中考复习数与式、方程不等式、函数测试

二次函数与方程（不等式）综合练习题一、单选题1.抛物线2(0)y ax bx c a =++<如图所示，则关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A.2x <B.3x >-C.31x -<<D.3x <-或1x >2.对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点如果二次函数22y x x c =++c 有两个相异的不动点12,x x ，且121x x <<，则c 的取值范围是( ) A.3c <-B.2c <-C.14c <D.1c <3.一次函数5y ax a =+（0a ≠）与二次函数22y x x b =+-(0)b ≠交于x 轴上一点，则当23x -≤≤时二次函数22(0)y x x b b =+-≠的最小值为( )A.15B.-15C.-16D.0 4.二次函数21y x bx =+-的图象如图,对称轴为直线1x =.若关于x 的一元二次方程2210x x t ---=(t 为实数)在14x -<<的范围内有实数解,则t 的取值范围是( )A.2t ≥B.27t -≤<C.22t -≤<D.27t <<5.“如果二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个公共点,那么一元二次方程2ax bx c ++=有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若,()m n m n <是关于x 的方程1()()0x a x b ---=的两根,且a b <,则,,,a b m n 的大小关系是( )A.m a b n <<<B.a m n b <<<C.a m b n <<<D.m a n b <<<6.如图，抛物线2()0y ax bx c a +≠+=的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，其部分图象如图所示，下列结论：①24ac b <；②方程20ax bx c +=+的两个根是1213x x =-=，； ③30a c +>；④当0y >时，x 的取值范围是13x -≤<； ⑤当0x <时，y 随x 增大而增大． 其中结论正确的个数是( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论：①0a < ②0b < ③0c > ④420a b c ++= ⑤20b a +=⑥ 042>-ac b 其中正确的个数是( ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,关于x 的方程2(0)ax bx c m m ++=>有两个实数根,()αβαβ<,则下列选项正确的是( )A.31αβ-<<<B.31αβ-<<<C.31αβ<-<<D.3α<-和1β>9.二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象如图所示，则满足2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是( )A.30x -<<B.3x <-或0x >C.3x <-D.03x <<10.如图，抛物线()211112y x =++与()2243y a x =--交于点3(1)A ,，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B C ,两点，且D E ,分别为顶点则下列结论:①23a =；②AC AE =；③ABD △是等腰直角三角形；④当1x >时，12y y >，其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.411.在平面直角坐标系xOy 中，已知点,M N 的坐标分别为()()1,2,2,1-，若抛物线()220y ax x a +-=≠与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）A ．11143a a ≤-≤<或B ．1143a ≤< C ．1143a a ≤>或 D ．114a a ≤-≥或 12.二次函数2y x mx =-+的图象如图，对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A.5t >﹣B.53t -<<C.34t <≤D. 54t -<≤13.在平面直角坐标系中，已知函数2221231,2,4y x ax y x bx y x cx =++=++=++，其中,,a b c 是正实数，且满足2b ac =.设函数123,,y y y 的图象与x 轴的交点个数分别为123M M M ，，，( ) A.若122,2M M ==，则30M = B.若121,0M M ==，则30M = C.若120,2M M ==，则30M =D.若120,0M M ==，则30M =14.二次函数2(2)3y x a x =+-+的图象与一次函数(12)y x x =≤≤的图象有且仅有一个交点，则实数a 的取值范围是( )A ．3a =±12a -≤<C.3a =+122a -≤< D.3a =-112a -≤<- 二、解答题15.如图，二次函数24y x x m -=+的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y kx b =+的图象经过该二次函数图象上点0(1)A ，及点B ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足24kx b x x m -+≥+的x 的取值范围．