化
学习方法：．启发探究式（教师设问引导，学生自主探究，合作解决）
情感态度与价值观：通过学生主动参与，体验导数的优越性。
一．复习回顾：
1.用四步曲--------------------------求得曲边梯形得面积S=____________________________
2.用四步曲求得变速运动得路程S=_____________________________.
二．知识点实例探究
例1. 函数)(xf在区间ba,上连续,如同曲边梯形面积得四步曲求法写出运算过程.
上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数)(xf在区间ba,上得定积分,记做baniinfnabdxxf1(lim)(),定积分的几何意义是:______________________________-
__________________________________________________________________________-.
例2.计算下列定积分的值,并从几何上解释这个值表示什么?(4)1(2122333nnn)
(1) 103dxx (2)013dxx
巩固训练：
（1）113dxx (2)213dxx
（3） dxx21031 （4）dxx3106
