2021届安徽省江南十校高三下学期3月一模联考文科数学试题及答案 word版

一、单选题二、多选题1. 已知双曲线，其左右焦点分别为，，点P 是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），，若，，则的内切圆的半径为（ ）A．B．C．D．2. 已知函数()，若集合含有个元素，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 函数恒过定点A．B．C．D．4. 已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．5. 在各项均为正数且递增的等比数列中，，则（ ）A ．96B ．192C ．384D ．7686. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断的是（ ）A ．平均数相同B ．中位数相同C ．众数不完全相同D ．丁的方差最大不正确7. 设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的棱长为2B．该正方体的体对角线长为C．空心球的内球半径为D．空心球的外球表面积为8. 函数的图像如图，把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图像，下列结论正确的是（ ）安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题(高频考点版)安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A．B．函数的单调递减区间为，C ．函数在区间上单调递增D ．直线是函数的一条对称轴9. 已知多项式，则__________，___________．10. 已知，，若，则______.11.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是__________.12. 已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________．13. 因函数的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．(1)证明对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．14. （1）如图（1），在圆O 的内接四边形ABCD 中，，，，求四边形ABCD 的面积．（2）如图（2），设圆O 的内接四边形的边长分别为a ，b ，c ，d ，试证明其面积为．15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求的取值范围；（2）若是方程的两个根，且，求的值.16.设函数是定义在R 上的减函数，且对任意的，都有，已知.（1）求证：是奇函数；（2）解不等式.。

2021年高三3月高考模拟 文科数学 含答案本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：1.锥体的体积公式：，其中是锥体的底面积，是锥体的高;2.方差],)()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=其中为的平均数. 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则集合 A ．{3，4，6}B ．{3，5}C ．{0，5}D ．{0，2，4}2. 设复数（是虚数单位），则复数的虚部为 A ． B. C. D.3. 若，，，则 A ． B.C. D. 4. 设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A．2 B．3C．4D．56. 已知两条直线，平行，则A．-1 B．2C．0或-2 D．-1或27. 若抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为A. B. C. D.8. 等差数列中，，则它的前9项和A．9 B．18 C．36D．729. 已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间A. B.C. D.10. 函数的图象大致为11. 一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为A. B. C. 20 D. 4012. 若函数的图象与x轴交于点A，过点A的直线与函数的图象交于B、C两点，则A．-32 B．-16 C．16D．32第Ⅱ卷（非选择题共90分）第11题图二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年教育支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加____________万元．14. 已知实数x，y满足，则的最小值是.15. 下列命题正确的序号为.①函数的定义域为;②定义在上的偶函数最小值为;③若命题对，都有，则命题，有;④若，，则的最小值为.16. 若双曲线渐近线上的一个动点P总在平面区域内，则实数的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17. (本小题满分12分)在中，边、、分别是角、、的对边，且满足. （1）求；（2）若，，求边，的值.18. (本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示.（1）如果x =7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果x =9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率.19. (本小题满分12分)正项等比数列的前项和为，，且的等差中项为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20. (本小题满分12分)已知在如图的多面体中，⊥底面，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．21. (本小题满分12分)已知椭圆的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M(-a,b)、N(a,b)、F2和F1组成了一个高为，面积为的等腰梯形.（1）求椭圆的方程;（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求F2AB面积的最大值.22. (本小题满分14分)已知函数，其中是自然对数的底数，．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求的单调区间；（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围. x 829 乙组第18题图A DFEB G C第20题图xx 年3月济南市高考模拟考试文科数学参考答案1.C2.B3.A4.B5.C6.D7.A8.B9.D 10.A 11.B 12.D 13.0.15 14. 15.②③④ 16. 17. 解：（1）由正弦定理和，得， …………………2分 化简，得即， …………………4分故.所以. …………………6分 （2）因为， 所以所以，即. （1） …………………8分 又因为,整理得，. （2） …………………10分 联立（1）（2） ，解得或. …………………12分18. 解（1）当x =7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所以平均数为 …………………3分 方差为.27])912()99()98()97[(4122222=-+-+-+-=s ……………6分 （2）记甲组3名同学为A 1，A 2，A 3，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中人选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 3，A 1B 4，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 3，A 2B 4，A 3B 1，A 3B 3，A 3B 4， B 1 B 3，B 1B 4，B 3B 4. …………………9分 用C 表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C 中的结果有5个，它们是：A 1B 4，A 2B 4，A 2B 3，A 2B 1，A 3B 4，故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率A DFEBGC为 …………………12分 19. 解：（1）设等比数列的公比为，由题意，得，解得. …………………4分所以. …………………5分 （2）因为， …………………6分 所以，121275322123222141+-+-++++=n n n nn T ， …………………8分 所以12127532212121212143+--+++++=n n n n T…………………11分 故. …………………12分20. 证明：（1）∵，∴． ………………1分 又∵,是的中点，∴， ………………2分 ∴四边形是平行四边形，∴ ． ………………4分 ∵平面，平面，∴平面． ………5分 （2）连结，四边形是矩形， ∵，⊥底面，∴平面，平面， ∴．…………8分 ∵，∴四边形为菱形，∴， …………………11分 又平面，平面，∴平面． …………………12分21. 解：（1）由条件，得b=，且，所以a+c=3. …………………2分 又，解得a=2，c=1.所以椭圆的方程. …………………4分（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x=my -1，直线与椭圆交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立方程 ，消去x 得, ，因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交.…………………6分 = ……………………8分22222221221)311(14)43(1124)(+++=++=-+=m m m m y y y y…………………10分令,设,易知时,函数单调递减, 函数单调递增 所以 当t==1即m=0时，取最大值3. …………………12分 22. 解：（1）因为，所以， ………………1分所以曲线在点处的切线斜率为. ………………2分 又因为，所以所求切线方程为，即． ………………3分 （2），①若，当或时，； 当时，.所以的单调递减区间为，；单调递增区间为. …………………5分 ②若，，所以的单调递减区间为.…………………6分③若，当或时，； 当时，.所以的单调递减区间为，；单调递增区间为. …………………8分 （3）由（2）知，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值.…………………10分 由，得.当或时，；当时，.所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增. 故在处取得极大值，在处取得极小值.…………………12分 因为函数与函数的图象有3个不同的交点， 所以，即. 所以.…………14分。

卜人入州八九几市潮王学校“江南十校〞2021届高三数学3月联考试题文〔扫描〕数学〔文科〕参考答案1.B ．22(2)342(2)(2)55i i ii i i ++==+--+，应选B 2.C ．{}{}0,22A x x B x x =>=-≤≤，{}=2x 2,R C B x x ><-或{}=2,R A C B x x ∴⋂>应选C3.A:320,6p m m ⨯-==2:55116q m m m --==-由得或，应选A 4.A ．由程序框图可知，最后输出的215sinsin sin0444p πππ=+++=，应选A5.C．由等比数列性质可知363961291512,S S S S S S S S S ----，，，也成等比，易求出131415151232a a a S S ++=-=,应选C6.A ．(22),(12)P Q ，，,设2(1),20l y k x kx y k -=--+-=：即，圆C ：22(1)(1)9x y ++-=，圆心-1,1C （）到l的间隔d 2870k k ∴++=，17,k =--或应选A7.D ．(11),(32),AC BD =-=∴，，AC 在BD 方向上的投影为13AC BDBD-⨯===,应选D8.D ．1()sin cos cos 2f x a x x x x =++=sin()2cos()33a x x ππ+++ ()()sin 2cos 3g x f x a x x π∴=-=+，由题意得(g x ）图象关于直线4x π=对称， ()(0),22g g a π∴=∴=，应选D9B ．()0()g x f x x a=⇔=--，当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，()(1)f x f x =+=，故把y =图象在[)0,1上的局部向左平移1个单位得到()f x 在[)1,0-上的图象，再把()f x 在[)1,0-上的图象每次向左平移1个单位连续平移就得到()f x 在R 上的图象，再作出y x a =--的图象，由图象可得1a -<，1a >-，应选B10.D ．易证1//A BD 面11B D C 选，∴①正确；11//A B D C ，1OC D ∠就是异面直线1AB 与1OC 所成的角．1,BD OC BD CC ⊥⊥，BD ∴⊥面1OCC ，1BD OC ∴⊥，又11122OD BD C D ==，16OC D π∴∠=，∴②正确；设棱111111,,,,,B D B C BB AB AD DD 的中点分别为,,,,,E F G H M N ，那么过点,,E F G 的正方形截面就是正六边形EFGHMN，26S ==，∴③正确；连结1A P ，易证1AA AP ⊥，又1PQ AC ⊥，11,PA PQ PA PA ==，1111,Rt A PA Rt A PQ A A AQ ∴∆≅∆=，∴Q为1A C 上定点，又PA PQ =，点P 在线段AQ 的中垂面上，∴点P 在AQ 的中垂面与正方形ABCD 的交线上，∴④正确；应选Dx R ∈0+≠．12.52原式15sin(30)12322=-++=-+=． 13.4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21yx +可看作点()1,0P -与点(),x y 连线斜率的2倍，画出可行域，由4260x x y =⎧⎨+-=⎩ 得()4,2A -,由30260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,4B ,2,2,5PA PB k k =-=∴21y x +的取值范围为4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 14.()1,9-以O 为中心，边长为2的正方形上一共有格点18a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()1,1 以O 为中心，边长为4的正方形上一共有格点216a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()2,2 以O 为中心，边长为6的正方形上一共有格点324a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()3,3………以O 为中心，边长为2n 的正方形上一共有格点8n a n =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为(),n n ，由前n个正方形上格点的总数123n S a a a =+++…81624n a +=+++…(88)83502n n n ++=≥得9n ≥．当9n =时，前9个正方形上格点的总数99(872)3602S +==，且蚂蚁在第9个正方形〔边长为18〕上爬过的最后一个格点为()3609,9A ，故蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为()1,9-．15.②③⑤对①：2512d ==，∴不合题意；对②：设直线1:2l y x b =+与曲线29:24C y x x =-+-相切，把2y x b =+代入2924y x x =-+-得2904x b ++=，由90404b ⎛⎫∆=-+= ⎪⎝⎭，得94b =-，此时直线1l 与l的间隔1d ==>，符合题意；对③：圆心()0,5C到直线l的间隔d ，∴圆C 上的点到l 11->，符合题意；对④：设曲线C 上斜率为2的切线的切点为()00,P x y ，'x y e =，00'2,x x x k y e =∴===0ln 2x ∴=，()ln 2,3P ∴，切线：()32ln 2y x -=-，即：232ln 20x y -+-=，∴切线与C的间隔d ()ln 41,2∈，()3ln 41,2∴-∈2,1d >∴<，不合题意；对⑤：设切点为()00,P x y ，'1y x =，'012,x x k y x =∴===012x ∴=，1,2ln 22P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，1,d ∴>符合题意。