(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P 使得PA PC +最小，求P 点坐标及最小值．16.如图.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx m =-++与y 轴交于点()0,3A ，与x轴交于点,B C (点B 在点C 左侧). (1)求该抛物线的解析式及点,B C 的坐标;(2)抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点2()1,E --，求直线DE 的解析式;(3)在(2)的条件下，已知点(),0P t ，过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方.直接写出t 的取值范围.三、填空题17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax =+与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平 行的直线交抛物线213y x =于点,B C ，则BC 的长为 .18.如图，直线y mx n =+与抛物线2y ax bx c =++交于(1,),(4,)A p B p -两点，则关于x 的不等式2mx n ax bx c +>++的解集是___________.19.如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为()2,0，若抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 .20.抛物线23(0)y ax bx a =++≠过(4,4),(2,)A B m 两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足01d <≤，则实数m 的取值范围是 .21.如图,抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()()2,4,1,1A B -.则方程2ax bx c =+的解是 .22.抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <）经过(2,0)A ，(4,0)B -两点.下列四个结论： ①一元二次方程20ax bx c ++=的根为122,4x x ==-； ②若点()()125,,π,C y D y -在该抛物线上，则12y y <； ③对于任意实数t ，总有2at bt a b +-；④对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数，0p >）的根为整数，则p 的值只有两个.其中正确的结论是_________（填写序号）.23.如图，抛物线2y ax bx c =++ (,,a b c 是常数，0a ≠)与x 轴交于A B ，两点，顶点(,)P m n .给出以下结论： ①20a c +<; ②若13(,)2y -，21(,)2y -，31(,)2y 在抛物线上，则123y y y >>； ③关于20ax bx k ++=有实数解，则k c n >-； ④当1n a=-时，ABP △为等腰直角三角形. 其中正确的结论是________ (填写序号）.参考答案1.答案：C解析：∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标为(3,0)-，(1,0)∴关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是31x -<<，故选C 2.答案：B解析：由题意知12x x 、是方程22x x c x ++=的两个实数根，且121x x <<，整理得20x x c ++=， 24140110b ac c c ⎧∆=-=->⎨++<⎩，解得2c <-，故选B. 3.答案：C解析：一次函数5y ax a =+（0a ≠）与二次函数22y x x b =+-(0)b ≠交于x 轴上一点∴把0y =代入得05ax a =+，解得5x =- ∴交点为(5,0)-代入22y x x b =+-得02510b =--，解得15b =∴二次函数为2215y x x =+-二次函数2215y x x =+-对称轴为2121x =-=-⨯ ∴当23x -≤≤时，1x =-时，min 121516y =--=-，故选C.4.答案：B解析：抛物线的对称轴直线12bx =-=，解得2b =-， 所以抛物线解析式为221y x x =--，则顶点坐标为(1,2)-， 当1x =-时，2212y x x =--=； 当4x =时，2217y x x =--=，而关于x 的一元二次方程2210x x t ---=(t 为实数)在14x -<<的范围内有实数解可看作二次函数221y x x =--与直线y t =有交点, 所以27t -≤<. 故选B. 5.答案：A解析：依据题意，画出函数()()y x a x b =--的图象，如图所示.函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为,()a b a b <. 方程1()()0x a x b ---=, 转化为()()1x a x b --=，方程的两根是抛物线()()y x a x b =--与直线1y =的两个交点.<，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n.