【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章教案

课题 锐角三角函数——正弦

一、教学目标

1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

2、能根据正弦概念正确进行计算

3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。

二、教学重点、难点

重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．

难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

三、教学过程

（一）复习引入

操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）

小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。

你想知道小明怎样算出的吗？

师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；

实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。

这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。

下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦

（二）实践探索

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？

分析：

问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB

根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即 341米

10米

可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？

分析：在Rt△ABC 中，∠C=90o，由于∠A=45o，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 ，故

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.

一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，那么与有什么关系

分析：由于∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，

，即

结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。

认识正弦

如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c。

师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA。

板书：sinA＝AaAc的对边的斜边 （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=31）

注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；

2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF

3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。 提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？

（三）教学互动

例1如图,在中, ,求sin和sin的值.

解答按课本

（四）巩固再现

1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙ ﹚

A．43 B．34 C．53 D．54

2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）

A．35 B．45 C．34 D．43

3．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC的长是( )

A．13 B．3 C．43 D．5

四、布置作业

课题 锐角三角函数——余弦和正切

一、教学目标

1、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．

2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．

二、教学重点、难点

重点：理解余弦、正切的概念

难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算

三、教学过程

（一）复习引入

1、口述正弦的定义

2、（1）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．

（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=5 ，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）

C B A  E

O A B C

D · ABCDA．53

B．23

C．255 D．52

（二）实践探索

一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，那么''''BACBABBC与有什么关系？

分析：由于∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，所以Rt△ABC∽Rt△'''CBA，

''''BAABCBBC，即''''BACBABBC 结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即caBB斜边的邻边cos，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即baAAA的邻边的对边tan，锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.

（三）教学互动

例2:如图,在中, ,BC=6,53sinA求cos和tan的值.

解:∵ABBCAsin,∴10356sinABCAB又86102222BCABAC

例3:(1)如图(1), 在中，,,,求的度数.

(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求.

（四）巩固再现

1.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）

A．B．C．D．

2. 在中，∠C＝90°，如果54cosA那么的值为（）

A．53B．45C．43D．34

3、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4）， 则cos＝_____________. 4、P81 练习1、2、3

四、布置作业

P85 1

课题 锐角三角函数间的关系

一、教学目标

1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．

2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系

3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系

4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况

二、教学重点、难点

重点：三个锐角三角函数间几个简单关系

难点：能独立根据三角函数的定义推导出三个锐角三角函数间几个简单关系

三、教学过程

（一）复习引入

叫学生结合直角三角形说出正弦、余弦、正切的定义

（二）实践探索

1、从定义可以看出sinA与cosB有什么关系？sinB与cosA呢？满足这种关系的A与B又是什么关系呢？

2、利用定义及勾股定理你还能发现sinA与cosA的关系吗？

3、再试试看tanA与sinA和cosA存在特殊关系吗？经过教师引导学生探索之后总结出如下几种关系：

（1）若90AB 那么sinA=cosB或sinB=cosA

（2）22sincos1AA（3）sintancosAAA

4、在正弦中它的值随锐角的增大而增大还是随锐角的增大而减少？为什么？余弦呢？正切呢？

通过一番讨论后得出：

（1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)；

（2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)；

（3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。 （三）教学互动 (1)判断题：

i 对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1 （ ）

ii 对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2 （ ）

iii 如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2I （ ）

iv 如果cosα1＜cosα2，那么锐角α1＞锐角α2 （ ）

（2）在Rt△ABC中，下列式子中不一定成立的是______

A．sinA＝sinB B．cosA＝sinB C．sinA＝cosB D．sin(A+B)＝sinC

（3）在390,sin.cos,sintan5ABCCAABA中,求和的值

A．0°＜∠A≤30° B．30°＜∠A≤45°

C．45＜∠A≤60° D．60°＜∠A＜90°

四、布置作业

课题 30°、45°、60°角的三角函数值

一、教学目标

1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。

2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式

二、教学重点、难点

重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式

难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程

三、教学过程

（一）复习引入