文科数学巢湖一中合肥八中淮南二中六安一中南陵中学舒城中学太湖中学天长中学屯溪一中宣城中学滁州中学池州一中阜阳一中灵璧中学宿城一中本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答.第Ⅰ卷(选择题共60分)一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若集合{}22A x x =-<<，{}2280B x x x =∈+-<N ，则A B ⋂=（）A.{}1B.{}0,1 C.{}1,2 D.{}2,1,0,1--2.3i 523i -+的虚部为（）A.113 B.913 C.113- D.21133.“共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市10名共享单车用户一个月内使用共享单车的次数进行统计，得到茎叶图如图所示，现有如下说法：①该组数据的极差为34；②该组数据的中位数为27；③该组数据的平均数为32，则上述说法正确的个数是（）A.0B.1C.2D.34.“4m <”是“函数()22ln f x x mx x =-+在()0,+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知实数x ，y 满足20234x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则z x y =-的最小值为（）A.1-B.12-C.1D.46.已知123x =，0.30.5y =，0.2log 0.5z =，则（）A.y z x <<B.x z y <<C.z x y<< D.z y x<<7.运行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为2，3，输出的S 的值为111，则判断框中可以填（）A.2n ≤B.2n <C.1n <D.0n <8.已知α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，则tan α=（）A.24B.33D.9.已知函数()()1,02ln ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪-<⎩，则函数()()y f f x =的零点个数为（）A.1B.2C.3D.410.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在棱AD 上，过点P 作该正方体的截面，当截面平行于平面11B D C时，线段AP 的长为（）B.1D.3211.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的左支上，过点M作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则当2MF MN +取最小值10时，12F NF △面积的最大值为（）A.25B.252C.509 D.100912.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1226a a =-=，21,,n n n a a a ++为等差数列，则2020S =（）A.2020142+B.2018142+ C.2020142-D.2018142-第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知平面向量()2,a λ=r ，()3,6b =-r ，()4,2c =r ，若//a b r r，则()a cb +⋅=r r r ___________.14.曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线与曲线x y e =-相切，则a =___________.15.已知抛物线28x y =的焦点为F ，准线l 交y 轴于点M ，过抛物线上一点P 作PQ l ⊥交l 于点Q ，若83PF =，则QPF ∠=___________.16.在正三棱锥S ABC -中，6AB BC CA ===，点D 是SA 的中点，若SB CD ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为___________.三､解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.随着冬季的到来，是否应该自觉佩戴口罩成为了人们热议的一个话题.为了调查佩戴口罩的态度与性别是否具有相关性，研究人员作出相应调查，并统计数据如表所示：认为冬季佩戴口罩十分必要认为冬季佩戴口罩没有必要男性300200女性150150（1）判断是否有99.9%的把握认为佩戴口罩的态度与性别有关？（2）若按照分层抽样的方法从男性中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰有1人认为冬季佩戴口罩十分必要的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k 0.1000.0500.0100.0010k 2.7063.8416.63510.82818.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin 02c A C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，6c =.（1）求ABC △外接圆的面积；（2）若c =，13AM AB =uuur uuu r，求ACM △的周长.19.如图（1）所示，平面四边形ABCD 由等边ACD △与直角ABC △拼接而成，其中AB AC ⊥，1tan2CBA ∠=，E 为线段AD 的中2点，ACD △的面积为.现将ACD △沿AC 进行翻折，使得平面DAB ⊥平面DAC ，得到的图形如图（2）所示.（1）求证：AB AD ⊥；（2）求点D 到平面BCE 的距离.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点1,2P ⎛-- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线32y x m =-+(0m ≠且 m ≠交椭圆C 于A ，B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，探究：12k k 是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由.21.已知函数()()11ln f x a x x =+++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0x >，求证：()()2211xe a xf x xe+++>.请考生在第22､23题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()0θθρ=∈R .（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）当0,62ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求OM ON +的取值范围.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()()()2log 214f x x x mm =-+--∈R .（1）若函数()f x 定义域为R ，求m 的取值集合M ；（2）在（1）的条件下，正数a ，b 满足a ，b M ∈，求证：144914a b ab +<+.文科数学一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)题号123456789101112答案BDCABDCACABD1.B 由题意得，()(){}{}2400,1B x x x =∈-+<=N ，∴{}0,1A B ⋂=.故选B.2.D 由题意得，()()()()3i 523i 3i 56i 91015i 121i 23i 23i 23i 131313---+-+===-+++-，故其虚部为2113，故选D.3.C 该组数据的极差为34，中位数为29.5，平均数为()13012754323519223210+⨯-----+++++=，观察可知，①③正确，故10选C.4.A 若()22ln f x x mx x =-+在()0,+∞上单调递增，则()140f x x m x =-+≥'，即14x m x+≥，则4m ≤，故选A.5.B 作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，其中7,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()8,4B ，()2,1C ，作直线l ：y x =，平移直线l ，当其经过点A 时，z 有最小值，即min 71422z =-=-，故选B.6.D ∵1x =>，0.300.50.50.51y <=<=，0.255log 0.5log 2log 0.5z ==<，∴z y x <<，故选D.7.C 运行该程序，第一次，8S =，3a =，8b =，3n =；第二次，19S =，8a =，19b =，2n =；第三次，46S =，19a =，46b =，1n =；第四次，111S =，46a =，111b =，0n =，此时输出S ，故判断框中可以填1n <，故选C.8.A ∵α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，∴()2312sin sin 2αα-+=，∴26sin sin 10αα--=，解得1sin 3α=-或1sin 2α=(舍去)，∴22cos 3α==-，∴2tan 4α=，故选A.9.C 令()f x t =，当()0f t =时，解得12t =或1t =-.在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y =-，12y =的图象如图所示，观察可知，()y f x =与1y =-有1个交点，()y f x =与12y =有2个交点，则()()y f f x =的零点个数为3，故选C.10.A 如图，过点P 作11D B ，1B C 的平行线，分别交棱AB ，1AA 于点Q ，R ，连接QR ，BD ，易知PQR △是等边三角形，且为截面，则21322PQ ⋅=，解得2PQ =，∴22AP PQ ==.故选A.11.B 由题意得，211222MF MN MF a MN F N a b a +=++≥+=+，当且仅当M ，1F ，N 三点共线时取等号，∴2MF MN +的最小值为210b a +=，∴1022ab ≥，即252ab ≤，当且仅当25b a ==时，等号成立，∴12111252222F NF F NOS S NF NO ab ==⨯⋅=≤△△，故选B.12.D 由题意得，212n n n a a a ++=+，故112111122n nn n n n nn n a a a a a a a a a +++++++--==---，且219a a -=-，故11192n n n a a -+⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，则()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L 123011111112969661222212n n n n ----⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⨯-+-++-+=-⨯+=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭L 则{}n a 是首项为6，公比为12-的等比数列，故11126411212nn n S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=⨯=--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，则2020202020181141422S ⎡⎤⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故选D.二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在题中的横线上.)13.30-由题意得，123λ=-，解得4λ=-，故()6,2a c +=-r r，故()30a cb +⋅=-r r r .14.2-对ln y a x =-求导得1y x'=-，∴曲线ln y a x =-在点()1,a 处的切线方程为()1y a x -=--，即1y x a =-++.设1y x a =-++与e x y =-相切于点()00,e x x -，对e x y =-求导得e x y '=-，∴0e 1x -=-，∴00x =，即切点为()0,1-.它在切线1y x a =-++上，∴11a +=-，∴2a =-.15.120︒(或23π)由题意得，4MF =，由抛物线的定义知823P PQ PF y ==+=，∴23P y =，∴P x =±Rt FMQ △中，222643FQ FMMQ =+=.∵PFQ △为等腰三角形，∴2221cos 22PF PQ FQQPF PF PQ∠+-==-⋅，∴120QPF ∠=︒.16.54π设ABC △的中心为G ，连接SG ，BG ，∴SG ⊥平面ABC ，∴SG AC ⊥，又AC BG ⊥，∴AG ⊥平面SBG ，∴AC SB ⊥，又SB CD ⊥，∴SB ⊥平面ACS .∵S ABC -为正三棱锥，∴SA ，SB ，SC 两两垂直，故外接球直径为=故三棱锥S ABC -外接球的表面积为2364542ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.三､解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.（1）()228003001501502007.61910.828500300450350K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有99.9%的把握认为佩戴口罩的态度与性别有关.（2）男性中认为冬季佩戴口罩十分必要抽取3人，记为a ，b ，c ，男性中认为冬季佩戴口罩没有必要抽取2人，记为A ，B ，故随机抽取2人，所有基本事件为(),a b ，(),a c ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，(),A B ，其中事件“恰有1人认为冬季佩戴口罩十分必要”包含的基本事件为：(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B .故所求概率63105P ==.18.（1）∵sin sin 02c A C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin cos 0c A C =，∴sin sin cos 0C A A C +=，∵sin 0A ≠，∴tan C =0C π<<，∴23C π=，∴ABC △外接圆的半径112sin 2c R C =⋅=⨯∴ABC △外接圆的面积为12π.（2）由正弦定理得，3sin 12sin 2b b CB c⨯==，∵03B π<<，∴6B π=，∴6A B C ππ=--=.在ACM △中，由余弦定理得，2222cos CM AM AC AM AC A =+-⋅⋅，解得2CM =，则ACM △的周长为4+.19.（1）∵DAC △为等边三角形，且E 为DA 的中点，∴CE DA ⊥.∵平面DAB ⊥平面DAC ，平面DAB ⋂平面DAC DA =，CE ⊂面DAC ，∴CE ⊥平面DAB ，∵AB ⊂平面DAB ，∴AB CE ⊥.又AB AC ⊥，CE AC C ⋂=，AC ，CE ⊂平面DAC .∴AB ⊥平面DAC ，∵AD ⊂平面DAC ，∴AB AD ⊥.（2）∵AB AC ⊥，AB AD ⊥，AC AD A ⋂=，∴AB ⊥面ACD .∵AB AC ⊥，2AC =，1tan 2CBA ∠=，∴24AB AC ==.∵DAC △是边长为2的等边三角形，且E 为DA 的中点，∴CE DA ⊥，sin 60CE DC =︒=∴DEC △的面积1131222DEC S DE CE =⋅=⨯⨯△.由（1）知，CE ⊥平面DAB ，∴BE ⊂平面DAB ，∴CE BE ⊥，∴BEC △的面积为1151222ECB S CE BE =⋅=⨯=△.设点D 到平面BCE 的距离为h ，∵B CDE D BEC V V --=，∴1133CDE ECB S AB S h ⋅=⋅△△，即1143232h ⨯⨯=⨯，解得41717h =，即点D 到平面BCE 的距离为41717.20.（1）由题意得，2222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）联立223214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2210x m +-=，其中()22234140m m m ∆=--=-+>，解得22m -<<.又0m ≠且 m ≠，∴2m -<<0m <<或02m <<.设()11,A x y ，()22,B x y，则12x x +=，2121x x m =-，∴121212222211x m m k k x x ++-++⋅=⋅++()()212121212342221x x m x x m x x x x ⎛⎛-++++ ⎝⎭⎝⎭=+++()22314222m m m ⎛⎫⎛--+⋅++ ⎪ =2131444m m +==即12k k 是定值，且定值是14.21.（1）由题意得，()f x 的定义域为()0,+∞，()()1111a x f x a x x ++'=++=.当1a ≥-时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在()0,+∞上单调递增.当1a <-时，令()0f x '>，解得11x a <-+；令()0f x '<，解得11x a >-+，∴()f x 在10,1a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭上单调递减.（2）方法一：要证()()22e 11e x a x f x x +++>，即证22e ln 0e xx x⋅->.令()22e ln e xg x x x =⋅-，则()()22221e e e x x x g x x--'=.令()()221e e x r x x x =--，则()22e e x r x x '=-，易得()r x '在()0,+∞上单调递增，且()212e e 0r '=-<，()223e 0r '=>，∴存在唯一的实数()01,2x ∈，使得()00r x '=，∴()r x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.∵()00r <，()20r =，∴令()0r x >，解得2x >；令()0r x <，解得02x <<，∴()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，∴()()21ln 20g x g ≥=->.综上，22e ln 0e x x x ⋅->，即()()22e 11exa x f x x +++>.方法二：要证()()22e 11e x a x f x x +++>，即证22e ln e x x x ⋅>，即证222e ln e x x x x⋅>.令()2e x g x x =，则()()23e 2e x x x g x x x-'==，易得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，∴()()2min e 24g x g ==，∴22222e 2e 1e e 42x x ⋅≥⨯=.令()ln x h x x =，则()21ln x h x x -'=，易得()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，∴()()max 11e e 2h x h ==<.综上，222e ln e x x x x ⋅>，即()()22e 11exa x f x x +++>.22.（1）∵曲线C的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，消去α，得()(2211x y -+-=，即22230x y x +--+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式得22cos sin 30ρρθθ--+=，即为曲线C 的极坐标方程.（2）将0θθ=代入曲线C的极坐标方程，得2002cos sin 30ρρθθ--+=.设()10,M ρθ，()20,N ρθ，则12002cos ρρθθ+=+，∴120002cos 4sin 6OM ON πρρθθθ⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭.∵0,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴02,633πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴(04sin 46πθ⎛⎫⎤+∈ ⎪⎦⎝⎭.即OM ON +的取值范围为(4⎤⎦.23.（1）∵函数()f x 的定义域为R ，∴2140x x m -+-->，即214m x x <-+-在x ∈R 上恒成立.设()214g x x x =-+-，则()135,213,4235,4x x g x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，给合函数()g x 的图象可知()min 1722g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴72m <，即集合72M m m ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭.（2）由题意得，702a <<，702b <<，要证144914a b ab +<+，即证()44914ab a b +>+，即证()449140ab a b +-+>，即证()()27270a b -->，又702a <<，702b <<，∴()()27270a b -->，故144914a b ab +<+得证.。

