安徽省江南十校2020届高三第二次联考数学(文科)试题Word版含解析

2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|4}xA y y e ==-+，{|lg[(2)(3)]}B x y x x ==+-，则下列关系正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．AB =∅C ．R R C A C B ⊆D ．R C B A ⊆2.若复数(23)z i i =--（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ）A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+3.已知向量a 与b b -也是单位向量，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．45 B ．60 C ．90 D ．1354.已知0.44a =，0.612b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log c =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a << 5.下列命题中，真命题的个数是（ ）①已知直线1l ：(1)20mx m y +++=，2l ：(1)(4)30m x m y ++++=，则“2m =-”是“12l l ⊥”的充要条件；②“若22am bm <，则a b <”的逆否命题为真命题；③命题“若220a b +=，则0a b ==”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 至少有一个不等于0”；④命题p ：[1,)x ∀∈+∞，ln 0x >，则p ⌝：0[1,)x ∃∈+∞，0ln 0x <. A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，22017OA a OB a OC =+且AB d BC =，则2018S （ ）A ．0B ．1009C ．2017D ．20187.已知实数x ，y 满足24010ln 0x y y y x --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则1x y z x ++=的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.已知实数[0,4]m ∈，则函数21()ln 2f x m x x x=-+在定义域内单调递减的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34 D ．589.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．60 10.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1213e e +的最大值为（ ） A ．223B ．233C ．23D ．2211.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．18-B ．18 C ．116- D ．11612.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 是B 和C 的等差中项，0AB BC ⋅>，a =ABC ∆周长的取值范围是（ ）A ．2322⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭ B ．32⎫+⎪⎪⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置） 13.下表提供了某学生做题数量x （道）与做题时间y （分钟）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.7y x =+，则表中t 的值等于 ．14.已知双曲线C ：221916x y -=的左右焦点为1F 、2F ，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点M ，则12MF F ∆的面积为 ．15.已知O 为坐标原点，动点P 满足3OP =，M 、N ，则OM ON OP ++的最小值为 ．16.已知函数()f x 的定义域是R ，21,(0)()9ln(2),(0)x mx x f x x x π⎧-++≤=⎨++>⎩（m 为小于0的常数），设12x x <且12'()'()f x f x =，若21x x -的最小值大于6，则m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2*3()n n a S n n n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2111n n n c a S =+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：5362n T ≤<. 18.距离2018年全国普通高等学校统一招生考试已不足一个月，相信考生们都已经做了充分的准备，进行最后的冲刺.高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系.为了了解考试时学生的紧张程度，对某校500名学生进行了考前焦虑的调查，结果如下：男女总计正常 30 40 70 焦虑 270 160 430 总计300200500（1）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况”与“性别”有关？（2）若从考前正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20()P K k ≥0.258 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k1.3232.0722.7063.8415.0246.63519.如图，三棱锥D ABC -中，2AB =，2AC BC ==，ADB ∆是等边三角形且以AB 为轴转动.（1）求证：AB CD ⊥；（2）当三棱锥D ABC -体积最大时，求它的表面积.20.如图所示，已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线上第一象限的点，直线l 与抛物线相切于点M .（1）过M 作HM 垂直于抛物线的准线于点H ，连接MF ，求证：直线l 平分HMF ∠； （2）若1p =，过点M 且与l 垂直的直线交抛物线于另一点Q ，分别交x 轴、y 轴于A 、B两点，求AB ABAM AQ+的取值范围. 21.已知函数ln ()a xf x x+=，()g x mx =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a =时，()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当1a =时，求证：当1x >时，11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为1sin 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为244x my m =⎧⎨=⎩（m 为参数）. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点3,2)P -，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅. 23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式53x x m ++-≥恒成立. （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式324x x m --≤-.2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学参考答案一、选择题1-5: CDACC 6-10: BBCAD 11、12：BB 二、填空题13. 6 14. 32315. 3 16. (16)-∞ 三、解答题17.解：（1）23n n a S n n +=+，当1n =时，11142a S a +=⇒=， 当2n =时，2122104a a a a ++=⇒=， 又∵{}n a 是等差数列，∴212d a a =-=，∴2(1)22n a n n =+-⨯=； （2）2211111(21)(21)n n n c a S n n n n =+=+-+-+11111221211n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. ∴n T =111111123352121n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭1111112231n n ⎛⎫+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭111112211n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭31122(21)1n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭. 当*n N ∈且n 逐渐增大时，n T 增大. ∴5362n T ≤<. 18.解：（1）假设该学校学生的考前焦虑与性别无关22500(3016027040)43070300200K ⨯-⨯=⨯⨯⨯30009.967 6.635301=≈>，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该学校学生的考前焦虑情况与性别有关； （2）男生、女生分别抽取3人，4人.记为1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，3B ，4B .基本事件为：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B .满足条件的有：11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B .∴186217m P n ===. 19.（1）证明：取AB 的中点H ，连接DH ，CH ，AC BC AB CHADB AB DH CH DH H⎫==⊥⎪∆⇒⊥⎬⎪=⎭是等边三角形AB CDH AB CD CD CDH ⊥⎫⇒⇒⊥⎬⊂⎭平面平面；（2）解：111333ABC hV S h h ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴若V 最大，则h 最大. ∴平面ADB ⊥平面ABC .此时ABC ADB ACD BCD S S S S S ∆∆∆∆=+++表1=+20.（1）证明：设2(2,2)(0)M pt pt t >则,22p H pt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线HF 的斜率122pt k t p ==--，由22(0)y px p =>得y =， ∴直线l的斜率212k t==， ∴121(2)12k k t t⋅=-⋅=-，∴l HF ⊥. 又由抛物线定义MF MH =，∴l 平分HMF ∠； （2）解：当1p =时，2(2,2)M t t ，AB 的方程：222(2)y t t x t -=--，∴2(12,0)A t +，3(0,24)B t t +.∴3224212B M AB y t t t AM y t+===+，由2222(2)2y t t x t y x⎧-=--⎪⎨=⎪⎩23420ty y t t ⇒+--=， ∴1122Q Q t y y t t t+=-⇒=--，∴342242421212B Q ABy t t t t AQ y t t t++===-++， ∴4222422121AB AB t t t AM AQ t ++=+++22222141(1,)t t t =++=+∈+∞. 21.（1）解：ln ()a xf x x+=的定义域为(0,)+∞， 且221(ln )1ln '()a x x af x x x -+--==. 由'()01ln 0f x x a >⇒-->1ln 10ax a x e -⇒<-⇒<<，∴()f x 在1(0,)ae-单调递增，在1(,)a e -+∞单调递减；（2）解：0a =，ln ()xf x x=， ∴ln ()()x f x g x x ≤⇔2ln xmx m x≤⇔≥， 令2ln ()x u x x =，∴312ln '()xu x x-=，由'()00u x x >⇒<<∴()u x在单调递增，在)+∞单调递减，∴max ln 1()2u x u e e ===，∴12m e ≥； （3）证明：11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于11(1)(ln 1)211x x x x e e x xe -++⋅>++. 令(1)(ln 1)()x x p x x ++=，则2ln '()x xp x x -=，令()ln x x x ϕ=-则11'()1x x x xϕ-=-=，∵1x >，∴'()0x ϕ>，∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，()(1)10x ϕϕ>=>，'()0p x >，∴()p x 在(1,)+∞单调递增，∴()(1)2p x p >=，∴()211p x e e >++， 令12()1x x e h x xe -=+，则122(1)'()(1)x x x e e h x xe --=+，∵1x >，∴10xe -<，∴'()0h x <，()h x 在(1,)+∞单调递减， ∴当1x >时，2()(1)1h x h e <=+， ∴()2()11p x h x e e >>++，即11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22.解：（1）l10y +-=，C 的普通方程：24x y =；（2）2)P -在l 上，l的参数方程为1222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入C得：21422t ⎛⎫⎫=⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即2440t -+=， ∴1244t t =，∴1244PA PB t t ==.23.解：（1）设()53f x x x =++-，则有22,5()8,5322,3x x f x x x x --<-⎧⎪=-<<⎨⎪+>⎩，根据函数的单调性有8m ≤.即m 的取值范围(,8]-∞；（2）当8m =时，324x x --≤，∴324x x -≤+， 当3x ≥时，原不等式324x x -≤+，7x ≥-，∴3x ≥； 当3x <时，原不等式324x x -≤+，13x ≥-，∴133x -≤<， ∴原不等式解集为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。

1 i
A． 13 B．13 C．10 D． 10
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若实数 满足
，则 的最小值为_____．
14．函数 f (x) sin x 3 cos x ， x 0 ，π 的单调减区间为____．
x y 2 0,
x
2
y
5
0,
15．已知实数 x ， y 满足不等式组 y 2 0, 且 z 2x y 的最大值为 a ，则
a cos2 x dx
0
2 =_____．
16．△ABC
中，内角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，若
sin
3 2
B
4
2 2 ，且 a c 2，则
△ABC 的周长的取值范围是__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12
分）设函数
f
x
多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ）
A．20 种B．30 种C．40 种D．60 种
7．设函数 f (x) sin x cos x ，若对于任意的 x R ，都有 f (2 x) f (x) ，则 sin(2 ) （ ） 3
1
1
3
3
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
20．（12 分）已知数列
an
为等差数列，其中 a2 a3 8, a5 3a2 ．求数列
an
bn
的通项公式；记
2 an an 1
，
设 bn 的前
n