由m n<;在对称轴右侧，y随x增大由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m a<.而增大，则有b n<<<.综上所述，可知m a b n故选:A.6.答案：B解析：从题图中可知二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为直线1x =-与x 轴的一个交点坐标是(1,0)，∴与x 轴的另一 个交点坐标是(3,0)-，∴2ax bx c m ++=的根可以看作二次函 数2y ax bx c =++图象与直线y m =的交点的横坐标，如图，可知3α<-和1β>.9.答案：A解析：根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x 的取值范围即可． 解：由图可知，30x -<<时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是30x -<<． 故选：A. 10.答案：C解析：抛物线()2243y a x =--过点()1,3A ，393a ∴=-，解得，故①正确；由题意可知3(4)E -,，AE ∴=，点3(1)A ,、C 关于直线4x =对称，3()7C ∴,，6AC ∴=，故AC AE ≠，故②错误； 易得点D 的坐标为(11)-,，由抛物线的对称性可知，AD BD =，()33B -,，又11()D -,，4AB ∴=，AD BD ==，222AD BD AB ∴+=，ABD ∴△是等腰直角三角形，故③正确；两个函数比较大小，首先要知道这两个函数图象的交点，则()21211x ++()22433x =--，解得11x =，237x =，所以当137x <<时，12y y >.11.答案：A解析：抛物线的解析式为22y ax x =-+．观察图象可知当0a <时，1x =-时，2y ≤时，满足条件，即32a +≤，即1a ≤-； 当0a >时，2x =时，1y ≥，且抛物线与直线MN 有交点，满足条件，14a ∴≥， 直线MN 的解析式为1533y x =-+，由215332y x y ax x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩消去y 得到，23210ax x -+=，0∆>，13a ∴<， 1143a ∴≤<满足条件， 综上所述，满足条件的a 的值为11143a a ≤-≤<或，故选：A ．12.答案：D 解析：如图，二次函数2y x mx =-+的对称轴为2x =，()221m ∴-=⨯-解得4m =， ∴二次函数解析式为24y x x =-+，∴当1x =时，143y =-+=，当5x =时，2520 5.y =-+=-由图象可知关于x 的一元二次方程20x mx t -+-=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，直线y t =在直线5y =-和直线4y =之间，包括直线4y =，所以54t -<≤.故选:D13.答案：B解析：本题考查抛物线与x 轴的交点、一元二次方程的根的判别式.选项A ，因为12M =，22M =，所以224,8a b >>.因为2b ac =，设46a b ==，，则9c =，此时24140c -⨯⨯>，所以32M =，故选项A 不正确；选项B ，因为121,0M M ==，所以224110,4120a b -⨯⨯=-⨯⨯<，所以2a =（舍负），28b <.因为2b ac =，所以212c b =，此时2414144c b -⨯⨯=-()()()4221116648844b b b =-=+-.因为28b <，20b >，所以()()2218804b b +-<，所以241c -⨯⨯340,0M <=，故选项B 正确；选项C ，因为10M =，22M =，所以224,8a b <>.因为2b ac =，设1a =，3b =，则9c =，此时24140c -⨯⨯>，所以32M =，故选项C 不正确；选项D ，因为120,0M M ==，所以224,8a b <<.因为2b ac =，设12a b ==，，则4c =，此时24140c -⨯⨯=，所以31M =，故选项D 不正确，故选B.14.答案：D解析：二次函数2(2)3y x a x =+-+的图象与一次函数(12)y x x =≤≤的图象有且仅有一个交点，可转化为方程2(3)30x a x +-+=在12x ≤≤上有且只有一个解（1）当0∆=时，即2(3)120a --=，所以3a =±①当3a =+230x ++=解得12x x ==②当3a =-时，方程230x -+=解得12x x =（2）当0∆>时，令2(3)3y x a x =+-+令1x =，则1331y a a =+-+=+令2x =，则42(3)321y a a =+-+=+，则(1)(21)0a a ++≤，解得112a -≤≤-①当1a =-时，令2430y x x =-+=，解得121,3x x ==，符合题意. ②当12a =-时，令27302y x x =-+=，解得1232,2x x ==，不符题意，故12a ≠- 所以112a -≤≤-综上所述，当3a =-或112a -≤≤-时满足题意.故选D. 15.