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数学归纳法导学案

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数学归纳法 导学案

【学习目标】

借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题．

【学习任务单】

一、引入

1. 本章知识结构图

2. 练习

已知数列}{na的首项11a，且满足），，，（32111naaannn，求数列}{na

的前四项，并以此猜想数列}{na的通项公式.

分析：可求得数列}{na的前四项依次是：4131211，，，；并猜想其通项公式nan1.

3. 多米诺骨牌游戏

这是一种码放骨牌的游戏，码放时保

证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下. 只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.

思考1：这个游戏中，能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？

可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：

（1） 第一块骨牌倒下;

（2） 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

思考2: 你认为条件（2）的作用是什么？

可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：

当第k块倒下时，相邻的第1k块也倒下.

这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下. 事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

思考3: 你认为上述练习中证明数列的通项公式是nan1这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

由条件容易知道，1n时猜想成立. 这就相当于游戏的条件（1）. 类比条件（2），可以考虑证明一个递推关系：

如果kn时猜想成立，即kak1，那么当1kn时猜想也成立，即111kak.

事实上，如果kak1，那么

1111111kkkaaakkk，

即1kn时猜想也成立.

这样，对于猜想，由已知1n成立，就有2n也成立；2n成立，就有3n也成立；3n成立，就有4n也成立；4n成立，就有5n也成立……所以，对任意的正整数n，猜想都成立，即数列的通项公式是nan1. 二、新课

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值）（*00Nnn时命题成立；

（2）（归纳递推）假设），（*0Nknkkn时命题成立，证明当1kn时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立.

上述证明方法叫做数学归纳法. 用框图表示就是：

三、例题讲解

例1. 用数学归纳法证明

).N(6)12)(1(21*222nnnnn

证明：（1）当1n时，左边112，

右边161)1(21)(11，

等式成立.

（2）假设当)N(*kkn时等式成立，即

)N(6)12)(1(21*222kkkkk，

那么，

2222)1(21kk

21)(6)12)(1(kkkk

6)32)(2)(1(kkk ，6]1)1(2][1)1)[(1(kkk

即当1kn时等式也成立.

根据（1）和（2），可知等式对任何*Nn都成立.

例2. 已知数列nSnn，，，，，，)13)(23(11071741411表示其前n项和. 计算4321SSSS，，，，根据计算结果，猜想nS的表达式，并用数学归纳法进行证明.

解：可求得.13410372414321SSSS，，，

由此猜想 .13nnnS

下面我们用数学归纳法证明这个猜想.

（1）当1n时，左边411S，

右边41113113nn，

猜想成立.

（2）假设当)N(*kkn时猜想成立，即

，13)13)(23(11071741411kkkk

那么1kn时，

]1)1(3][2)1(3[1)13)(23(11071741411kkkk

)43)(13(113kkkk

431kk

，1)1(31kk

所以，当1kn时猜想也成立.

根据（1）和（2），可知猜想对任何*Nn都成立.

归纳小结：

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高中数学《数学归纳法》导学案

高中数学《数学归纳法》导学案

第二章 推理与证明

2.3数学归纳法

一、学习目标

1.了解数学归纳法的原理

2能用数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题.

【重点、难点】重点是数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题，难点是数学归纳法的第二步.

二、学习过程

【导入新课】

多米诺骨牌实验:要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

（ 1）第一张牌被推倒 （奠基作用）

（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）

于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

数学归纳法步骤：

（1）证明当n取第一个值0n（例如10n或2等）时结论正确；

（2）假设当kn（*Nk，且0nk）时结论正确，证明当1kn时结论也正确。

根据（1）和（2），可知命题对从0n开始的所有正整数n都正确

例1、用数学归纳法证明：2462(1)nnn ()nN

例2：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236nnnn

【变式拓展】

在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an2＋an(n∈N*)．

(1)试求：a2，a3，a4的值；

(2)由此猜想数列{an}的通项公式an；

(3)用数学归纳法加以证明．

三、总结反思

①两个步骤，缺一不可，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据；②两个步骤中关键是第二步，即当n＝k＋1时命题为什么成立．在证n＝k＋1命题时成立时，必须利用归纳假设当n＝k时成立这一条件，再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当n＝k＋1时成立．切忌直接代入，否则当n＝k＋1时成立也是假设了，命题并没有得到证明.