江淮十校2020届高三第二次联考数学（文科）一､选择题1.若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ）A. {|14}x x <„B. {|14}x x <<C. {1,2,3}D. {2,3}2.下列说法错误的是（ ）A. 命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B. 命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”是假命题C. 若命题p 、q ⌝均假命题，则命题p q ⌝∧为真命题D. 若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()f x 是奇函数”的必要不允分条件3.已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A. ()()()f b f a f c <<B. ()()()f c f b f a <<C. ()()()f c f a f b <<D. ()()()f a f b f c << 4.等差数列{}n a ，若2586104()6()132a a a a a ++++=，则94a a +=（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12 5.函数2sin 2x y x =-的图象大致是 A. B.C. D.6.已知向量a r ，b r 满足||3a =r ，1b r ||=，且||||a b a b -=+r r r r ，则|2|a b -r r 等于（ ）357 D. 3 7.平面直角坐标系xOy 中，若角α顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为单位圆O 交于点03,5P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则cos()6πα+=（ ）A. 33410-B. 43310-C. 33410+D. 43310+ 8.已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩，则满足(2)(1)0f x f -+->的x 的取值范围是（ ）A. (,3)-∞B. (1,3)-C. (,1)(3,)-∞-+∞UD. (3,)+∞9.长方､堑堵､阳马､鳖臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，其中阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊椎体的称呼.取一长方，如图长方体1111ABCD A B C D -，按平面11ABC D 斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中与矩形为底另有一棱与底面垂直的三棱锥1D ABCD -称为阳马，余下的三棱锥11D BCC -是由四个直角三角形组成的四面体称为鳖臑，已知长方体1111ABCD A B C D -中2AB =，3BC =，14AA =，按以上操作得到阳马，则阳马的最长棱长为（ ）A. 25B. 5 29 D. 4210.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，22a =则ABC ∆面积为（ ）5 B. 62 C. 72 211.关于函数()2sin()16f x x ππ=-+有下述四个结论:正确的有( )个①()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 ②()y f x =的图象关于点7,16⎛⎫⎪⎝⎭对称 ③()f x 的最小正周期为2 ④()f x 的值域为[1,3]-A. 1B. 2C. 3D. 412.已知函数2ln ,0()12,02e x x x f x x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪+-≤⎪⎩(e 为自然对数的底数)，则满足f (x )＝f [f (1)]的x 个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二､填空题13.曲线2()cos f x x x =-在点(0,(0))f 处的切线方程为_______________.14.n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，32a =，2106a a =，则6S =____________.15.函数()cos f x x x =，且对任意实数x 都有()()f x f x θθ-=+()R θ∈，则cos2θ=_______.16.当[0,1]x ∈时，不等式32320ax x x -++>恒成立，则实数a 的取值范围是________.三､解答题17.已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 166f x x x x a ππ=++-++- （1）若()f x 的最小值是2，求a ；（2）求函数()y f x =，[0,]x π∈的单调递减区间.18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n n S a =-.（1）判断数列{}n a 是否为等比数列，并说明理由；（2）设21log n n b n a =-+，求数列{}n b前n 项和n T .19.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足1()()2x f x g x ++=.（1）求()f x ，()g x ，并证明:2(2)[()]2f x g x =+；（2）求函数()(2)2()F x f x g x =-，[1,1]x ∈-的最小值.20.已知钝角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，若tan b a B =，且32sin 2sin cos 2C B A =+. （1）求角B ；（2）若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，且BC =AD .21.已知函数32()21f x x ax =-+()a R ∈.（1）若3a =-，求()f x 的极值；（2）若()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点，求()f x 在区间[]22-,上的最大值､最小值. 22.已知函数2()(1)x f x xe a x =++()a R ∈.（1）若1a =-，求()f x '的单调区间；（2）若0a >，证明()f x 有且仅有两个零点.。

江淮十校2020届高三第二次联考数学(文科)2019.11注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.若全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z|x 2<16}，B ＝{x|x －1≤0}，则A ∩(U ðB)＝A.{x|1≤x<4}B.{x|1<x<4}C.{1，2，3}D.{2，3}2.下列说法错误的是A.命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题为“x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”B.命题“∀x ∈(0，＋∞)，2x <3x ”是假命题C.若命题p 、⌝q 均为假命题，则命题⌝p ∧q 为真命题D.若f(x)是定义在R 上的函数，则“f(0)＝0”是f(x)是奇函数”的必要不充分条件3.已知函数f(x)＝e －x －e x (e 为自然对数的底数)，若a ＝0.7－0.5，b ＝log 0.50.7，c ＝log 0.75，则A.f(b)<f(a)< f(c)B.f(c)<f(b)< f(a)C.f(c)< f(a)< f(b)D.f(a)< f(b)<f(c)4.等差数列{a n }，若4(a 2＋a 5＋a 8)＋6(a 6＋a 10)＝132，则a 4＋a 9＝A.9B.10C.11 D125.函数y ＝2x －2sinx 的图像大致是6.已知向量a ，b 满足|a ||b |＝1，且|a －b |＝|a ＋b |，则|a －2b |等于D.37.平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点P(35，y 0)，且α∈(－2π，0)，则cos(α＋6π)＝8.已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩，则满足f(x －2)＋f(－1)>0的x 的取值范围是 A. (－∞，3) B.(－1，3) C.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.(3，＋∞)9.长方、堑堵、阳马、鱉臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，其中阳马和鱉臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼。

9.“江淮十校” 2018届高三第二次联考数 学(文科)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的。

1.已知全集 U = R ，集合 A = {x|y = ln(1 — x)} , B = {x| x 1 2 — 2x v 0)}，则 A A B = A. (0, 1) B. (0 , 2) C. (1 , 2) D. 1, 2)呻 呻呻呻呻 呻呻 呻2. 若向量a 、b 满足| a| = 5 , b = (1 , — 3), a • b = 5,则a 与b 的夹角为 A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°3.已知p : | m + 1| v 1, q ：幕函数y = ( m 2 — m — 1) x m 在(0 ,+^ )上单调递减，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不 必要条件4. 已知等差数列{ a n }的前 n 项和 S n ，若 3( a ? + a 4) + 2( a 6 + a g +) = 12,则 S 11 = A. 6B. 11C. 33D. 485. 下列命题中正确的是A. 命题“ x € 0, 1］，使 x 2 — 1 >0” 的否定为“-x € 0, 1］，都有x 2 — K 0”B. 若命题p 为假命题，命题q 为真命题，则(—p) V ( -q )为假命题C. 命题“若：• b > 0，则a 与b 的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D. 命题“若x 2 + x = 0,则x = 0或x =— 1”的逆否命题为“若 X M 0且X M — 1，则x 2 + X M 0” 6.已知函数f(x) = sin ®x+ ..3COS 3X ( W >0)的图像与x 轴交点的横坐标依次构成一个公差 x 轴向右平移［个单位，得到函数g(x)的图像,61 sin2 C已知△ ABC ，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , b = 2, B = , -S - C = 1,则厶6 1+ COS 2C ABC 的面积为为二的等差数列，把函数2则下列叙述不正确的是 f(x)的图像沿 8.A. g(x)的图像关于点(一 兀，0)对称B. g(x)的图像关于直线 D. g(x)是奇函数x =对称4G 为AB 边上一点，OG 是/ AOB 25OA + mOB ，m€ R ,则EAJ 的值为|OB| A. -2B. 1C.D. 27.在厶AOB 中, C g(x)在4，/上是增函数 的平分线，且OG =奇函数f(x)定义域为(一n 0) U (0 , n ,其导函数是f'(x),当0v x vn 时，有f '(x) sinx—f(x)x > 0，则关于x 的不等式f(x) v 2f 「)sinx 的解集为6A. ( — ■O )U (二，nB.(—O) U (0,二) 6666C. ( — n ， —-)U (二,n6 6D. ( — n,-)U (0 ,) 6 6已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n , 1 n 定义 n i =1S 为数列｛ a n ｝前 n 项的叠加和，若 2016项数列a 1 , a 2, a s ，…，a 2°16的叠加和为 2 2A. 2017B. 2018C. 2017D. 2018填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
20．（12分）
已知函数 （ 为常数， ）．
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 求实数 的取值范围．
21．（12分）
如图1，在等腰梯形ABCD中， ， ，O是CD中点，将 沿AO折起，使平面 平面ABCO．如图2所示，E，F点分别是AB，CD上的点，且 ．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则有（）
A． B．
C． D．
3．已知向量 ， ， ，若 ，则实数 （）
A． B． C． D．
则 ，即 ，
∵ ，∴ ．
14．32【解析】由 知等比数列 的公比 ，
则由题知 且 ，
则 ，求得 ， ，
则 ．
15． 【解析】如图，取 ，中点P，连接MP，NP，
由题知MN与BC所成的角即为MN与PN所成的角，
又正方体 的棱长为1，
则 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，则 ，
且 ，
故MN与BC所成角的正弦值为 ．
17．（10分）
在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
18．（12分）已知点 ， ， ，点P为曲线C上任意一点，且满足 ．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l过点M，求直线l被曲线C截得的最短弦长及此时直线l的方程．