答案：(1)抛物线24y x x m =-+经过点0(1)A ,，014m ∴=-+，3m ∴=，∴抛物线解析式为243y x x =-+，∴点C 坐标(0)3,，对称轴2x =，B C ,关于对称轴对称，∴点B 坐标(4)3,，y kx b =+经过点A B ,，043k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数解析式为1y x =-；(2)由图象可知，满足24kx b x x m +≥-+的x 的取值范围为：14x ≤≤；(3)存在，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点，∴直线AB 与对称轴的交点即为点P ，则PA PC +最小值AB =，AB ∴=把2x =代入1y x =-得，1y =，1()2P ∴,，PA PC +最小值=解析：16.答案：(1)抛物线224y mx mx m =-++与y 轴交于点()0,3A ， 4 3.m ∴+=1.m ∴=-∴抛物线的表达式为22 3.y x x =-++.抛物线223y x x =-++与x 轴交于点,B C ， ∴令0y =，即2230.x x -++=解得121, 3.x x =-= 又点B 在点C 左侧，∴点B 的坐标为(1,0)-，点C 的坐标为(3,0);(2)2223(1)4y x x x =-++=--+∴抛物线的对称轴为直线1x =.抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，∴点D 的坐标为(1,0).直线y kx b =+经过点(1,0)D 和点(1,2)E --，02.k b k b +=⎧∴⎨-+=-⎩解得11.k b =⎧⎨=-⎩ ∴直线DE 的表达式为1y x =-;(3)如图，当P 点在,D B 两点之间时，,M N 都在x 轴上方，∴点,M N 至少有一个点在x 轴下方的t 的范围为:1t <或3t >.解析：17.答案：6解析：∵抛物线23y ax =+与y 轴交于点A ,∴A 点坐标为()0,3. 当3y =时,2133x = ,解得3x =±. ∴B 点坐标为()3,3﹣,C 点坐标为()3,3.(3)36BC ∴-=-=.18.答案：1x <-或4x >解析：由函数图象可知，在点A 的左侧和点B 的右侧，一次函数的函数值都大于二次函数的函数值.(1,),(4,)A p B p -，∴关于x 的不等式2mx n ax bx c +>++的解集是1x <-或4x >.19.答案：122k -<< 解析：由图可知，45AOB ∠=°,∴直线OA 的解析式为y x =，联立212y x y x k =⎧⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得22220,(2)4120x x k k -+=∆=--⨯⨯=，解得12k =，即12k =时，抛物线与OA 有一个交点，该交点的横坐标为 1.点B 的坐标为()2,0,2,AO ∴=∴点A的坐标为，∴交点在线段AO 上;当抛物线经过点(2,0)B 时，合1402k ⨯+=，解得2k =-.∴要使抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，实数k 的取值范围是122k -<<. 20.答案：3m ≤或4m ≥解析：把(4,4)A 代入抛物线23y ax bx =++得：16434a b ++=1641a b ∴+=，144a b ∴+= 对称轴2b x a=-，(2,)B m ，且点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足01d <≤ 02()12b a ∴<--≤，4012a b a+∴<≤，118a ∴≤ 18a ∴≥或18a ≤- 把(2,)B m 代入23y ax bx =++得：423ab m ++=2(2)3a b m ++=12(24)34a a m +-+= 784m a ∴=- 71848m ∴-≥或71848m -≤- 3m ∴≤或4m ≥，故答案为3m ≤或4m ≥.21.答案：122,1x x =-= 解析：抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()()2,4,1,1A B -，∴方程组2y ax y bx c⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩或2211x y =⎧⎨=⎩， 即关于x 的方程20ax bx c --=的解为122,1x x =-=.22.答案：①③解析：本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系.抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a <）经过(2,0),(4,0)A B -两点，∴当0y =时，方程20ax bx c ++=的两个根为122,4x x ==-，故①正确；该抛物线的对称轴为2(4)12x =+-=-，函数图象开口向下，若点()()125,,π,C y D y -在该抛物线上，则12y y >，故②错误；当1x =时，函数取得最大值a b c -+，故对于任意实数t ，总有2at bt a b +-，即对于任意实数t ，总有2at bt a b +-，故③正确；对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（p 为常数，0p >）的根为整数，则两个根为3-和1或2-和0或1-和1-，故p 的值有三个，故④错误，故正确的结论是①③.23.答案：②④ 解析：①由图像知对称轴122b x a =-<，且开口向上可知0a >，所以a b >-. 当1x =-时，由图像知0y >，所以0a bc -+>，所以0a a c a b c ++>-+>，所以20a c +>，故①错误； ②若13(,)2y -，21(,)2y -，31(,)2y 在抛物线上，由图像可知123y y y >>.故正确； ③若抛物线与直线y t =有交点，即2y ax bx c y t⎧=++⎨=⎩有解，所以2ax bx c t ++=有解， 所以直线y t =一定过点P 或在点P 上方，所以t n ≥.因为关于x 的方程20ax bx k ++=有实数解，所以2ax bx c c k ++=-有实数解. 即抛物线2y ax bx c =++与直线y c k =-有交点即直线y c k =-一定过点P 或在点P 上方，所以c k n -≥，所以k c n ≤-，故③错误；④如图所示，连接,PA PB ,设对称轴交x 轴于点H2414ac b n a a-==-，244b ac ∴-=即0∆>。