绝密★启用前2021年高三3月第一次模拟数学（文）试题含答案注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足：，则A． B． C． D．2．设函数的定义域为，则A. B. C. D.3．设平面、，直线、，，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A. B.C. D.5．如图(1)所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值相等的所有x值分别为A.1、2、3B.0、1C.0、1、3D.0、1、2、3、4 6．一简单组合体的三视图如图（2）所示，则该组合体的体积为图（1）俯视图图（2）140图（3）x0.01500频率/组距0.00254060801001200.0100（km/h ）0.0050 A. B. C. D.7．已知向量、满足，且，则与的夹角为A. B. C. D. 8．若、满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.9．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线C 的离心率为A. B. C. D.10．从中任取一个数x ，从中任取一个数y ，则使的概率为 A ． B ． C ． D ．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．若点在函数的图象上，则tan 的值为 ．12．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如 图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 度为60 km/h ～120 km/h ，则该时段内过往的这100辆机 动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x 值为 ． 13．对于每一个正整数，设曲线在点（1,1）处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则= ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题) ,选B.10.如右图，使是图中阴影部分，故所求的概率 .二、填空题：11．；12．15、0.0175； 13．-2； 14．（1，3）; 15. . 解析：12.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有（辆），x 的值=[1(0.00250.00500.01000.0150)20]200.0175-+++⨯÷=. 13．由得，则曲线在点（1,1）处的切线方程为，令得，，14．把直线的参数方程化为普通方程得，把曲线的参数方程化为普通方程得，由方程组解得交点坐标为（1，3） 15．DE 为OB 的中垂线且OD=OB ，为等边三角形，，PSHOD BC OC OB ==-== 16．解：（1）由解得，所以函数的定义域为----------------------------------2分sin 2()2sin 2cos 2sin cos cos sin )sin().sin 444x f x x x x x x x x πππ=+=+=+=+--4分的最小正周期------------------------------------------------6分（2）解法1：由()2cos sin12cos sin 0,f ααααα=⇒+=⇒=---------------------8分且，----------------------------------------------10分 ∴5())124126f ππππαα+=++==--------------------------------12分解法2：由得，代入得，------------8分∴，又，------------------------------10分 ∴5())124126f ππππαα+=++==--------------------------------12分17.解：（1）在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率.--------------------------------------5分 （2）根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”.-----------------------------------6分“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”.其概率为，---------------------------------------------------------------8分 “此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”.其概率为，------------------------------------------------10分所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为.P=.------------------12分 18．（1）证明：∵底面ABCD 是正方形∴,----------------------------------1分 ∵SA ⊥底面ABCD,面，∴,-----------------------------------2分 又∴平面,∵不论点P 在何位置都有平面,∴．------------------------------------------------------------------3分 （2）解：将侧面SAB 绕侧棱SA 旋转到与侧面SAD 在同一平面内，如右图示，则当B 、P 、H 三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段BH 的长，----------------------------------------4分 设,则，在中，∵,∴----6分在三角形BAH 中，有余弦定理得：2222cos()BH AB AH AB AH πα=+-⋅-∴．--------------------------8分(3) 连结EH ，∵,,∴，∴，-------------------------------------------9分 又∵,∴，∴，∴，-----------------------------------------10分∴, ∴,----------------------------------------------------12分 又∵面AEKH ，面AEKH , ∴面AEKH. ----------------------------13分∵平面AEKH 平面ABCD=l ， ∴--------------------------------------------14分 19.解：（1）将曲线C 的方程化为-2分可知曲线C 是以点为圆心，以为半径的圆．---------------------------4分（2）△AOB 的面积S 为定值．-----------------------------------------------------5分证明如下：在曲线C 的方程中令y=0得，得点，--------------------------6分 在曲线C 的方程中令x=0得，得点，--------------------------7分 ∴（为定值）．-----------------------------------9分 （3）∵圆C 过坐标原点，且∴圆心在MN 的垂直平分线上，∴，，--------------------------11分 当时，圆心坐标为，圆的半径为， 圆心到直线的距离，直线与圆C 相离，不合题意舍去，------------------------------------------------13分∴，这时曲线C 的方程为．------------------------------14分 20．解：（1）由,得. -------2分由于是正项数列,所以.--------------------------------------------3分 由可得当时，，两式相减得，---------------5分∴数列是首项为1，公比的等比数列，--------------------------7分 （2）∵------------------------------------------8分方法一：2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-∴+=-=-+-+-----------------------------------------------11分21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+----------------------------------------------------------------14分【方法二：11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++------------------11分2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++------------------------------------14分】21. 解：（1）∵，由曲线在点处的切线平行于轴得，∴------------------------------------------------------2分 （2）解法一：令，则，----------------------3分 当时，，函数在上是增函数，有，-------------4分 当时，∵函数在上递增，在上递减，对，恒成立，只需，即．------------------------5分 当时，函数在上递减，对，恒成立，只需，而，不合题意，-------------------------------------------------6分 综上得对， 恒成立，．----------------------------------7分 【解法二：由且可得---------4分 由于表示两点的连线斜率，由图象可知在单调递减，--------5分 当时，即-------------------------------------------------------7分】 （3）证法一：由 得()()()()1222121212111ln ln 222p x p x ax x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭------------------------------------------------8分2121212124ln 222x x x x x x p a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭-------------------------------------9分由得-------①-----10分又∴ ------------------------------------②---------------------11分 ∵ ∴∵ ∴ -----------------------③------------------12分 由①、②、③得()222121212121212121422x x x x x x a x x a x x x x x x ++⎛⎫+++++ ⎪+⎝⎭即．------------------------------------------------14分 【证法二：由()()2221212121212121114ln ln ln 2222x x x x a x x x x a x x x x ⎛⎫++⎛⎫=+++++--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭--------9分221212121212()()ln )4()2x x x x x x a x x x x --+=+++-------------------------------10分∵是两个不相等的正数，∴ ∴-------------------------------------11分 ∴，又∴，即．---------------14分】25289 62C9 拉}C23225 5AB9 媹23503 5BCF 寏 37429 9235 鈵20377 4F99 侙!33772 83EC 菬( 40832 9F80 龀38599 96C7雇33857 8441 葁。

