考研数学一（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）模拟试卷1 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A为n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )
A．P-1α
B．PTα
C．Pα
D．(P-1)Tα
正确答案：B
解析：本题考查矩阵的特征值与特征向量的概念及性质．由于(P-1AP)TPTα=PTAT(P-1)TPTα=PTA(PT)-1PTα =PTAα=PTλα=λPTα由特征值与特征向量的定义知(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量为PTα．因而应选
B． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化
2． 设矩阵 已知矩阵A相似于B，则秩r(A-2E)+r(A-E)=( )
A．2
B．3
C．4
D．5
正确答案：C
解析：本题考查相似矩阵的定义和性质以及矩阵的秩．因A相似于B，所以存在可逆矩阵P，使A=PBP-1．从而
r(A-2E)+r(A-E)=r(P-1BP-2E)+r(P-1BP-E)=r[P-1(B-2E)P]+r[P-1(B-E)P] 故选
C． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化
3． 设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=0，λ3=-1，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记P=(α3，α2，α1)，则P-1AP=( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：本题考查相似对角矩阵的概念．注意相似变换矩阵p的列的顺序与其对应的特征值构成的对角矩阵A的列的顺序相同．由于Aα1=1α1，Aα2=0α2，Aα3=(-1)α3，所以 即，又由于α1，α2，α3是不同的特征值对应的特征向量，所以α1，α2，α3线性无关，从而P=(α3，2，α1)可逆．故 知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化
习题
1. (1) 若A2 = E，证明A的特征值为1或1;
(2) 若A2 = A，证明A的特征值为0或1.
证明（1）22AEA所以的特征值为1，故A的特征值为1
（2）
22222,,()0,001AAAXAXAXXXX所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零，故即或
2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 1.
证明
1,1TTTAAAEAAAAA设是正交阵，故有与有相同的特征值，1故设的特征值是，有=，即
$
3．求数量矩阵A=aE的特征值与特征向量.
解
A设是数量阵，则
0000000000000aaAaEaaaEAa
所以：特征值为a(n重), A属于a的特征向量为 k1(1,0,…,0)T + k2(0,1,…,0)T + kn(0,0,…,1)T ，(k1,
k2, …, kn不全为0)
4．求下列矩阵的特征值与特征向量.
（1）113012002 （2）324202423
（3）122212221
~
（4）212533102
1112221211(5) , , (0,0)0.TTnnnnaabaabAbbbabaab其中，且
解（1）
1130120,1,2,002AEAX0,123求得特征值为:分别代入=求得
A属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ，(k0)
A属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T，(k0)
解（2）
1313232494904922220242342312349(1)(1)(8)2AErrcc按第一列展开
考研数学二（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）模拟试卷2 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
A．λ1≠0．
B．λ2≠0．
C．λ1=0．
D．λ2=0．
正确答案：B
解析：本题主要考查特征值、特征向量的定义和线性相关性的判别法．利用属于不同特征值的特征向量线性无关即得．设k1α1+k2A(α1+α2)=0，得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是属于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，从而所以α1，A(α1+α2)线性无关即选项B正确． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化
填空题
2． 设向量α1=(1，2，1)T和α2=(1，1，2)T都是方阵A的属于特征值λ=2的特征向量，又向量β=α1+2α2，则A2β=_______．
正确答案：(12，16，20)T．
解析：本题考查矩阵特征值与特征向量的定义和向量线性表示及矩阵的运算．因为Aβ=Aα1+2Aα2=2α1+4α2=2β，所以 知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3． 设A，B为同阶方阵，(1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等；(2)举一个2阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；(3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．
正确答案：(1)若A～B，那么存在可逆矩阵P，使P一1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE—P一1AP｜=｜P一1λEP—P一1AP｜=｜P一1(λE一A)P｜=｜P一1｜｜λE-A｜｜P｜=｜P一1｜｜P｜｜λE—A｜=｜λE-A｜，即A，B的特征多项式相等．(2)令，那么｜λE—A｜=λ2=｜λE—B｜，但A，B不相似．否则，存在可逆矩阵P，使P一1AP=B=O．从而A=POP一1=O，矛盾．(3)由A，
矩阵特征值与特征向量的求法
一、矩阵特征值与特征向量的定义
矩阵特征值（eigenvalue）是指一个矩阵在某个非零向量上的线性变换结果等于该向量的常数倍，这个常数就是该矩阵的特征值。而对应于每个特征值，都有一个非零向量与之对应，这个向量就是该矩阵的特征向量（eigenvector）。
二、求解矩阵特征值与特征向量的方法
1. 特征多项式法
通过求解矩阵A减去λI（其中λ为待求解的特征值，I为单位矩阵）的行列式det(A-λI)=0来求解其特征值。然后将每个特征值代入到(A-λI)x=0中，即可求得对应的特征向量x。
2. 幂法
幂法是一种迭代方法，通过不断地将A作用于一个初始向量x上，并将结果归一化，最终得到收敛到最大（或最小）特征值所对应的特征向量。具体步骤如下：
(1) 选取任意一个非零初始向量x；
(2) 将Ax除以x中最大元素得到新的向量y=A*x/max(x)；
(3) 将y归一化得到新的向量x=y/||y||；
(4) 重复步骤2-3，直到收敛。
3. QR分解法
QR分解是将矩阵A分解为Q和R两个矩阵的乘积，其中Q是正交矩阵（即Q^T*Q=I），R是上三角矩阵。通过不断地对A进行QR分解，并将得到的Q和R相乘，最终得到一个上三角矩阵T。T的对角线元素就是A的特征值，而对应于每个特征值，都可以通过反推出来QR分解中的Q所对应的特征向量。
4. Jacobi方法
Jacobi方法也是一种迭代方法，通过不断地施加相似变换将A转化为对角矩阵D。具体步骤如下：
(1) 选取任意一个非零初始矩阵B=A；
(2) 找到B中绝对值最大的非对角元素b(i,j)，记其位置为(i,j)；
(3) 构造Givens旋转矩阵G(i,j,k)，使其作用于B上可以消去b(i,j)，即B=G^T*B*G；
(4) 重复步骤2-3，直到所有非对角元素均趋近于0。
三、总结
以上介绍了求解矩阵特征值与特征向量的四种方法：特征多项式法、幂法、QR分解法和Jacobi方法。不同的方法适用于不同类型的矩阵，选择合适的方法可以大大提高计算效率。在实际应用中，我们可以根据具体问题的需要来选择合适的方法。
