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人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理！质数，也称素数，指大于1的自然数中，除了1和本身外，不能被其他自然数整除的数，如：2，3，5，7，11……，通常用“p”表示。
素数的分布规律至欧几里德以来就是个迷。
今天，我们来认识下，素数的重要分布规律——素数定理。
这是目前发现的，最重要的且被证明限制素数分布的定理之一。
欧几里德欧几里德在大约公元前300年，就漂亮地证明了素数有无数个，从此人们开始了寻找素数公式的历程。
大数学家欧拉在给丹尼尔·伯努利的一封信中写道：'素数的计算公式，在我们这辈子可能找不到了。
不过，我还是想用一个式子来表达它，但并不能表示出所有素数。
n^2-n+41，n等于1到40'。
欧拉给出的这个多项式，在n=41时失效了，后来哥德巴赫给欧拉的信中提到：'一个整系数多项式，是不可能对所有整数取到素数的，但有些多项式可以得到很多素数。
'后来欧拉漂亮地证明了哥德巴赫的这个猜想，欧拉对数论的贡献相当多，数论四大定理之一就有个——欧拉定理，而欧拉的素数乘积式，是开启黎曼猜想的金钥匙。
欧拉和欧拉乘积式对素数的研究，欧拉过后，直到高斯才有了进展，大约在1792年，15岁的高斯就发现，素数在自然数中的分布密度，趋近于类似于对数积分的函数。
同时期的数学家勒让德(A.M.Legendre)也提出了等价的猜想，但他们都无法对其证明，至此，这个问题成了数学界的顶级难题，甚至在数学界流传着：如果谁证明了这个猜想，那么他将会得到永生。
证我者，得永生！直到一百多后的1896年，这个猜想才被两位年轻的数学家阿达马和德·拉·瓦莱布桑独立证明，他们的证明都是根据黎曼的思路走的，其中运用到了高深的整函数理论，至此，这个猜想正式升级为定理——素数定理（PNT）。
素数定理值得一提的，他们两人一个活了96岁，一个活了98岁。
素数定理还有个初等表达式：素数定理初等表达式该定理可以推出很多有趣的结论，比如：N是素数的概率～1/lnN；第N个素数～NlnN；这两个推论和PNT互为充要条件。
《关于素数公式素数定理哥德巴赫猜想的初等证明》素数公式是指对于给定的正整数n，小于等于n的素数的个数近似等于n/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。
素数定理是指当n趋向于无穷大时，小于等于n的素数的个数π(n)近似等于n/ln(n)。
公式中的π(n)表示小于等于n的素数的个数。
哥德巴赫猜想是指任意大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
首先证明素数公式。
定义函数S(n)为小于等于n的素数的个数。
我们需要证明当n趋向于无穷大时，S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。
我们知道，当n越趋近于无穷大时，自然对数ln(n)也趋近于无穷大。
设m为一个足够大的正整数，使得ln(n) >= m。
我们将区间[2,n]均分为m个子区间，每个子区间的长度为(L=n-2)/m。
对于每个子区间，我们选择一个整数ni作为代表，使得ni落在这个子区间内，并且ni是最接近该子区间中点的整数。
由于n趋向于无穷大，我们可以得到ni一定存在。
我们定义T(m)为小于等于n的素数中，满足ni是素数的个数。
显然T(m) <= S(n)，因为ni只是小于等于n的素数中的一个子集。
我们对于每一个ni都检查它是否是素数，最简单的方法是对所有小于等于√ni的正整数k，检查ni是否能被k整除。
若存在整数k使得ni被k整除，则ni不是素数；若不存在这样的整数k，则ni是素数。
现在我们来估计T(m)的上界。
对于每个ni，我们需要进行√ni次的整除运算。
所以，总的运算次数为Sqrt(n1) + Sqrt(n2) + ... +Sqrt(nm)。
由于ni是区间中点附近的整数，所以我们可以将每个Sqrt(ni)近似为Sqrt(L/m) = Sqrt((n-2)/m)。
所以总的运算次数可以近似为m*Sqrt(L/m) = (n-2)*Sqrt(m/(n-2))。
当n趋向于无穷大时，这个运算次数的上界也趋于无穷大。
所以S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。
哥德巴赫猜想求素数
哥德巴赫猜想是一个数论问题，提出者是德国数学家哥德巴赫。
该猜想的内容是：每一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