安徽省2020届高三上学期第二次联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B，然后求交集即可.【详解】∵，，∴.故选：C【点睛】本题考查集合交集的概念与运算，属于基础题.2.复数，则（）A. B. 8 C. D. 20【答案】C【解析】【分析】利用乘法运算化简复数z，然后求出其模即可.【详解】∵，∴.故选：D【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.在中，，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得到底角大小，结合向量夹角定义得到结果.【详解】∵，，∴，则向量与的夹角为.故选：B【点睛】本题考查向量夹角的求法，解题关键是理解向量夹角的定义，属于易错题.4.设点是图中阴影部分表示的平行四边形区域（含边界）内一点，则的最小值为A. -1B. -2C. -4D. -6【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由z=x﹣2y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点时，直线y=的截距最大，此时z最小，代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣8=﹣6．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣6．故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．5.已知向量满足，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】将平方，找到的充要条件即可得结论.【详解】.又，可得，“”是“”的的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了向量模的运算，考查充分必要条件，属于中等题.6.将偶函数（）的图象向右平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（）A. （）B. （）C. （）D. （）【答案】A【解析】【分析】由为偶函数可得，向右平移个单位长度后可得，令（），可得对称中心.【详解】∵（）为偶函数，∴，∴.∴.令（），得（）.∴曲线的对称中心为（）故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数中的平移变换以及的对称性等，在涉及到三角函数的性质时，大多数要利用辅助角公式要将其化为三角函数的基本形式，在平移过程中掌握“左加右减，上加下减，左右针对，上下针对而言”的原则以及三角函数的对称性是解题的关键.7.若函数的最大值为，则（）A. 2B.C. 3D.【答案】C【解析】【分析】由即可得到原函数的最大值.【详解】，则，.故选：C【点睛】本题考查辅助角三角公式，考查指数函数的单调性，属于基础题.8.的内角，，所对的边分别为，，，已知，，且，则（）A. 4B. 5C.D. 7【答案】B【解析】【分析】由条件及正弦定理可得，利用二倍角余弦公式可得，再利用余弦定理可得值. 【详解】∵.∴，即.∵，∴，则.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角余弦公式，考查了恒等变形能力，属于中9.若函数的值域为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得取到一切的正数，列出不等式，解不等式即可得到所求范围.【详解】依题意可得要取遍所有正数，则，即.故选：B【点睛】本题考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力．10.设是数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用及相邻等式作差可得，从而可得，利用裂项相消法求和即可.【详解】∵当时，，则，即，则，从而，故，.故选:D【点睛】本题考查数列的通项与求和，考查裂项相消法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档11.函数在上的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性可以排除B，D，结合特殊点，即可得出选项．【详解】∵，∴为偶函数，排除B，D．∵，∴排除C，故选：A．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.12.若函数在上为增函数，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得对恒成立，令t=x+1即对恒成立.结合二次函数的图象与性质即可得到结果.【详解】依题意可得对恒成立，令t=x+1即对恒成立.设，.当时，解得.当时，∵，，∴对恒成立.综上，的取值范围为.故选：D【点睛】函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论（1）若在内，则在上单调递增（减）．（2）在上单调递增（减）（）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若向量，，且，，三点共线，则_______.【答案】【解析】【分析】由向量平行的坐标形式求得m,利用向量的数量积公式即可得到结果.【详解】∵，，三点共线，∴，∴，则，.故答案为：【点睛】涉及平面向量的共线（平行）的判定问题主要有以下两种思路：（1）若且，则存在实数，使成立；（2）若，且，则.14.某第三方支付平台的会员每天登陆该平台都能得到积分，第一天得1积分，以后只要连续登陆每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登陆两周，则他两周共得__________积分．【答案】【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式即可得到结果.【详解】依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列，故他这两周共得积分.故答案为：105【点睛】本题考查了等差数列的应用问题，解题关键理解好等差数列的定义，把问题归结到等差数列求和上.15.若，且，则__________．【答案】【解析】【分析】将变形为，从而可得进而得到，再利用配凑角得到所求. 【详解】，.又，，==，故答案为.【点睛】本题主要考查“给值求值”：给出某些三角函数式的值，求另外一些三角函数值，解题关键在于“变形”和“变角”，使其角相同或具有某种关系，本题主要利用了二倍角公式、诱导公式及两角和差的正切公式.16.若对恒成立，且存在，使得成立，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】利用方程思想得到，利用单调性明确函数的最大值即可.【详解】，以代入得，消去得，若，则单调递增，，则.故答案为：【点睛】本题考查了方程思想求函数的解析式，考查了不等式能成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题）17.在数列中，，，设.（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）直接用定义将化简得出定值4便可证明是等比数列，再利用的通项公式去求的通项公式.（2）直接利用等比数列求和公式即可得结果.【详解】（1）∵ ， ∴数列是首项为2，公比为4的等比数列. 从而， 则.（2）解：由（1）知， 所以，. 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断及等比数列求和的公式，是基本知识的考查．18.已知函数的图象关于直线对称．求的最小正周期；求在上的单调递增区间；若，求．【答案】（1）；（2），，；（3） 【解析】【分析】（1）将代入函数，与对称轴对应，再利用的范围可求得的具体取值，进而求得最小正周期；（2）求解出的单调递增区间，然后选择之间的部分；（3）通过两角和差正弦公式展开，再构造出关于的齐次式，从而利用求得齐次式的值。

2020年安徽省“江南十校”高三联考数 学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、复数22ii+-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35 B ．45 C ．35i D ．45i2、设集合{}ln ,1y y x x A ==>，集合{}24x y x B ==-，则()RAB =（ ）A ．∅B ．(]0,2C ．()2,+∞D ．()(),22,-∞-+∞3、设命题:p ()3,1a =，(),2b m =，且//a b ；命题:q 关于x 的函数()255x y m m a =--（0a >且1a ≠）是指数函数，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ） A ．0 B ．1 C ．212+D ．12+ 5、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32S =，66S =，则131415a a a ++的值是（ ） A ．18 B ．28 C ．32 D ．1446、若函数21x y a -=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点(),m n P ，且过点()Q 1,m n -的直线l 被圆C:222270x y x y ++--=截得的弦长为32，则直线l 的斜率为（ ） A ．1-或7- B ．7-或43 C ．0或43D ．0或1- 7、已知点()0,1A 、()2,3B -、()C 1,2-、()D 1,5，则向量C A 在D B 方向上的投影为（ ） AB．D． 8、已知函数()1sin 1cos 22f x a x a x ⎛⎫⎛=++ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，将()f x 图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若对任意R x ∈，都有()4g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．29、已知函数()()()()12010x x f x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =++在R 上恰有两个相异零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．(),0-∞D ．(],1-∞ 10、在正方体1111CD C D AB -A B 中，①经过点A 垂直于平面1D A B 的直线也垂直于平面11D C B ； ②设O 为C A 和D B 的交点，则异面直线1AB 与1C O 所成的角是6π； ③若正方体的棱长为2，则经过棱11D C 、11C B 、1BB中点的正方体的截面面积为④若点P 是正方形CD AB 内（包括边界）的动点，点Q 在对角线1C A 上，且满足1Q C P ⊥A ，Q PA =P ，则点P 的轨迹是线段．以上命题正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、命题：“存在R x ∈0=”的否定是 ． 12、()30log 2sin 330213++= ．13、若实数x ，y 满足约束条件430260x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则21y x +的取值范围为 ．14、在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：O →()11,0A →()21,1A -→()30,1A -→()41,1A --→()51,0A -→()61,1A -→()70,1A →()81,1A →()92,1A →⋅⋅⋅→()122,2A -→⋅⋅⋅→()162,2A --→⋅⋅⋅→()202,2A -→⋅⋅⋅→()253,2A →⋅⋅⋅，则蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为 ．15、若曲线C 上任意一点与直线l 上任意一点的距离都大于1，则称曲线C “远离”直线l ．在下列曲线中，“远离”直线:l 2y x =的曲线有 ．（写出所有符合条件的曲线C 的编号）①曲线C:250x y -+=；②曲线C:2924y x x =-+-；③曲线C:()2251x y +-=；④曲线C:1x y e =+； ⑤曲线C:ln 2y x =-．三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数()4sin cos 16f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．()I 求函数()f x 的最小正周期；()II 在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，3a =，C 3S ∆AB =求22b c +的值．17、（本小题满分12分）某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，现已知成绩落在[]90,100的有5人．()I 求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数；()II 根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；()III 现要从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中共选2人参加某项座谈会，求2人来自于同一分数段的概率．18、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足22124n n n n n a a a a a ++++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．()I 证明：数列{}n a 是等差数列；()II 设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <．19、（本小题满分13分）如图，圆柱1OO 的底面圆半径为2，CD AB 为经过圆柱轴1OO 的截面，点P 在AB 上且13AP =APB ，Q 为D P 上任意一点．()I 求证：Q A ⊥PB ；()II 若直线D P 与面CD AB 所成的角为30，求圆柱1OO 的体积．20、（本小题满分13分）已知函数()()1ln 1a x f x a x x +=-+，其中0a ≥．()I 当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；()II 讨论()f x 在其定义域上的单调性．21、（本小题满分13分）已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，它的左焦点为()F ,0c -，直线1:l y x c =-与椭圆C 交于A ，B 两点，F ∆AB 的周长为3a ．()I 求椭圆C 的方程；()II 若点P 是直线2:l 3y x c =-上的一个动点，过点P 作椭圆C 的两条切线PM 、PN ，M 、N 分别为切点，求证：直线MN 过定点，并求出此定点坐标．（注：经过椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上一点()00,x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=）参考答案1.B ．22(2)342(2)(2)55i i i i i i ++==+--+，故选B 2.C ．{}{}0,22A x x B x x =>=-≤≤，{}=2x 2,R C B x x ><-或{}=2,R A C B x x ∴⋂> 故选C3.A ．命题:320,6p m m ⨯-==；命题2:55116q m m m --==-由得或，故选A4.A ．由程序框图可知，最后输出的215sinsin sin0444p πππ=+++=，故选A 5.C ．由等比数列性质可知363961291512,S S S S S S S S S ----，，，也成等比，易求出131415151232a a a S S ++=-=, 故选C6.A ．(22),(12)P Q ，，,设2(1),20l y k x kx y k -=--+-=：即，圆C ：22(1)(1)9x y ++-=，圆心-1,1C （）到l 的距离d ==2870k k ∴++=，17,k =--或故选A7.D ．(11),(32),AC BD =-=∴，，AC 在BD 方向上的投影为13AC BD BD -⨯==13=-,故选D 8. D ．1()sin cos cos 22f x a x a x x x =++=sin()2cos()33a x x ππ+++ ()()sin 2cos 3g x f x a x x π∴=-=+，由题意得(g x ）图象关于直线4x π=对称， ()(0),22g g a π∴=∴=，故选D9B ．()0()g x f x x a =⇔=--，当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，()(1)f x f x =+=，故把y =[)0,1上的部分向左平移1个单位得到()f x 在[)1,0-上的图象，再把()f x 在[)1,0-上的图象每次向左平移1个单位连续平移就得到()f x 在R 上的图象，再作出y x a =--的图象，由图象可得1a -<，1a >-，故选B10.D ．易证1//A BD 面11B D C 选，∴①正确；11//A B D C ，1OC D ∠就是异面直线1AB 与1OC 所成的角．1,BD OC BD CC ⊥⊥，BD ∴⊥面1OCC ，1BD OC ∴⊥，又11122OD BD C D ==，16OC D π∴∠=，∴②正确；设棱111111,,,,,B D B C BB AB AD DD 的中点分别为,,,,,E F G H M N ，则过点,,E F G 的正方形截面就是正六边形EFGHMN ，26S ==，∴③正确；连结1A P ，易证1AA AP ⊥，又1PQ A C ⊥，11,PA PQ PA PA ==，1111,Rt A PA Rt A PQ A A AQ ∴∆≅∆=，∴Q 为1A C 上定点，又PA PQ =，点P 在线段AQ 的中垂面上，∴点P 在AQ 的中垂面与正方形ABCD 的交线上，∴④正确；故选D11.对任意x R ∈0≠．12.52 原式15sin(30)12322=-++=-+=．13.4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21y x +可看作点()1,0P -与点(),x y 连线斜率的2倍，画出可行域，由4260x x y =⎧⎨+-=⎩ 得()4,2A -,由30260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,4B ,2,2,5PA PB k k =-=∴21yx +的取值范围为4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 14.()1,9-以O 为中心，边长为2的正方形上共有格点18a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()1,1以O 为中心，边长为4的正方形上共有格点216a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()2,2以O 为中心，边长为6的正方形上共有格点324a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()3,3………以O 为中心，边长为2n 的正方形上共有格点8n a n =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为(),n n ，由前n 个正方形上格点的总数123n S a a a =+++…81624n a +=+++ (88)83502n n n ++=≥得9n ≥．当9n =时，前9个正方形上格点的总数99(872)3602S +==，且蚂蚁在第9个正方形（边长为18）上爬过的最后一个格点为()3609,9A ，故蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为()1,9-． 15.②③⑤ 对①：2512d ==，∴不合题意；对②：设直线1:2l y x b =+与曲线29:24C y x x =-+-相切，把2y x b =+代入2924y x x =-+-得2904x b ++=，由90404b ⎛⎫∆=-+= ⎪⎝⎭，得94b =-，此时直线1l 与l的距离91d ==>，符合题意；对③：圆心()0,5C到直线l的距离d ==∴圆C 上的点到l 距离的最小11>，符合题意；对④：设曲线C 上斜率为2的切线的切点为()00,P x y ，'x y e =，00'2,x x x k y e =∴===0ln 2x ∴=，()ln 2,3P ∴，切线：()32ln 2y x -=-，即：232ln 20x y -+-=，∴切线与C的距离d ==，()ln 41,2∈，()3ln 41,2∴-∈，2,1d >∴<，不合题意；对⑤：设切点为()00,P x y ，'1y x=， 0'012,x x k y x =∴===012x ∴=，1,2ln 22P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，1,d ∴==>符合题意。