3．已知向量a,b 满足(1,)(3,1)m +=-=，a b a b ．若a b ，则实数m =（）A ．13-B ．13C ．3D ．3-【解析】由于(1,)(3,1)m +=-=，a b a b ，所以11(2,),(1,)22m m +-==-a b ，又因为a b ，所以112022m m -+⋅+=，解得13m =．【答案】B ．4．已知函数π()3sin(2)(||2f x x ϕϕ=+<的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，则ϕ为A ．π6B ．π6-C ．π3D ．3π-【解析】将函数()3sin(2)(||0)f x x ϕϕ=+<的图像向右平移6π个单位长度后得到()g x 的图象，则()sin(32)g x x πϕ=-+，因为()g x 是偶函数，所以2023k ππϕπ⨯-+=+，k Z ∈，即56k πϕπ=+，k Z ∈，又||2πϕ<，令1k =-，可得6πϕ=-．【答案】B ．5．酒驾严重危害交通安全．为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100ml 血液中酒精含量达到2079mg ∼为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2/mg ml ．假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则他能驾驶需要的时间至少为（精确到0.001．参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A ．7.963小时B ．8.005小时C ．8.022小时D ．8.105小时【解析】由已知得：1.20.80.2x ⨯<，所以lg 6lg 2lg313lg 213lg 2x +>=--即0.30100.47710.77818.022130.30100.0970x +>=≈-⨯，所以8.022x >【答案】C6．已知函数()1ln f x x x=-在点(1,1)-处的切线与曲线2(1)2y ax a x =+--只有一个公共点，则实数a 的取值范围为A ．{1,9}B ．{01,9}，C ．{1,9}--D ．{0,1,9}--【解析】由211'()f x x x =+得'(1)2f =所以切线方程是2(1)123y x x =--=-①若0a =，则曲线为2y x =--，显然切线与该曲线只有一个公共点；②若0a ≠，则223(1)2x ax a x -=+--即2(3)+1=0ax a x +-由2(3)40a a ∆=--=，即21090a a -+=得19a a ==或综上：019a a a ===或或【答案】B7．已知圆228120C x y x +-+=:，点M ．过原点的直线与圆C 相交于两个不同的点,,A B 则MA MB +的取值范围为A ．)2-B ．(⎤⎦C ．()4-D ．(6⎤⎦【解析】设AB 的中点为点P ，则2MA MB MP +=，由垂径定理知CP OP ⊥，则可得点P 的轨迹E 为以OC 为直径的圆（圆C 内部的圆弧）其方程为22:(2)4(34)E x y x -+=<≤，则可得点M 到轨迹E 上点P 的距离取值范围为(⎤⎦，从而2MA MB MP +=的取值范围为(6⎤⎦．【答案】D8．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111n n a S n a +=+=，，11n n b a =+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为A ．1B ．32C ．76D ．2【解析】当1n =时，2112a a =+=当2n ≥时，11n n a S n -=+-所以11(1)n n n n a a S n S n +--=+-+-，即121n n a a +=+所以112(1)n n a a ++=+则{1},2n a n +≥为等比数列，21, 1321,2n n n a n -=⎧=⎨⋅-≥⎩即2n ≥时，2132n n a -+=⋅所以2211117117(1)23226326n n n T --=++++=-⨯<，得76M ≥【答案】C二、多项选择题9．箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况资料的统计图，因形似箱子而得名．在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数(AQI)箱线图．AQI 值越小，空气质量越好；AQI 值超过200，说明污染严重．则(第9题图1)(第9题图2)A ．该地区2023年5月有严重污染天气．B ．该地区2023年6月的AQI 值比5月的AQI 值集中．C ．该地区2023年5月的AQI 值比6月的AQI 值集中．D ．从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月．【解析】对于A 选项可以从图2所示中5月份有AQI 值超过200的异常值得到判断（也可以通过异常值结合观察5月份的平均值高于中位数辅助判断）；对于B ，C 选项，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的AQI 值比6月的AQI 值集中；对于D 选项，虽然5月有严重污染天气，但从图2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，AQI 值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月．【答案】ACD10．已知抛物线2:2E y px =的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上的点P （原点除外）反射，则反射光线平行于x 轴．经过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线E 于,B C 两点，经过点P 且垂直于x 轴的直线交x 轴于Q ；抛物线E 在点P 处的切线l 与,x y 轴分别交于点,M N ，则下列说法成立的是A ．2PQ BF QF =⋅B ．2PQ BC OQ =⋅C ．PF MF=D ．FN l⊥【解析】对于A ，B 选项，设点(,)P x y ，而PQ =，而,2p BF p QF x ==-，2pBF QF p x ⋅=-，则A 选项错误，又2,BC p OQ x ==，则B 选项正确；对于C 选项，如下图所示，过点P 作x 轴的平行线RH ，与抛物线E 的准线KH 交于点H ，又题意所给抛物线的光学性质可得SPR MPF ∠=∠，又SPR PMF ∠=∠，所以MPF PMF ∠=∠，从而PF MF =；对于D 选项，因为SPR HPM ∠=∠，所以MPF HPM ∠=∠，即PM 为HPF ∠的角平分线，又由抛物线定义知PH PF =，结合PF MF =，可得菱形MFPH ，而y 轴经过线段FH 中点，从而PM 与y 轴的交点即为点N ，所以FN l ⊥．【答案】BCD11．已知点S,A,B,C的球面上，ABC ∆是边长为SA BC ⊥，SA =，则三棱锥S-ABC 的体积可以为（）A ．33BC．D．【解析】方法一：如图，设三棱锥S -ABC 的外接球球心为O ，ABC ∆的中心为1O ，连接1,,AO SO AO ，延长1AO 交BC 于D ，连接SD ，则D 是BC 中点，所以,BC AD ⊥又BC SA ⊥，所以BC SAD ⊥平面，又因为BC ABC ⊂平面，所以SAD ABC ⊥平面平面，过S 作AD 的垂线，垂足为G ，则SG ABC ⊥平面，在1Rt AOO中，11OO ==，设,AG d SG h ==,过O 作SG 的垂线，垂足为E ．若1A O 、在SG 的同侧，则在Rt SAG 中有2218d h +=，在Rt SOE 中有22(2)(1)5d h -+-=，联立得35215h d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或33h d =⎧⎨=⎩，所以三棱锥S-ABC 的或；若1A O ，在SG 的异侧，同理可解得35215h d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或33h d =⎧⎨=⎩，与2d <矛盾（舍去）．【答案】BC ．方法二：设三棱锥S -ABC 的外接球球心为O ，连接AO 并延长交大圆于F ，过S 作AD 的垂线，垂直为G ，可证得SG ABC⊥面（1）若点S 在直线AF 的上方，设,SAF FAG αβ∠=∠=，则11tan ,tan 32αβ==所以tan tan tan tan()11tan tan SAG αβαβαβ+∠=+==-，4SAG π∠=可得sin 32SG AS SAG =⋅∠==113ABC V S SG ∴=⋅=（2）若点S 在直线AF 的下方，则11tan ,tan 32αβ==所以tan tan 1tan tan()1tan tan 7SAG βαβααβ-∠=-==+，2sin 10SAG ∠=可得23sin 105SG AS SAG =⋅∠==213ABC V S SG ∴=⋅=BC ．【答案】BC ．三、填空题12．从0,2,4,6中任意取1个数字，从1,3,5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数．在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为．【解析】若0在，则三位数有122312C A =；若0不在，则三位数有12333354C C A =．所以没有重复数字的三位数有66个，其中偶数的个数是124324C A =个，所以在所组成的三位数中任选一个，是偶数的概率是2446611=【答案】411．13．若函数()2f x +为偶函数，()15y g x =+-是奇函数，且()()22f x g x -+=，则()2023=f ______．【解析】由()2f x +为偶函数，得()2(2)f x f x -=+，由()15y g x =+-是奇函数，得()15(1)5g x g x +-=--+，即(2)()10g x g x -+=由()()22f x g x -+=，得()()22f x g x -=+相加得：(2)()6()f x f x -+=- *用2x +代换x 得(2)()6f x f x ++=-从而(4)(2)6f x f x +++=-故()4()f x f x +=所以4是()y f x =的一个周期故()2023=(3)(1)f f f =-结合() *式得(3)(1)3f f =-=-【答案】3-．14．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线2222:1x y E a b-=(00)a b >>，的右焦点F 的直线在第一、第二象限交E 的两渐近线分别于,M N 两点,且OM MN ⊥．若23OM MN ON +-=，则双曲线E 的离心率为．【解析】如图，设,2FOM MON αθ∠=∠=，因为OM MN ⊥，易知FM b =，tan baα=，所以OM a =；又23OM MN ON a +-=，所以13MN ON a -=-，在直角OMN ∆中，利用勾股定理可得43MN a =，所以4tan 23θ=，求得1tan 2θ=（负值舍去），也即1tan 2tan b a αθ===四、解答题15．已知,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C sin cos A a C b c +=+．(1)求A ;(2)若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点,B C 顺时针旋转15,30︒︒，旋转后相交于点D (如图所示)，且30DBC ∠=︒，求AD ．15.【解析】sin cos A a C b c +=+sin sin cos sin sin C A A C B C +=+又因为sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C=+=+sin cos sin sin C A A C C =+······································································（3分）由于sin 0C >cos 1A A =+，即1sin()62A π-=，又5666A πππ-<-<，则66A ππ-=，因此3A π=．······················································（6分）（2）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC AC ABC BAC =∠=∠在BDC ∆中，由于45BDC ︒∠=由正弦定理得sin sin BCCD DBC BDC=∠=∠·························································（10分）于是，在ACD ∆中，由余弦定理得：3AD =················（13分）16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，1,PB AB ==2AD PD ==,60BAD ∠= .（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若二面角P BD A --的大小为120 ，点E 在棱PD 上，且2PE ED =，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.【解析】（1）证明：由余弦定理得BD ==所以222AD AB BD =+，222PD PB BD =+因此AB BD ⊥，PB BD⊥又因为,,AB PB B AB PB ⋂=⊂平面PAB 所以BD ⊥面PAB 又因为BD ⊂平面ABCD 故平面PAB ⊥平面ABCD·····················································································（6分）（2）由于AB BD ⊥，PB BD⊥所以二面角P BD A --的平面角为PBA ∠，即PBA ∠0120=·······································（7分）在平面PAB 内过点B 作AB 的垂线，交AP 于F 由平面PAB ⊥平面ABCD ，得BF ⊥平面ABCD以B 为坐标原点，,BA BD BF ，为,,x y z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-则1(0,0,0),((,0,22B DC P --，····················································（9分）设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，由于(BC =- 13(,0,22BP =- 则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01022x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =1y z ==所以n =···································································································（11分）设直线CE 与平面PBC 所成角为θ25(,)3636CE CP PE CP PD =+=+=- ||sin |cos ,|||||CE n CE n CE n θ⋅∴=<>=⋅2335=因此直线CE 与平面PBC所成角的正弦值为5．························································（15分）17．某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm 就视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4.用样本估计总体.（1）试估计100件产品中不合格品的件数(精确到1)；（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱中产品均不放回地随机抽取进行检验且箱与箱之间检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受一箱产品：如果抽检的第1件产品为不合格，则拒绝整箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整箱产品，否则拒绝整箱产品.若整箱产品通过检验后生产方获利1000元；整箱产品被拒绝，则亏损89元，求该100箱产品利润的期望值.附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827,P Z μσμσ-+≈≤≤(22)0.9545,P Z μσμσ-+≈≤≤(33)0.9973.P Z μσμσ-+≈≤≤【解析】（1）分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数μ和σ，得产品的尺寸误差2(0,2)X N ，(4)(22)0.9545≤=-+≈P x P Z μσμσ≤≤，因此估计这批产品的合格率为95.45%．因此样本的不合格品率为10.95450.0455-=，所以估计100件产品中有1000.0455 4.555⨯=≈件不合格品．···········································(6分)（2）方法一：设1A =“抽检的第1件产品不合格”，2A =“抽检的第2件产品不合格”，则一箱产品被拒绝的事件为112()A A A ⋃．因此1121121121(())()()()(()P A A A P A P A A P A P A P A A ⋃=+=+59559710010099990=+⨯=．·····················································································(10分)设100箱产品通过检验的箱数为Z ，则893(100,)990Z B ．所以100箱利润1000(89)(100)10898900W Z Z Z =+--=-因此平均利润893()(10898900)1089()890010891008900990E W E Z E Z =-=-=⨯⨯-89330=（元）．·················································································(15分)方法二：记一个整箱产品被拒绝为事件A ，则295210097()1990C P A C =-=···································(10分)设整箱产品的利润为随机变量ξ，则97(89)990P ξ=-=，97893(1000)1990990P ξ==-=所以97893884367()891000990990990E ξ=-⨯+⨯=设100箱该产品的利润为随机变量X ，则100X ξ=所以()(100)100()89330E X E E ξξ===（元）．··························································(15分)18．已知矩形ABCD中，AB BC ==，,,,E F G H 分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O 为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，如图建立平面直角坐标系．直线,HF BC 上的动点,R S 满足,()OR OF CS CF λλλ==∈R．(1)求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程；(2)当3λ=-时，过点R 的直线m （与x 轴不重合）和点P 的轨迹交于,M N 两点，过点N 作直线:3l x =-的垂线，垂足为点Q ．设直线MQ 与x 轴交于点K ，求KMN ∆面积的最大值．【解析】（1）设点P x y (,)，0R R x (,)，S S y )由OR OF λ=得R x =，即0R ,)由CS CF λ=得1S y )λ=-，即1S ))λ-当0λ≠时，直线ER y x :=-①直线GS y:=+②由①②消去参数λ得213y y x(+-=-即221062x y x()+=≠；当0λ=时，得交点0P(；综上：直线ER与直线GS交点P的轨迹方程：221062x y((,+=不含点···························(6分)（2）当3λ=-时，点20R(,)-，过点R的直线m可设为2x ty t(=-≠代入22162x y+=得22236ty y()-+=即22(3)420t y ty+--=设1112(,),(,)M x y N x y则12122242,33ty y y yt t-+==++由题得2(3,)Q y-则直线1221:(3)3y yMQ y y xx--=++所以令0y=得212111212(3)33ky x y x yxy y y y-+--=-=--·················································································(8分)又因为11121222x ty ty y y y,()=-=-+，代入上式得：122121112211212121()23(2)3232ky y y yy ty y ty y y yxy y y y y y++-----+-===---1212555222y yy y-+==--所以直线MQ过定点5(,0)2K-·······················································································(12分)由于121212115122224KMNS KR y y y y y y∆=-=-+-=-而12y y-=·····································(14分)令21(1)n t n=+≥12y y-=≤当且仅当2n =，也即1t =±等号成立此时4KMN S ∆=所以KMN ∆面积的最大值为4····················································································(17分)19．已知函数()(),x f x x a e x a R =--∈，()f x '是()f x 的导函数.（1）证明：()f x '在(,)-∞+∞上有唯一零点0x ；（2）设函数221()(1)(1)2x g x x ax e x x =-+-++.①当4,2e a -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，求函数()g x 的单调区间；②当4(,2e a -∈-∞时，讨论函数()g x 零点的个数.【解析】（1）()=(1)1xf x x a e '-+-由()0f x '=得，110x x a e -+-=令1()1xh x x a e =-+-，则1()10x h x e '=+>所以()h x 为R 上的增函数又11(1)0a h a e --=-<若0a ≥，由于11a a +>-且11(1)20a h a e ++=->若0a <，由于1a a ->-且11()12(120a ah a a a e e ---=--=-->综上：存在唯一零点0(,)x ∈-∞+∞，使得0()0h x =即()f x '在(,)-∞+∞上有唯一零点0x ．···································································(5分)（2）()(1)(1)(1)x g x x x a e x '=+-+-+1(1)(1)x x x x a e e =+-+-①由（1）知，1()1xh x x a e =-+-有唯一零点0x 且为增函数，所以()0g x '=的根为01,x -．又434(1)022e e h a e e ---=--≤--=-<，则01x >-所以由()0g x '>得01x x x <->或；由()0g x '>得01x x -<<所以函数()g x 的递增区间是0(,1),(,)x -∞-+∞；递减区间是0(1,)x -······································(9分)②由(0)0g =得0是函数()g x 的一个零点．（ⅰ）若42e e a --<<，由①同理可得01x >-当(,1)x ∈-∞-时，()0g x '>，则()g x 单调递增当0(1,)x x ∈-时，()0g x '<，则()g x 单调递减当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增又因为24()=(1)02a e g x g e+--=<极大值所以()g x 仅有一个零点0；（ⅱ）若a e =-，则(1)110h e e -=-++-=，即01x =-则()0g x '≥，所以(,)()x g x ∈-∞+∞时，单调递增.所以()g x 仅有一个零点0；（ⅲ）若a e <-，则(1)0h a e -=-->，所以01x <-当0(,)x x ∈-∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增当0(,1)x x ∈-时，()0g x '<，则()g x 单调递减当(1,)x ∈-+∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增所以022000001()=()(1)(1)2x g x g x x ax e x x =-+-++极大值02200001(1)(1)2x x ex e x x <++-++因为01x <-，所以22001111(1)(1)10222x x ++>-+-+=>当20010x ex ++<时，02200001(1)(1)02x x ex e x x ++-++<当20010x ex ++>时，0222200000000111(1)(1)(1)(1)22x x ex e x x x ex x x e ++-++<++-++2200000111(1)1(1)02222e x ex x x x <++---=--<所以()g x 仅有一个零点0．综上：当4(,2e a -∈-∞时，函数()g x 仅有一个零点0．·····················································(17分)。

