高三圆锥曲线知识点

高中数学圆锥曲线知识点总结

一、椭圆

1、平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹称为椭圆．

即：|)|2(,2||||2121FFaaMFMF。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．

2、椭圆的几何性质：

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程 222210xyabab 222210yxabab

范围 axa且byb bxb且aya

顶点 1,0a、2,0a

10,b、20,b 10,a、20,a

1,0b、2,0b

轴长 短轴的长2b 长轴的长2a

焦点 1,0Fc、2,0Fc 10,Fc、20,Fc

焦距 222122FFccab

对称性 关于x轴、y轴、原点对称

离心率 22101cbeeaa

二、双曲线

1、平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数（小于12FF）的点的轨迹称为双曲线．

即：|)|2(,2||||||2121FFaaMFMF。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

2、双曲线的几何性质：

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程 222210,0xyabab 222210,0yxabab

范围 xa或xa，yR ya或ya，xR

顶点 1,0a、2,0a 10,a、20,a

轴长 虚轴的长2b 实轴的长2a

焦点 1,0Fc、2,0Fc 10,Fc、20,Fc

焦距 222122FFccab

对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

离心率 2211cbeeaa

渐近线方程 byxa ayxb

第八章 圆锥曲线方程

一、椭圆：

（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：212FFa表示椭圆； 212FFa表示线段21FF； 212FFa没有轨迹；

（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

标准方程 )0(12222babyax )0(12222babxay

图 形

cba,,的几何意义 长轴长aAA221，短轴长bBB221，焦距cCC221，222bac

顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121bBbBaAaA ),0(),,0()0,(),0,(2121aBaBbAbA

焦 点 )0,(),0,(21cFcF ),0(),,0(21cFcF

对称性 关于x轴，y轴，原点对称，短轴为b2，长轴为a2

离心率 )10(eace（离心率越大，椭圆越扁）

通 径 22ba（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于||21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：aPFPF2||||21与aPFPF2||||12（||221FFa）表示双曲线的一支。

||221FFa表示两条射线；||221FFa没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

标准方程 )0,0(12222babyax )0,0(12222babxay

图 形

顶 点 )0,(),0,(21aAaA ),0(),,0(21aAaA

对称性 x轴，y轴，原点；虚轴为b2，实轴为a2

焦 点 )0,(),0,(21cFcF ),0(),,0(21cFcF

圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结

圆锥曲线是由平面上直线与一个定点及一定曲线相交而形成的曲线，分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。在高三数学中，学习圆锥曲线是必不可少的。以下为圆锥曲线的相关知识点总结。

一、坐标系下的圆锥曲线方程式

1.圆的方程

所谓圆，是指平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。设圆心为

$O({{x_0},{y_0}})$，半径为 $r$，则圆的方程为

$${(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} = {r^2}$$

3.双曲线的方程

二、圆锥曲线的性质

（1）对圆上任意一点，作圆的切线，它垂直于切点与圆心的连线。

（2）两个数轴上投影相等的两点与圆心之间的距离相等（称为圆的两点定理）。

（3）圆心为原点的圆，其半径为 $r$，横轴方程为 $x^2 + y^2 = r^2$，纵轴方程为

$x^2 + y^2 = r^2$。

2.椭圆

（1）椭圆的两个焦点与中心 $O$ 在一条直线上。

（2）椭圆的上下两支称为上半部和下半部，椭圆与 $x$ 轴的交点称为顶点。

（4）椭圆的到两个焦点分别距离和为定值，等于两倍的圆长轴长。

（2）双曲线的两支曲线称为左半支和右半支，曲线的两个交点称为顶点，与左右两支连接的两条直线称为渐近线。

4.抛物线

（1）抛物线是关于顶点对称的曲线。

（2）抛物线与横轴交于顶点 $O$。

（3）抛物线与纵轴垂直。 三、曲线的参数方程

如果把圆的中心移到原点，半径为 $r$，则圆的参数方程为

$$\begin{cases}

x=r\cos\theta\\

y=r\sin\theta

\end{cases}$$

如果双曲线的中心移到原点，且 $a>b$，则双曲线的参数方程为

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考纲要求

（1）圆锥曲线

① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；

③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；

④ 了解圆锥曲线的简单应用；

⑤ 理解数形结合的思想。

（2）曲线与方程

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。

基本知识回顾

（1）椭圆

① 椭圆的定义

设F1，F2是定点（称焦点），P为动点，则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a为定值，且2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹称为椭圆,符号表示：|PF1|+|PF2|=2a（2a＞| F1F2|)。

② 椭圆的标准方程和几何性质

焦点在x轴上的椭圆 焦点在y轴上的椭圆

标准方程

22ax+22by=1（a＞b＞0） 22ay+22bx=1（a＞b＞0）

范围 x[,][,]aaybb [,][,]xbbyaa

图形

对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点

顶点 1212(,0),(,0)(,0),(,0)AaAaBbBb 1212(0,),(0,)(0,),(0,)AaAaBbBb

轴 长轴A1A2的长为：2a 短轴B1B2的长为：2b

焦距 F1F2=2c 2 / 46

离心率

e,(0,1)cea

a,b,c关系 222abc

例题

例1：椭圆22192xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4PF，则2||PF ；12FPF的大小为 。

变式1：已知12F、F是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，p为椭圆C上的一点，且21PFPF。若12PFF的面积为9，则b 。

例2：若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（ ）