高三数学一轮复习课时作业9：直线、平面平行的判定与性质

高三数学一轮复习

1 §8.4 直线、平面平行的判定与性质

A组 专项基础训练

(时间：40分钟)

1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )

A．AB∥CD B．AD∥CB

C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面

2．(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )

A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m.γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为( )

A．3 B．2

C．1 D．0

5．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( ) 高三数学一轮复习

2

A．①③ B．①④

C．②③ D．②④

6．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

7．(2015·青岛二模)将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．(填命题的序号)

8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.

9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

求证：(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

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3 10.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．

求证：

(1)EG∥平面BB1D1D；

(2)平面BDF∥平面B1D1H.

B组 专项能力提升

(时间：30分钟)

11．(教材改编)对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中为真命题的是( )

A．若m，n与平面α所成的角相等，则m∥n

B．若m∥α，n∥α，则m∥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m⊂α，n∥α，则m∥n

12.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．

13．(2015·昆明第一次检测)在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．

14．(2015·四川改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示． 高三数学一轮复习

4

(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；

(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论．

15.如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝26.

(1)求五棱锥A′－BCDFE的体积；

(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M的长；若不存在，请说明理由．

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5 答案解析

1．D 『充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．』

2．D 『对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．』

3．B 『l∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能l⊂β，也可能相交，故D项错．故选B.』

4．C 『①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l、m；②中l与m也可能异面；

③中 l∥γl⊂αα∩γ＝n⇒l∥n，同理，l∥m，则m∥n，正确．』

5．B 『①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，

∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图)．

④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.』

6．平面ABD与平面ABC

解析 如图，取CD的中点E，连接AE，BE.

则EM∶MA＝1∶2， 高三数学一轮复习

6 EN∶BN＝1∶2，

所以MN∥AB.

所以MN∥平面ABD，

MN∥平面ABC.

7．①③

解析 由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．

8．M∈线段FH

解析 因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)

9．证明 (1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，

所以DE∥GN，

又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN， 高三数学一轮复习

7 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，

所以平面BDE∥平面MNG.

10．证明 (1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，

易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，

由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.

(2)由题意可知BD∥B1D1.

如图，连接HB、D1F，

易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.

又B1D1∩HD1＝D1，

BD∩BF＝B，

所以平面BDF∥平面B1D1H.

11．D 『正三棱锥P－ABC的侧棱PA，PB与底面所成角相等，但PA与PB相交，应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，应排除C；因为m，n共面，设经过m，n的平面为β，因为m⊂α，所以α∩β＝m.因为n∥α，所以n∥m.』

12．(8,10)

解析 设DHDA＝GHAC＝k，∴AHDA＝EHBD＝1－k，

∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.

又∵0

13.452 高三数学一轮复习

8 解析 取AC的中点G，连接SG，BG.

易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，

故AC⊥平面SGB，

所以AC⊥SB.

因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，

则SB∥HD.

同理SB∥FE.

又D，E分别为AB，BC的中点，

则H，F也为AS，SC的中点，

从而得HF綊12AC綊DE，

所以四边形DEFH为平行四边形．

又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，

所以DE⊥HD，

所以四边形DEFH为矩形，

其面积S＝HF·HD＝(12AC)·(12SB)＝452.

14．解 (1)点F，G，H的位置如图所示．

(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：

因为ABCDEFGH为正方体，

所以BC∥FG，BC＝FG， 高三数学一轮复习

9 又FG∥EH，FG＝EH，

所以BC∥EH，BC＝EH，

于是BCHE为平行四边形，

所以BE∥CH，

又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，

所以BE∥平面ACH，

同理BG∥平面ACH，

又BE∩BG＝B，

所以平面BEG∥平面ACH.

15．解 (1)如图所示，

连接AC，设AC∩EF＝H，连接A′H.

∵四边形ABCD是正方形，AE＝AF＝4，

∴H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，

从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，

又A′H∩CH＝H，

所以EF⊥平面A′HC，且EF⊂平面ABCD，

从而平面A′HC⊥平面ABCD，

过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，

则A′O⊥平面ABCD，

因为正方形ABCD的边长为6，AE＝AF＝4，

故A′H＝22，CH＝42，

所以cos ∠A′HC＝A′H2＋CH2－A′C22A′H·CH＝8＋32－242×22×42＝12， 所以HO＝A′H·cos ∠A′HC＝2，