江南十校 2020 年高考二模冲刺卷数学试题（文）本卷分第 I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150 分，考试时间 120 分钟。

考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号和准考据号。

2．答第 I 卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。

如．．．．需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

3．答第 II 卷时，一定使用0.5 毫米黑色署名笔在答题卷上书写，要求字体工整、字迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卷规定的地点给出，确认后再用0.5 毫米的黑色墨水签．．．字笔描绘清楚。

一定在题号所指示的答题地区作答，高出答题地区书写的答案无效，．．．．．．．．．．．．．．在试题卷、底稿纸上答题无效。

．．．．．．．．．．．．．．4．考试结束，务势必试题卷和答题卷一并交回。

参照公式：球的表面积公式 S 4 R2 球的体积公式 V 4 R3 此中 R 表示球的半径3第Ⅰ卷（选择题，共50 分）一、选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求的）1．设复数 z 知足(2 i) z 1 2i （i为虚数单位），则复数z的为（）A． -i B． i C． 1-i D． 1+i2．若会合A { x | 2 x x2 0}, B { y | y | x |, x A} ，则A I B=（）A．B． [0， 1] C． [0，2] D． {0，1，2} 3．若a 0,b 0, 且 a 2b 2 0 ，则ab的最大值为（）1B．1 C． 2 D． 4 A．24．已知点 M 是直线l : 2x y 4 0 与x轴的交点，过M点作直线l的垂线，获得的直线方程是（）A ． x 2 y 2 0B ． x 2 y 2 0C ． x 2 y 2 0D ． x 2 y 2 05．下列图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．4πB ．8 πC ． 12πD ． 16π5．若 a0,b 0,且a b 2,则ab1的最小值为ab（ ）A ．2B ．3C ． 4D ．2 26．已知点 P （ x ， y ）的坐标 x ， y 知足x 2y 1 0, 则 x 2 y 2 6x 9 的取值范围是| x | y1 0（ ）A ． [2， 4]B ． [2， 16]C ． [4，10]D ． [4，16]7．抛物线 y4x 2 的焦点到准线的距离为（）11C ． 2D ． 4A ．B ．828．若将函数 yA cos( x)( A 0,0) 的图像向左平移6 个单位后获得的图像对于原6点对称，则 的值可能为 （ ）A ．2B ．3C ． 4D ． 59．数列 { a n } 为等差数列，且 a 1 1,q 2 ，则 T n1 1L1 的结果可化为a 1a 2 a 2 a 3 a n a n 1（ ）A ． 11B ． 112(1121nnC ．4 n )D ．(1n)4233 210．在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是（ ）A ．1 1 1 1 B ．5C ．D ．643第Ⅱ卷 （非选择题 共 100 分）二、填空题（本大题共 5 小题，每题5 分，共 25 分。

绝密★启用前2020年安徽省“江南十校”综合素质检测文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x＋3>1}，B＝{x|2x－1<1}，则A∩B＝A.(－∞，－1)B.(2，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)2.已知复数z＝i(2＋i＋i2)(i为虚数单位)，则z＝A.－1－iB.1＋iC.1－iD.－1＋i3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米4.函数f(x)＝cos22x xx x-+在[－2π，2π]上的图象大致为5.在2020年春节前夕，为了春节食品市场安全，确保人们过一个健康安全的春节，某市质检部门对辖区内的某大型超市中的一品牌袋装食品进行抽检，将超市中该袋装食品编号为1，2，3，…，500，从中用系统抽样(等距抽样)的方法抽取20袋进行检测，如果编号为69的食品被抽到，则下列4个编号的食品中被抽到的是A.9号B.159号C.354号D.469号6.已知cos 5π＝a ，则sin 35π＝ A.a 21a - B.－a 21a - C.2a 21a - D.－2a 21a -7.已知a ＝log 32，b ＝ln3，c ＝2－0.99，则a ，b ，c 的大小关系为A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a8.执行下面的程序框图，则输出S 的值为A.112-B.2360C.1120D.43609.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题。

