数学圆锥曲线知识点高三

高考数学中的圆锥曲线基本概念及相关性质

圆锥曲线是高中数学中非常重要的一个概念，与其相关的知识点在高考中也是经常出现的考点。本文将介绍圆锥曲线的基本概念以及其相关性质，希望能对正在备考高考数学的同学有所帮助。

一、圆锥曲线的基本概念

圆锥曲线是由圆锥面和一个平面相交而形成的曲线。根据平面与圆锥面相交的位置和方向不同，可以分为四种圆锥曲线，分别是椭圆、抛物线、双曲线和圆。

1. 椭圆

椭圆是圆锥曲线中比较常见的一种曲线。它可以由一个平面沿着圆锥面的两个平行直母线截取而成。椭圆有两个焦点和一条长轴和短轴，其特点是离焦点的距离之和等于常数，即椭圆的离心率小于1。

2. 抛物线

抛物线是另一种常见的圆锥曲线。它可以由一个平面沿着圆锥面的一条直母线截取而成。抛物线有一个焦点和一条准轴，其特点是离焦点的距离等于离准轴的距离。

3. 双曲线

双曲线和椭圆和抛物线不同，它可以由一个平面沿着圆锥面的两个非平行直母线截取而成。双曲线有两个焦点和两条渐近线，其特点是离焦点的距离之差等于常数，即双曲线的离心率大于1。

4. 圆

圆是圆锥曲线中最简单的一种曲线，它可以由一个平面与圆锥面的一个直母线相交而得到。圆是只有一个焦点的特殊情况，它的离心率等于0。

二、圆锥曲线的相关性质

除了基本概念之外，圆锥曲线还有一些重要的性质，在高考中也是需要掌握的知识点。

1. 椭圆的性质

（1）椭圆的两个焦点与中心三点共线；

（2）椭圆的长轴与短轴的长度之比等于焦距之和与焦距之差的比；

（3）椭圆的离心率等于焦距之长除以长轴的长度。

2. 抛物线的性质

（1）抛物线的对称轴垂直于准轴；

（2）抛物线的焦点在准轴上的中点。

3. 双曲线的性质

（1）双曲线的两条渐近线一定是不相交的；

（2）双曲线的离心率等于距离两个焦点最远的点与焦点之间的距离之比。

4. 圆的性质

（1）圆的任何直径经过圆心；

（2）圆的内切和外切线垂直于半径并且相切于切点。

圆锥曲线在高考数学中的应用

圆锥曲线在高考数学中的应用是一个广为人知的话题。圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，它在几何、代数、物理等多个领域中都有着广泛的应用，同时也是高中数学中的重要知识点之一。在高考中，圆锥曲线不仅是数学选择题中常出现的题型，而且在解析几何中也有重要的应用和指导意义。

一、圆锥曲线的定义和分类

在空间直角坐标系中，对于任意给定的两个定点 F1 和 F2 ，以及一个正实数 e（离心率），设点 P(x, y，z) 在平面 F1PF2 上，且点 P 到 F1、F2 两点的距离之比为 e，则称 P(x, y，z) 所在的曲线为椭圆，当 e=1 时，称为双曲线。

以直角坐标系中的 x 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为扁平椭圆，离心率为 1 的曲线称为各向同性圆；

以直角坐标系中的 y 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为长圆，离心率为 1 的曲线称为抛物线；

直角坐标系中过 y 轴的某一条直线称为对称轴，离心率为 e 的曲线称为双曲线，当 e=1 时，曲线即为平行于对称轴的两条渐进线的双曲线。

二、圆锥曲线在高考中的应用

1. 选择题中的圆锥曲线

圆锥曲线作为数学中重要的知识点之一，也是高考数学试卷中出现频率较高的题型之一。在选择题中，考生通常需要根据所给出的条件来确定所求函数方程的类型，根据曲线的性质推算出符合条件的答案。

例如：

已知点 A(2,0)、B(0,1) 和抛物线 C:y=mx^2+mx-1 的顶点在直线

AB 上，且交点为 D。则一个满足 D(-2,-3) 的曲线方程式为(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆

这道问题主要考察考生对于曲线类型的判断能力和对于直线方程、抛物线特征等知识点的掌握能力。

2. 解析几何中的圆锥曲线

在解析几何中，圆锥曲线是几何学中不可或缺的内容之一。其中，椭圆、双曲线和抛物线最为常见，它们的数学模型、特征方程以及轨迹方程等知识点在高考中都有一定的出现概率。

2.1 圆锥曲线

要点精讲

1．涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理；

2．涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。

3.思维方式：等价转换思想，数形结合

特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系

4．距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系. 数量关系用定义来进行转换

5．以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之．

典型例题

1．抛物线xy22上的一点P(x , y)到点A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为)(af，求)(af的表达式

【解析】

由于xy22,

而|PA|=2222222()222xayxaxayxaxax

=222(1)xaxa=2[(1)]21xaa,其中x0

(1)a1时,当且仅当x=0时, )(af=|PA|min=|a|.

(2)a>时, 当且仅当x=a-1时, )(af=|PA|min=21a.

所以)(af=||,121,1aaaa

2 求两条渐近线为02yx且截直线03yx所得弦长为338的双曲线方程

【解析】 设双曲线方程为x2-4y2=.

联立方程组得: 22x-4y=30xy,消去y得，3x2-24x+(36+)=0

设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(11,xy),B(22,xy)，那么：1212283632412(36)0xxxx

那么：|AB|=2221212368(12)83(1)[()4](11)(84)333kxxxx

解得: =4,所以，所求双曲线方程是：2214xy

21 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A B两点，（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值 （2）是否存在这样的实数a，使A B两点关于直线12yx对称？说明理由

高中数学圆锥曲线知识点

高中数学圆锥曲线知识点

圆锥曲线，在高考中一直作为压轴大题的形式出现，其实圆锥曲线很简单，那么从哪些地方下手才能轻松学好圆锥曲线呢？下面是店铺整理的高中数学圆锥曲线知识点，欢迎阅读！

圆锥曲线之所以叫做圆锥曲线，是因为它是从圆锥上截出来的。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到了圆；把平面渐渐倾斜，得到了椭圆；当平面倾斜到"和且仅和"圆锥的一条母线平行时，得到了抛物线；用平行圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一边，以圆锥顶点做对称圆锥，则可得到双曲线。

在高中的学习中，平面解析几何研究的两个主要问题，一个是根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；而另一个就是通过方程，研究平面曲线的性质。

那么接下来，我们就就着这两个问题来说啦~

（一）曲线与方程

首先第一个问题，我们想到的就是曲线与方程的这部分内容了。

在学习圆锥曲线这部分内容之前，我们最早接触到的就是曲线与方程这部分内容。在这部分呢，我们要注意到的是几种常见求轨迹方程的方法。在这里呢，简单的说一下，一共有四种方法：

1、直接法

由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的`方程，这种方法叫直接法。

2、定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法。这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。 3、相关点法

若动点P（x，y）随已知曲线上的点Q（x0，y0）的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。这种方法称为相关点法（或代换法）。

4、待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求

（二）椭圆，双曲线，抛物线