福建省龙岩市2019届高三上学期期末教学质量检查数学文试题

福建省龙岩市2019届⾼三上学期期末教学质量检查数学⽂

试题

龙岩市2019⼀2019学年第⼀学期⾼三教学质量检查

数学试题（⽂科）

考⽣注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第B 卷（⾮选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2.请将各题答案填在试卷后⾯的答题卡上．

3.本试卷主要考试内容：除“统计与统计案例，计数原理、概率，算法初步，数系的扩充与复 数的引⼊”外的⾼考内容．

第⼯卷（选择题共50分）

⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，共50分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是

符合题⽬要求的． 1、复数21i

i

--的虚部为 A 、i B 、－i C 、1 D 、－1 2、已知集合A={x ｜x 2＋x －2<0｝，集合B= {x ｜(x ＋2) (3－x)＞0｝，则等于

A. {x ｜1≤x<3｝

B. {x ｜2≤x<3｝

C. {x ｜－2

D. {x ｜－2

x R ∈+＞0 C. p 是真命题；?p ：?2,log (31)x x R ∈+≤0 D. p 是真命题；?p ：?2,log (31)x x R ∈+＞0 4、设f (x) ＝

，则f （6）的值A. 8

B. 7

C. 6

D. 5

5、已知直线2x －y ＋6＝0过双曲线C ：

22

1(0)8

x y m m -=>的⼀个焦点，则双曲线的离⼼率为

A B 、2 C 、3 D 、4

6、设变量x ，y 满⾜约束条件则⽬标函数z ＝2y －3x 的最⼤值为

A. －3

B. 2

C. 4D. 5

7、已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归⽅程为^

y ＝－3＋bx ，若10

10

1

1

17,4,i

i i i x

y ====∑∑则b的值为

A. 2

B. 1

C. －2

D.－1 8、执⾏如图所⽰的程序框图，若输⼊m 的值为8，则输出s 的值为

A. 4

B. 6

C. 8

D. 16 9、将函数f （x ）＝2sin(2)6

x π

-的图象向左平移m 个单位（m ＞0），若所得的

图象关于直线x ＝6

π

对称，则m 的最⼩值为 A. 12π B. 6π C. 4π D. 3

π

10、在区间［－2,3］上任取⼀个数a ，则函数f （x ）＝x 2－2ax ＋a ＋2有零点的概率为

A.

13 B. 12 C. 35 D. 25

11、在平⾯直⾓坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为O(0,0)，A(l,1)，且OA OC ＝1，则AB AC 等于

A. －1

B. 1 D. 12、已知函数f (x)＝

12x －cosx ，若536a b ππ

<<<，则 A. f （a ）＞f （b ） B. f (a) 0

第II 卷（⾮选择题共90分）

⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上． 13.在△ABC 中，sin A ＝3

4

，C= 300，BC= 3，则AB 等于＿＿＿＿ 14.如图是⼀个⼏何体的正视图、侧视图、俯视图，则该⼏何体的体积是＿＿＿＿

15.已知直线2x ＋y －4＝0过椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点F 2 ，且与椭圆E 在第⼀象限

的交点为M ，与y 轴交于点N ，F 1是椭圆E 的左焦点，且｜MN ｜＝｜MF 1｜，则椭圆E 的⽅程为＿＿＿＿＿16.设集合M ＝｛f （x ）｜存在实数t 使得函数f (x)满⾜f(t+1) = f (t)＋f(1)｝，则下列函数(a,b,k 都是常数）：

其中属于集合M 的函数是＿＿＿＿＿（填序号）．

三、解答题（本⼤题共6⼩题，共74分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本⼩题满分12分）

已知等差数列｛n a ｝的前n 项和为Sn ，公差d ≠0，且S 3 =9 ，a 1，a 3，a 7成等⽐数列． （1)求数列｛n a ｝的通项公式；

（2)设n b ＝2n a

，求数列｛n b ｝的前n 项和Tn ，

某⾷品⼚对⽣产的某种⾷品按⾏业标准分成五个不同等级，等级系数X依次为A，B，C，D,E.现从该种⾷品中随机抽取20件样品进⾏检验，对其等级系数进⾏统计分析，得到频率分布表如下：

(1)在所抽取的20件样品中，等级系数为D的恰有3件，等级系数为E的恰有2件，求a ,b,

c的值；

(2)在（1)的条件下，将等级系数为D的3件样品记为x1，x2，x3，等级系数为E的2件样品

记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件样品中⼀次性任取两件（假定每件样品被取出的可能性相同），试写出所有可能的结果，并求取出的两件样品是同⼀等级的概率．19.（本⼩题满分12分）

如图，在三棱柱ABC—A1B1 C1中，AA1⊥⾯ABC, AC⊥BC, E分别在线段B1C1上，B1E= 3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.

（1）求证：BC⊥AC1；(2)试探究：在AC上是否存在点F，满⾜EF／／平⾯A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．

如图所⽰，在直径为BC 的半圆中,A 是弧BC 上⼀点，正⽅形PQRS 内接于△ABC ，若BC = a , ∠ABC= θ，设△ABC 的⾯积为S l ，正⽅形PQRS 的⾯积为S 2. （1）⽤a ，θ表⽰S 1和S 2； （2)当a 固定，θ变化时，求1

2

S S 取得最⼩值时θ的值．

21、（本⼩题满分12分）

如图，斜率为l 的直线过抛物线y 2＝2 px(p>0)的焦点，与抛物线交于两点A, .B ，M 为抛物 线弧AB 上的动点．

（1）若｜AB ｜＝8，求抛物线的⽅程；

（2）求ABM S ?的最⼤值

22．（本⼩题满分14分）

已知函数f （x ）＝lnx －a 2x 2＋ax （a ∈R ）.