具体来说，假设我们有一个大于2的偶数n，我们要证明存在两个素数p和q，使得n = p + q。
举个例子，偶数10可以表示为5 + 5，这里5是素数。
或者，偶数16可以表示为11 + 5，这里11和5都是素数。
哥德巴赫猜想虽然很简洁，却一直没有被证明。
许多数学家都花费了很多时间和精力来尝试证明这个猜想，但至今仍然没有成功。
目前，已经证明了该猜想对于范围内的所有偶数成立，但对于更大的数字，仍然没有得到证实。
这个猜想在数论中仍然是一个未解之谜。
一些数学家对哥德巴赫猜想进行了一些限制，提出了一般化的哥德巴赫猜想，即任意大于2的整数都可以表示为至多k个素数之和，k 是一个固定的正整数。
这个更加一般化的猜想同样没有被证明。
虽然哥德巴赫猜想仍然未解决，但它在数论领域中引发了很多有趣的研究和讨论。
人们希望在未来能够找到证明这个猜想的方法，并揭开这个数学谜题的真相。
素数公式素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生素数的公式。
即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的素数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数。
根据素数的一个定义：“若自然数n不能被不大于根号n任何素数整除，则n是一个素数”。
[1]这个公式可以一个不漏地产生所有素数，而不会混入一个合数。
例如29，29不能被不大于根号29的素数2，3，5整除，29=2×14+1=3×9+2=5×5+4。
29小于7²=49，所以29是一个素数。
目录1 多项式形式的素数公式2 丢番图方程形式的素数公式3 带高斯函数的素数公式3.1 Mills 公式3.2 威尔逊定理的利用3.3 另一个用高斯函数的例子4 递推关系5 其他公式6 参见7 参考文献多项式形式的素数公式可以证明，一个多项式P(n)，如果不是常数的话，不会是一个素数公式。
证明很简单：假设这样的一个多项式P(n)存在，那么P(1)将是一个素数p。
接下来考虑P(1+ kp)的值。
由于，我们有。
于是P(1 + kp)是p的倍数。
为了使它是素数，P(1 + kp)只能等于p。
要使得这对任意的k都成立，P(n)只能是常数。
应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式P(n)。
欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式P(n) = n2 + n + 41的值都是素数。
对于前几个自然数n = 0, 1, 2, 3……，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71……。
当n等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。
实际上，当n能被41整除的时候，P(n)也能被41 整除，因而是合数。
这个公式和所谓的质数螺旋（en:Ulam spiral）有关。
实际上，欧拉发现了这样一个事实：a0+0=a1,a1+2=a2,a2+4=a3,a3+6=a4,...,a（a0）.到a(a0)一项就是合数,其它都是素数。
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
素数个数定理
素数个数定理（也称为高斯约翰逊猜想）是一个数学定理，它给出了给定范围内素数的个数的上界。
素数个数定理可以表示为：在区间[1, n] 中，素数的个数不超过$\frac{n}{ln(n)}$，其中$ln(n)$ 表示自然对数。
这意味着随着n 的增大，素数的个数增长较慢。
该定理可以用来估算给定范围内素数的个数，但并不能精确地给出素数的个数。
它是由著名数学家高斯在1792 年提出的，虽然当时他并不确定该定理是否成立。
直到20 世纪才有数学家证明了该定理的正确性。
素数个数定理在计算机科学中也有重要应用。
它可以用来估算给定范围内素数的个数，从而设计有效的算法来查找素数。
它也被用来分析算法的时间复杂度，因为素数个数定理给出了素数个数的上界。
关于素数有无穷多个的几个证明构造法：1.欧几里得证法：证：假设素数只有有限个，设为q1,q2,...q n，考虑p=q1q2...q n+1。
显然，p不能被q1,q2,...q n整除。
故存在两种情况：p为素数，或p有除q1,q2,...q n以外的其它素因子。
无论何种情况，都说明素数不止有限个。
假设错误，所以素数有无穷多个5.|2.设p1,...,p n是n个两两不同的素数。