2020 年安徽省十校联盟高考数学模拟试卷（文科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={x|x＞1}，B={x|3x＞2}，则 A∩B=（ ）A. （0，1）B. （1，2）C. （1，+∞）2. 复数 z= ，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）D. （0，+∞）A. |z|=B. z 的共轭复数为 + iC. z 的实数与虚部之和为 1D. z 在平面内的对应点位于第一象限3. 雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），原先是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析．图为甲、乙两人在五个方面的评价值的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）A. 甲、乙两人在次要能力方面的表现基本相同 B. 甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙 C. 在培训与销售两个方面上，甲的综合表现优于乙 D. 甲在这五个方面的综合表现优于乙4. 若 a=log3 ，b=log23，c=（ ）3，则 a，b，c 的大小关系为（ ）A. c＞b＞aB. b＞c＞aC. b＞a＞cD. c＞a＞b5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果为 86，则正整数 k 的最小值为（ ）A. 43B. 1860C. 48D. 426. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a6=3，S8=12，则{an}的公差为（ ）A. -1B. 1C. 2D. 3第 1 页，共 15 页7. 已知直线 l⊥平面 α，直线 m∥平面 β，则“α∥β”是“l⊥m”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件8. 已知实数 x，y 满足，若 z=x+my 的最大值为 10，则 m=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 某几何体由三个圆柱和大小相同的两个半球组成，它的三视图如图所示（单位：dm），则该几何体的表面积是（ ）（侧视图中间有小圆）A. dm2B. 11πdm2C. dm2D. 9πdm210. 已知点 A（1，1）和 B（ ， ），直线 l：ax+by-7=0，若直线 l 与线段 AB 有公共点，则 a2+b2 的最小值为（ ）A. 24B.C. 25D.11. 设 ω＞0，函数 f（x）=sinωxcosφ+cosωxsinφ（ω＞0，|φ|＜ ）的图象经过点（0，- ），将该函数的图象向右平移 个单位后所得函数图象关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 F 的直线与抛物线交于 P，Q 两个不同的点，O 为坐标原点，P，Q 两点在直线 x=-p 上的射影分别为 M，N，若|MO|=2 ，|NO|= ，则 p2=（ ）A. 1B.C. 4D. 6二、填空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分）13. 已知向量 =（-k，k+2）， =（2，-3），若 ∥（ +2 ），则实数 k=______．14. 在△ABC 中，A=60°，b=1，S△ABC= ，则 的值为______．15. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 5 年的年广告支出 x（单位：万元） 与年销售额 y（单位：万元）进行了初步统计，如表所示． 年广告支出 x/万元 2 3 5 7 8 年销售额 y/万元 28 37 a 60 70经测算，年广告支出 x 与年销售额 y 满足线性回归方程 =6.4x+18，则 a 的值为______．第 2 页，共 15 页16. 已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，准线 l：x=- ，点 M 在抛物线 C 上， 点 A 在准线 l 上，若 MA⊥l，直线 AF 的倾斜角为 ，则|MF|=______．17. 若变量 x，y 满足，且 z=2x+y，则 z 的最大值是______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 18. 已知数列{an}为等差数列，数列{bn}满足 bn=an+n+4，若 b1，b3，b6 成等比数列，且b2=a8． （1）求 an，bn；（2）求数列{ }的前 n 项和 Sn．19. 2019 年国际篮联篮球世界杯，将于 2019 年在的北京、广州、南京、上海、武汉、 深圳、佛山、东莞八座城市举行．为了宣传世界杯，某大学从全校学生中随机抽取 了 120 名学生，对是否收看篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查，统计数据如下：会收看不会收看男生6020女生2020（1）根据上表说明，能否有 99%的把握认为收看篮球世界杯赛事与性别有关？（2）现从参与问卷调查且收看篮球世界杯赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取 4 人参加 2019 年国际篮联篮球世界杯赛志愿者宣传活动．（i）求男、女学生各选取多少人；（ii）若从这 4 人中随机选取 2 人到校广播站开展 2019 年国际篮联篮球世界杯赛宣传介绍，求恰好选到 2 名男生的概率．附：，其中 n=a+b+c+d．P（K2≥k0） k00.10 2.7060.05 3.8410.025 5.0240.01 6.6350.005 7.87920. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA⊥平面 ABCD，∠ABC= ，M 是 PC 上一动点．第 3 页，共 15 页（1）求证：平面 PAC⊥平面 MBD； （2）若 PB⊥PD，三棱锥 P-ABD 的体积为 ，求四棱锥 P-ABCD 的侧面积．21. 已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的左顶点为 A（-2，0），焦距为 2．（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为点 M，与圆 O：x2+y2=4 的另一个交 点为点 N，是否存在直线 l 使得|AM|=|MN|？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在， 请说明理由．22. 已知函数 f（x）=x2-x-lnx． （1）求函数 f（x）的极值； （2）若 x1，x2 是方程 ax+（f x）=x2-x（a＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx1+lnx2+2lna ＜0．第 4 页，共 15 页23. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（θ 为参数），直线 l 的参数方程为（t 为参数，α 为直线 l 的倾斜角）．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位．（Ⅰ）当 α= 时，求直线 l 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线 C 和直线 l 交于 M，N 两点，且|MN|= ，求直线 l 的倾斜角．24 已知 f（x）=|2x+4|+|x-3|． （1）解关于 x 的不等式 f（x）＜8；（2）对于正实数 a，b，函数 g（x）=f（x）-3a-4b 只有一个零点，求 + 的最小值．2020 年安徽省十校联盟高考数学模拟试卷（文科）答案和解析【答案】1. C2. D3. C4. B5. A6. B7. A8. B9. A10. B 11. B 12. B13. 414.15. 5516.17.18. 解：（1）设等差数列{an}是公差为 d，由 bn=an+n+4，若 b1，b3，b6 成等比数列， 可得 b1b6=b32， 即为（a1+5）（a6+10）=（a3+7）2， 由 b2=a8，即 a2+6=a8，第 5 页，共 15 页可得 d= =1，则（a1+5）（a1+5+10）=（a1+2+7）2， 解得 a1=3， 则 an=a1+（n-1）d=3+n-1=n+2； bn=an+n+4=n+2+n+4=2n+6；（2） == （ - ），则前 n 项和 Sn= （ - + - + - +…+ - ）= （ - ）= ．19. 解：（1）因为=7.5＞6.635，所以有 99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关．（2）（i）根据分层抽样方法得，男生人，女生人，所以选取的 4 人中，男生有 3 人，女生有 1 人． （ii）设抽取的 3 名男生分别为 A，B，C，1 名女生为甲； 从中抽取两人，分别记为（A，B），（A，C），（A，甲），（B，C））， （B，甲），（C，甲），共 6 种情形， 其中 2 男的有（A，B），（A，C），（B，C），共 3 种情形．所以，所求概率．20. 解：（1）证明：∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴PA⊥BD．∵底面 ABCD 是菱形，∴BD⊥AC． 又∵PA∩AC=A，PA⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC， ∴BD⊥平面 PAC． 又∵BD⊂平面 MBD，∴平面 PAC⊥平面 MBD．（2）解：设菱形 ABCD 的边长为 x，∵，∴．在△ABD 中，，∴．又∵PA⊥平面 ABCD，AB=AD，PB⊥PD，∴，∴．又，∴，∴x=1，∴，∵，∴AC=AB=1．又∵PA⊥平面 ABCD，∴，第 6 页，共 15 页∴四棱锥 P-ABCD 的侧面积为：S=．21. 解：（1）由题意，可知 a=2，c=1．则a2=4，b2=a2-c2=4-1=3．∴椭圆 C 的标准方程为 + =1．（2）由题意，假设存在直线 l 使得|AM|=|MN|，可设直线 l 的斜率为 k． 则直线 l：y=k（x+2）． ∵|AM|=|MN|，即点 M 为线段 AN 中点， ∴根据圆的性质，可知 OM⊥AN，且 OM 平分 AN． 根据题意画图如下：则|OM|==．在 Rt△AMO 中，AM==联立直线 l 与椭圆 C 方程，可得：=．，消去 y，整理得（4k2+3）x2+16k2x+4（4k2-3）=0． 则△=256k4-16（4k2+3）（4k2-3）=144＞0．x1+x2=-，x1•x2=．|AM|=•=•=．∴=．整理，得 2k2+3=0．很明显矛盾， 故直线 l 不存在．22. 解：（1）依题意，f′（x）=2x-1- ==．故当 x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当 x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0． 故当 x=1 时，函数 f（x）有极小值 f（1）=0，无极大值；第 7 页，共 15 页证明：（2）∵x1，x2 是方程 ax+f（x）=x2-x（a＞0）的两个不同的实数根．∴，两式相减得，解得 a= ．要证：lnx1+lnx2+2lna＜0，即证：x1x2＜ ，即证：x1x2＜，即证＜=，不妨设 x1＜x2，令＞1．只需证 ln2t．设，则；令 h（t）=2lnt-t+ ，则 h′（t）=＜0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减， ∴h（t）＜h（1）=0，即 g′（t）＜0， ∴g（t）在（1，+∞）上为减函数，则 g（t）＜g（1）=0．即 ln2t＜在（1，+∞）上恒成立，∴原不等式成立，即 lnx1+lnx2+2lna＜0．23. 解：（I）由，消去参数 t 可得：x-y-1=0，可得极坐标方程：ρcosθ-ρsinθ-1=0，即=1．（II）由曲线 C 的参数方程为（θ 为参数），消去参数 θ 可得：（x-2）2+y2=4．将直线 l 的参数方程为（l 为参数，代入圆的方程：t2-2tcosα-3=0，△＞0．则 t1+t2=2cosα，t1•t2=-3，|MN|=|t1-t2|===，cosα=± ．∴α= 或 ．∴直线 l 的倾斜角为 或 ．24. 解：（1）由题意可得 f（x）=，故当 x≤-2 时，不等式可化为-3x-1＜8，解得 x＞-3， 故此时不等式的解集为（-3，-2]； 当-2＜x＜3 时，不等式可化为 x+7＜8，解得 x＜1， 故此时不等式的解集为（-2，1）；当 x≥3 时，不等式可化为 3x+1＜8，解得 x＜ ，此时不等式无解．综上，不等式的解集为（-3，1）． （2）作出函数 f（x）的大致图象及直线 y=3a+4b，如图． 由图可知，当 g（x）=f（x）-3a-4b 只有一个零点时，3a+4b=5， 即（2a+b）+（a+3b）=5，第 8 页，共 15 页故 + = （ + ）[（2a+b）+（a+3b）]= •[4+1+ +]=1+ •[ +]≥1+ •2=1+ = ，当且仅当 =时等号成立．所以 + 的最小值为 ．【解析】1. 解：∵集合 A={x|x＞1}，B={x|3x＞2}={x|x＞log32}， ∴A∩B={x|x＞1}． 故选：C． 求出集合 A，B，由此能求出 A∩B． 本题考查交集的求法，考查交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：复数 z= == + i，∴|z|== ，A 错误；z 的共轭复数为 - i，B 错误；z 的实数与虚部之和为 + =2，C 错误；z 在平面内的对应点是（ ， ），位于第一象限，D 正确．故选：D． 