苏教版高中数学必修四：第1章-三角函数1.2.3(2)课时作业(含答案)

1．2.3 三角函数的诱导公式(二)

课时目标

1．借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．

1．诱导公式五～六

(1)公式五：sinπ2－α＝________；

cosπ2－α＝________.

以－α替代公式五中的α，可得公式六．

(2)公式六：sinπ2＋α＝________；

cosπ2＋α＝________.

2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．

一、填空题

1．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为______．

2．若sinα＋π12＝13，则cosα＋7π12＝________.

3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos 72π－α＝________.

4．已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值等于________．

5．若sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－m，则cos32π－α＋2sin(2π－α)的值为________．

6．代数式sin2(A＋15°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．

7．已知cosπ2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝______.

8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．

9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.

10．已知tan(3π＋α)＝2，则sinα－3π＋cosπ－α＋sinπ2－α－2cosπ2＋α－sin－α＋cosπ＋α＝________.

二、解答题

11．求证：tan2π－αsin－2π－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝－tan α.

12．已知sin－π2－α·cos－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．

能力提升

13．化简：sin4k－14π－α＋cos4k＋14π－α (k∈Z)．

14．是否存在角α，β，α∈－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 sin3π－α＝2cosπ2－β3cos－α＝－2cosπ＋β

同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．

1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．

2．诱导公式统一成“k·π2±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．

1．2.3 三角函数的诱导公式(二)

知识梳理

1．(1)cos α sin α (2)cos

α －sin α

2．异名 符号

作业设计

1．－12

解析 f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°

＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.

2．－13

解析 cosα＋7π12＝cosπ2＋α＋π12

＝－sinα＋π12＝－13.

3．－12

解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.

∴cos7π2－α＝cos32π－α＝－cosπ2－α

＝－sin α＝－12.

4．－13

解析 cosπ4＋α＝sinπ2－π4＋α

＝sinπ4－α＝－sinα－π4＝－13.

5．－3m2

解析 ∵sin(π＋α)＋cosπ2＋α

＝－sin α－sin α＝－m， ∴sin α＝m2.cos32π－α＋2sin(2π－α)

＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m.

6．1

解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)

＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.

7．－3

解析 由cosπ2＋φ＝－sin φ＝32，

得sin φ＝－32，

又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－3.

8．－23

解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)

＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]

＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)

＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)

＝－2cos(75°＋α)＝－23.

9.892

解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋12＝892.

10．2

解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.

11．证明 左边

＝tan－α·sin－α·cos－αsin2π－π2－α·cos2π－π2－α

＝－tan α·－sin α·cos

αsin－π2－αcos－π2－α

＝sin2α－sinπ2－αcosπ2－α

＝sin2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．

∴原等式成立．

12．解 sin－π2－α＝－cos α，

cos－5π2－α＝cos2π＋π2＋α＝－sin α.

∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.①

又∵sin2α＋cos2α＝1，②

①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169，

又∵α∈π4，π2，∴sin α>cos α>0，

即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，

∴sin α＋cos α＝1713，③

sin α－cos α＝713，④

③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.

13．解 原式＝sinkπ－π4＋α＋coskπ＋π4－α.

当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则

原式＝sin2n＋1π－π4＋α

＋cos2n＋1π＋π4－α

＝sinπ－π4＋α＋cosπ＋π4－α

＝sinπ4＋α＋－cosπ4－α

＝sinπ4＋α－cosπ2－π4＋α

＝sinπ4＋α－sinπ4＋α＝0；

当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则

原式＝sin2nπ－π4＋α＋cos2nπ＋π4－α

＝－sinπ4＋α＋cosπ4－α

＝－sinπ4＋α＋cosπ2－π4＋α

＝－sinπ4＋α＋sinπ4＋α＝0.

综上所述，原式＝0.

14．解 由条件，得 sin

α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②

①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③

又因为sin2α＋cos2α＝1，④

由③④得sin2α＝12，即sin α＝±22，

因为α∈－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.

当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，

所以β＝π6，代入①可知符合．

当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，

所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．