2 9 的最小公倍数

最小公倍数（二）

【专题导引】

最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。

【典型例题】

【C1】两位小朋友每隔不同的天数到图书馆去看书，甲每3天去一次，乙4天去一次，一个星期一，他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又在图书馆相遇？

【试一试】

1、人民公园是1路和3路公交车的起点站，1路车每隔3分钟发车一次，3路车每隔5分钟发车一次，这两路车同时发车以后，至少再过多少分又同时发车？

2、五（一）班每周五大扫除，五（二）班每6天大扫除，如果3月4日两个班的同学同一天大扫除，那么，再过多少天他们又同一天大扫除？

【C2】有一个自然数，被8除余5，被5除余2，这个自然数最小是多少？

【试一试】

1、有一个自然数，被11除余1，被5除也余1，这个自然数最小是多少？

2、一袋糖，平均分给7个小朋友或8个小朋友后，最后都余下5块，这袋糖至少有多少块？

【B1】有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？

【试一试】

1、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。那么六年级最少有多少人？

2、一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是多少？

【B2】有一批水果，总数在1000个以内，如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？

【试一试】

1、一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形。这所学校至少有多少人？

2、有一批乒乓球，总数在1000个以内，4个装一袋，5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？

【B3】一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？

求最小公倍数的方法

最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）是指两个或多个整数共有的倍数中最小的一个。求两个数的最小公倍数，一般可以通过以下几种方法：

1. 分解质因数法

首先将两个数分别分解成质因数的乘积形式，然后取每个质因数的最高次幂，最后将这些质因数相乘得到最小公倍数。

例如，求24和36的最小公倍数：

24 = 2^3 * 3^1

36 = 2^2 * 3^2

取2的最高次幂为23，3的最高次幂为32，所以24和36的最小公倍数为2^3 * 3^2 =

8 * 9 = 72。

列出两个数的倍数，然后找出第一个共同的倍数，即为它们的最小公倍数。

例如，求24和36的最小公倍数：

24的倍数有：24, 48, 72, 96, …

36的倍数有：36, 72, 108, 144, …

第一个共同的倍数是72，所以24和36的最小公倍数为72。

当两个数成倍数关系时，较大的数即为它们的最小公倍数。

例如，求12和24的最小公倍数：

由于24是12的倍数，所以24和12的最小公倍数为24。

当两个数互质时（即它们的最大公约数为1），它们的最小公倍数等于它们的乘积。

例如，求8和9的最小公倍数：

由于8和9互质，它们的最小公倍数等于8 * 9 = 72。

将两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积相乘，即可得到最小公倍数。

例如，求18和24的最小公倍数：

18 = 2 * 3^2

24 = 2^3 * 3^1 公有质因数为2和3，18的独有质因数为32，24的独有质因数为23，所以18和24的最小公倍数为2 * 3^2 * 2^3 = 2 * 9 * 8 = 144。

以上是求两个数最小公倍数的主要方法，实际应用中可以根据具体情况选择合适的方法。

习题及方法：

1. 习题：求12和18的最小公倍数。

答案：12和18的最小公倍数为36。

解题思路：首先将12和18分别分解成质因数的乘积形式，12 =

最大公约数与最小公倍数（二）

这一讲我们主要介绍最大公约数、最小公倍数的性质以及两者之间的关系。

1． 最大公约数的性质：

（1） 两个数的公约数一定是两个数的最大公约数的因数。

（2） 两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定互质。

2． 最小公倍数的性质：

（1） 两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

（2） 如果一个数c能同时被两个自然数a、b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除。或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。

3． 最小公倍数和最大公约数之间的关系：

)(baab，×］，［ba或］，［ba=)(baab，

学习例题：

例1. 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？

例2. 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210，这两个数的和是77，求这两个数。

例3. 两个自然数的和是432，它们的最大公约数是36，求这两个数。

例4. 两个数的最大公约数为21，最小公倍数为126，求这两个数。

例5. 两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公约数的差是114，求这两个自然数。

例6. 已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和为84，求这两个数。

例7. 三个三位数，它们的最大公约数是26，最小公倍数是10010，满足条件的三位数有几组？

思考与练习：

1. 两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。已知其中一个数为24，求另一个自然数。

2. 两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。

3. 两个数的和是70，它们的最大公约数是7，求这两个数是多少？

4. 两个自然数的最小公倍数是144，它们的最大公约数是24，求这两个数。

5. 两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，其中一个数是42，那么另一个数是多少？

6. 两个整数的最小公倍数是140，最大公约数是4，这两个数的和为48，这两个数分别是多少？

一、教学目标：

知识目标：掌握公倍数、最小公倍数两个概念。

能力目标：理解求最小公倍数的算理，掌握求最小公倍数的方法。

情感目标：通过学习，使学生知道分数来源于生活，又应用于生活。

教学重点：

建立公倍数和最小公倍数的概念，掌握求两个数最小公倍数的方法。

难点：用不同的方法寻找最小公倍数

二、预习学案：

一、旧知预习：

1、分别写出2和3的倍数 。

一个数的倍数有什么特点？

二、新知预习：

1、2和3的公有的倍数有哪些？最小的是哪一个？有没有最大的公有倍数？

2、用自己的话说一说什么是公倍数、最小公倍数？

【设计意图：通过旧知、新知的预习让学生整体感知本节课的学习内容，初步感知公倍数、最小公倍数。】

三、导学案：

一、汇报交流课前预习情况

1、2和3的公有的倍数有哪些？最小的是哪一个？有没有最大的公有倍数？

2、用自己的话说一说什么是公倍数、最小公倍数？

二、合作探究寻找最小公倍数的方法

1、自己用不同的方法找一找6和8的最小公倍数。（先独立学习，遇到困难可小组合作，最后在小组内交流）

2、在小组内说一说：我们找出了（ ）中找6和8最小公倍数的方法，分别是：

3、你最喜欢哪种方法？说说你的理由！

【设计意图：在本环节中充分放手，在小组内让学生自己寻找最小公倍数的方法，培养学生合作学习的能力。】

三、探究、发现规律

用自己喜欢的方法找出下面每组数的最小公倍数，看你发现了什么？

3和6 2和8 5和6 4和9 我的发现：

四、课堂检测：

1、下面的说法对吗？说出理由。

（1）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。

两个数的积一定是这两个数的公倍数。

月季每4天需要交一次水，君子兰6天浇一次，李阿姨今天同时给月季与君子兰浇了水，那么，最少多少天之后要同时给这两种花浇水？

2、爸爸、妈妈和小芳一起晨跑，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟，小芳跑一圈用6分钟。（1）如果爸爸妈妈同时起跑，至少多少分钟后两人两人在起点再次相遇？这是他们各跑了多少圈？（2）你还能提出哪些问题？