2024届安徽省“江南十校”联考数学（答案在最后）姓名__________座位号__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}221,10x A x B x x =≥=->∣∣，则A B ⋃=（）A.{}11x x -<< B.{}01x x ≤< C.{}1x x >- D.{}0x x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为{}{}{}{}2210,1011xA x x xB x x x x =≥=≥=->=-<<，所以A B ⋃={}1x x >-，故选：C2.已知复数z 满足()12i 43i z +=+，则z =（）A.2i + B.2i- C.2i 5-+ D.2i 5--【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.【详解】()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-,所以2i z =+.故选：A.3.已知向量,a b 满足()()1,,3,1a b m a b +=-= .若//a b ，则实数m =（）A.13-B.13C.3D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出,a b的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算即得.【详解】由()()1,,3,1a b m a b +=-= ，得11(2,),(1,)22m m a b +-==- ，由//a b，得112022m m -+⋅+=，所以13m =.故选：B4.已知函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+<的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象.若()g x 是偶函数，则ϕ为（）A.π6B.π6-C.π3D.π3-【答案】B 【解析】【分析】利用给定的图象变换求出()g x 的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得.【详解】依题意，()ππ3sin 263g x f x x ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()g x 是偶函数，得πππ,Z 32k k ϕ-+=+∈，而π||2ϕ<，则π1,6k ϕ=-=-.故选：B5.酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100ml 血液中酒精含量达到2079mg 为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2m g /m l .假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则他能驾驶需要的时间至少为（）（精确到0.001.参考数据：lg20.3010,lg30.4771≈≈）A.7.963小时B.8.005小时C.8.022小时D.8.105小时【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出指数不等式，根据对数运算法则即可计算.【详解】由已知得：1.20.80.2x ⨯<，所以lg 6lg 2lg 313lg 213lg 2x +>=--，即0.30100.47710.77818.022130.30100.0970x +>=≈-⨯，所以8.022x >故选：C.6.已知函数()1ln f x x x=-在点()1,1-处的切线与曲线()212y ax a x =+--只有一个公共点，则实数a 的取值范围为（）A.{}1,9 B.{}0,1,9 C.{}1,9-- D.{}0,1,9--【答案】B 【解析】【分析】求出切线方程，再对a 分0a =和0a ≠讨论即可.【详解】由211()f x x x'=+得(1)2f '=，所以切线方程是2(1)123y x x =--=-，①若0a =，则曲线为2y x =--，显然切线与该曲线只有一个公共点，②若0a ≠，则223(1)2x ax a x -=+--，即2(3)10ax a x +-+=，由2(3)40a a ∆=--=，即21090a a -+=，得1a =或9a =，综上:0a =或1a =或9a =.故选：B.7.已知圆22:8120C x y x +-+=，点M .过原点的直线与圆C 相交于两个不同的点,A B ，则||MA MB +的取值范围为（）A.2)-+B.2]+ C.4)-+ D.4]+【答案】D 【解析】【分析】取线段AB 的中点P ，求出点P 的轨迹方程，再利用平面向量数量积的运算律及圆的性质求解即得.【详解】圆22:(4)4C x y -+=的圆心(4,0)C ，半径为2，取线段AB 的中点P ，连接CP ，当P 与圆C 的圆心C 不重合时，CP OP ⊥，点P 在以线段OC 为直径的圆在圆C 内的圆弧上，当P 与C 重合时，也在此圆弧上，因此点P 的轨迹是以线段OC 为直径的圆在圆C 内的圆弧，圆弧所在圆心为()2,0，方程为22(2)4(34)x y x -+=<≤，显然|||2|M MA MB P += ，过点M 与点(2,0)的直线斜率12k =-，过点M与点3(,的直线斜率23k =-，显然21k k <，即过点M 与点(2,0)的直线与该圆弧相交，因此max ||22MP == ，点M与点的距离为3，则||3MP > ，所以||MA MB +的取值范围为4]+.故选：D8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111,1,1n n n n a S n a b a +=+==+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为（）A.1B.32 C.76D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出数列{}1n a +的通项，再利用等比数列前n 项和公式求出n T 即可得解.【详解】数列{}n a 中，11a =，1n n a S n +=+，当2n ≥时，11n n a S n -=+-，两式相减得11n n n a a a +-=+，即121n n a a +=+，整理得112(1)n n a a ++=+，而211112a S a =+=+=，因此数列{}(2)1n a n +≥是首项为3，公比为2的等比数列，2132n n a -+=⨯，11a =不满足上式，则111112b a ==+，当2n ≥时，21132n n b -=⨯，1211111211721232332612n n n T ---=+⨯=+-⨯<-，而111726T b ==<，依题意，76M ≥，所以实数M 的最小值为76.故选：C【点睛】思路点睛：给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n S S a +-=转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名.在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上､下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）.图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数（AQI ）箱线图.AQI 值越小，空气质量越好；AQI 值超过200，说明污染严重.则（）A.该地区2023年5月有严重污染天气B.该地区2023年6月的AQI 值比5月的AQI 值集中C.该地区2023年5月的AQI 值比6月的AQI 值集中D.从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定信息，结合图示，逐项判断即得.【详解】对于A ，图2所示中5月份有AQI 值超过200的异常值，A 正确；对于B ，C ，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的AQI 值比6月的AQI 值集中，B 错误，C 正确；对于D ，虽然5月有严重污染天气，但从图2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，AQI 值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月，D 正确.故选：ACD10.已知抛物线2:2E y px =的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上的点P （原点除外）反射，则反射光线平行于x 轴.经过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线E 于,B C 两点，经过点P 且垂直于x 轴的直线交x 轴于点Q ；抛物线E 在点P 处的切线l 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（）A.2||PQ BF QF=⋅ B.2||PQ BC OQ=⋅C.PF MF = D.FN l⊥【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，得到各线段的长度，从而判断AB ，利用抛物线光学性质，结合抛物线的定义判断CD.【详解】对于AB ，设点(,)P x y ，则(,0)Q x ，y =，则||PQ =,2pBF p QF x ==-，所以2||22pPQ px px BF QF =≠-=⋅，故A 错误；又||2,||BC p OQ x ==，则2||2PQ px BC OQ ==⋅，故B 正确；对于C ，如下图所示，过点P 作x 轴的平行线RH ，与抛物线E 的准线KH 交于点H ，又题意所给抛物线的光学性质可得SPR MPF ∠=∠，又SPR PMF ∠=∠，所以MPF PMF ∠=∠，从而||||PF MF =，故C 正确；对于D ，因为SPR HPM ∠=∠，所以MPF HPM ∠=∠，即PM 为HPF ∠的角平分线，又由抛物线定义知PH PF =，结合||||PF MF =，可得四边形MFPH 为菱形，而y 轴经过线段FH 中点，从而PM 与y 轴的交点即为点N ，所以FN l ⊥，故D 正确.故选：BCD.11.已知点,,,S A B C均在半径为的球面上，ABC是边长为的等边三角形，SA BC ⊥，SA =，则三棱锥S ABC -的体积可以为（）A.3B.C.D.【答案】BC 【解析】【分析】利用线线垂直构造面面垂直结合三棱锥的外接球特征分类讨论计算即可.【详解】取,BC SA 的中点,D F ，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O，半径R =作⊥EO AD 于E ，连接,,AO AD OF ，易知,,AD BC AS AD A AS AD ⊥⋂=⊂、平面ADS ，因为SA BC ⊥，所以BC ⊥平面ADS ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC⊥平面ADS ，作⊥SG AD 于G 点，平面ABC ⋂平面ADS AD =，则SG ⊥平面ABC ，故三棱锥S ABC -的体积为211334ABC V S SG AB SG =⋅=⨯⨯⨯= ，由题意可知22,1,32AE AD OA OE OF ===⇒===，即11tan ,tan 23OAE OAF ∠=∠=，若S 在直线AO 的下方，则()111323tan tan 1175123SAD EAO FAO SG -∠=∠-∠====+⨯，若S 在直线AO 的上方，则()1123tan tan 1311123SAD EAO FAO SG +∠=∠+∠====-⨯，综上所述V =或335.故选：BC【点睛】思路点睛：先根据条件得出球心与S 点所在平面垂直于底面ABC ，再根据三棱锥的外接球性质及勾股定理计算夹角,OAE OAF ∠∠，最后分类讨论S 点的位置计算三棱锥的高即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从0,2,4,6中任意选1个数字，从1,3,5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为__________.【答案】411【解析】【分析】根据两个计数原理及古典概型计算即可.【详解】根据题意可知：若从0,2,4,6中任意选1个不为0的数字有13C 3=种选法，从1,3,5中任意选2个数字有23C 3=种选法，由选出的3个数字组成三位数有3！种组法，共333!54⨯⨯=种方法，其中偶数有1233C A 18⨯=个；若从0,2,4,6中选0，再从1,3,5中任意选2个数字有23C 3=种选法，由选出的3个数字组成三位数有12C 2!4⨯=种组法，共13412⨯⨯=种方法，其中偶数有23A 6=个；所以该数为偶数的概率为1864541211P +==+.故答案为：41113.若函数()2f x +为偶函数，()15y g x =+-是奇函数，且()()22f x g x -+=，则()2023f =__________.【答案】3-【解析】【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可.【详解】由题意可知()f x 关于2x =轴对称，()g x 关于()1,5中心对称，()()()()()()2221022228f x g x f x g x f x g x -+=⇒-+--=⇒---=-，所以()()8f x g x -=-，故()()()()262f x f x f x f x +-=-=++，所以()()()()2464f x f x f x f x +++=-⇒=+，即4T =是()f x 的一个正周期，则()()()202331f f f ==由()()()()26136f x f x f f -+=-⇒-+=-，且()()13f f -=，则()13f =-，故答案为：3-14.过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点F 的直线分别在第一､第二象限交E 的两条渐近线于,M N 两点，且OM MN ⊥.若23OM MN ON a +-=，则双曲线E 的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线的斜率与倾斜角的关系，结合正切二倍角的公式、正切的定义、勾股定理、双曲线离心率的公式进行求解即可.【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图所示：令MOF θ∠=，于是有tan b aθ=，由双曲线和两条渐近线的对称性可得：π2MON θ∠=-，因为OM MN ⊥，所以ππππ00π22242MON θθ<∠<⇒<-<⇒<<，即tan 1bb a aθ=>⇒>，在直角三角形MOF 中，设()tan 0,MF bm m MF bm OM am OMaθ===>⇒==，根据勾股定理可得：222222222221MF OM OF b m a m c c m c m +=⇒+=⇒=⇒=，或1m =-舍去，即,MF b OM a ==，在直角三角形MON 中，()222222tan tan π2tan 21bNM NM aba MONb b a OM a a θθ∠=-=-=-===--2222a bNM b a⇒=-，由勾股定理可知：22222222222a b ac ON NM OM a b a b a ⎛⎫=+=+= ⎪--⎝⎭，因为23OM MN ON a +-=，所以()2222222222222226306303a b ac a a b a ab c b a ab a b b a b a +-=⇒-+-=⇒-+-+=--2223230202b bb b a ab a a a ⎛⎫⇒+-=⇒-+=⇒= ⎪⎝⎭，或1b a =舍去，由222222224455b b c a c e a a a a-=⇒=⇒=⇒=⇒=，故答案为：5【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角的正切公式、由已知等式化简成为,a b 的齐次方程，进而求出双曲线的离心率.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 3sin cos c A a C b c +=+.（1）求A ；（2）若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点,B C 顺时针旋转15 ，30 ，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC ∠= ，求AD .【答案】（1）π3A =（2）63【解析】【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合余弦定理、两角和的正弦公式进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理，由3sin cos 3sin sin cos sin sin c A a C b c C A A C B C+=+⇒+=+()3sin sin cos sin πsin C A A C A C C ⇒+=--+()3sin sin cos sin sin C A A C A C C⇒+=++3sin sin cos sin cos cos sin sin C A A C A C A C C ⇒+=++3sin cos sin sin C A A C C ⇒=+，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，π3sin cos sin sin 3sin cos 12sin 16C A A C C A A A ⎛⎫=+⇒=+⇒-= ⎪⎝⎭π1sin 62A ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭，因为因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因此πππ663A A -=⇒=.【小问2详解】由（1）可知π3A =，由题意可知ππ,126ABD ACD ∠=∠=，而π6DBC ∠=，所以πππ5π5ππ7ππ,4341212612ABC ACB BCD ∠=⇒∠=--=⇒∠=+=π7πππ6124BDC ⇒∠=--=，在ABC中，由正弦定理可知：1232632,π5πππ22223sin sin sin 3126422BC AB AC AB ⎛=⇒=⇒=⨯⨯= ⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭在DBC △中，由正弦定理可知：11π7πππ222222sin sin sin 4123422BC BD AC BD ⎛=⇒=⇒=⨯⨯= ⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，在DBA中，由余弦定理可知：AD =.3=16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，1,2,60PB AB AD PD BAD ∠=====.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若二面角P BD A --的大小为120 ，点E 在棱PD 上，且2PE ED =，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）65【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出BD =，再利用勾股定理逆定理和面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间之间坐标系，求出相关法向量，根据线面角的空间向量求法即可.【小问1详解】证明:由余弦定理得BD =所以222222,AD AB BD PD PB BD =+=+，因此,AB BD PB BD ⊥⊥，又因为,,AB PB B AB PB ⋂=⊂平面PAB ，所以BD ⊥面PAB ，又因为BD ⊂平面ABCD ，故平面PAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】由于,AB BD PB BD ⊥⊥，所以二面角P BD A --的平面角为PBA ∠，即120PBA ︒∠=，在平面PAB 内过点B 作AB 的垂线，交AP 于F ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，且BF ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，得BF ⊥平面ABCD ，以B 为坐标原点，,,BA BD BF为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则1(0,0,0),(,0,22B D C P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，由于1(,0,22BC BP ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即013022x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =，则1y z ==，所以n =设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，2533,,3636CE CP PE CP PD ⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，63sin cos ,5CE n CE n CE nθ⋅∴===⋅，因此直线CE 与平面PBC所成角的正弦值为5.17.某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm 即视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4.用样本估计总体.（1）试估计100件产品中不合格品的件数（精确到1）；（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱产品均采取不放回地随机抽取方式进行检验，箱与箱之间的检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受该箱产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝该箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受该箱产品，否则拒绝该箱产品.若该箱产品通过检验后生产方获利1000元；该箱产品被拒绝，则亏损89元.求100箱该产品利润的期望值.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-+≈≤≤，()()220.9545,330.9973.P Z P Z μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈【答案】（1）约为5件；（2）89330元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的概率求出这批产品的合格率即可得估计值.（2）利用互斥事件的概率及条件概率公式求出一箱产品通过的概率，再利用二项分布的期望公式及期望的性质计算即得.【小问1详解】分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数μ和σ，得产品的尺寸误差2)~(0,2X N ，(||4)(22)0.9545P X P X μσμσ≤=-≤≤+≈，因此估计这批产品的合格率为95.45%，样本的不合格品率为10.95450.0455-=，所以估计100件产品中有1000.0455 4.555⨯=≈件不合格品.【小问2详解】设1A =“抽检的第1件产品不合格”，2A =“抽检的第2件产品不合格”，则一箱产品被拒绝的事件为112)(A A A ，因此1121121121))())((((()(|))P A A A P A P A A P A P A P A A =+=+ 59559710010099990=+⨯=，设100箱产品通过检验的箱数为Y ，则893~(100,990Y B ，因此100箱利润1000(89)(100)10898900W Y Y Y =+--=-，所以平均利润893()(10898900)1089()890010891008900990E W E Y E Y =-=-=⨯⨯89330=（元）.18.已知矩形ABCD 中，,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O 为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线,HF BC 上的动点,R S 满足(),OR OF CS CF λλλ==∈R.（1）求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程；（2）当3λ=-时，过点R 的直线m （与x 轴不重合）和点P 轨迹交于,M N 两点，过点N 作直线:3l x =-的垂线，垂足为点Q .设直线MQ 与x 轴交于点K ，求KMN △面积的最大值.【答案】（1）221(62x y +=不含点(0,；（2）34.【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量共线用λ表示点,R S ，再求出直线,ER GS 的方程，联立消去参数λ即得.（2）设出直线m 的方程，与点P 的轨迹方程联立，借助韦达定理求出点K 坐标，再建立三角形面积的函数关系，并求出最大值即得.【小问1详解】依题意，(()0,,,,E G FC ，设点)(,),(,0),R S P x y R x S y ，由OR OF λ=，得R x =，即,0)R ，由CS CF λ=，得)S y λ=-，即))S λ-，当0λ≠时，直线:ER y x =，直线:GS y x =+，联立消去参数λ得21(3y y x +-=-，即221(0)62x y x +=≠，当0λ=时，得交点P ，满足上述方程，所以直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程:221(62x y +=不含点(0,.【小问2详解】当3λ=-时，点(2,0)R -，过点R 的直线m可设为2(x ty t =-≠，由22236x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得：22(2)36ty y -+=，即22(3)420t y ty +--=，设1112)(,,)(,M x y N x y ，则12122242,33t y y y y t t -+==++，依题意，2()3,Q y -，直线1221:(3)3y y MQ y y x x --=++，令0y =，得点K 横坐标()212111212333K y x y x y x y y y y -+--=-=--，又111212)2,2(x ty ty y y y =-=-+，则122112211122112121212155(23(2)32352222)Ky y y y y y y ty y ty y y y x y y y y y y y y ++--+----+-=====-----，因此直线MQ 过定点5(,0)2K -，显然1212||11||||24KMN S KR y y y y =-=- ，而12||y y-===，令21(1)n t n=+≥，12y y-==≤=当且仅当2n=，即1t=±取等号，此时4KMNS=，所以KMN△面积的最大值为4.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.19.已知函数()()()e,,xf x x a x a f x=--∈'R是()f x的导函数.（1）证明：()f x'在(),-∞+∞上存在唯一零点x；（2）设函数()()2211e12xg x x ax x x⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭.①当e4,2a∞-⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，求函数()g x的单调区间；②当e4,2a∞-⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，讨论函数()g x零点的个数.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②只一个零点.【解析】【分析】（1）对函数求导，构造()()1e xh x x a-=-+-利用其单调性结合零点存在性定理计算即可证明；（2）①先求导函数，构造()()1e xh x x a-=-+-，利用其单调性及()10h-<，得出1x>-，从而判定单调区间；②利用（1）、①的结论，分类讨论函数的单调性，极大值与0的关系判定零点个数即可.【小问1详解】由题意可知()()1e 1xf x x a +'=--，由()01e 0xf x x a -+'=⇒--=，令()1e xh x x a -=-+-，易知()y h x =在R 上单调递增，又11(1)0e a h a --=-<，若0a ≥，由于11a a +>-且11(1)20ea h a ++=->；若a<0，由于1a a ->-且11()12120e e a ah a a a --⎛⎫-=--=-->⎪⎝⎭；所以在(),-∞+∞上存在唯一零点0x ，使得()00h x =，即()f x '在(),-∞+∞上存在唯一零点0x ；【小问2详解】①当e 4,2a ∞-⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，易知()()()()221e 1x g x x a x a x =+-+--+'()()11e e x xx x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，由（1）知()1e xh x x a -=-+-单调递增，且只存在一个零点0x ，注意到()3e 41e 02h a --=--≤-<，所以01x >-，可得在区间(),1-∞-和()0,x +∞上，()0g x '>，即此时()g x 单调递增，在()01,x -上，()0g x '<，即此时()g x 单调递减；②易知()00g =，即()g x 的一个零点为0x =，（i ）当e 4e,2a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，由上可知()1e 0h a -=--<，即01x >-，此时在区间(),1-∞-和()0,x +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，在()01,x -上，()0g x '<，()g x 单调递减，则=1x -时取得极大值()24e102ea g +--=<，又()()()22252e 59e e 50g a =-->-->，即此时()g x 的零点只一个为0x =；（ii ）当a e =-时，易知01x =-，此时()0g x '≥，则()g x 在R 上单调递增，所以此时()g x 的零点只一个为0x =；（iii ）当e a <-时，易知01x <-，此时在区间()0,x -∞和()1,-+∞上，()0g x '<，()g x 单调递增，在()0,1x -上，()0g x '<，()g x 单调递减，则0x x =时取得极大值()()()002222000000000111e 1e 1e 122xx g x x ax x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++<++-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为01x <-，所以()()2200111111022x x ++>⨯-+-+>，若200e 10x x ++≤，则()02200001e 1e 102xx x x x ⎛⎫++-++<⎪⎝⎭，若200e 10x x ++>，则()02200001e 1e 12xx x x x ⎛⎫++-++⎪⎝⎭()22000011e 11e 2x x x x ⎛⎫<++⨯-++ ⎪⎝⎭()()0220000e 2111e 110222x x x x x --⎛⎫<++⨯-++=< ⎪⎝⎭，所以()00g x <，同上此时()g x 的零点只一个为0x =；综上所述：()g x 的零点只一个为0x =.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。

