高中数学必修一基本初等函数知识点与典型例题总结

5.2 导数的运算

5.2.1 基本初等函数的导数

素养目标 学科素养

1.能根据导数的定义推导常用函数的导数．

2．掌握基本初等函数的导数公式．(重点)

3．利用基本初等函数的导数公式解决有关问题．(难点) 1.数学抽象；

2．逻辑推理；

3．数学运算

情境导学

高铁是目前非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s关于时间t的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，即f(t)的导数．根据导数的定义，运算比较复杂，是否有更好的求导方法呢？

1．几个常用函数的导数

函数 用定义法求导数

y＝f(x)＝c y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0 c－cΔx＝0

y＝f(x)＝x y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0 x＋Δx－xΔx＝1

y＝f(x)＝x2 y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝limΔx→0 (2x＋Δx)＝2x

y＝f(x)＝x3 y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝limΔx→0 [3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2

y＝f(x)＝1x y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0 1x＋Δx－1xΔx＝limΔx→0 －1x2＋x·Δx＝－1x2

y＝f(x)＝x y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx－xΔx＝limΔx→01x＋Δx＋x＝12x

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)若f(x)＝2，则f′(x)＝2.( )

× 提示：f′(x)＝0.

(2)若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x2.( )

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- 1 - 高一必修一函数知识点（12.1）

〖1.1〗指数函数

（1）根式的概念

①na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，缘由：|X|符号所致，0a．

③根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时， (0)|| (0) nnaaaaaa．

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数幂等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①(0,,)rsrsaaaarsR ②()(0,,)rsrsaaarsR ③()(0,0,)rrrabababrR

（4）指数函数

函数名称 指数函数

定义 函数(0xyaa且1)a叫做指数函数

图象 1a 01a

定义域 R

值域 （0,+∞）

过定点 图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．

奇偶性 非奇非偶

单调性 在R上是增函数 在R上是减函数

函数值的

变化情况 y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0) y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0)

a变化对

图象的影

响 在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y轴；

在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x轴． 在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y轴；

在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x轴．

例：比较 xayxy(0,1)O1yxayxy(0,1)O1y绵师天空家教整理

- 2 - 〖1.2〗对数函数

（1）对数的定义

①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数．

经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析

一、函数的概念与表示

1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射

集合A,B是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A→B的映射f:x,y→x2+y2,xy,求象5,2的原象.

3.已知集合A到集合B＝｛0,1,2,3｝的映射f:x→11x,则集合A中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.

2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

1、下列各对函数中,相同的是

A、xxgxxflg2)(,lg)(2 B、)1lg()1lg()(,11lg)(xxxgxxxf

C、 vvvguuuf11)(,11)( D、fx=x,2)(xxf

2、}30|{},20|{yyNxxM给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有

A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个

二、函数的解析式与定义域

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;

例1 设)(xf是一次函数,且34)]([xxff,求)(xf

配凑法：已知复合函数[()]fgx的表达式,求()fx的解析式,[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定义域,而是()gx的值域;

例2 已知221)1(xxxxf )0(x ,求 ()fx的解析式

中小学1对1课外辅导专家

1 龙文教育学科老师个性化教案

教师 学生姓名 上课日期

学科 数学 年级 高三 教材版本

类型 知识讲解□： 考题讲解□: 本人课时统计 第（ 2 ）课时

共（ ）课时

学案主题 复习 课时数量

（全程或具体时间） 第（ ）课时 授课时段 2-4

教学目标 教学内容 初等函数与函数应用

个性化学习问题解决 初等函数运算以及函数与方程之间关系

教学重点、难点 初等函数运算 函数零点问题

考点分析 初等函数的计算，方程，函数零点问题

教学过程 学生活动 教师活动

一 知识回顾：

1、 函数零点的概念

2、 函数零点的意义

3、 函数零点的求法

(1)代数法 （2）几何法

4、 二次函数零点判断

5、 二分法求方程近似解或零点 中小学1对1课外辅导专家

2

二：初等函数高考题例题：

例1：（北京文）为了得到函数3lg10xy的图像，只需把函数lgyx的图像上所有

点 （ ）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

例2：（四川卷文）函数)(21Rxyx的反函数是

A. )0(log12xxy B. )1)(1(log2xxy

C. )0(log12xxy D. )1)(1(log2xxy