§5.4 定积分的应用

成都工贸职业技术学院教案

课程名称 高等数学 年级 2017级 专业

授课教师 陈本锋 授课时间 学时 2

授课

题目 4-4 不定积分的应用

教学

目标

知识目标：

学习不定积分的现实生活中的应用；

能力目标：

学习不定积分的现实生活中的应用的方法

素质目标：

1.帮助学生树立正确的学习观、人生观、价值观；

2.培养学生的良好的逻辑思维能力和知识迁移能力；

3.加强工科学生的基础学习能力，弘扬工匠精神。

教学

重点

1.不定积分在几何上的应用

2.不定积分在物理上的应用

3.不定积分在其他方面的应用

教学

难点 1.不定积分在几何上的应用

2.不定积分在物理上的应用

3.不定积分在其他方面的应用

教学

方法

讲授、交流讨论

教学

准备

教案、多媒体、黑板、三角板、粉笔 教务处编制 教学过程设计

教学内容 教师活动 学生活动

一、导入新课（5分钟）

不定积分在几何上、物理上、其他方面有广泛的应用。

二、讲授新课（1）（25分钟）

1.在几何中的应用

案例l 【曲线方程】设曲线通过点(1，2)，且曲线上任一点处的切线斜率等这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。

解 设所求曲线方程为)(xfy，依题意，曲线上任一点yx，处的切线斜率为即)(xf是x2的一个原函数。x2的不定积分为

Cxxdx22

因此必有某个常数C使Cxxf2)(，即曲线方程为Cxy2曲线族中的某条。

又所求曲线通过点(1，2)，故

C12，1C

于是所求曲线为

12xy

2.在物理中的应用

案例2【结冰厚度】美丽的冰城常年积雪，滑冰场完全靠自然结冰，结冰的速度由tkdxdy（0k为常数）确定，其中y是从结冰起到时刻t时冰的厚度，求结冰厚度y关于t的函数。

解 根据题意，结冰厚度y关于时间t的函数为

其中常数C由结冰的时间确定。

如果0t时开始结冰的厚度为0，即0)0(y代入上式得0C。

图1-1 a

b O y=f(x)

x y

图1-2 a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =b i

O 1 y=f(x)

x y 定积分的应用

微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。

1 定积分的概念的提出

问题的提出

曲边梯形的面积

（如图1）所谓曲边梯形，是指由直线ax、bx（ba），x轴及连续曲线)(xfy（0)(xf）所围成的图形。其中x轴上区间],[ba称为底边，曲线)(xfy称为曲边。

不妨假定0)(xf，

下面来求曲边梯形的面积。由于cxf)(（],[bax）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点],[,21baxx ，12xx很小时，)(1xf，)(2xf间的图形变化不大，即点1x、点2x处高度差别不大。于是可用如下方法求曲边梯形的面积。

（1） 分割 用直线1xx，2xx，1nxx（bxxxan121）将整个曲边梯形任意分割成n个小曲边梯形，区间上分点为：

bxxxxxann1210

这里取0xa，nxb。区间],[ba被分割成n个小区间],[1iixx，用ix表示小区间],[1iixx的长度，iS表示第i块曲边梯形的面积，),,2,1(ni，整个曲边梯形的面积S等于n个小曲边梯形的面积之和，即

华南理工高等数学教材目录

第一章 数列与极限

1.1 数列的定义与性质

1.2 数列的极限与收敛性

1.3 极限存在准则

1.4 数列的底数与通项

1.5 数列极限的性质与运算

1.6 无穷小量与无穷大量

第二章 函数的极限与连续

2.1 函数的极限与连续的概念

2.2 函数极限的运算与性质

2.3 常见初等函数的极限

2.4 函数连续的性质和判定

2.5 积分中值定理与洛必达法则

第三章 导数与微分

3.1 函数的导数与导数的概念

3.2 导数的几何意义与物理意义 3.3 基本导数公式与导数运算法则

3.4 高阶导数与隐函数求导法

3.5 微分学中值定理与泰勒公式

3.6 高阶导数的应用

第四章 不定积分

4.1 不定积分的定义与基本性质

4.2 基本积分表与常见初等函数的积分

4.3 分部积分法与换元积分法

4.4 函数的定积分与牛顿—莱布尼茨公式

4.5 反常积分及其判定

第五章 定积分

5.1 定积分的定义与性质

5.2 可积性判定与积分中值定理

5.3 定积分的换元法与分部积分法

5.4 定积分的应用

5.5 广义积分与积分变限

第六章 多元函数微分学 6.1 二元函数的极限与连续

6.2 偏导数与全微分

6.3 隐函数与参数方程

6.4 多元函数的极限与连续

6.5 多元函数的偏导数与全微分

6.6 高阶偏导数与隐函数求导法

第七章 重积分

7.1 二重积分的概念与性质

7.2 二重积分的计算方法

7.3 二重定积分的性质与应用

7.4 三重积分的概念与性质

7.5 三重积分的计算方法

7.6 三重定积分的性质与应用

第八章 曲线与曲面积分

8.1 曲线积分的定义与性质

8.2 曲线积分的计算方法

8.3 曲线积分的物理应用 8.4 曲面积分的定义与性质

8.5 曲面积分的计算方法

8.6 曲面积分的物理应用

第九章 常微分方程

9.1 常微分方程的基本概念与解存在唯一性定理

9.2 一阶常微分方程的解法

1 章节题目 第四节、定积分换元法

内容提要 定积分的换元法：dxxfba)(dtttf)()]([

几个特殊积分、定积分等式

重点分析 利用换元公式计算定积分

难点分析 利用换元公式计算定积分时积分上下限的确定

习题布置 302P：1（双）、2（1）（2）、5、6、8

备注 2 教 学 内 容

一、换元公式

定理：假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则 有dtttfdxxfba)()]([)(.

证明:设)(xF是)(xf的一个原函数，

),()()(aFbFdxxfba

)],([)(tFt dtdxdxdFt)( )()(txf ),()]([ttf

)(t是)()]([ttf的一个原函数. ),()()()]([dtttf

a)(、b)(

)()()]([)]([FF),()(aFbF

)()()(aFbFdxxfba)()(.)()]([dtttf

注意：当时，换元公式仍成立.

应用换元公式时应注意:

1.用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.

2.求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.

例1 计算.sincos205xdxx

解：令,cosxt ,sinxdxdt 2x ,0t 0x ,1t

205sincosxdxx 015dtt 1066t .61