化简复数 z，分别求出 z 的模长、共轭复数以及实数与虚部和 z 在平面内的对应点坐标． 本题考查了复数代数形式的运算问题，也考查了复数的概念与应用问题，是基础题．3. 解：由雷达图可知，乙在培训方面的数据大于甲、乙在销售方面的数据小于甲，显然 C 选项的分析不正确． 故选：C． 对比两人在雷达图中的相应数据，即可得到结论． 本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题．4. 解：∵a=log3 ＜log31=0，b=log23＞log22=1，0＜c=（ ）3＜（ ）0=1，∴a，b，c 的大小关系为 b＞c＞a． 故选：B． 利用指数函数、对数函数的单调性能求出 a，b，c 的大小关系． 本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运 算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5. 解：第一次进入循环后：S=3，n=2第二次进入循环后：S=8，n=6 第三次进入循环后：S=22，n=42 第四次进入循环后：S=86，n=1086 由于 n=42，不满足条件 n≥k，n=1086，满足 n≥k，第 9 页，共 15 页所以正整数 k 的最小值为 43． 故选：A． 模拟程序的运行过程，即可得出 k 的最小值． 本题考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行是解答此类问题常用的方法，是基础 题．6. 解：∵等差数列{an}中，a6=3，S8=12，∴，解方程可得，a1=-2，d=1， 故选：B． 直接利用等差数列的通项公式及求和公式即可求解 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．7. 解：若 α∥β，∵直线 l⊥平面 α，∴直线 l⊥β， ∵m∥β， ∴l⊥m 成立． 若 l⊥m，当 m∥β 时，则 l 与 β 的位置关系不确定， ∴无法得到 α∥β． ∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件． 故选：A． 结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间直线和平面的位置关系是解决本题 的关键．8. 解：由实数 x，y 满足，作出可行域如图， 联立，解得 A（2，4），化目标函数 z=x+my 为 y=- x+ ，由图可知，当直线 y=- x+ 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为：10， 即 2+4m=10．解得 m=2． 故选：B． 画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联 立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9. 解：由三视图可知几何体左右各是半球，直径为 2，左右两个圆柱的高为 1，底面直径为 2，中间圆柱的高为 3，底面直径为 1，则该几何体的表面积是S=4π+2π×2+π×3+[]×2= （dm2）．故选：A． 由三视图可知几何体左右各是半球，直径为 2，左右两个圆柱的高为 1，底面直径为 2， 中间圆柱的高为 3，底面直径为 1，即可求出该几何体的表面积．第 10 页，共 15 页本题考查三视图，考查几何体的表面积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关 键．10. 解：直线 l 经过点 A 时，可得 a+b-7=0；直线 l 经过点 B 时，可得-7=0，化为：3a+2b-18=0．a2+b2 表示点（a，b）到原点 O 的距离的平方．原点 O 到直线 a+b-7=0 的距离 d1= ．原点 O 到直线 3a+2b-18=0 的距离 d2= ，又==- ＜0，∴a2+b2 的最小值为 ．故选：B．直线 l 经过点 A 时，可得 a+b-7=0；直线 l 经过点 B 时，可得-7=0，化为：3a+2b-18=0．a2+b2 表示点（a，b）到原点 O 的距离的平方．原点 O 到直线 a+b-7=0 的距离 d1．原点 O 到直线 3a+2b-18=0 的距离 d2，又＜0，即可得出．本题考查了直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11. 解：由已知得 f（x）=sin（ωx+φ）．由 f（0）=- 得 sin φ=- ，因为|φ|＜ ，所以 φ=- ．所以 f（x）=sin（ωx- ）．解法一：将函数（f x）的图象向右平移 个单位后所得函数图象对应的函数为 y=sin[ω（x- ）- ]=sin（ωx- - ）．由已知可得，所得函数为偶函数，所以 + =kπ+ （k∈Z），解得 ω=6k+2（k∈Z）． 因为 ω＞0，所以 ω 的最小值是 2． 解法二：令 ωx- =kπ+ （k∈Z），解得 x= π+ （k∈Z）．所以函数 f（x）的图象的对称轴为直线 x= π+ （k∈Z）．将该函数的图象向右平移 个单位后所得函数图象关于 y 轴对称，即函数 f（x）的图象的一条对称轴向右平移 个单位后与 y 轴重合，故有 π+ + =0（k∈Z），解得 ω=-（6k+4）（k∈Z）． 因为 ω＞0，所以当 k=-1 时，ω 取得最小值 2． 故选：B．由已知得 f（x）=sin（ωx+φ）．由 f（0）=- 代入可求 φ，解法一：先求出将函数 f（x）的图象向右平移 个单位后所得函数图象对应的函数解析式，结合偶函数的对称性可求； 解法二：先求出 f（x）的对称轴，然后把对称轴进行平移，结合已知可求． 本题主要考查了函数的图象的平移及由正弦函数的部分图象性质求解函数解析式，还考 查了正弦函数性质的应用，属于中档试题．第 11 页，共 15 页12. 【分析】本题考查了抛物线的性质，考查了计算能力，属于中档题． 设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由|MO|2=（-p-0）2+（y1-0）2=p2+y12，可得 y12=12-p2．由|NO|2=（-p-0）2+（y2-0）2=p2+y22，可得 y =3-p2．又 y1y2=-p2，即可求解． 【解答】 解：作出图象如图所示．设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由题意可得 M（-p，y1），N（-p，y2）． 故|MO|2=（-p-0）2+（y1-0）2=p2+y12 所以（2 ）2=p2+y12，即 y12=12-p2． |NO|2=（-p-0）2+（y2-0）2=p2+y22，所以（ ）2=p2+y22，即 y =3-p2．又直线 PQ 过焦点 F，设直线 PQ 的方程为：,联立,消去 x 可得：,,可得 y1y2=-p2， 所以（y1y2）2=（-p2）2， 即（y1y2）2=（12-p2）（3-p2）=p4， 解得 p2= ． 故选：B．13. 解：∵ =（-k，k+2）， =（2，-3），∴ +2 =（4-k，k-4），又 ∥（ +2 ），∴-k（k-4）-（k+2）（4-k）=0，解得：k=4． 故答案为：4．由已知求得 +2 的坐标，再由 ∥（ +2 ）列式求得 k 值．本题考查向量的坐标加法运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．14. 解：因为 A=60°，b=1，S△ABC===，则 c=4，由余弦定理可得，cosA= =，解可得，a= ，由正弦定理可得，== ．故答案为：第 12 页，共 15 页由已知结合三角形的面积公式可求 c，然后结合余弦定理可求 a，再由正弦定理即可求 出． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的综合应用，属于基础试题．15. 【分析】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得 a 值． 【解答】解：∵，，∴样本点的中心坐标为（5， ），代入 =6.4x+18，得，解得 a=55．故答案为：55．16. 解：抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，准线 l：x=- ，抛物线 C：y2=5x点 M 在抛物线 C 上，点 A 在准线 l 上，若 MA⊥l，且直线 AF 的倾斜角为 ，直线 AF 的斜率 kAF= ，设|MF|=m，可得 m+ m= ，|MF|= ．故答案为： ．画出图形，抛物线的性质，结合直线的斜率，计算|MF|即可． 本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，三角形的面积计算， 属于中档题．17. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由 z=2x+y 得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z， 由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 B 时，直线 y=-2x+z 的截距最大， 此时 z 最大．由，解得 A（ ， ），将 A（ ， ）的坐标代入目标函数 z=2x+y，得 z=2× + = ．即 z=2x+y 的最大值为 ．故答案为： ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大 值．第 13 页，共 15 页本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是 解决此类问题的基本方法．18. 本题考查等差数列通项公式的运用，等比数列的性质，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题． （1）设等差数列{an}是公差为 d，运用等比数列性质和等差数列的通项公式，解方程可 得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得 == （ - ），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．19. （1）求出 K2=7.5＞6.635，从而有 99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关．（2）（i）根据分层抽样方法能求出选取的 4 人中，男生有 3 人，女生有 1 人． （ii）设抽取的 3 名男生分别为 A，B，C，1 名女生为甲，利用列举法能求出恰好选到 2 名男生的概率． 本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查古典概型、分层抽样、列举法等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题．20. （1）推导出 PA⊥BD．BD⊥AC．从而 BD⊥平面 PAC，由此能证明平面 PAC⊥平面MBD．（2）设菱形 ABCD 的边长为 x，由，得．推导出．由 PA⊥平面 ABCD，AB=AD，PB⊥PD，得，．推导出，从而求出 x=1，由此能求出四棱锥P-ABCD 的侧面积． 本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21. （1）据题意有 a=2，c=1，则通过计算可得椭圆 C 的标准方程；（2）可先假设直线 l 存在，可设直线 l 的斜率为 k，则直线 l：y=k（x+2）．根据|AM|=|MN| 及圆的性质可知 OM 垂直平分 AN．再根据点到直线的距离公式可得 OM 的关于 k 的表 达式，再解 Rt△AMO 可得 AM 的关于 k 的表达式．然后联立直线与椭圆方程，消去 y 整理可得一元二次方程，根据韦达定理有 x1+x2=-，x1•x2=．根据弦长公式可得 AM 的关于 k 的另一个表达式．根据存在性则两个表达式相等，如果 k 值存在则直线 存在；如果没有 k 值则直线不存在． 本题主要综合考查直线，圆和椭圆三者综合的问题，考查了弦长公式的应用，方程思想 的应用，圆的基本性质，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．22. （1）求出原函数的导函数，得到原函数的单调区间，进一步求得函数极值；（2）由 x1，x2 是方程 ax+f（x）=x2-x（a＞0）的两个不同的实数根．可得，得到 a= ，把要证明的结论转化为证：x1x2＜ ，即证：x1x2＜，也就是证＜=，不妨设 x1＜x2，令＞1．只需证 ln2t．构造函数，利用导数证明 g（t）在（1，+∞）上为减函数，可得 g（t）＜g （1）=0，则结论得证．第 14 页，共 15 页本题考查利用导数研究函数的极值，考查数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证 明恒成立问题，属难题．23. （I）由，消去参数 t 可得：x-y-1=0，利用互化公式可得极坐标方程．（II）由曲线 C 的参数方程为（θ 为参数），消去参数 θ 可得普通方程．将直线 l 的参数方程为（l 为参数，代入圆的方程：t2-2tcosα-3=0，利用|MN|=|t1-t2|== ，代入解出即可的．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程及其应用、一元二次方程的 根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24. （1）利用分段函数去掉绝对值，分类讨论求出不等式的解集．（2）由题意可得当 g（x）=f（x）-3a-4b 只有一个零点时，3a+4b=5，根据 + =（ + ）[（2a+b）+（a+3b）]，变形后利用基本不等式，求出它的最小值． 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的零点，基本不等式的应用，属于难题．第 15 页，共 15 页。

