等边三角形的四种判定

1 等边三角形和等腰三角形的性质

知识梳理

等腰三角形：

（－）等腰三角形的性质

1. 有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

（二）等腰三角形的判定

1. 有关的定理及其推论

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形：

定义：三条边都相等的三角形

性质：三边相等，三角相等且都为60度，加等腰三角形性质。

判定：三条边相等的三角形，三个角都为60度的三角形，有一个角是60度的等腰三角形。

等边三角形的判定方法：

（1）有 边相等的三角形叫做等边三角形；

（2）有 角相等的三角形叫做等边三角形；

（3）有 个内角都等于600的三角形叫做等边三角形；

（4）有 个内角等于600的 三角形叫做等边三角形。

典型例题

例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。

A D 1 B M C E

2

林语书海，翰写未来！

第 1 页 共 1 页 三角形

一、知识要点概述

1、定义：由不在同一直线上的三条线段顺次首尾相接而成的封闭图形叫三角形．

2、三角形的分类

（1）按边分

（2）按角分

3、三角形的一些重要性质

（1）边与边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

（2）角与角的关系：三角形内角之和等于180°，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角且等于和它不相邻的两内角之和；

4、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等，反之，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等边对等角、等角对等边）；

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角形三线合一）．

5、等边三角形的性质

等边三角形的三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°． 林语书海，翰写未来！

第 2 页 共 2 页 6、等边三角形的判定

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

7、直角三角形的性质

（1）直角三角形的两锐角互余；

（2）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边长的一半；

（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半；

（4）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

8、直角三角形的判定

（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；

（2）有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；

（3）若一个三角形中，有两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对角是直角．

9、全等三角形的定义

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

等边三角形的性质与判定

知识点1 等边三角形的性质

1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为( )

A.25° B.60° C.85° D.95°

2.如图，在△ABC中D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝ °.

3.如图，将等边△ABC的边BC延长至D，使得CD＝AC，若点E是AD的中点，则∠DCE的度数为60°.

4.如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上.

求证：(1)CE＝AC＋DC；(2)∠ECD＝60°.

知识点2 等边三角形的判定

5.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④三边的高又是它的中线的三角形.其中是等边三角形的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

6.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是

cm.

7.如图，△ABC中，∠A＝60°，分别以A，B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧交于两点，过两点的直线交AC于点D，连接BD，则△ABD

是 三角形.

8.如图，已知△ABC是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3.

(1)求∠BEC的度数.

(2)△DEF是等边三角形吗？请简要说明理由.

9.如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是( )

A.等腰三角形 B.等边三角形

C.不等边三角形 D.不能确定形状

10.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为( )

1

特殊三角形

知识定位

特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理

1、特殊三角形的定义、性质及判定

三角形类型 定义 性质 判定

等腰三角形 有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角 1.等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴

2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角

3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一 1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边

等边三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形 1.等边三角形的内角都相等，且为60°

2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴

3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴 1.三条边都相等的三角形是等边三角形

2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形

3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

直角三角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“Rt△” 1.直角三角形的两锐角互余

2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

3.直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半

4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理） 1.有一个角是直角的三角形是直角三角形

2.有两个角互余的三角形是直角三角形