工程热力学例题与习题
—6— 第2章 理想气体的性质
2.1 本章基本要求
熟练掌握理想气体状态方程的各种表述形式，并能熟练应用理想气体状态方程及理想气体定值比热进行各种热力计算。并掌握理想气体平均比热的概念和计算方法。
理解混合气体性质，掌握混合气体分压力、分容积的概念。
2.2 本章难点
1．运用理想气体状态方程确定气体的数量和体积等，需特别注意有关物理量的含义及单位的选取。
2．考虑比热随温度变化后，产生了多种计算理想气体热力参数变化量的方法，要熟练地掌握和运用这些方法，必须多加练习才能达到目的。
3．在非定值比热情况下,理想气体内能、焓变化量的计算方法，理想混合气体的分量表示法，理想混合气体相对分子质量和气体常数的计算。
2.3 例 题
例1：一氧气瓶内装有氧气，瓶上装有压力表，若氧气瓶内的容积为已知，能否算出氧气的质量。
解：能算出氧气的质量。因为氧气是理想气体，满足理想气体状态方程式mRTPV。根据瓶上压力表的读数和当地大气压力，可算出氧气的绝对压力P，氧气瓶的温度即为大气的温度；氧气的气体常数为已知；所以根据理想气体状态方程式，即可求得氧气瓶内氧气的质量。
例2：夏天，自行车在被晒得很热的马路上行驶时，为何容易引起轮胎爆破？
解：夏天自行车在被晒得很热的马路上行驶时，轮胎内的气体（空气）被加热，温度升高，而轮胎的体积几乎不变，所以气体容积保持不变，轮胎内气体的质量为定值，其可视为理想气体，根据理想气体状态方程式mRTPV可知，轮胎内气体的压力升高，即气体作用在轮胎上的力增加，工程热力学例题与习题
—7— 故轮胎就容易爆破。
例3：容器内盛有一定量的理想气体，如果将气体放出一部分后达到了新的平衡状态，问放气前、后两个平衡状态之间参数能否按状态方程表示为下列形式：
（a）222111TvPTvP （b）222111TVPTVP
解：放气前、后两个平衡状态之间参数能按方程式（a）形式描述，不能用方程式（b）描述，因为容器中所盛有一定量的理想气体当将气体放出一部分后，其前、后质量发生了变化，根据1111RTmvp，2222RTmvp，而21mm可证。
第１８卷第５期 ２００２年１０月 商丘师范学院学报 ＪＯＵＲＮＡＩ ＯＦ ＳＨＡＮＧＱＩＵ ＴＥＡＣＨＥＲＳ ＣｏＩ Ｉ ＥＧＥ Ｖｏ１．１８ Ｎｏ．５ Ｏｃｔｏｂｅｒ，２００２
理想费米气体的热力学性质
尹 国 盛 （河南大学物理系，河南开封４７５００１） 摘 要：用量子统计的方法讨论了理想费米气体的热力学性质，指出了费米气体在高温时趋于经典极限，在低 温时以一个有限的费米球存在 关键词：费米气体；热力学性质；状态方程 中图分类号：Ｏ４１４．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—２６６２（２００２）０５—００１５—０４
Ｔｈｅ ｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｄｅａｌ ｆｅｒｍｉ ｇａｓ ＹＩＮ Ｇｕｏ—ｓｈｅｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｈｅｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋａｉｆｅｎｇ ４７５００１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｙ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｆｒｏｍ ａ ｖｉｅｗｐｏｉｎｔ ｏｆ ｑｕａｎｔｕｍ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ．Ｉｔ ｉｓ ｆｏｕｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｄｅａｌ Ｆｅｒｍｉ ｇａｓ ｔｅｎｄｓ ｔＯ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｌｉｍｉｔ ａｔ ｈｉｇｈ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｎｄ ｅｘｉｓｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｗａｙ ｏｆ ａ Ｆｅｒｍｉ ｂａｌｌ ａｔ ｌｏｗ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｅｒｍｉ ｇａｓ；ｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｙ；ｓｔａｔｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ
