北师大-结构化学课后习题答案

北师大 结构化学 课后习题

第一章 量子理论基础

习题答案

1 什么是物质波和它的统计解释？

参考答案:

象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，2代表粒子的几率密度，在时刻t，空间q点附近体积元d内粒子的几率应为d2；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12d。表示波函数具有归一性。

2 如何理解合格波函数的基本条件？

参考答案

合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。由于波函数2代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分d*必为一个有限数。

3 如何理解态叠加原理？

参考答案

在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。某一物理量Q的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q1状态，部分地处于Q2态，……。各种态都有自己的权重（即成份）。这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。但量子力学可以计算出测量的平均值。

4 测不准原理的根源是什么？

参考答案

根源就在于微观粒子的波粒二象性。

5 铝的逸出功是4.2eV，用2000Å的光照射时，问（a）产生的光电子动能是多少？(b)与其相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？

参考答案

(a)根据爱因斯坦光电方程Wmh221，又c，得光电子动能：

JWchmT1919191910834210219.31072.610939.9106.12.410200010310626.621

(b)由德布罗依关系式，相应的物质波波长为

mmThPh10253419313410781.810546.710626.610219.3101.9210626.62

(c) 由不确定关系式hPxx，若位置不确定量x，则动量不确定量

125103410546.710781.810626.6smKgPhPx

6 波函数e-x(0≤x≤)是否是合格波函数,它归一化了吗？如未归一化，求归一化常数。

参考答案

没有归一化，归一化因子为2

7 一个量子数为n，宽度为l的一维势箱中的粒子,①在0~1/4

的 区域内的几率是多少？②n取何值时几率最大？③当n→∞时，这个几率的极限是多少？

参考答案

（1）2sin2141240nndxwln l（2）

6141,12sin,...)3,2,1(43maxwnkkn时

（3）41w

8 函数xllxllx2sin22sin23)(是不是一维势箱中粒子的可能状态？如果是，其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？

参考答案

根据态叠加原理，)(x是一维势箱中粒子一个可能状态。能量无确定值。

平均值为2210425mlh

9 在这些算符，错误！未找到引用源。, exp, 错误！未找到引用源。中，那些是线性算符？

参考答案

错误！未找到引用源。和 错误！未找到引用源。是线性算符.

10 下列函数, 那些是错误！未找到引用源。的本征函数? 并求出相应的本征值。

(a) eimx (b) sinx (c) x2+y2 (d) (a-x)e-x

参考答案

(a) 和 (b) 是错误！未找到引用源。的本征函数，其相应的本征值分别为-m2和-1。

11 有算符,ˆ,ˆXXdxdD 求DXXDˆˆˆˆ。

参考答案

根据算符之积的定义

1ˆˆˆˆ)()]([)()]([)]([)]([)](ˆ[ˆ)](ˆ[ˆ)()ˆˆˆˆ(DXXDxfxdxfdXxfxdrfdXxdrfdXxXfdxdxfDXxfXDxfDXXD

北师大 结构化学 课后习题

第二章 原子的结构与性质 1. 简要说明原子轨道量子数及它们的取值范围？

解：原子轨道有主量子数n，角量子数l，磁量子数m与自旋量子数s，对类氢原子（单电子原子）来说，原子轨道能级只与主量子数n相关RnZEn22。 对多电子原子，能级除了与n相关，还要考虑电子间相互作用。角量子数l决定轨道角动量大小，磁量子数m表示角动量在磁场方向（z方向）分量的大小，自旋量子数s则表示轨道自旋角动量大小。

n取值为1、2、3……；l＝0、1、2、……、n－1；m＝0、±1、±2、……±l；s取值只有21。

2. 在直角坐标系下，Li2+ 的Schrödinger 方程为________________ 。

解：由于Li2+属于单电子原子，在采取“B-O” 近似假定后，体系的动能只包括电子的动能，则体系的动能算符：2228ˆmhT；体系的势能算符：rerZeV0202434ˆ

故Li2+ 的Schrödinger 方程为：ψψErεemh0222438

式中：zyx2222222，r = ( x2+ y2+ z2)1/2

3. 对氢原子，131321122101ccc，其中 131211210,,和都是归一化的。那么波函数所描述状态的（1）能量平均值为多少？（2）角动量出现在 22h的概率是多少？，角动量 z 分量的平均值为多少？

解： 由波函数131321122101ccc得：n1=2, l1=1,m1=0; n2=2, l2=1,m2=1; n3=3,

l3=1,m3=-1;

（1）由于131211210,,和都是归一化的，且单电子原子)(6.1322eVnzE

故

(2) 由于1)l(lM||, l1=1，l2=1，l3=1，又131211210,,和都是归一化的， eVceVcceVceVceVcEcEcEcEcEiii232221223222221323222121299.1346.13316.13216.13216.13故

则角动量为22h出现的概率为：1232221ccc

(3) 由于2hmMZ, m1=0,m2=1,m3=-1; 又131211210,,和都是归一化的，

故

4. 已知类氢离子 He+的某一状态波函数为：

022-023021e222241arara

（1）此状态的能量为多少？

（2）此状态的角动量的平方值为多少？

（3）此状态角动量在 z 方向的分量为多少？

（4）此状态的 n， l， m 值分别为多少？

（5）此状态角度分布的节面数为多少？

解：由He+的波函数002302/1222241a2r2-eara，可以得到：Z=2，则n=2, l=0,

m=0

(1) He+为类氢离子，)(6.1322eVnzE，则eVeVeVnzE6.13)(226.13)(6.132222

(2) 由l=0，21)l(lM2,得0)10(02221)l(lM

(3) 由|m|=0，mMZ，得00mMZ 232221232221332322221121323222121222211121112111212121ccchhchchchllchllchllcMcMcMcMcMiii2211022223222322213232221212hcchccchmchmchmcMcMiziiz (4) 此状态下n=2, l=0, m=0

(5) 角度分布图中节面数= l，又l=0 ，故此状态角度分布的节面数为0。

5. 求出Li2+ 1s态电子的下列数据：(1)电子径向分布最大值离核的距离；(2)电子离核的平均距离；(3)单位厚度球壳中出现电子概率最大处离核的距离；(4)比较2s和2p能级的高低次序；(5) Li原子的第一电离能。（102301!,)(10naxnraZsandxexeaZ）

解：(1) Li2+ 1s态电子的 raraZseaeaZ0032302301)3(1)(1

则

又

1s电子径向分布最大值在距核 处。

（2）电子离核的平均距离

(3) ，因为21S随着r 的增大而单调下降，所以不能用令一阶导数为0的方法求其最大值离核的距离。分析21S 的表达式可见，r=0时 最大，因而21S 也最大。但实际上r不能为0（电子不可能落到原子核上），因此更确切的说法是r 趋近于0时1s电子的几率密度最大。

(4) Li2+为单电子“原子”，组态的能量只与主量子数有关，所以2s和2p态简并，即即 E

2s= E 2p 0621081082744000620301623063022121rasrarasseraraDdrderaearrD06220rar30arr0r30a04030200063302630211*121421627sin27sin2700aaadddreraddrdreardrdrrrarasssrasea06302127rae06