数学苏教版高一必修4_第1章1.2.2同角三角函数关系_作业
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[学业水平训练]
1．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝________．
解析：∵5，12，13为勾股数组，且α为第四象限角，
∴sin α＝－513.
答案：－513
2．化简sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ得________．
解析：原式＝sin θ（1－sin θ）－sin θ（1＋sin θ）（1＋sin θ）（1－sin θ）
＝sin θ－sin2θ－sin θ－sin2θ1－sin2θ＝－2sin2θcos2θ＝－2tan2θ.
答案：－2tan2θ
3．若sin x＋cos x＝2，那么sin4x＋cos4x的值为________．
解析：由sin x＋cos x＝2，得2sin xcos x＝1，由sin2x＋cos2x＝1，得sin4x＋cos4x＋2sin2xcos2x＝1.
所以sin4x＋cos4x＝1－12(2sin xcos x)2＝1－12×1＝12.
答案：12
4．已知sin(α－π4)＝13，则cos(α－π4)等于________．
解析：cos(α－π4)＝± 1－sin2（α－π4）＝± 1－（13）2＝±223.
答案：±223
5．已知tan α＝m(π＜α＜3π2)，则sin α＝________．
解析：因为tan α＝m，所以sin2αcos2α＝m2，
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝1m2＋1，sin2α＝m2m2＋1.
又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m＞0.
因而sin
α＝－mm2＋1 .
答案：－m1＋m2
6．已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，那么tan θ的值是________．
解析：法一：设P(x，y)是角θ终边上任一点，P到坐标原点的距离为r，则r＝x2＋y2>0，且sin θ＝yr，cos θ＝xr.由已知有y＋xr＝15 ①，即25(x＋y)2＝x2＋y2，整理并解得yx＝－34或yx＝－43 ②.因为0＜θ＜π，所以y＞0，又由②知x＜0，再由①知x＋y＞0，则|x|＜|y|.
所以－1＜xy＜0，yx＜－1.所以tan θ＝yx＝－43.
法二：由sin θ＋cos θ＝15，①
得sin θcos θ＝－1225<0，
又0<θ<π，∴sin θ>0，cos θ<0，则sin θ－cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝（sin θ－cos
θ）2＝1－2sin θcos θ
＝
1－2×（－1225）＝75.②
由①②解得sin θ＝45，cos θ＝－35，
所以tan
θ＝sin θcos θ＝－43.
答案：－43
7．化简：sin2xsin x－cos
x－sin x＋cos xtan2x－1.
解：原式＝sin2xsin x－cos x－sin x＋cos
xsin2xcos2x－1
＝sin2xsin x－cos x－cos2x（sin x＋cos x）sin2x－cos2x
＝sin2x－cos2xsin x－cos x＝sin x＋cos x.
8．已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1)2sin2α－3cos2α4sin2α－9cos2α；
(2)sin2α－3sin αcos α＋1.
解：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.
所以2sin2α－3cos2α4sin2α－9cos2α＝2tan2α－34tan2α－9
＝2×22－34×22－9＝57.
(2)因为tan α＝2，所以cos α≠0.
所以sin2α－3sin αcos α＋1＝sin2α－3sin αcos α＋(sin2α＋cos2α)＝2sin2α－3sin αcos α＋cos2α
＝2sin2α－3sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α
＝2tan2α－3tan α＋1tan2α＋1
＝2×22－3×2＋122＋1＝35.
[高考水平训练]
1．已知cos α＝tan α，则sin α＝________．
解析：因为cos α＝tan α，所以cos α＝sin αcos α，即sin α＝cos2α≥0，可得sin α＝1－sin2α，即sin2α＋sin
α－1＝0，
解得sin α＝－1±52，舍去负值，得sin α＝5－12.
答案：5－12
2．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos
θ－2cos2θ＝________．
解析：∵tan θ＝2，∴cos θ≠0
则原式可化为sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θsin2θ＋cos2θ
＝sin2θcos2θ＋sin θcos θcos2θ－2cos2θcos2θsin2θcos2θ＋cos2θcos2θ ＝tan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.
答案：45
3．已知2sin θ－cos θ＝1，3cos θ－2sin θ＝a，记数a形成的集合为A，若x∈A，y∈A，则以点P(x，y)为顶点的平面图形是什么图形？
解：联立2sin θ－cos θ＝1，sin2θ＋cos2θ＝1，解得sin θ＝0，cos θ＝－1，
或sin θ＝45，cos θ＝35.所以a＝3cos θ－2sin θ＝－3或15，
即A＝{－3，15}．
因此，点P(x，y)可以是P1(－3，－3)，
P2(－3，15)，P3(15，15)，P4(15，－3)．
经分析知，这四个点构成一个正方形．
4．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：由根与系数的关系，可得
sin θ＋cos θ＝3＋12， ①sin θ·cos θ＝m2， ②Δ＝4＋23－8m≥0. ③
(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin2θsin θ－cos θ＋cos2θcos θ－sin θ
＝sin2θ－cos2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12；
(2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，
所以sin θcos θ＝34.
又由②，得m2＝34，所以m＝32，
由③，得m≤2＋34，所以m＝32符合题意；
(3)当m＝32时，原方程变为2x2－(3＋1)x＋32＝0，
解得x1＝32，x2＝12.
所以sin θ＝32，cos θ＝12或cos θ＝32，sin θ＝12.
又∵θ∈(0，2π)，∴θ＝π3或π6.
