专题01 三角形中的存在性问题(解析版)
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专题01 三角形中的存在性问题
1
、如图，如图1
，在平面直角坐标系中，已知点A
（﹣4
，﹣1
）、B
（﹣2
，1
），将线段AB
平移至线段CD
，
使点A
的对应点C
在x
轴的正半轴上，点D
在第一象限．
（1
）若点C
的坐标（k
，0
），求点D
的坐标（用含k
的式子表示）；
（2
）连接BD
、BC
，若三角形BCD
的面积为5
，求k
的值；
（3
）如图2
，分别作∠ABC
和∠ADC
的平分线，它们交于点P
，请写出∠A
、和∠P
和∠BCD
之间的一
个等量关系，并说明理由．
解：（1
）∵点A
（﹣4
，﹣1
）、B
（﹣2
，1
），C
（k
，0
），将线段AB
平移至线段CD
，
∴点B
向上平移一个单位，向右平移（k+4
）个单位到点D
，
∴D
（k+2
，2
）；
（2
）如图1
，过点B
作BE
⊥x
轴于点E
，过点D
作DF
⊥x
轴于点F
，
∵A
（﹣4
，﹣1
）、B
（﹣2
，1
），C
（k
，0
），D
（k+2
，2
），
∴BE
＝1
，CE
＝k+2
，DF
＝2
，EF
＝k+4
，CF
＝2
，
∵S
四边形BEFD＝S
△BEC+S
△DCF+S
△BCD，
∴＝+
，
解得：k
＝2
．
（3
）∠BPD
＝∠BCD+
∠A
；理由如下：
过点P
作PE
∥AB
，如图2
所示：
∴∠PBA
＝∠EPB
，
∵线段AB
平移至线段CD
，
∴AB
∥CD
，
∴PE
∥CD
，∠ADC
＝∠A
，∠ABC
＝∠BCD
，
∴∠EPD
＝∠PDC
，
∴∠BPD
＝∠PBA+
∠PDC
，
∵BP
平分∠ABC
，DP
平分∠ADC
，
∴∠PBA
＝∠ABC
，∠PDC
＝∠ADC
，
∴∠BPD
＝∠ABC+
∠ADC
＝∠BCD+
∠A
．
2
、在△ABC
中，∠ACB
＝90°
，∠ABC
＝30°
，将△ABC
绕顶点C
顺时针旋转，旋转角为θ
（0°
＜θ
＜180°
），
得到△A'B'C
．
（1
）如图1
，当AB
∥CB'
时，设A'B'
与CB
相交于点D
，求证△A'CD
是等边三角形；
（2
）如图2
，设AC
中点为E
，A'B'
中点为P
，AC
＝a
，连接EP
．在旋转过程中，线段EP
的长度是否存
在最大值？如果存在，请求出这个最大值并说明此时旋转角θ
的度数，如果不存在，请说明理由．
（1
）证明：∵AB
∥CB'
，
∴∠BCB'
＝∠ABC
＝30°
，
∵将△ABC
绕顶点C
顺时针旋转，
∴∠ACA'
＝30°
．
又∵∠ACB
＝90°
，
∴∠A'CD
＝60°
．
又∵∠CA'B'
＝∠CAB
＝60°
，
∴△A'CD
是等边三角形．
（2
）当θ
＝120°
时，EP
的长度最大，EP
的最大值为a
．
解：如图，连接CP
，当△ABC
旋转到E
、C
、P
三点共线时，EP
最长，
此时θ
＝∠ACA′
＝120°
，
∵∠B′
＝30°
，∠A′CB′
＝90°
，
∴A′C
＝AC
＝A′B′
＝a
，
∵AC
中点为E
，A′B′
中点为P
，∠A′CB′
＝90°
∴CP
＝A′B′
＝a
，EC
＝a
，
∴EP
＝EC+CP
＝a+a
＝a
．
3
、如图，等腰△ABC
中，BA
＝BC
，AO
＝3CO
＝6
．动点F
在BA
上以每分钟5
个单位长度的速度从B
点出
发向A
点移动，过F
作FE
∥BC
交AC
边于E
点，连结FO
、EO
．设F
点移动的时间为t
．
（1
）求A
、B
两点的坐标；
（2
）计算：当△EFO
面积最大时，t
的值；
（3
）在（2
）的条件下，边BC
上是否还存在一个点D
，使得△EFD
≌△FEO
？若存在，请直接写出D
点的坐标；若不存在，试说明理由．
解：（1
）∵CO
＝2
，
∴C
（2
，0
）．
又∵AO
＝3OC
＝6
，
∴A
（0
，6
），
可设BO
＝x
，且x
＞0
；
则：BC2
＝（2+x
）2
，AB2
＝AO2
+OB2
＝36+x2
；
又∵BC
＝AB
，
∴（2+x
）2
＝36+x2
，故：x
＝8
，
∴B
（﹣8
，0
）；
（2
）过F
点作FK
⊥BC
于K
，
可设F
点移动的时间为t
，且0
＜t
＜2
，
则：BF
＝5t
，TO
＝FK
＝3t
；
∴AT
＝6
﹣3t
，
又∵FE
∥BC
，
∴△AFE
∽△ABC
，
而AO
⊥BC
交EF
于T
，则：＝，
∴＝，
即：EF
＝10
﹣5t
，
故：S
△EFO＝EF×TO
＝（10
﹣5t
）×3t
，
即：S
△EFO＝﹣（t
﹣2
）t
＝，
∴当t
＝1
时，△EFO
的面积达到最大值；
（3
）在（2
）的基础上，E
、F
分别是AC
、AB
的中点，
若使D
为BC
的中点时，＝＝＝，
又∵＝＝，
∴FO
＝ED
，EO
＝FD
，EF
＝FE
，
∴△EFD
≌△FEO
（SSS
），
∵C
（2
，0
），B
（﹣8
，0
）
∴D
（﹣3
，0
）．
故：存在满足条件的D
点，其坐标为（﹣3
，0
）．
4
、如图，在平面直角坐标系xOy
中，A
（a
，0
），B
（0
，b
），C
（c
，0
）．且满足：+
（c+1
）2
+
（b+2c
）
2
＝0
．
（1
）求证：△ABC
是直角三角形；
（2
）在y
轴上是否存在点P
，使得△ABP
为等腰三角形？若存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说
明理由；
（3
）在y
轴上是否存在点D
，使得∠BCD
＝45°
？若存在，请求出点D
的坐标；若不存在，请说明理由．