再设A r是其中任意取定的r个素数的乘积。
证明：任一p j(1≤j≤n)都不能整除p1...p n/A r+A r;由此推出素数有无穷多个。
证：因为p j若不是A r的因子，必然是p1...p n/A r的因子；或者，p j若是A r的因子，必然不是p1...p n/A r的因子。
因此，p1...p n/A r+A r或者是素数，或者除p1,...,p n之外有其它素因子。
无论何种情况，都说明素数不止有限个。
假设错误，所以素数有无穷多个。
3.级数法：假若素数只有有限个p1,...,p s.证明：对任意正整数N必有。
由此推出素数有无穷多个。
证：∑+∞==11n n (因为任意正整数都可以表示成素数或素数的乘积） 故上式成立。
因为级数∑+∞=11n n递增，趋于正无穷大，由上式可知：素数有无穷多个。
（否则，上式右侧为常值） 数法：设n ≥0,F n =n22+1.再设m ≠n.证明：若d>1,且d|F n ,则d 不整除F m .由此推出素数有无穷多个。
证：设2m /2n =r,2n =p 则当m>n 时，必有F n |m 22-1=(n 22+1)(p r-1-p r-2+...-1) =(n 22+1)∑=-+-rk k r k p 11)1(=(n 22+1)q=F m -2. 由条件可得：d|F m -2,又d>1,且d|F n ,故d ≥3.则d 不整除F m. 当m<n 时，假设d|F m ,推出d 不整除F n .由以上命题：假设d i 均为素数且ni 递增，则d 1|F n1→d 1不整除F n2;d 2|F n2→d 1,d 2不整除F n3;……由以上论证过程，可以证明素数有无穷多个。
如何证明形如4n3的素数有无限多个篇一：证明形如4n+3的素数有无限多个四、证明题（每小题10分，3题共30分）1.证明：形如4n+3（n为非负整数）的素数有无限多个.证明：用反证法若形如4n3的素数为有限个，设为p1,p2,pk.(整个证明的思想是用反正法，先设形如4n+3的素数只有有限个，设为p1,p2,pk，再找到4n+3形式的数p,并且这个p是不等于p1,p2,pk的，这样就与我们假设的有限个就矛盾了)令q4p1p2pk14(p1p2pk1)3，（现在构造一个数q，通过变形我们知道q也是4n+3形式的数，显然qpi,i1,2,.....k（若相等则有(4p1p2pi1pi1pk1)pi1，这不可能），若q已经为素数，就找到了不等于p1,p2,pk的素数q，定理已经得证，若q不是素数，我们考虑它的素因数，在下面的步骤）显然pi都除不尽q.（反证法，若能除尽，即piq，而由上面可知14p1p2pkq，则有pi1，矛盾）若q为素数，而qpi，i1,2,.....k，定理已经得证.（这个结论上面的注已经说明）现在考察q不是素数，那么它必有素因数（一个数能分解为若干素数的乘积） (4l1)(4m1)4(4lmlm)14u1，（此式子说明4n+1形式的乘积还是4n+1的形式）而q一定不能全是4n1形式素因数，一定还有4n3形式的素因数p，（因为q也是4n+3的形式，若全是4n+1的形式，它们的乘积得不到4n+3的形式，故一定还有4n3形式素因数p. 由假设知q是奇数，它的因数肯定都是奇数，所以它的因数要么是4n+1的形式，要么是4n+3的形式，不可能是4n+2与4n+4的形式（因为这两个还是偶数））且不是p1,p2,pk中的一个，与假设矛盾. （前面已经证明pi都除不尽q，而p是q的因数，因此p能整除q，故p不是p1,p2,pk中的一个）故形如4n3的素数有无限多.（一开始我们假设的是有限个，k个，而现在我们找到了不等于p1,p2,pk的其它的4n+3形式的素数p，顺环往复，这说明有限个的假设不正确，故形如4n+3的素数有无限多个）注：主要步骤就是黑字的部分，后面的彩色的字是我做的注解，做题目的时候可以不写。
素数、孪生素数、四胞胎素数无限的初等证明齐宸一、素数个数无限证明假设P是自然数中最大的素数，并用M1表示P内的素数个数。
按此假设在区间P—2P内素数个数M2=0。
只要证明M2>0，则素数无限（P—2P区间不含P）。
素数只能被自己和“1”整除。
故XY（X>1,Y>1）计算出的数字一定是全体合数，且可以向右、向下排列成双向等差数列形式。
而且实质上这个双向等差数列只是由4、6、6、9这4个数字决定的。
如图所示：将计算结果与自然数对应后形成下图，图中蓝色部分是20以内的素数产生过程。
自第1行到第9行共9个等差数列决定了20以内的素数。
自第1行到第19行共19个等差数列决定了40以内的素数。
如何通过决定20以内素数个数的前9个等差数列得到21-40之间的素数个数呢？前文说XY计算结果形成的是向右、向下的双向等差数列。
