裂项相消法数列求和例题

第 1 页 共 8 页 数列经典例题裂项相消法

数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列 } {na

的前 n 项和为 , 15 , 5 ,5 5 S a S n 则数列 }1{1

n n aa的前 100 项和为(

) A． 100

B．99

C．99100

D．100

2．数列 ,) 1 (1n na n 其前 n 项之和为 ,109则在平面直角坐标系中，直线 0 ) 1 ( n y x n

在 y 轴上的截距为(

) A．－10

B．－9

C．10

D．9 3．等比数列 } {na 的各项均为正数，且6 223 2 19 , 1 3 2 a a a a a ． (Ⅰ)求数列 } {na 的通项公式； (Ⅱ)设 , log log log3 2 3 1 3 n na a a b 求数列 }1{nb的前 n 项和． 4．正项数列 }

{na 满足 0 2 ) 1 2 (2 n a n an n． (Ⅰ)求数第 2 页 共 8 页 列 } {na 的通项公式na ； (Ⅱ)令 ,) 1 (1nna nb 求数列 } {nb 的前 n 项和nT ． 5．设等差数列 } {na 的前

n 项和为nS ，且 1 2 , 42 2 4 n na a S S ． (Ⅰ)求数列 } {na 的通项公式； (Ⅱ)设数列 } {nb 满足 , ,211*2211N nabababnnn 求 }

{nb 的前 n 项和nT ． 6．已知等差数列 } {na 满足： 26 , 77 5 3 a a a ． } {na 的前 n 项和为nS ． (Ⅰ)求na 及nS ； (Ⅱ)令 ), (11*2N nabnn

求数列 } {nb 的前 n 项和nT ． 7．在数列 } {na 中n nana a21 1)11 ( 2 , 1 , ． (Ⅰ)求 } {na 的通项公式； (Ⅱ)令 ,211 n n na a b 求数列 } {nb 的前 n 项和nS ；

专题06 数列求和（裂项相消法）(典型例题+题型归类练)

一、必备秘籍

常见的裂项技巧

类型一：等差型

①)11(1)(1knnkknn

特别注意nnnnknnnnk111)1(1,1;111)1(1,1

②1111()(1)(1)211knknknkn

如：)121121(211412nnn（尤其要注意不能丢前边的21）

类型二：无理型

①)(11nknknkn

如：111nnnn

类型三：指数型

①11(1)11()()nnnnnaaakakakak

如：11211(2)(2)22nnnnnkkkk

类型四：通项裂项为“”型

如：①21111111nnnnnnn

②131222(1)(11)1nnnnnnnnnn

本类模型典型标志在通项中含有(1)n乘以一个分式.

二、典型例题

类型一：等差型

例题1．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知nS是等差数列na的前n项和，0na，315S，公差1d，且___________.从①21a为11a与31a等比中项，②等比数列nb的公比为3q，1124,baba这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列na存在并作答.

(1)求数列na的通项公式；

(2)设数列11nnaa的前n项和为nT，求证：16nT.

【答案】(1)选择条件见解析，21nan(2)证明见解析

(1)若选①，21a为11a与31a的等比中项，

则2132111aaa，由na为等差数列，315S，得2315a，∴25a，

把25a代入上式，可得4616dd，解得2d或4d（舍）

可编辑修改精选全文完整版

专题30数列求和-裂项相消法专题训练

【方法总结】

裂项相消法求和

裂项相消法

裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件．主要适用于1anan＋1或1anan＋2(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．

常用的裂项公式

(1)若{an}是等差数列，则1anan＋1＝1d1an－1an＋1，1anan＋2＝12d1an－1an＋2；

(2)1n(n＋1)＝1n－1n＋1，1n(n＋k)＝1k1n－1n＋k；

(3)1(2n－1)(2n＋1)＝1212n－1－12n＋1；

(4)1n(n＋1)(n＋2)＝121n(n＋1)－1(n＋1)(n＋2)；

(5)2n＋1n2n＋12＝1n2－1(n＋1)2

(6)1n＋n＋1＝n＋1－n，1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)；

(7)loga1＋1n＝loga(n＋1)－logan；

(8)2n2n＋12n＋1＋1＝12n＋1－12n＋1＋1，2n－k2n＋12n＋1＋1＝12k12n＋1－12n＋1＋1；

(9)n＋2(n2＋n)2n＋1＝1n·2n－1(n＋1)2n＋1；

(10)k·2k＋1k＋1k＋2＝2k＋2k＋2－2k＋1k＋1；

(11) (－1)nn(n－1)(n＋1)＝(－1)n121n－1＋1n＋1．

注意：(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．

(2)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．

【高考真题】

1．(2022·新高考Ⅰ)记nS为数列na的前n项和，已知11, nnSaa是公差为13的等差数列． (1)求na的通项公式；

数列求和——裂项相消法 教学设计

一、 教学目标叙写

1. 通过追本溯源的实例引入，绝大多数同学能说出裂项相消法的形式特点；

2. 通过自主探究及合作交流，绝大多数学生能够总结得出裂项相消求和的解题思路；

3. 在教师的引导下，绝大多数学生能够解决裂项相消法的常见题型及余项判断；

4. 通过学生交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和严谨求实的态度。

二、 课标要求

能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用裂项相消求和法等有关知识解决相应的问题。

三、 内容分析

1. 教材的地位和作用

本节课是人教A版《数学（必修5）》第二章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的习题课。通过本节课的教学让学生感受裂项相消求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作探索意识作为教学目标。

2. 学情分析

在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法和倒序相加法，本节课在此基础上进一步对裂项相消求和法做深入研究。本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能够较好的完成本节课的教学任务。

四、 教学重难点

本节课的教学重点为裂项相消求和的基本方法和形式。

本节课的教学难点为裂项相消的思维过程中，适用题型的特征及相消后所余项的判断。 五、 教学流程设计

教学流程 时间安排 学生学习任务 期望的学生行为 教师教学行为

第一环节：

目标展示，

复习回顾 4分钟 齐读目标及订正复习回顾部分答案 通过齐读目标清楚本节课的教学目标及重难点 启发性讲解，点拨，补充

第二环节：

自主探究，

追本溯源 6分钟 订正追本溯源部分的答案及体悟知识的转化过程 听讲、点评、笔记 点评、补充精讲、板书