绝密★启用前2021届“江南十校”一模联考数学（理科）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={x|x 2-5x-6>0},集合B={x|4<x≤7},则A ∪B= A.(6,7]B.(4,7]C.(-∞,-1)∪(4,+∞)D.(-∞,2)∪(3,+∞)2.已知复数z=1+i,z 是z 的共轭复数，若z ·a=2+bi,其中a,b 均为实数，则b 的值为 A.-2B.-1C.1D.23.已知sin α=35,α∈(2π,32π)，则tan2α= A.-247 B.-2425C.2425D.2474.2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的 《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大 五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角 星均各有一个角尖正对大五角星的中心 点。

有人发现，第三颗小星的姿态与大星 相近。

为便于研究，如图，以大星的中心点 为原点，建立直角坐标系，OO 1,OO 2,OO 3, OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，α≈16°,则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为 A.0°B.1°C.2°D.3° 5.函数||cos ()2x x xf x =的图象大致为6.已知F 为椭圆C:2222x y a b+＝1(a>b>0)的右焦点，O 为坐标原点，P 为椭圆C 上一点，若|OP|=|OF|,∠POF=120°,则椭圆C 的离心率为-1D.7.现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为A.120B.150C.240D.3008.将数列{3n-1}与{2n＋1}的公共项从小到大排列得到数列{a n},则{a n}的第10项为A.210-1B.210+1C.220-1D.220+19.已知函数f(x)=e|lnx|,a=f(1),b=f(logf(21.2),则A.b>c>aB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c10.在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=csinB,则tanA的最大值为A.1B.54C.43D.3211.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，P,M,N分别为DD1,AB,BC的中点，则四面体OPMN的体积为A.512B.56C.12D.612.已知函数f(x)=elog a x-x e a(a>1)没有零点，则实数a的取值范围为A.(e,+∞,+∞)C.(1,+∞)D.(1e e,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
（1）由正弦定理及 2a sin C 3c cos A c sin A 得， 2sin Asin C 3 sin C cos A sin C sin A, （1 分） 即 3 sin C cos A sin Asin C .（2 分） 因为 C (0, , 所以 sin C 0, 所以 3 cos A sin A ，（3 分） 所以 tan A 3 ，（4 分） 又 A (0, ), 所以 A .（6 分） 3
14． (1,1) 【解析】方程
f
(x)
e2x e2x
1 1
m 有解等价于函数
f
(x)
e2x e2x
1 的图象与直线 1
y
m 有交点，又函数
f
(x)
e2x e2x
1 1
e2x 1 e2x 1
2
1
2 e2x 1
(1,1)
，故
m
的取值范围为
(1,1)
.
15 ．
3 4
【解析】因为
cos(
)
1
，所以
2k
(k
2021 年高三 3 月大联考（新课标Ⅲ卷）
文科数学·全解全析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
C
D
D
A
C
A
D
C
B
C
1．A 【解析】∵ M {x | y 1 x} {x | x 1}, N {x | 3 x 2} ，∴ M N {x | 3 x 1} .故选 A．

