原子物理学(褚圣麟)完整答案

原子物理学习题解答

刘富义 编

临沂师范学院物理系

理论物理教研室 第一章 原子的基本状况

1.1 若卢瑟福散射用的粒子是放射性物质镭C ' 放射的，其动能为 7.68 106 电子伏

特。散射物质是原子序数 Z  79 的金箔。试问散射角  150 所对应的瞄准距离b多大？

解：根据卢瑟福散射公式：

M v 2 K c o t  4   0 b  4   0 b 2 Z e 2 Z e 2 2

得到：

Z e2ctg 7 9  (1 .6 0  1 01 9 ) 2 ctg 1 5 0 1 5 b  2 2  3 .9 7  1 0 ( 4  8 .8 5  1 0  1 2 )  (7 .6 8  1 06  1 0 1 9 ) 米 4 K 0 式中 K  1 Mv 2 是 粒子的功能。  2

1.2 已知散射角为 的粒子与散射核的最短距离为

2 Z e 2 1 1 r m ( 4  ) ( 1 ) ，试问上题粒子与散射的金原子核 M v 2 s i n 2 0

之间的最短距离rm 多大？

解：将 1.1 题中各量代入rm 的表达式，得：

1 2 Z e2 1 (1 rm i n ( 4  Mv2 ) ) s i n 0 2

 1 9 2 4  7 9  (1 .6 0  1 0 ) 1  9  1 0 9  (1 ) 7 .6 8  1 0 6  1 .6 0  1 0  1 9 sin 7 5 3 .0 2  1 0  1 4 米

1.3 若用动能为 1 兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可

能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个 e电荷而质量是质子的

两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？

解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180 。当入射粒子的动能全部转化为两

粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。

根据上面的分析可得：

2 2 1 Ze Z e M v 2  K ，故有： r m i n p 2 4  0 r m i n 4   0 K p

7 9  (1 . 6 0  1 0  1 9 ) 2  1 . 1 4  1 0  1 3 米  9  1 0 9 1 0 6  1 . 6 0  1 0  1 9

由上式看出：rmin 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代

替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为1.14 1013 米。

1.4 钋放射的一种粒子的速度为1.597 107 米/秒，正面垂直入射于厚度为107 米 、

密度为1.932 104 公斤/ 米3 的金箔。试求所有散射在  90 的粒子占全部入射粒子数

的百分比。已知金的原子量为197 。

解：散射角在    d 之间的粒子数dn与入射到箔上的总粒子数 n 的比是：

d n  N td n

其中单位体积中的金原子数： N   / mAu   N0 / AAu

dn '   dn  nNt d而散射角大于 900 的粒子数为： 2

d n ' N t   d 所以有： n 2

c o s 2 Ze 2  N 1 2 d) 2  ( ) 2  1 8 0  0  t  ( 9 0 2 s i n 3 AA u 4  0 M u

2

cos d sin I  180 2 d  2 180 2  1 等式右边的积分： 9090sin 3 sin 3 2 2

故

' 2 d n N0 1 ) 2  ( 2 Z e ) 2  t  ( Mu2 n A 4 Au 0

 6  4  8 . 5  1 0  8 . 5  1 0 0 0

即速度为1.597 107 米 / 秒 的粒子在金箔上散射，散射角大于 90 以上的粒子数大约是

4 0 8.5 10 。 0

1.5 粒子散射实验的数据在散射角很小（  15）时与理论值差得较远，时什么原

因？

答：粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而 粒子通过金属箔，经过

好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的 角，那是多次小角散射

合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以， 粒

子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。

1.6 已知 粒子质量比电子质量大 7300 倍。试利用中性粒子碰撞来证明：粒子散射“受

电子的影响是微不足道的”。

  证明：设碰撞前、后粒子与电子的速度分别为：v , v', 0, v' 。根据动量守恒定律，得： e

 '  ' Mv   Mv mve

m  '  ' 1 由此得： v …… (1) v ' ve ve M 7300

又根据能量守恒定律，得： 1 1 ' 2 1 ' 2 2 Mv   Mv   mv e 2 2 2

2 m ' 2 ……（2） 2 ' v  v  ve M

将（1）式代入（2）式，得：

  v' 2  7300 (v  v ' ) 2 v2

  整理，得：v2 (7300  1)  v' 2 (7300  1)  2  7300 v v' cos   0   7300  1

  上式可写为： 7300（ v  v ' ) 2  0    v  v '  0  即粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。

1.7 能量为 3.5 兆电子伏特的细粒子束射到单位面积上质量为1.05 10 2 公斤 / 米2

的银箔上，粒子与银箔表面成 60 角。在离 L=0.12 米处放一窗口面积为 6.0 10 5 米2

的计数器。测得散射进此窗口的 粒子是全部入射粒子的百万分之 29。若已知银的原子

量为 107.9。试求银的核电荷数 Z。

解：设靶厚度为t' 。非垂直入射时引起粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚

20º

度t' ，而是t  t' / sin 60 ，如图 1-1 所示。

因为散射到 与  d 之间d 立体 角内的粒子数 dn 与总入射粒子数 n 的比为： 60°

d n t ,

 N td (1) n

而d 为： t 60º

图 1.1 2 d 1 ) 2 ( ze ) 2 d   ( （2） 2

sin 4 4 0 Mv

2

把（2）式代入（1）式，得：

2 ddn  Nt ( 1 ) 2 ( ze ) 2 ……（3） 2 sin 4 40 Mv n

2

式中立体角元d  ds/ L2 ,t  t' / sin 600  2t' / 3,  200

N 为原子密度。 Nt' 为单位面上的原子数， Nt'  / m   (A / N ) 1 ，其中是单位 Ag Ag 0

面积式上的质量；m Ag 是银原子的质量； AAg 是银原子的原子量； N0 是阿佛加德罗常数。

将各量代入（3）式，得：

2 dn 2 N 0 1 ze d) 2 ( ) 2 ( 2 4 n A g 4  0 Mv 3 sin A

2

由此，得：Z=47

1.8 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为

1010 米的球形原子内，如果有能量为106 电子伏特的粒子射向这样一个“原子”，试通过

计算论证这样的粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于 900 的散射。这个

结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影

响可以忽略）。

解：设 粒子和铅原子对心碰撞，则 粒子到达原子边界而不进入原子内部时的能量有

下式决定：

1 Mv2  2Ze 2 / 4 R  3.78 10 16 焦耳  2.36 103电子伏特 0 2

由此可见，具有106 电子伏特能量的粒子能够很容易的穿过铅原子球。粒子在到达原子

表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：

F  2Ze 2 / 4 R2 和F  2Ze 2 r/ 4 R 3 。可见，原子表面处 粒子所受的斥力最大，越 0 0

靠近原子的中心粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使粒子发生散射最强的垂

直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。设粒子擦原子表面而过。此时受

力为 F  2Ze 2 / 4 R2 。可以认为 粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作 0

用，即作用距离为原子的直径 D。并且在作用范围 D 之内，力的方向始终与入射方向垂直，

大小不变。这是一种受力最大的情形。

根据上述分析，力的作用时间为 t=D/v, 粒子的动能为 1 Mv 2  K ，因此， 2

v  2K / M ，所以，t  D/ v  D M / 2K

t 根据动量定理： Fdt  p  p 0  Mv  0 0  