当Y值固定时的计算结果就是向下的等差数列，如下图所示中的黄色数字部分：上图中第10-19个横向的等差数列，实质上也是向下等差数列的一部分。
将这两个等差数列横向放置，如下图所示：这样这11个等差数列既可以决定20以内素数位置也可以决定21-40之间素数位置。
在这11个等差数列上取1-20及21-40两区间，按照容斥原理分别计算20以内及21-40之间的不同元素个数。
因两区间的长度相同、数列相同，则不同元素个数大致相同。
证明：假设P是自然数中最大的素数，并用M1表示P内的素数个数。
按此假设在P—2P区间内素数个数M2=0（P—2P区间不含P）。
因为决定1—P以及P—2P区间素数个数的等差数列是相同的。
按照容斥原理这两区间数列相同、长度相同，则含有的不同元素个数大致相同（这些不同元素全部不是素数，而除此之外的数字全部是素数）。
故两区间的素数个数也会非常相近，这样就有M1≈M2。
M1是P之内的素数个数，显然M1≠0，故假设M2=0就是不正确的。
M2是一个大于0且接近M1的数字。
因此假设不正确。
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
(4,9),(9,25),(25,49)这3个区间按引理计算，再加向上或向下取整误差即可。
从区间（49，121）开始的每个区间按引理计算，就不仅仅是加上取整误差，如区间（49，121）的整数，7的倍数有8，9，10，11，12，13，14，15，16，17这10个，它们中去掉2，3的倍数后余11，13，17，没有5的倍数，但是，根据引理,减去7的倍数个数,所乘因子中,仍然乘了（1－1/5）这个因子。
所以少减了。
对于区间(2k p ,21k p +)k p 之间的素数,按引理计算去掉它们的倍数时，计算值比均衡值偏大，所以，在⋅-+)(221kk p p∏=-kj jp 1)11(中乘一个平偏系数λ。
选择合适的λ，使每个区间(2k p ,21k p +)达到依次去掉每个素数j p的倍数时，只存在取整误差。
这样的λ应是素数均衡排布（即相邻两素数间距是前一素数的函数）计算出的λ。
这样的λ微单减。
下面是前几个区间的平衡偏差情况区间 素数倍数少减的素数 平偏系数λ 素数个数引理计算值 乘λ值 实际值 （49，121） 7 0.95 16.4 15.6 15（121，169） 7 11 0.93 9.9 9.2 9 （169，289） 11 13 0.925 23.0 21.2 22 （289，361） 11 13 17 0.9168 12.9 11.9 11 （361，529） 11 13 17 19 0.91407 28.7 26.2 27 （529，841） 11 13 17 19 23 0.909964 51.0 46.4 47 （841，961） 13 17 19 23 29 0.9059336 18.9 17.1 16 （961，37^2） 13 17 19 23 29 31 0.90493768 62.3 56.4 57 （37^2,41^2） 17 19 23 29 31 37 0.902597221 46.4 41.8 44 （41^2,43^2） 17 19 23 29 31 37 43 0.9014182113 24.3 21.9 20所以区间（212,+k k p p ）的素数个数π（21k p+）－π（2k p ）=⋅-+)(221kk p pλ∏=-kj jp 1)11(+g(1+k p ) (1) 其中g(1+k p )满足：－)(1+k p π<g(1+k p )<)(1+k p π将（i+1）个区间的素数个数求和得π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减定理1证毕。
定理2：（素数个数连续函数式公式）不大于x 的素数个数记为π(x)，则有公式(1) )ln (ln 2ln )(222⎰⎰⎰+-=xx xt dtO t dt t dt x π (x ≥4) 证明：设不大于x 的所有连续素数为i k p p p p ,,21(1≤k ≤i)，则(2) x ＝1+(21p －1)+(22p －21p )+…+)(221k k p p -++…+(212--i i p p )+(x －2i p )其中任意区间（212,+k k p p ］的整数依次去掉1p ，2p …k p 这k 个连续素数的倍数后，余下整数除21+k p 这个合数外全为素数。
如果把素数间距均衡处理，即相邻两素数间距是前一素数的函数。