九年级“数与式”“方程与不等式”复习测试卷一、选择题：1、在tan 45，sin 60，3.14，π，0.010010001, 中，无理数的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.用代数式表示“a 的3倍与b 的差的平方”，正确的是（ ）A ．2(3)a b -B ．23()a b -C ．23a b -D ．2(3)a b - 3．下列运算正确的是（ ）A ．a 2·a 3=a 6 B ．236()a a =C ．236a a a += D ．23a a a -=4、如果x,y 的值都扩大为原来的3倍，那么分式y x xy x -+4322的值（ ） A 不变 B 扩大为原来的3倍 C 缩小为原来的3倍 D 不能确定5、观察下面的一列单项式: -x 、2x 2、-4x 3、8x 4、-16x 5、…根据其中的规律，得出的第10个单项式是（ ）A.-29x 10 B. 29x 10 C. -29x 9 D. 29x 96.如果25x -+13x -有意义，那么字母x 的取值范围是（ ） A ．x ≥2.5 B ．x ≤2.5 C ．x ≥2.5且x ≠3D ．x ≤2.5且x ≠3 7、已知01b 2a =-++，那么2007)b a (+的值为（ ）。

A 、－1B 、1 C 、20073 D 、20073-8、若2(1)1a a -=-，则a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a <D ．1a ≤9、把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +-B ． 223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y -10．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ）A ．2a +bB ．2aC ．aD ．b11． 2007年10月中国月球探测工程的“嫦娥一号”卫星发射升空飞向月球。

中考复习之方程、不等式和函数的综合一、选择题：1.下列函数中，当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大的有【 】 ①y=x ②y=－2x ＋1 ③1y=x- ④2y=3x A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个2.已知关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=有唯一实数解，且反比例函数1by x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 A. 3y x =-B. 1y x =C. 2y x =D. 2y x=- 3.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D4.二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过【 】 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 5. 已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1y=2x上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=﹣abx 2+（a+b ）x 【 】A ．有最大值，最大值为92-B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为92-二、解答题1.一辆警车在高速公路的A 处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y （升）与行驶时间x （小时）的函数关系的图象如图所示的直线l 上的一部分． （1）求直线l 的函数关系式；（2）如果警车要回到A 处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可2.“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？3.在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B 村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙工程队每天修公路多少米？（2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式．（3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？4.温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。

