蚌埠市青少年校园足球“三级三际三段”联赛
2018-2019赛季小学男子乙组比赛
积分表（截至第五轮）
A组
队名 秦集中心校 三铺小学 高新实验 北师大附校 蓝天路小学 信湾小学 总进球 总失球 净胜球 积分 名次
秦集中心校 0:4
0 0:5
0 0:4
0 2:1
3 12:0
3 14 14 0
6 4
三铺小学 4:0
3 1:0
3 2:0
3 6:0
3 3:0
3 16 0 16 15 1
高新实验 5:0
3 0:1
0 0:2
0 7:1
3 7:0
3 19 4 15 9 3
北师大附校 4:0
3 0:2
0 2:0
3 3:1
3 3:2
3 12 5 7 12 2
蓝天路1:2 0:6 1:7 1:3 2:1 5 19 -14 3 5 小学 0 0 0 0 3
信湾小学 0:12
0 0:3
0 0:7
0 2:3
0 1:2
0 3 27 -24 0 6
蚌埠市青少年校园足球“三级三际三段”联赛
2018-2019赛季小学男子乙组比赛
积分表（截至第五轮）
B组
队名 新城实验 张台小学 龙子湖实验 李楼中心校 吴安小学 延安二路 总进球 总失球 净胜球 积分 名次
新城实验 9:0
3 5:1
3 18:1
3 4:3
3 8:0
3 44 5 39 15 1
张台小学 0:9
0 3:2
2(点） 3:0
3 1:11
0 1:2
0 5 22 -17 5 4
龙子湖实验 1:5
0 2:3
1(点） 6:1
3 0:5
0 0:5
0 7 16 -9 4 5 李楼中心校 1:18
0 0:3
0 1:6
0 0:15
0 0:3
0 2 45 -43 0 6
吴安小学 3:4
0 11:1
3 5:0
3 15:0
3 6:2
3 40 7 33 12 2
延安二路 0:8
0 2:1
3 5:0
3 3:0
3 2:6
本科高等数学10-5
1 第五节 对坐标的曲面积分
㈠本课的基本要求
了解对坐标的曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系，掌握对坐标的曲面积分的计算方法
㈡本课的重点、难点
对面积的曲面积分的概念为重点，其计算方法为难点
㈢教学内容
一．对坐标的曲面积分的概念与性质
这里假定曲面是光滑的。
通常我们遇到的曲面都是双侧的。例如由方程),(yxzz表示的曲面，有上侧与下侧之分（假定z轴铅直向上）；又例如，一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧与内侧之分。以后我们总假定所考虑的曲面是双侧的。
在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧。我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧。例如，对于曲面),(yxzz，如果取它的法向量n的指向朝上，我们就认为取定曲面的上侧；又如，对于闭曲面如果取它的法向量的指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧。这种取定了法向量亦即选定了侧的曲面，就你为有向曲面。
设∑是有向曲面。在∑上取一小块曲面s，把s投影到xoy面上得一投影区域，这投影区域的面积记为xy)(。假定s上各点处的法向量与z轴的夹角γ的余弦cos有相同的符号（即cos都是正的或都是负的）。我们规定s在xoy面上的投影xys)(为
0cos,00cos,)(0cos,)()(xyxyxys
其中0cos也就是0)(xy的情形。s在xoy面上的投影xys)(实际就是s在xoy面上的投影区域的面积附以一定的正负号。类似地可以定义s在yoz面及zox面的投影yzs)(及zxs)(。
1．引例：
流向曲面一侧的流量问题 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(给出，∑是速度场中一片有向曲面，函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP都在∑上连续，求在单位时间内流向∑指定侧的流体的质量，即流量Φ。
高 等 数 学
考研指定教材：同济大学数学系主编高等数学上下册第六版
第一章 函数与极限 7天考小题
学习内容 复习知识点与对应习题 大纲要求
第一节：映射与函数
一般章节 函数的概念,常见的函数有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.集合、映射不用看；双曲正弦,双曲余弦,双曲正切不用看
习题1－1：4,5,6,7,8,9,13,
15,16重点 1．理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立应用问题中的函数关系.
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念．
4．掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.
5．理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．
6．掌握极限的性质及四则运算法则.
7．掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法．
8．理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极第二节：
数列的极限
一般章节 数列定义,数列极限的性质唯一性、有界性、保号性 本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求,可不看,如P26例1,例2,例3,定理1,2,3的证明都不作要求,但要理解；定理4不用看
习题1－2：1
第三节：
函数的极限
一般章节 函数极限的基本性质不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等 P33例4,例5例7不用做,定理2,3的证明不用看,定理4不用看
习题1－3：1,2,3,4
第四节：
无穷大与无穷小重要 无穷小与无穷大的定义,它们之间的关系,以及与极限的关系无穷小重要,无穷大了解
例2不用看,定理2不用证明
习题1－4：1,6
第五节：
极限的运算法则掌握 极限的运算法则6个定理以及一些推论
第五节 第二类曲面积分
分布图示
★ 有向曲面的概念
★ 引例 流向曲面制定侧的流量
★ 第二类曲面积分的概念
★ 第二类曲面积的计算
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题11-5
★ 返回
内容要点
一、有向曲面：双侧曲面 单侧曲面
在科学幻想故事“一列名叫麦比乌斯的地铁”②“另一个”面上跑它的正常路线. 面对极度惊愕的市政官员, 他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性. 在经过一段时间——确切地说是十星期之后——这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累.
二、第二类曲面积分的概念与性质
定义1 设为光滑的有向曲面, 其上任一点处的单位法向量 又设
其中函数在上有界, 则函数
则上的第一类曲面积分
(5.5)
称为函数在有向曲面上的第二类曲面积分.
三、第二类曲面积分的计算法
设光滑曲面：，与平行于轴的直线至多交于一点，它在面上的投影区域为, 则.
. (5.9)
上式右端取“+”号或“-”号要根据是锐角还是钝角而定.
例题选讲
第二类曲面积分的计算法
例1 (E01) 计算曲面积分 其中是长方体
的整个表面的外侧.
解 如图(见系统演示), 把有向曲面分成六部分.除外，其余四片曲面在面上的投影值为零,因此
类似地可得
于是所求曲面积分为
例2 (E02) 计算其中是球面外侧在的部分. 解 把分成和两部分
利用极坐标
例3 (E03) 计算其中是旋转抛物面介于平面及之间的部分的下侧.
解
在曲面上，有
课堂练习
1.当是面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系?
2.计算曲面积分其中为平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