姓名座位号(在此卷上答题无效}绝密★启用前2019年“江南十校”高三学生冲刺联考(二模）文科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中座位号与本人座位号是否一致，务必在答題卡规定的地方填写考场/座位号、姓名、班级。

2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5亳米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

.第1卷(选择题共60分）―、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合 A= {1＜|x x }，B = {2|x x }，则C R (A ∩Ｂ)= A. {2＜|x x } B. {1|xx }C. {1x 2＜|或x x }D. {x ＞＞2|或xx }2.设ii z2332，复数2z 位于复平面A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为A.2B.25 C.290941 D.10294. 已知抛物线方程为2ax y,它的准线方程为81y，则a 的值为A.21 B.21 C.-2D.25. 已知圆台上、下两底面与侧囿都与球相切，它的侧面积为16,则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为A.4B.6 C.8 D.106. 已知:31log ,)31(,411ln 11eec b a，则 a ，b ，c 的大小关系为A. c > a > bB. c > b > aC.b > a > cD.a > b > c 7. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，点F 在CD 上, 且DF=2FCC ，连接AE 、BF 交于G 点，则DGA.AD AB 7154 B.AD AB 7476C.ADAB7275 D.ADAB71738. 已知函数)(3cos 33sin )(R xx x x f ，曲线)(x f 与直线3y的交点中，相邻交点的距离最小值与最大值分别为A.54,3B.65,6C.95,9D.125,129.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足BB AA Cbc ac bcos sin 3cos sin 3sin 2)2(,33)(3)1(222，则角C 为A.6B.65 C.3D.3210. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，等腰直角△SAD 绕其直角边AD 转动，另一直角边SD 与正方形一边DC 成角(018＜90)，则异面直钱SA与DB 所成角的取值范围为A.]2,0( B.]6,0( C.]3,0( D.]2,6[11.已知双曲线方程12222by ax(a>0,b>0,a≠b), A ，B 是它的两条渐近线上的点，△OAB 为直角三角形，则A ，B 两点横坐标的绝对值之比为A.ab ba 或B.||2222b aba C.2222||bab a D.||2222b aba 或2222||bab a 12. 已知函数xxee xf 4)(，则A.)(x f 在(-∞,2)单调递增，在(2, +∞)单调递减B.)(x f 在(-∞,2)单调递减，在(2, +∞)单调递增C.函数)(x f 的图象不关于直线2x 对称D.函数)(x f 的图象关于点(2，0)对称(在此卷上答题无效）绝密★启用前2019年“江南十校”高三学生冲剌联考(二模）文科数学第Ⅱ卷(非选择题共90分)考生注意事项：请用0.3毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