（l ）当a ＝1时，证明：函数f （x ）只有⼀个零点；

（2）若函数f(x)在区间（1，⼗∞）上是减函数，求实数a 的取值范围．

龙岩市2019~2019学年第⼀学期⾼三教学质量检查

数学试题参考答案(⽂科)1．D ∵原式＝2－2i （1＋i ）

＝1－i ，∴其虚部为－1.2．A ∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，∴(R A )∩B ＝{x |1≤x ＜3}．

3．B ∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题；綈p ：?x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0. 4．B f (6)＝f [f (6＋5)]＝f [f(11)]＝f (11－3)＝f (8)＝f [f (8＋5)]＝f [f (13)] ＝f [f (13－3)]＝f (10)＝10－3＝7.

5．C 由题意得双曲线的⼀个焦点为(－3，0)，则m ＝32－8＝1，则C 的离⼼率等于3. 6．C 满⾜约束条件的可⾏域如图所⽰．

因为函数z ＝2y －3x ，所以z A ＝－3，z B ＝2，z C ＝4， 即⽬标函数z ＝2y －3x 的最⼤值为4，故选C.7．A 依题意知，－x ＝1017＝1.7，－y ＝104＝0.4，⽽直线^y ＝－3＋^b

x ⼀定经过点(－x ，－y )，所以－3＋^b ×1.7＝0.4，解得^b ＝2.

8．C 运⾏⼀下程序框图，第⼀步：s ＝2，i ＝4，k ＝2；第⼆步：s ＝21

×2×4＝4，i ＝6，k ＝3；第三步：s ＝31×4×6＝8，i ＝8，k ＝4，此时输出s ，即输出8.

9．B 将f (x )＝2sin(2x －6π)的图象向左平移m 个单位，得函数g (x )＝2sin(2x ＋2m －6π

)的图象，则由题意得2×6π＋2m －6π＝k π＋2π(k ∈Z )，即有m ＝2k π＋6π(k ∈Z )，∵m ＞0，∴当k ＝0时，m min ＝6π

.

10.D 若f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＝(x －a )2－a 2＋a ＋2没有零点，则－a 2＋a ＋2＞0，解得－1＜a ＜2，则函数y ＝f (x )有零点的概率P ＝1－3－（－2）2－（－1）＝52.

11．B 依题意，|→OA |＝|→OC |＝|→AB |＝，→OA ·→OC ＝×cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝21，∠AOC ＝3π，则|→AC

|＝|→OA |＝|→OC |＝，∠BAC ＝3π，→AB ·→AC ＝×cos ∠BAC ＝1.

12．B f ′(x )＝sin x －2x21，当x ∈(3π，65π)时，sin x ∈(21，1]，2x21∈(25π218，2π29)，则当x ∈(3π，65π)时，f ′(x )＝sin x －2x21＞0，即函数y ＝f (x )在(3π，65π

)单调递增，即f (a )＜f (b )．

13．2 sin C AB ＝sin A BC

AB ＝2.

14．12 由三视图可知，该⼏何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的⾼为4，三棱柱的底⾯三⾓形为直⾓三⾓形，两直⾓边分别为2，23，所以三⾓形的底⾯积为21×2×23＝23

，所以三棱柱的体积为23×4＝6，所以该⼏何体的体积为2×6＝12.15.5x2＋y 2

＝1 直线2x ＋y －4＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2，0)、(0，4)，则c ＝2，|F 2N |＝2， ∵|MN |＝|MF 1|，∴|MF 2|＋|MF 1|＝|F 2N |＝2a ，即a ＝，∴椭圆E 的⽅程为5x2＋y 2

＝1. 16．②④ 对于①，由k (t ＋1)＋b ＝kt ＋b ＋k ＋b 得b ＝0，⽭盾； 对于②，由a t ＋1＝a t ＋a 知，可取t ＝log a a －1a 符合题意； 对于③，由t ＋1k ＝t k

＋k 知，⽆实根；

对于④，由sin(t ＋1)＝sin t ＋sin 1知，取t ＝2k π，k ∈Z 符合题意； 综上所述，属于集合M 的函数是②④.17．解：(1)a 32＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，化简得d ＝21

a 1，d ＝0(舍去)． ∴S 3＝3a 1＋22×3×21a 1＝29

a 1＝9，得a 1＝2，d ＝1.

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)＝n ＋1，即a n ＝n ＋1.（6分） (2)∵b n ＝2a n ＝2n ＋

1，∴b 1＝4，bn bn ＋1＝2. ∴{b n }是以4为⾸项，2为公⽐的等⽐数列， ∴T n ＝1－q b1（1－qn ）＝1－24（1－2n ）＝2n＋2

－4.（12分）18．解：(1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35. 因为抽取的20件样品中，等级系数为D 的恰有3件，所以b ＝203

＝0.15. 等级系数为E 的恰有2件，所以c ＝202

＝0.1. 从⽽a ＝0.35－b －c ＝0.1.

所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.（6分）(2)从样品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为：

(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 2，x 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(y 1，y 2)，共计10个．

设事件A 表⽰“从样品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”， 则A 包含的基本事件为：(x 1，x 2)，(x 1，x3)，(x 2，x 3)，(y 1，y 2)，共4个． 故所求的概率P (A )＝104

＝0.4.（12分） 19．解：(1) ∵AA 1⊥⾯ABC ，BC ?⾯ABC ，

∴BC ⊥AA 1.（1分）

⼜∵BC ⊥AC ，AA 1，AC ?⾯AA 1C 1C ，AA 1∩AC ＝A ，∴BC ⊥⾯AA 1C 1C ，（3分）