2021届高三3月份一模考试数学〔文〕试题一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由全集及求出的补集【详解】解：集合，，那么，应选：C．【点睛】此题考察了补集的运算，纯熟掌握定义是解此题的关键．2.设，那么复数的虚部为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出z=1+2i,再求复数的虚部得解.【详解】，复数的虚部为.应选：【点睛】此题主要考察复数的加法和除法运算，考察复数的虚部的概念，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.3.向量，，假设，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再利用求出的值.【详解】应选：【点睛】此题主要考察向量的坐标运算，考察向量平行的坐标表示，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.4.双曲线的焦距为，那么的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，运用的关系可得，即有双曲线的方程，可得双曲线的渐近线方程．【详解】解：双曲线：的焦距为，可得，即，解得，可得双曲线的方程为，的渐近线方程为．应选：D．【点睛】此题考察双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考察方程思想和运算才能，属于根底题．是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,说明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良〞.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,那么以下表达不正确的选项是()A. 这12天中有6天空气质量为“优良〞B. 这12天中空气HY的是4月9日C. 这12天的AQI指数值的中位数是90D. 从4日到9日,空气质量越来越好【答案】C【解析】由图可知,不大于100天有6日到11日,一共6天,所以A对,不选.越来越小,D对.所以选C.6.在中，假设，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由利用同角三角函数根本关系式可求，由正弦定理可得，结合范围，可求，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式即可计算得解的值．【详解】解：∵，∴可得：，∵，∴由正弦定理可得：，可得：，可得：，∵，∴，∴．应选：A．【点睛】此题主要考察了同角三角函数根本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式在解三角形中的应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．7.如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接那么异面直线与所成角即为，再利用余弦定理求得解.【详解】取的中点，连接设那么所以连接因为所以异面直线与所成角即为在中应选【点睛】此题主要考察异面直线所成角的计算，考察余弦定理，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.8.设函数，假设为奇函数，那么不等式的解集为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，进而分析的单调性以及的值，据此分析可得，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数，其定义域为，假设为奇函数，那么有，解可得，那么，又由为增函数，那么在上为减函数，且，，即不等式的解集为；应选：C．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的断定以及应用，关键是求出的值，属于根底题．9.圆的半径为，在圆内随机取一点，那么过点的所有弦的长度都大于的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析得到点落在以为圆心，以为半径的圆内，再利用几何概型求解.【详解】假如过点的所有弦的长度都大于，那么那么点落在以为圆心，以为半径的圆内，由几何概型概率可得，过点的所有弦的长度都大于的概率为应选：【点睛】此题主要考察圆和几何概型的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.10.设函数，假设对于任意的，都有，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简得，由得x=是函数f(x)的对称轴，得再求【详解】由得x=是函数f(x)的对称轴，得应选：【点睛】此题主要考察三角恒等变换，考察三角函数的图像和性质，考察三角函数求值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.11.数学名著?九章算术?中有如下问题：“今有刍甍〔méng〕，下广三丈，袤〔mào〕四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？〞其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？〞．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，那么该楔体的体积为〔单位：立方丈〕〔〕A. B. 5 C. 6 D.【答案】B【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求组合体的体积得解.【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如下图；结合图中数据，计算该几何体的体积为〔立方丈〕.【点睛】此题主要考察三视图找几何体原图，考察组合体的体积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.12.函数，假设关于的方程又有且只有一个实数根，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由方程的解的个数与函数图象交点个数的互相转化得：关于的方程又有且只有一个实数根等价于函数的图象与直线只有一个交点，由导数研究函数的图象、最值得：当时，，得：，当时，，当时，，即在为增函数，在为减函数，，再结合函数的图象与直线的位置关系可得解．【详解】解：关于的方程又有且只有一个实数根等价于函数的图象与直线只有一个交点，①当时，，②当时，，得：，当时，，当时，，即在为增函数，在为减函数，，综合①②得：的图象与直线的位置如下图：由图可知函数的图象与直线只有一个交点时实数的取值范围为或者，应选：B．【点睛】此题考察了方程的解的个数与函数图象交点个数的互相转化及利用导数研究函数的图象、最值，属中档题二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13.函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】根据对数函数的定义以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【详解】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，故答案为：．【点睛】此题考察了求函数的定义域问题，考察常见函数的性质，是一道根底题．14.假设满足约束条件，那么的最大值为__________．【答案】14【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域如下图，再利用数形结合分析得解.【详解】画出约束条件表示的平面区域如下图，由图形知，当目的函数过点A时获得最大值，由解得代入计算，所以的最大值为故答案为：【点睛】此题主要考察利用线性规划解答最值问题，意在考察学生对该知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能.15.直线与圆相交于两点，假设，那么__________．【答案】±1【解析】【分析】根据圆心到直线的间隔与半径和弦长的关系求出的值即可．【详解】解：圆：，化为：，∴圆心为，半径为1，那么圆心到直线的间隔为，即，解得：．故答案为：．【点睛】此题考察直线与圆的位置关系，考察点到直线的间隔公式的应用，是根底题．16.抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当获得最小值时，直线的方程为_____．【答案】或者【解析】【分析】设点的坐标为求出，再计算得到，再利用根本不等式求出最小值及此时直线的方程得解.【详解】设点的坐标为当且仅当，即时取等号，此时点坐标为或者，此时直线的方程为即或者故答案为：或者【点睛】此题主要考察直线和抛物线的位置关系，考察抛物线的简单几何性质和根本不等式，考察直线方程的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.三、解答题〔本大题一一共7小题，一共82分〕17.数列的前项和为，且满足.(1)求证为等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】试题分析：〔1〕由可得，两式相减后整理得，所以，由，从而可得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列．〔2〕由〔1〕可得到，故，再用分组求和法可得数列的前项和．试题解析：〔1)证明：当时，，解得.因为①所以②①-②得：，整理得，所以，即，又，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列.(2)由〔1)知，所以，所以，所以．18.如图，在长方体中，为的中点，，．〔1〕证明：平面；〔2〕求三棱锥的体积．【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】【分析】〔1〕在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由证明CO⊥B1D1，求同理，故∠AOC为二面角的平面角，又可得CO⊥平面AB1D1；〔2〕由〔1〕知，OB1⊥平面AOC，△AOC为直角三角形，且，然后利用等积法即可求得三棱锥O﹣AB1C的体积．【详解】〔1〕证明：在长方体中，∵，，∴，∵为的中点，∴，同理，求解三角形可得，∵，∴，即．∵，∴平面；〔2〕解：由〔1〕知，平面，为直角三角形，且．∴．【点睛】此题考察直线与平面垂直的断定，考察空间想象才能与思维才能，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.椭圆经过点，其离心率为．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕假设不经过点的直线与椭圆相交于两点，且，证明：直线经过定点．【答案】〔1〕〔2〕直线经过定点【解析】【分析】〔1〕由e，b＝1，又a2＝b2+c2，即可求出椭圆的方程；〔2〕设l：y＝kx+m，联立椭圆方程，由此利用韦达定理、直线方程，结合条件可得〔k2+1〕x1x2+〔km﹣k〕〔x1+x2〕+m2﹣2m+1＝0⇒〔k2+1〕〔4m2﹣4〕﹣〔km﹣k〕•8km+〔m2﹣2m+1〕〔1+4k2〕＝0，化简整理能证明直线l过定点．【详解】解：〔1〕∵椭圆经过点，其离心率为．∴，，∴．∴故椭圆的方程为：；〔2〕依题意直线的斜率存在，设不经过点的直线方程为：，，，由得，．，．，．．，，或者，∵直线不经过点，∴．此时，直线经过定点【点睛】此题考察椭圆方程的求法，考察椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察方程思想、化归与转化思想，是一道综合题．20.某小学为理解四年级学生的家庭作业用时情况，从本校四年级随机抽取了一批学生进展调查，并绘制了学生作业用时的频率分布直方图，如下图．〔1〕估算这批学生的作业平均用时情况；〔2〕作业用时不能完全反映学生学业负担情况，这与学生自身的学习习惯有很大关系假如用时四非常钟之内评价为优异，一个小时以上为一般，其它评价为良好．现从优异和良好的学生里面用分层抽样的方法抽取300人，其中女生有90人〔优异20人〕．请完成列联表，并根据列联表分析能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学习习惯与性别有关系？男生女生合计良好优异合计附：，其中0025【答案】〔1〕57分钟〔2〕不能【解析】【分析】〔1〕由频率分布直方图可得这批学生的作业平均用时情况；〔2〕优异学生数与良好学生数之比为：〔〕＝1：5，按照分层抽样得300人中优异50，人，良好250人，女生90人，男生210人，女生优异20，良好70，男生优异30，良好180人，由此可得列联表，根据列联表计算K2，结合临界值表可得．【详解】解：〔1〕；这批学生的作业平均用时为57分钟．〔2〕优异学生数与良好学生数之比为，按照分层抽样得300人中优异50，人，良好250人，女生90人，男生210人，女生优异20，良好70，男生优异30，良好180人，列联表如下：男生女生合计良好180 70 250优异30 20 50合计210 90 300，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学习习惯与性别有关系．【点睛】HY性检验的一般步骤：〔1〕根据样本数据制成列联表；〔2〕根据公式计算的值；(3) 查表比拟与临界值的大小关系，作统计判断.〔注意：在实际问题中，HY性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.〕21.函数，曲线在处的切线交轴于点．〔1〕求的值；〔2〕假设对于内的任意两个数，，当时，恒成立，务实数的取值范围．【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕求出原函数的导函数，得到f′〔1〕，求出f〔1〕，可得切线方程，代入〔0，〕即可求得m值；〔2〕把〔1〕中求得的m值代入函数解析式，设x1＞x2，把对于〔1，+∞〕内的任意两个数x1，x2，a〔x1+x2〕转化为，设g〔x〕＝f〔x〕﹣ax2，那么g〔x〕＝x2lnx x3+x﹣ax2在〔1，+∞〕上为减函数，可得g′〔x〕＝2xlnx+x﹣x2+1﹣2ax≤0对x＞1恒成立，别离参数a，再由导数求最值得答案．【详解】解：〔1〕由，得，，，∴曲线在处的切线方程为，那么，解得；〔2〕，不妨设，对于内的任意两个数，，，即有，设，那么在上为减函数．那么对恒成立．可得在上恒成立．令，，那么在上单调递减，∴．∴，即．∴实数的取值范围是．【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，考察利用导数求函数的最值，表达了数学转化思想方法，是中档题．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，倾斜角为α的直线经过点求曲线的普通方程和直线的参数方程；假设直线与曲线有两个不同的交点，求的最大值．【答案】〔1〕曲线的普通方程为，直线的参数方程〔为参数〕；〔2〕.【解析】【分析】由消去得，所以曲线的普通方程为，直线的参数方程〔为参数〕；〔2〕将直线的参数方程〔为参数〕代入到中并整理得：，再利用直线参数方程的几何意义求出，再利用根本不等式求解. 【详解】由消去得，所以曲线的普通方程为，直线的参数方程〔为参数〕，将直线的参数方程〔为参数〕代入到中并整理得：，设对应的参数分别为，那么，，同号≤，〔当且仅当时取等〕，的最大值为：．【点睛】此题主要考察直线的参数方程，考察普通方程和参数方程的互化，考察直线参数方程t的几何意义，考察根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.23.函数．当时，求不等式解集；设不等式的解集为，假设，求的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】(1)利用零点讨论法解绝对值不等式得解；〔2〕假设，那么问题转化为|在恒成立，即，故，故在恒成立，即在恒成立，所以. 【详解】时，，假设，时，，解得：，故，时，，解得：x≤1，故﹣1＜x＜1，x≤﹣1时，，解得：，故，综上，不等式的解集是；假设，那么问题转化为|在恒成立，即，故，故在恒成立，即在恒成立，故，即的范围是．【点睛】此题主要考察利用零点讨论法解绝对值不等式，考察不等式的恒成立问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