第二编 专题训练(针对专题,重点突破) 热点专题一 代数与几何综合型问题专题训练一 数与式、方程与不等式一、选择题1.据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失平均为150 000 000元，若不加治理，一年按365天计，我国一年中因土地沙漠化造成的经济损失（用科学记数法表示）为________元.A.5.475³107B.5.475³109C.5.475³1010D.5.475³10112.在722，π、9.0、cos30°、3027.0、∙9.0、(-16)-2，0.303 003 000 3…中无理数的个数有A.2个B.3个C.4个D.5个 3.下列计算中，正确的是A.-|-3|=3B.(a 5)2=a 7C.0.2a 2b-0.2a 2b=0D.2)4(-=-44.下列运算正确的是A.x 3+x 3=2x 6B.x 6÷x 2=x 3C.(-3x 3)2=3x 6D.x 2²x -3=x -1 5.下列计算中，正确的是A.(ab 2)3=a 3b 6B.(3xy)3=9x 3y 3C.(-2a 2)2=-4a 2D.9=±3 6.下列等式中，一定成立的是A.(a-b)2=-(b-a)2B.2)(a -=2aC.x 3²x 3=x 9D.210xx =x 57.用配方法将二次三项式a 2+4a+5变形，结果是A.(a-2)2+1B.(a+2)2+1C.(a-2)2-1D.(a+2)2-1 8.方程(3x+1)(x-1)=(4x-1)(x-1)的解是A.x 1=1,x 2=0B.x 1=1,x 2=2C.x 1=2,x 2=-1D.无解 9.根据图1-1、图1-2所示，对a 、b 、c 三种物体的重量判断正确的是图1-1图1-2A. a<cB. a<bC. a>cD. b<c10.如果2m 、m 、1-m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么m 的取值范围是A. m ＞0B. m ＞21 C. m ＜0 D.0＜m ＜21 二、填空题11.方程x 2-2=0的解是x=__________________.12.若分式2652-+-x x x 的值是零，则x=__________________.13.观察以下四个式子：（1）322=232；（2）833=383；（3）1544=4154；（4）2455=5245，你从中发现什么规律？______________________,请举出一例：__________________. 14.仔细观察下列计算过程：∵112=121, ∴121=11;同样，∵1112=12 321, ∴12321=111,…由此猜想76543211234567898=__________________. 15.观察下列顺序排列的等式：99 999³11=1 099 989， 99 999³12=1 199 988， 99 999³13=1 299 987, 99 999³14=1 399 986……猜想：99 999³19=__________________. 16.不等式组⎩⎨⎧>->-04,012x x 的解集是________________.三、解答题17.(2006辽宁大连中考)已知关于x 的方程x 2+kx-2=0的一个解与方程11-+x x =3的解相同. (1)求k 的值；(2)求方程x 2+kx-2=0的另一个解.18.已知x=3-1，求x x 1-÷(x-x1)的值. 19.有一道“先化简再求值：（22+-x x +442-x x ）÷412-x ,其中x=-3”,小玲做题时把“x=-3”抄成了“x=3”，但她的计算结果也对，请你解释这是为什么？20.化简：(1-y x x +2)÷y x y xy x 33222++-÷222yx xyx -+. 21.甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一副定价60元，乒乓球每盒定价10元.今年世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠.某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）.设该校要买乒乓球x 盒，所需商品在甲商店购买需用y 1元，在乙商店购买需用y 2元.（1）请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式（不必注明自变量x 的取值范围）； （2）对x 的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜;（3）若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案.22.校长暑假将带该校市级三好学生去北京旅游，甲、乙两家旅行社报价都是每人240元.但甲旅行社说：校长买全票一张，其余学生可以半价优惠；而乙旅行社说：包括校长在内按全票的6折优惠.假如你是校长，你将选择哪家旅行社？23.若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨，若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满不空.问：有多少辆汽车？24.“黄海”生化食品研究所欲将甲、乙、丙三种食物混合研制成100千克食品，并规定研制成的混合食品中至少需要44 000单位的维生素A 和48 000单位的维生素B.