2020届安徽省江南十校高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，则20192020i i +=（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．–1iD ．–1i -【答案】B【解析】利用i 的次幂运算，将指数分别除以4，得到余数，即可得答案. 【详解】∵20192020450434505301i i i i i i i ⨯+⨯+=+=+=-+. 故选：B ． 【点睛】本题考查i 的次幂运算，考查运算求解能力，属于基础题.2．已知集合{}220|A x x x =-<，{}|1B x x =≤，则有（ ） A ．{}|01A B x x ⋂=<<B ．{|11}A B x x ⋃=-<≤C ．()0{|R C A B x x ⋂=≤或1}x >D ．{}()2|R C A B x x ⋃=>【答案】C【解析】解不等式对集合,A B 进行化简，再求它们的交集，最后求补集，即可得答案. 【详解】∵{}2|20{|02}A x x x x x =-<=<<，{|11}B x x =-≤≤， ∴{|01}A B x x =<I ≤，{|12}A B x x =-<<U ∴(){|0R C A B x x ⋂=≤或1}x >. 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查运算求解能力，属于基础题.3．已知向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r ， 3,1()c =-r ，若()a b c λ+⊥r r r，则实数λ=（ ）A ．53-B ．53C ．56-D ．56【答案】A【解析】求出a b λ+r r ，再根据()a b c λ+⊥r r r 得到关于λ的方程，解方程即可得答案.【详解】由题意得()21,32a b λλλ+=+-rr ，又()a b c λ+⊥r r r ，∴()()321320λλ+--=，解得53λ=-. 故选：A ． 【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题. 4．中国古代数学名著《算法统宗》中，许多数学问题都以诗歌的形式呈现，其中有一首“五兄欠钱”的诗为：“甲乙丙丁戊，酒钱欠千五，甲兄告乙弟，四百我还与，转差是几文，各人出怎取？”意为：五兄弟，共欠1500文酒钱，甲还400文，甲乙丙丁戊的还钱数依次成等差数列．在这个问题中戊该还的酒钱数是（ ） A ．350文 B ．300文C ．250文D ．200文【答案】D【解析】设此等差数列为{}n a ，公差为d ，1400a =，进而求出d ，再求5a 即可得答案. 【详解】设此等差数列为{}n a ，公差为d ，由题知1400a =， 且154515002a d ⨯+=，则得50d =， 戊该还的酒钱数是()5400450200a =+⨯-=（文）． 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列模型的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查建模能力，求解时注意读懂文字语言.5．已知两个平面α，β，直线,a b α⊂，直线,m n β⊂，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//a m ，//b n 则//αβ B ．若m a ⊥，n b ⊥，则αβ⊥C ．若a ，b 相交，m a ⊥，n b ⊥，则αβ⊥D ．若a ，b 相交，//a m ，//b n ，则//αβ【答案】D【解析】对A ，两平面可能相交；对B ，C ，两平面可能平行；对D ，利用线面平行和面面平行判定定理知正确. 【详解】对A ，两平面可能相交，故A 错误； 对B ，C ，两平面可能平行；对D ，利用线面平行和面面平行判定定理知D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中线面、面面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题. 6．函数sin ()cos ||x xf x x x =+在[,]-ππ的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用函数为偶函数及()12f π=，即可得答案.【详解】∵函数()f x 的定义域为[,]-ππ关于原点对称，且()sin()()()cos()||x x f x f x x x ---==-+-∴函数()f x 为偶函数，且()12f π=所以函数()f x 能取到函数值1．故选：C ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、特殊点函数值，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意从解析式得到函数的性质及从图象中找信息. 7．已知a R ∈，则“1104a +<”是“210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对两个条件分别进行化简，再转化成判断两个集合之间的关系，即可得答案. 【详解】 一方面，110404a a +<⇔-<<， 另一方面，210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立40a ⇔-<≤， 所以“1104a +<”是“210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的充分不必要条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的求解、一元二次不等式恒成立问题、简易逻辑知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 8．若正实数a ，b 满足lg lg 1a b +=，则25a b+的最小值为（ ） A． B．C．2D ．2【答案】D【解析】由正实数a ，b 满足其lg lg 1a b +=，得10ab =，再利用基本不等式进行求最小值. 【详解】由正实数a ，b 满足其lg lg 1a b +=，得10ab =，则由基本不等式有252a b +≥=， 当且当2510a b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即2a =，5b =时等号成立．故选：D ． 【点睛】本题考查对数的运算、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.9．已知不等式组222x yx yy+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为D，若直线1y kx=-与平面区域D有公共点，则实数k的取值范围为（）A．1 ,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞⎥⎝⎦C．(,2][1,)-∞-+∞U D．[2,1]-【答案】B【解析】画出不等式组222x yx yy+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域D（图中阴影部分所示），再利用斜率公式求出,AC AB的斜率，即可得答案.【详解】画出不等式组222x yx yy+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域D（图中阴影部分所示），直线1y kx=-过定点(0,1)A，则直线1y kx=-与平面区域D有公共点，当且仅当ACk k≤或ABk k≥，即12k≤-或1k³.故选：B．【点睛】本题考查线性约束条件下的范围问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意作图观察求解. 10．已知ln 33a =，ln b ππ=，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】构造函数ln ()xf x x=，利用导函数研究函数的图象特征，利用单调性及引入中间变量1，即可得答案. 【详解】 构造函数ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=， 当0x e <<时，()0f x '>．()f x 在()0,e 上单调递增， 当x e >时，()0f x '<，()f x 在(,)e +∞上单调递减， 则ln 3(3)3a f ==，ln ()b f πππ==， 0.31()(3)()12f f f e eπ<<=<<．∴b a c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查数的大小比较、函数的单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意引入中间变量1. 11．若4sin()125πα-=，且(0,)2πα∈，则cos(2)3πα+=（ ） A ．2425-B ．1225C ．1225-D ．2425【答案】A【解析】利用诱导公式得cos(2)sin 236ππαα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，再利用倍角公式，即可得答案. 【详解】由4sin()125πα-=且(0,)2πα∈，得3cos()125πα-=， cos(2)cos 2sin 23626ππππααα⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭242sin cos 121225ππαα⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A ． 【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式进行求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意角度之间的关系配凑.12．已知函数21ln(1),14()11,44x x f x x x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，且关于x 的方程()0f x kx -=恰有2个实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5[,)4+∞C ．54ln,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．554ln,1,44 ⎡⎤⋃⎡+∞⎢⎥⎣⎦⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】画出函数()f x 图象，可求得1()ln(1)14f x x x ⎛⎫=+-<≤ ⎪⎝⎭图象在点()0,0O 处的切线方程为y x =，过点()0,0O 且与函数()211()44f x x x =+>图象相切的直线方程也为y x =， 观察图象即可得答案. 【详解】画出函数()f x 图象，可求得1()ln(1)14f x x x ⎛⎫=+-<≤⎪⎝⎭图象在点()0,0O 处的切线方程为y x =， 过点()0,0O 且与函数()211()44f x x x =+>图象相切的直线方程也为y x =， 即得直线y x =为函数()f x 图象的切线，且有两个切点，切点为()0,0O 和11(,)22A ，关于x 的方程()0f x kx -=恰有2个实数解， 当且仅当直线y kx =与函数()f x 图象有两个公共点， 由图可知当且仅当OB OA k k k ≤≤或OC k k ≥时符合题意，又1OA k =，1In 1544ln 144OBk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，54OC k =，则可求得54ln 14k ≤≤或54k ≥. 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意斜率公式的应用.二、填空题13．将函数()cos(2)(0)2f x x πϕϕ=+<<的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则ϕ=_________．【答案】3π. 【解析】根据“左加右减”的平移原则得()cos(2)3g x x πϕ=-+，再根据函数()g x 图象关于y 轴对称得()3k k Z πϕπ=+∈，由02πϕ<<即可得答案.【详解】由题意知：()cos(2)3g x x πϕ=-+，∵函数()g x 图象关于y 轴对称，∴()g x 为偶函数，∴3k πϕπ-=，即()3k k Z πϕπ=+∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=．故答案为：3π. 【点睛】本题考查函数图象变换求解析式、偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且372S =，6632S =，则7a =__________．【答案】32.【解析】由632S S ≠知等比数列{}n a 的公比1q ≠，再由等比数列的前n 项和公式可得q ，1a 的值，再代入通项公式，即可得答案.【详解】由632S S ≠知等比数列{}n a 的公比1q ≠， 则由题知()3131712a q S q-==-且616(1)6312a q S q -==-，则63191q q -=-，求得2q =，112a =， 则6712322a =⨯=． 故答案为：32 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式、通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．设正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，M ，N 是棱1AA ，11C D 的中点，则MN 与BC 所成角的正弦值为__________．【答案】3. 【解析】如图，取11A B 中点P ，连接MP ，NP ，由题知MN 与BC 所成的角即为MN 与PN 所成的角，根据MN =MN 的值，再利用正弦函数的定义，即可得答案.【详解】如图，取11A B ，中点P ，连接MP ，NP ，由题知MN 与BC 所成的角即为MN 与PN 所成的角， 又正方体111ABCD A B C D -的棱长为1，则1PN =，22MP =， 又NP ⊥平面11ABB A ，MP ⊂平面11ABB A ， 所以NP MP ⊥，则226MN PN MP =+=， 且3sin MP MNP MN ∠==， 故MN 与BC 所成角的正弦值为3． 故答案为：33. 【点睛】本题考查异面直线所成的角的正弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力.16．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，O 为ABC V 的外心，320OA OB OC ++=u u r u u u r u u u r r ，32OB OC ⋅=-u u u r u u u r ，则ABC V 周长的取值范围是__________．【答案】(]6,9.【解析】320OA OB OC ++=u u r u u u r u u u r r 两边平方结合32OB OC ⋅=-u u u r u u u r 可得3A π=，再利用正弦定理将a b c ++转化成角B 的三角函数，利用三角函数的性质，即可得答案. 【详解】设ABC V 的外接圆半径为R ，320OA OB OC ++=u u r u u u r u u u r r3(2)OA OB OC =-+u u r u u u r u u u r ，22223(2)4||||cos 4OA OB OC OB OB OC BOC OC =+=+∠+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴224cos 2R BOC R ∠=-，得1cos 2BOC ∠=-， 则223A BOC π=∠=，3A π=，又23cos 2OB OC R BOC ⋅=∠=-u u u r u u u r ，则R =，又由正弦定理得sin sin )a b c A B C ++=++2sin sin()33B B π⎤=+-+⎥⎦6sin()36B π=++，又2(0,)3B π∈，5(,)666B πππ+∈， 则(]6,9a b c ++∈，ABC V 周长的取值范围是(]6,9．故答案为：(]6,9． 【点睛】本题考查正弦定理、向量数量积、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数有界性的应用.三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()–sin sin sin 0b c B a A c C -+=（1）求角A 的大小；（2）若a =4B π=，求ABC V 的面积．【答案】(1) 3A π=；(2) 3+【解析】（1）利用正弦定理将角化成边得222b c a bc +-=，再由余弦定理得3A π=；（2）由（1）得3A π=，从而可求得C ，再利用正弦定理得c ，代入三角形面积公式，即可得答案. 【详解】（1）∵()sin sin sin 0B a A c c C b -+=-，∴22()0b c b a c --+=，即222b c a bc +-=，又由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<，所以3A π=．（2）由3A π=及4B π=得()34C πππ=-+，又a =4sin sin 3c C ==， 4sin ()4sin()3434c πππππ⎡⎤=-+=+⎢⎥⎣⎦14(2222=⨯+⨯=，则ABC V的面积为：11sin 3222ac B =⨯⨯=+ 故ABC V的面积为3+ 【点睛】本题考查正、余弦定理的应用、面积公式、内角和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.18．已知点()3,2A ，1(0,)2B ，()2,1M -，点P 为曲线C 上任意一点，且满足2PA PB =．（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 过点M ，求直线l 被曲线C 截得的最短弦长及此时直线l 的方程． 【答案】（1）()2215x y ++=；（2）30x y -+=． 【解析】（1）设点(),P x y ，由2||PA PB =得曲线C 的方程；（2）由（1）知曲线C 是以点()–1,0CCM l ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，利用点斜式方程，即可得答案. 【详解】（1）设点(),P x y ，由2||PA PB =得=化简整理得22(1)5x y ++=，所以曲线C 的方程为()2215x y ++=．（2）由（1）知曲线C 是以点()–1,0C显然当CM l ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，最短弦长= 此时1111021i CMk k =-==--+，直线l 方程为12y x -=+， 即30x y -+=． 【点睛】本题考查圆的轨迹方程、直线与圆相交弦最短问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意直线垂直关系的应用.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S =+，数列{}n b 满足212n n n b b b ++=-，其中n *∈N ，且112b a =，3232b a =-． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2nn nb c a =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：3n T <． 【答案】（1）12n n a -=，1n b n =+；（2）证明见解析.【解析】（1）利用递推关系21n n a S =+，多递推一项再相减，可得数列{}n a 是以11a =为首项，公比为2的等比数列；又由212a n a b b b ++=-，知数列{}n b 是等差数列；分别代入等差与等比数列的通项公式，即可得答案. （2）由（1）知122n n n n b n c a +==，得用错位相减法求得332n n n T +=-，即可证得结论. 【详解】（1）由21n n a S =+①知11a =，又当2n ≥时，1121n n a S --=+②， 则由①-②得122n n n a a a --=，则12n n a a -=，12(2)nn a n a -=≥， 故数列{}n a 是以11a =为首项，公比为2的等比数列，则12n n a -=．又由212a n a b b b ++=-，知数列{}n b 是等差数列， 又1122b a ==，32324b a =-=， 则数列{}n b 的公差3112b b d -==，故1n b n =+． （2）证明：由（1）知122n n n n b n c a +==， 则有12323412222nn T +=++++L ③ 231123122222n n n n n T ++=++++L ④ 由③–④得1323112111222222n n n k n T ++⎛⎫=+++⋯+- ⎪⎝⎭ 则11111142113311222212n nn n n n T -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦=+-=--，故3332n n n T +=-<，得证． 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式、错位相减法求和、不等式证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.20．已知函数2(2)3()xx a x a f x e++++=（a为常数，a R ∈）． （1）当[]2,2a ∈-时，判断函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且111(,)32x ∈求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递增；（2）105(,)32--．【解析】（1）对函数求导，再由[]2,2a ∈-得()0f x '≥恒成立，即可得答案； （2）由题意得1x ，2x 为方程()0f x '=的两根，从而得到1x ，2x ，a 之间的关系，再将a 表示成关于1x 的函数，利用构造函数法研究函的值域，即可得答案. 【详解】（1）由2(2)3()xx a x a f x e++++=， 得21()xx ax f x e++'=， 当[]2,2a ∈-时，240a V =-≤，210x ax ++≥恒成立，()0f x '≥，所以函数()f x 在R 上单调递增．（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则1x ，2x 是关于x 的方程210x ax ++=的两个不等实根， 则由240a =->V ，得–2a <或2a >①， 又由韦达定理知12x x a +=-且12,1x x =， 则有12111()()a x x x x =-+=-+又由题知111(,)32x ∈，令函数1()()g x x x =-+，11(,)32x ∈． 则2211()(1)10g x x x '=--=->对任意11(,)32x ∈成立， 函数1()()g x x x=-+在11(,)32上单调递增，所以105()(,)32g x ∈--，即得10532a -<<-② ∴a 的取值范围是105(,)32--． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意消元法的应用.21．如图1，在等腰梯形ABCD 中，2AB AD ==，120DAB ∠=︒，O 是CD 中点，将AOD △沿AO 折起，使平面AOD ⊥平面ABCO ．如图2所示，E ，F 点分别是AB ，CD 上的点，且12AE CF BE DF ==．（1）求证：//BF 平面DOE ； （2）求三棱锥B-DOF 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）23． 【解析】（1）过点F 作//FG OC 交OD 于点G ，证明四边形BFGE 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理，即可得答案；（2）过点D 作DH AO ⊥于点H ，利用等积法即23B DOF B DOC V V --=，即可得答案. 【详解】（1）证明：过点F 作//FG OC 交OD 于点G ， 由题知//AB OC ．连接CE ，由12AE CF BE DF ==， 得23GF OC =，23BE OC =， 所以GF BE =，且//GF BE ，所以四边形BFGE 是平行四边形，所以//BF EG ， 又EG ⊂平面DOE ，BF ⊄平面DOE ， 所以//BF 平面DOE ．（2）过点D 作DH AO ⊥于点H ，由题知AOD △是边长为2的等边三角形，则3DH =因为12CF DF =，所以23DOF DOC S S =V V ， 则23B DOF B DOC V V --=，又111(2)2sin60)1332B DOC D BOC BOC V V S DH --==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯︒=V ，所以23B DOF V -=，即求得三棱锥B-DOF 的体积为23．【点睛】本题考查空间中线面平行判定定理的应用、三棱锥体积的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象和运算求解能力，求解时注意三棱锥等积法的应用. 22．已知函数sin ()ln xf x x x=-． （1）证明：函数()f x 在()0,π上有唯一零点； （2）若()0,2x π∈时，不等式sin 2()ln 2x af x x x x++≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）对函数求导得2(cos 1)sin ()x x xf x x--'=，由(0,)x π∈可得()0f x '<，从而得到函数的单调性，再根据区间端点的函数值，即可得答案； （2）等式sin 2()ln 2x af x x x x++≤，可化为不等式1sin sin 22x x a +≤，令1()sin sin 2,(0,2)2g x x x x π=+∈利用导数求得()g x 的最大值，即可得答案.【详解】（1）证明：由sin ()ln xf x x x=-得 22cos sin 1(cos 1)sin ()x x x x x xf x x x x---'=-= 当(0,)x π∈时，cos 10x -<，sin 0x -<， 则()0f x '<，函数()f x 在()0,π上单调递减， 又3()ln066f πππ=->，()ln 0f ππ=-<所以函数()f x 在()0,π上有唯一零点，得证． （2）由题知不等式sin 2()ln 2x a f x x x x ++≤，可化为不等式1sin sin 22x x a +≤，则由题有1sin sin 22x x a +≤对()0,2x π∀∈恒成立， 令1()sin sin 2,(0,2)2g x x x x π=+∈则有()2cos cos22cos cos 1g x x x x x '=+=+-()()cos 12cos 1x x =+-，其中cos 10x +≥， 由2cos 10x -=得3x π=或53x π=则当03x π<<或523x ππ<<时，()0g x '>， 当533x ππ<<时，()'0g x ≤， 当且仅当x π=时，()0g x '=，所以函数()g x 在(0,)3π5,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又34g π⎛⎫=⎪⎝⎭，(2)0g π=，04>，所以max ()4g x =，则4a ≥，即得实数a 的取值范围是⎫+∞⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点、不等式恒成立求参数范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.。