四、随堂检测

1.用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝qn＋2－qq－1(n∈N*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边式子是( )

A．1 B．1＋q C．1＋q＋q2 D．1＋q＋q2＋q3

小六数学导学案《位置》

小六数学导学案《位置》

蓬安县实验小学六年级上册数学导学案 编制人：蔡 娜 时间：2010 . 08 .22

课题：《 位 置 》 NO.1-1

班级 姓名 小组 小组评价

学习目标：

1、能用数对表示具体情境中物体的位置。能在方格纸上用数对确定物体的位置。

2、通过独立思考、小组合作、展示质疑，在学习过程中，初步渗透数形结合的思想和培养空间观念。

3、全力以赴挑战困难，享受学习的快乐。

重点：用数对表示物体位置的方法。

难点：能用数对确定物体的位置。

使用说明与学法指导：

先由学生自学课本15分钟，然后20分钟独立做完学案，正课由小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，5分钟整理落实，对于有疑问的题目教师点拨、拓展。

一、自主学习：

1、自学课本P2-P3页。

思考：1）、行与列的意义。

2）、数对的意义。

3）、用数对表示物体位置的方法。

4）、数对的书写方法。

二、合作探究：

1、学习教材P2例1

通过独立思考、小组合作、汇报交流、我知道了：

1）、行与列的意义：通常我们把竖排叫做（ ），横排叫做（ ）。

2）、确定第几列、第几行的规则：确定第几列一般是（ ）数，确定第几行一般是（ ）数。按照此方法可以数出张亮在第（ ）行，第（ ）列。

3）、用数对表示物体位置的方法：先数出物体所在（ ），再数出物体所在（ ）

4）、数对的书写方法：用（ ）把代表列数和行数的数或字母括起来，用逗号把代表列数、行数的数或字母隔开。如：张亮的位置是 2、学习教材P3页例2

1）、用数对表示图上已有场馆所在位置。

数一数：数出图上各场馆在第几列，第几行的交点上。

数学广角导学案

数学广角导学案

《烙饼问题》导学案

五一小学 徐倩

学习目标：

使学生通过简单的实例，初步体会运筹思想在解决实际问题中的应用。使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。

学习重难点：

体会优化思想，寻找解决问题的最优方案。

教学准备：

多媒体课件、纸片。

学习过程：

1.导入: 煮熟一个鸡蛋大约用5分钟的时间，煮熟5个鸡蛋大约用多长时间？

学生发言,探讨所用最短时间.

2.小结：刚才的方法告诉我们同时做几件事才节省时间，我们在做一些事时，能同时做的事情越多所用的时间也就越短。

3.示例1，呈现研究问题

师：妈妈准备做自己最拿手的烙饼（多媒体出示例1图）

（1）你从画面上得到哪些数学信息？

（2）想一想，如果只烙一张饼，需要多长时间？你是怎样想的?

（3）如果要烙两张饼，最快要用几分钟？你是怎样想的?

（4）学生回答后师总结：我们烙两张饼的时候，可以同时烙两张饼的正面和反面，所用时间是 分钟。（教师边叙述，课件出示表格，并逐一显示表格内容。）

4.自主设计方案

(1)如果爸爸、妈妈和我每人各吃一张饼，一共需要烙几张饼呢？（3张）

（2）请你们帮妈妈想一想，她应该怎样烙“才能让大家最快的吃上烙饼？”先用你们小组内准备好的圆片，摆一摆，小组的同学说一说，然后把你们的设计方案填在表格里。

饼数 烙饼的方 法 烙的次数 所用时间（分钟）

（3）展示学生不同的方案

这里是学生思维过程的展示，生成的教学资源一定很多，教师要注意倾听，同时让学生们也要注意倾听其他小组的不同方案。

生①：

生②：

初一数学上册导学案

初一数学上册导学案

1 数学学习要求：

1、每天课前自学10分钟，课后巩固20分钟。

2、导学案中粗体字为重点学习内容。需要背下来。

初一数学导学案1

【课 题】：分数乘以整数

【学习目标】理解：求一个数的几倍是多少用乘法

【重点难点】

重点：掌握分数乘以整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变的法则。

难点：适当的进行约分。

【学习过程】：

一、课前预习：列式计算：

2的3倍是多少？ 6的3倍是多少？ 8的3倍是多少？？

31的3倍是多少？ 52的3倍是多少？ 103的3倍是多少？

二、总结：求一个数的几倍用（ ）法

三、合作探究：392的含义

试一试 392 4152

8125 432

四、总结法则：分数乘以整数，用分子乘整数作分子，分母不变。能先约分的可以先约分，再计算，结果相同。

五、巩固练习：

132×0= 193×6= 114×3=

15 ×3= 12 ×4= 3× 34 =

2 六、自我检测：

（1）计算下列各题

101×5= 85×1 = 73×2=

5203 1674 7217

512 ×4＝ 26×613 ＝ 1115 ×5＝

213 ×6 ＝ 14 ×8 ＝ 12×516 ＝

42×928 ＝ 944 ×11 ＝ 65 ×15 ＝