江南十校2017届高三摸底联考文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，复数31z i=+，则z 的虚部为（ ） A ．32 B ．32- C ．32i - D ．-3 【答案】B考点：复数的运算及复数的概念.【方法点睛】本题考查复数的乘法除法运算，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理，对于复数),(R b a bi a z ∈+=，它的模为22b a +,实部为a ,虚部为b ；复数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的模，复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，同时注意运算的准确性.2.已知集合(){}{}22|log 11,|230A x x B x x x =-<=--<，则“x A Δ是“x B Δ的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：集合(){}(){}{}{}222|log 11=|log 1log 2|012|13,A x x x x x x x x =-<-<=<-<=<<{}{}{}2|230|(3)(1)0|13B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<所以集合A 是集合B 的真子集，所以“x A ∈”是“x B ∈”充分不必要条件.考点：集合的运算及充分必要条件的判定. 【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法 (1)命题判断法：设“若p ，则q ”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件； ③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件； ③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件． (3)等价转化法：p 是q 的什么条件等价于非q 是非p 的什么条件.3.将函数()sin 2x cos2x f x =-的图像经过恰当平移后得到一个奇函数的图像，则这个平移可以是（ ） A ．向左平移8π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位 D ．向右平移4π个单位 【答案】A考点：三角函数图像的平移.4.已知直线()20x ay a R ++=?与圆222210x y x y ++-+=相切，则a 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．0或1 【答案】C 【解析】试题分析：圆222210x y x y ++-+=的方程可化为22(1)(1)1x y ++-=，所以它表示是以(1,1) 为圆心，以1为半径的圆，直线()20x ay a R ++=?与圆222210x y x y ++-+=相切，所以圆心的直线的距离等于圆的半径11=，解得=0a ，应选C.考点：直线和圆的位置关系.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24+．16+．24+．48 【答案】C考点：三视图.6.已知矩形ABCD 中，12,1,3AB AD AM AB ===，则MC MD 的值为（ ） A ．13B ．23C ．19D ．49【答案】C 【解析】试题分析：在矩形ABCD 中，0AB AD AM AD^\?，,由题意2=3MC MB BC AB BC +=+,13MD MA AD AB BC =+=-+, MC MD =2()3AB BC +?22122181()1393399AB BC AB AB BC AB BC BC -+=-+??=-+=,应选C.考点：向量数量积的运算.7.执行如图所示的程序框图，如果输入的x 值是407，y 值是259，那么输出的x 值是（ ）A ．2849B ．37C ．74D ．77 【答案】B考点：程序框图的应用.8.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，2369127,27a a a a ==，则当n T 最大时，n 的值为（ ） A ．5或6 B ．6 C ．5 D ．4或5 【答案】D考点：等比数列的通项公式及性质.9.已知实数,x y 满足044220x y x y x y ì-?ïï+?íï-+?ïî，则142yxz 骣琪=琪桫的最大值为（ ）A ．1B ．432 C ．4 D ．2【答案】C 【解析】试题分析：画出不等式044220x y x y x y ì-?ïï+?íï-+?ïî表示的可行域要求2214=2222yxx y x y z --骣琪=?琪桫，只要求出2x y -的最大值即可,令2k x y =-，即2y x k =-，由图像可得当过A (2,2)点时，k 取得最大值2，，此时2214=2222yx x yx y z --骣琪=?琪桫=4，所以142yx z 骣琪=琪桫的最大值为4.考点：线性规划.10.已知a 为第三象限角，4tan 23a =-，则sin α的值为（） A ．±．- C ．- D ．45-【答案】B 【解析】试题分析：a 为第三象限角，242tan 4tan 231tan 3a a a =-\=--，，解得1tan 2tan 2a a ==-或（舍去）22sin tan 2,sin 2cos ,sin cos 1,sin 0cos aa a a a a a a ==\=+=<，解得sin a =-考点：同角三角函数的基本关系.11.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为23，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．221128x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．22184x y -=【答案】D考点：双曲线的性质.12.已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且满足()()2f x f x +=-，若当[]0,1x Î时，()13x f x -=，则13log 10f 骣琪琪桫的值为（ ）A ．3B ．109C ．23D ．1027【答案】D 【解析】试题分析：定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以函数该函数是偶函数，满足函数()f x 满足()()2()f x f x f x +=-=，所以该函数的周期是2，133133log 10log 10,2log 103,3log 102=-<<-<<-，131log 1020-<+<，130log 1021<--<的若当[]0,1x Î时()13x f x -=，则133log 1021log 10311133310log 10log 102log 102=3=3327f f f ----骣骣骣琪琪琪=+=--?琪琪琪桫桫桫,应选D. 考点：函数的奇偶性及周期性.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.函数()3221f x x x =-+的单调递减区间为 ___________．【答案】 440,0,33骣骣轾琪琪犏琪琪犏桫臌桫或【解析】试题分析：因为函数()3221f x x x =-+，所以函数()2434=3()3f x x x x x ¢=--，令()4=3()03f x x x ¢-<解得403x <<，所以函数()3221f x x x =-+的单调递减区间为440,0,33骣骣轾琪琪犏琪琪犏桫臌桫或.考点：函数的单调性及导数.14.某学校高三年级共有11个班，其中14班为文科班，511班是理科班，现从该校文科班和理科班中各选一个班的学生参加学校组织的一项公益活动，则所选两个班的序号之积为3的倍数的概率为__________． 【答案】1328【解析】试题分析：某学校高三年级共有11个班，其中14班为文科班，511班是理科班，现从该校文科班和理科班中各选一个班的学生参加学校组织的一项公益活动，共有47=28 种，所选两个班的序号之积为3的倍数的，从理科班可抽3的倍数班6,9，文科班有4种取法，共有8种取法时；文科班取3班时，理科班有7种选法；除去重复的两种，总共有13种取法，所以所选两个班的序号之积为3的倍数的概率1328. 考点：古典概型概率公式的应用.【方法点睛】（1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（3）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.15.已知直线()200,0ax by a b -+=>>过点()1,1-，则12a b+的最小值为_________．【答案】32考点：基本不等式的应用.【方法点睛】（1）利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值；（2）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点. 16..已知数列{}n a 满足()*111223344521222113,,22n n n n n n n a a a n N S a a a a a a a a a a a a +-+==-∈=-+-++-，则10S = ___________．【答案】 -435 【解析】试题分析：因为()*111133,,222n n n n a a a n N a a ++==-∈∴-=-，所以数列{}n a 是首项为12公差为32-等差数列，322n a n =-+1223344521222121343522121=()()()n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+=-+-++--+-++-，222242()93=3=322n n n a a n na a a +-+++⨯=-（），所以2109103104352S ⨯-⨯=-=-.考点：等差数列通项公式及求和公式.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B Csin cos 20A a B a --=． （1）求B ∠的大小 ； （2）若b ABC =∆的面积为2，求,a c 的值． 【答案】（1）23B π=，（2）1221a a c c ⎧=-=⎧⎨⎨==⎩⎩或（2）由三角形的面积公式和余弦定理即可求得,a c 的值． 试题解析：(1sin cos 20A a B a --=，∴由正弦定理得sin sin cos 2sin 0B A A B A =-=，cos 2,sin 16B B B π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴23B π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵2221sinB 22cos ABC S ac b a c ac B∆⎧=⎪⎨⎪=+-⎩，∴2212sin 2322cos 73ac a c ac ππ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，即2225ac a c =⎧⎨+=⎩， ∴1221a a c c ⎧=-=⎧⎨⎨==⎩⎩或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：正余弦定理的应用.【方法点睛】1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角兴中，注意隐含条件π=++C B A （3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.18.（本小题满分12分）在2016年6月英国“脱欧”公投前夕，为了统计该国公民是否有“留欧”意愿，该国某中学数学兴趣小组随机抽查了50名不同年龄层次的公民，调查统计他们是赞成“留欧”还是反对“留欧”．现已得知50人中赞成“留欧”的占60%，统计情况如下表：（1）请补充完整上述列联表；（2）请问是否有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关？请说明理由．参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）见解析，（2）有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关【解析】试题解析：（1）由题意可得列联表如下：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）()()()()()()222502014106 6.4626243020n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯， ∵6.46 5.024>，∴有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：变量间的相关关系.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥A CDFE -中，四边形CDFE 为直角梯形，//,,CE DF EF FD AF ⊥⊥平面 CEFD ，P 为AD 的中点，12EC FD =．（1）求证：//CP 平面 AEF ； （2）设2,3,4EF AF FD ===，求点F 到平面 ACD 的距离．【答案】（1）见解析，（2试题解析：（1）证明：（方法一）设线段FD 的中点为Q ，连接PQ CQ 、．∵P 为AD 的中点，∴//PQ AF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∵12EC FD =，且//EC FD ，∴四边形CEFQ 为平行四边形，∴//CQ EF ． 又,CQ PQ Q AF EF F ==，∴平面 //PCQ 平面AEF ．∵CP ⊂平面 PCQ ，∴//CP 平面 AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（方法二）设线段AF 的中点为G ，连接PG EG 、．∵P 为AD 的中点，∴//PG FD ，且12PG FD =． 又∵12EC FD =，且//EC FD ，∴//PG EC ，∴四边形GECP 为平行四边形，∴//PC EG ． ∵EG ⊂平面 ,AEF PC ⊄平面 AEF ，∴//CP 平面 AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）解：（方法一）∵四边形CDFE 为直角梯形，12,4,22EF FD EC FD ====． ∴四边形CEFQ 为正方形，CDQ ∆为等腰直角三角形．∴090FCD ∠=，即CD FC ⊥．又∵AF ⊥平面 CEFD ，∴AF CD ⊥．又FC AF F =，∴CD ⊥平面 AFC ，面CD ⊂平面 ACD ，∴平面 ACD ⊥平面 AFC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分过F 作FH AC ⊥于点H ，则FH ⊥平面 ACD ，即FH 为点F 到平面ACD 的距离．∵3,AF FC ==AC =，∴AF FC FH AC ===F 到平面ACD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：线面平行及点到平面的距离．20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离大1．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若在y 轴右侧，曲线 C 上存在两点关于直线20x y m --=对称，求m 的取值范围．【答案】（1）()()24000y x x y x =≥=<或；（2）9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）先设点M 的坐标为(),x y ．可得1MF x =+，再对列出,x y 的关于化简得，点M 的轨迹C 的方程（2）设曲线C 上的横坐标大于0的两点，关于直线20x y m --=对称，则可得所设两点所在的直线与直线20x y m --=垂直，且与抛物线有两个交点．且所设两点的中点在直线20x y m --=上可求得m 的取值范围试题解析：（1）设点M 的坐标为(),x y ．由题意，1MF x =+1x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 化简得，()()24000y x x y x =≥=<或，∴点M 的轨迹C 的方程为()()24000y x x y x =≥=<或．．．．．．．．．．．．．．．．．4分考点：求轨迹方程及求参数的取值范围.【方法点睛】一般直译法求轨迹方程有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。

安徽省江南十校2021届高三下学期3月一模联考数学（文）试卷一、选择题1.设集合{}256|0A x x x =-->,集合{}47|B x x =<≤,则A B ⋃=（ ）A.(]6,7B.(]4,7C.,1(),)4(-∞-⋃+∞D.(),2,)3(-∞⋃+∞2.已知复数1i,z z =+是z 的共轭复数，若·2i z a b =+,其中,a b 均为实数，则b 的值为（ ） A.-2B.-1C.1D.23.已知3π3πsin ,,522αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A.- 247B.- 2425C. 2425D. 2474.2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点。

有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近。

为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1234,,,OO OO OO OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，α≈16°,则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（ ）A.0°B.1°C.2°D.3°5.函数||cos ()2x x x f x =的图象大致为（ ）A.B.C. D.6.已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线与椭圆交于,M N 两点，若2MNF △的周长为8,则12MF F △面积的最大值为（ ）D.37.设,a b 为两条直线，则//a b 的充要条件是（ ）A.,a b 与同一个平面所成角相等B.,a b 垂直于同一条直线C.,a b 平行于同一个平面D.,a b 垂直于同一个平面8.若直线y kx =与曲线22((||1)1x y -+-=有交点，则k 的取值范围是（ ）A. B.[-1,1]C.⎡⎢⎣⎦D.⎡⎢⎣⎦9.将数列{}13n +与{}19n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ,则（ ） A.193B.203C.213D.22310.已知函数()|n |l x f x e =,记()()2(31,,2)a f b f c f ===,则（ ）A.b a c >>B.b c a >>C.c b a >>D.c a b >>11.如图，在ABC △中，23BAC π∠=，点D 在线段BC 上，AD AC ⊥, 14BD CD =，则sin C =（ ）12.当1x >时，函数()2ln ln 1y x a x =++的图象在直线y x =的下方，则实数a 的取值范围是（ ）A.(,)e -∞B.25(,)2e --∞ C.⎛-∞ ⎝⎭D.(,e 2)-∞- 二、填空题13.已知函数()tan()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为2π,则ω= .14.已知非零向量,a b 满足+=-a b a b ,且|=｜a b ,则a 和+a b 的夹角为 . 15.如图，,A F 分别为双曲线()2221610y x aa ->＝的右顶点和右焦点，过F 作x 轴的垂线交双曲线于H ,且H 在第一象限，,,A F H 到同一条渐近线的距离分别为123,,d d d ,且1d 是2d 和3d 的等差中项，则C 的离心率为 .16.如图，在三棱锥A BCD -中，BCD △是边长为1的等边三角形，AB AC AD ===,点,,M N P 分别在棱,,AB AC AD 上，平面//MNP 平面BCD ,若12AM MB =,则三棱锥A BCD -的外接球被平面MNP 所截的截面面积为 .三、解答题17.某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量 （单位：kg),并绘制频率分布直方图如下：（1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求（在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求）。