即(3) a p p k k +=+1 （a=f(k p )）∴ 221k k p p -+=22)(k k p a p -+=2a k p +2a （4）区间（212,+k k p p ］有（2a k p +2a ）个整数。
均衡处理后，区间（212,+k k p p ］里去掉前（k －1）素数的倍数后余下k p 的倍数大于1个，根据定理1π（21k p +）－π（2k p ）＞k p －1 （5）用区间（212,+k k p p ）的素数平均分布率计算区间（212,+k k p p ］的素数会有21+k p 这个合数没有去掉，根据定理1，区间（212,+k k p p ］的素数平均分布率需要再乘（1－11+k p ）这个因子和微减的平偏系数λ的微减量，才能恰好去掉21+k p 这个合数所减的1，所以π（21k p +）－π（2k p ）＜1k p +－1 = k p +a －1 （6）所以k p －1 ＜ π（21k p +）－π（2k p ）＜k p +a －1。
（7）因为k p 到1+k p 的均衡间距a=f(k p )，所以2k p 附近(区间（221,k k p p -］和（212,+k k p p －2a ］内）的素数平均间距是f (2k p )（即与a 和2有关），再根据（4），（7）式得区间（221,k k p p -］和（212,+k k p p －2a ］内的平均间距为2a 。
即k p 到1+k p 的均衡间距为a, 2k p 附近（区间（221,k k p p -］和（212,+k k p p －2a ］内）的平均间距为2a.因为k c k c p p log 2log 2=，所以函数a=f(k p )可设为(9) a=k c p log (c>1,1<k p ≤x )所以区间（221,k k p p -］素数的平均间距为2k c p log . 区间（212,+k k p p ］素数的平均间隔为1log 2+k c p 。
针对区间（212,+k k p p ］按平均间距2k c p log 和1log 2+k c p 分别计算，它们的差值设为函数s(k p )。
函数s(k p )的值是刻画去掉21+k p 这个合数应减去的1，函数s(k p )的值与1的趋近程度直接反映均衡拟合函数a=f(k p )的准确程度。
下面分析函数s(k p )。
（10） s(k p ) =)(log 2log 21221221+++---k c kk k c k k p p p p p p （k c k k p p p log 1+=+,1<k p ≤x ） 可证s(k p )单增，且k p →∞时，S(k p ).→e log c （e 为自然对数底数,证明略）因为s(k p )的值是刻画去掉21+k p 这个合数应减去的1,所以取c=e 。
即（11） a=ln k p（12） a p p k k +=+1=k p + ln k p（13） s(k p ) =)ln(2ln 21221221+++---k kk k k k p p p p p p =)ln 21ln 21()(1221++-⋅-k k k k p p p p ∵ S （11）≈0.927∴ 当k p ≥11时， 0.927≈S （11）≤S(k p )<1s(k p )作为去掉21+k p 这一个合数应减去1的近似值，产生的误差记为1w ，单增且k p →∞时，1w →0。
当k p =11时，1w =0.927－1=－0.063.函数s(k p )的值可看作：长是(221k k p p -+)，宽是)ln 21ln 21(1+-k k p p 的矩形CDEF 的面积，如图（图中A=2k p ，B=21+k p ，AB=CD=EF=221k k p p -+,DE=CF=1ln 21ln 21+-k k p p ）因为这个矩形在曲线xln 1下方的曲边△DEF 的面积S 在0.35～0.5之间变化，当k p ≥11时，在0.4203～0.5之间变化，单增且k p →∞时，S →0.5。
用曲边梯形ABFD 减去0.5的差代矩形ABFE 的面积，产生的误差记为2w ，单减且k p →∞时, 2w →0.当k p =11时，2w =0.5－0.4203=0.0797.综合1w 和2w 并记为系统误差w,k p →∞时,w →0.当k p =11时，w=1w +2w =－0.063+0.0797=0.0167.又因为x ＝1+(21p －1)+(22p －21p )+…+)(221k k p p -++…+(212--i i p p )+(x －2i p )有(i+1)个区间，所以用Li(x)=⎰xt dt2ln 减去(i+1)个0.5的差代替图中(i+1)个矩形的面积，即代替素数个数π（x ），除了系统误差w 外，还有取整导致的波动误差。