１问题的提出 假设一个粒子系统是由Ｎ个粒子组成，这些粒子是全同的、不可分辨的，并且这些粒子遵从泡利不相容 原理，因而不能有两个粒子处于同一个动力学的态，整个系统的波函数必然是反对称的（满足所有这些要求 的粒子叫做费米子）．同时假设粒子间的作用可以略去，即认为这些粒子是整个力学系统的近独立子系．由于 近独立子系所组成系统的稳定态可以用其子系的单粒子态描写，因此，我们依照经典统计法中把整个力学系 统的运动状态用子相宇中Ｎ个点的分布来确定的描述方法，引入｛ ｛分布的概念去描写整个系统的状态， 即把能量为ｅ的本征态的粒子数以 表示，而｛ ｝分布满足∑” ＝Ｎ，∑” ｅ＝Ｅ，式中Ｎ是总粒子数，Ｅ 是总能量，Ｅ＝ｐ２／２ｍ是单粒子态的能量， ＝０，１ ２ 主要结果 为便于讨论．先引入巨配分函数 三（ｚ，Ｖ，丁）＝∑ｚＮＱＮ（Ｖ，丁） （１） 式中Ｚ：ｅｘｐ（一ａ）＝ｅｘｐ（１￣／ｋＴ）是易逸度，ＱＮ是正则系统的配分函数，在这里是确定的量，对理想气体有 ＱＮ（Ｖ，丁）＝∑ｅ一 ＝∑ｗＩ ｝ｅ一 ”ｔ （２） Ｅ 。Ｉ 其中 ：１／ｋＴ，Ｗ｛ ｝表示对应于｛ ｝分布的态数
科技视界Science&TechnologyVision
Science&TechnologyVision科技视
界本文拟以三维空间幂函数势阱为限制
袁研究其热
力学性质
袁并以局域密度近似为方法
袁计算其总能
尧费
米能
尧热容量以及高低温极限下的化学势
遥
1三维理想费米气体的局域密度
在极低温下
袁由于费米子波函数的反对称性
袁第
一级
S波散射振幅为零
袁而次级
P波很弱
袁所以可以
将极低温下的稀薄费米子系统近似为粒子间无相互
作用的理想情况处理
遥当囚禁势能的能级间距远小
于粒子间的动能时
袁常使用局域密度近似
袁即将空间
分割成一个一个小格子
袁每个小格中的势能
V
(r)和
数密度
籽
(r)均视为常数
袁称之为局域数密度
遥根据
统计物理学有
袁理想费米气体满足费米
要狄拉克分
布
袁其表达式为
遥
f=1
e茁(着-滋)+1渊1冤
由
渊1冤式出发可求得系统在
x寅x+dx,y寅y+dy,
z寅z+dz范围内的局域数密度
籽渊x袁y袁z冤=g
h3蘩1
e茁(着-滋)+1dp=g姿-3f
3
2(孜)
其中
袁利用费米积分
f
x(z)=1
丐(x)蘩
0肄
Yx-1dY
z-1
eY
+1=肄
j=1移
渊-1冤j-1xj
jn渊2冤2三维费米系统的总粒子数
由
渊2冤式可求得三维费米系统的总粒子数
院
亦N=g8仔m
h2蓸蔀
3/2L
1L
2L
3丐1
l+1蓸蔀
丐1
p+1蓸蔀
着1
q
1着1
l
2着1
p
3渊3冤
3系统的总能量
亦E=(浊+1)NkTf
浊+2(z)
f
浊+1(z)渊4冤
4三维理想费米气体的化学势
尧费米能和热
容量
根据式
渊8冤袁T=0k时系统的费米能
袁高低温极限下
的化学势可以获得
遥费米气体与玻色气体不同的是
袁
其逸度
Z可在
0臆Z
袁同时
袁根据泡利不
相容原理
袁费米气体大量粒子同时进入一个单能态的
现象将不会出现
袁所以
BEC现象也不会出现
遥当温度
很低时
袁Z值趋于无穷
袁利用变量
lnZ展开
袁费米积分
将得到较快的收敛级数形式
袁根据索末菲引理可以得
到低温极限下费米积分的渐进公式
院
f
l(z)=(lnz)l
丐(l+1)[1+l(l-1)仔2
第四章 理想气体的性质
第一节 理想气体的概念
热能转变为机械能通常是借助于工质在热动力设备中的吸热、膨胀作功等状态变化过程
而实现的。为了分析研究和计算工质进行这些过程时的吸热量和作功量，除了以热力学第一
定律为主要的基础和工具外，还需具备工质热力性质方面的知识。热能转变为机械能只能通
过工质膨胀作功实现，采用的工质应具有显著的涨缩能力,即其体积随温度、压力能有较大
的变化。物质的三态中只有气态具有这一特性，因而热机工质一般采用气态物质，且视其距
液态的远近又分为气体和蒸气。气态物质的分子持续不断地做无规则的热运动，分子数目又
如此的巨大，因而运动在任何一个方向上都没有显著的优势，宏观上表现为各向同性，压力
各处各向相同，密度一致。自然界中的气体分子本身有一定的体积，分子相互间存在作用力，
分子在两次碰撞之间进行的是非直线运动，很难精确描述和确定其复杂的运动，为了方便分
析、简化计算,引出了理想气体的概念。理想气体是一种实际上不存在的假想气体，其分子
是些弹性的、不具体积的质点，分子间相互没有作用力。在这两点假设条件下，气体分子的
运动规律极大地简化了，分子两次碰撞之间为直线运动，且弹性碰撞无动能损失。对此简化
了的物理模型，不但可定性地分析气体某些热力学现象，而且可定量地导出状态参数间存在
的简单函数关系。
众所周知，高温、低压的气体密度小、比体积大,若大到分子本身体积远小于其活动空
间，分子间平均距离远到作用力极其微弱的状态就很接近理想气体。因此，理想气体是气体
压力趋近于零(p→0)、比体积趋近于无穷大(v→∞)时的极限状态。一般来说，氩、氖、氦、
氢、氧、氮、一氧化碳等临界温度低(参见附表2)的单原子或双原子气体，在温度不太低、
压力不太高时均远离液态，接近理想气体假设条件。因而，工程中常用的氧气、氮气、氢气、
一氧化碳等及其混合空气、燃气、烟气等工质,在通常使用的温度、压力下都可作为理想气
体处理，误差一般都在工程计算允许的精度范围之内。如空气在室温下、压力达10MPa时，