三种食物的维设取甲、乙、丙三种食物的质量分别为x 千克、y 千克、z 千克. (1)根据题意列出等式或不等式，并证明y ≥20且2x-y ≥40;(2)若限定混合食品中要求含有甲种食物的质量为40千克，试求此时制成的混合食品的总成本W 的取值范围，并确定当W 取最小值时，可取乙、丙两种食物的质量. .一、选择题 1答案：C提示：注意科学计数法的形式a ³10n ，其中尤其注意1≤a ＜10. 2答案：C提示：无理数即无限不循环小数，包括开方开不尽的数和π. 3答案：C提示：根据绝对值、积的乘方、合并同类项、二次根式四方面判断. 4答案：D提示：根据同底数幂乘法、同底数幂除法、合并同类项、幂的乘方四方面判断. 5答案：A提示：根据绝对值积的乘方、二次根式的化简. 6答案：B提示：乘法公式,二次根式的化简,同底数幂乘法、除法. 7答案：B提示：根据代数式的配方，添加的项是一次项系数一半的平方. 8答案：B提示：因为不知道（x-1）的符号，所以只能先移项. 9答案：C提示：注意能从数学图形到数学知识的迁移，从而列出不等式. 10答案：C 二、填空题 11答案：±2提示：直接开平方法解一元二次方程. 12答案：3提示：若分式的值是零，则分子为0，但分母又不能为0. 13答案：12-+n n n =n 12-n n3566+=6356提示：分析各数字之间的联系，找出规律.14答案：111 111 111 提示：观察分析规律. 15答案：1 899 981提示：分析乘数及积的变化规律. 16答案：21＜x ＜4 提示：注意解不等式与解等式的区别：同乘以或除以同一个不等于0的负数时，不等号的方向改变，其他步骤不变.17解：(1)x+1=3x-3,2x=4,x=2. 将x=2代入x 2+kx-2=0, 4+2k-2=0,k=-1.(2)由(1)可得x 2-x-2=0,(x-2)(x+1)=0,x 1=2,x 2=-1. 所以另一解为x=-1. 提示：方程11-+x x =3的解即是x 2+kx-2=0的解,可先求分式方程的解再代入一元二次方程求k.18答案：原式=11+x =33. 提示：分式化简计算，需要用到通分及约分.19提示：原式化简后为x 2+4，所以无论x=-3或是x=3,其计算结果都是一样的. 20答案：-x3. 提示：分式化简计算，能先分解因式的，要先分解因式，然后需要用到通分及约分等方法. 21解：(1)y 1=10x+80；y 2=9x+108.(2)当要买的乒乓球盒数等于28时，两家商店的费用一样；当要买的乒乓球盒数大于28时，乙商店的费用比较便宜；当要买的乒乓球盒数小于28时，甲商店的费用比较便宜. (3)先到甲商店购买两副球拍，送四盒乒乓球，然后再到乙商店购买其余的乒乓球.提示：根据题意，列出两个商家费用与购买物品之间的一次函数关系，然后通过解不等式解出答案.22解：设有学生x 名，甲旅行社的收费表示为y 1，乙旅行社的收费表示为y 2, 则y 1=120x+240，y 2=144x+144, 当y 1=y 2时，x=4; 当y 1＞y 2时，x ＜4; 当y 1＜y 2时，x ＞4.答：当学生数量等于4人时，两家旅行社的费用相同；当学生数量大于4人时，选择甲旅行社；当学生数量小于4人时，选择乙旅行社.提示：根据题意，列出两个旅行社费用与学生数之间的一次函数关系，然后通过解不等式得出答案.23解：设有x 辆汽车，根据题意得⎩⎨⎧<--+>--+,8)1(8204,0)1(8204x x x x解得5<x<7，所以x=6. 答：有6辆汽车.提示：根据题意，表示出最后一辆车的数量，而最后一辆车的数量大于0小于8.24解：（1）根据题意得⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥++=++,48000400200800,44000400600400,100z y x z y x z y x 由此可证y ≥20且2x-y ≥40.（2）W=40³9+12y+8z=4y+840,因为20≤y ≤40，所以920≤W ≤1 000；当y=20时，W 最小，此时，可取乙20千克，丙40千克.提示：此题是有关不等式与一次函数的内容.先根据不等式组解出一个自变量的取值范围，然后再根据函数的增减性作出答案。

2024年中考数学复习单元测试卷及答案解析—第⼆章：⽅程与不等式（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）⼀．选择题（共10⼩题，满分30分，每⼩题3分）1．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三⽉底是6.2元/升，五⽉底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个⽉平均每⽉的增长率为x ，根据题意列出⽅程，正确的是（ ）A ．26.2(1)8.9xB ．28.9(1) 6.2xC ．26.2(1)8.9xD ．26.2(1) 6.2(1)8.9x x【答案】A【分析】设该地92号汽油价格这两个⽉平均每⽉的增长率为x ，根据三⽉底和五⽉底92号汽油价格，得出关于x 的⼀元⼆次⽅程即可．【详解】解：依题意，得26.2(1)8.9x．故选：A ．【点睛】本题主要考查了⼀元⼆次⽅程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出⼀元⼆次⽅程式解题关键．2．某体育⽐赛的门票分A 票和B 票两种，A 票每张x 元，B 票每张y 元．已知10张A 票的总价与19张B 票的总价相差320元，则（ ）A ．1032019x y B ．1032019yx C ．1019320x y D ．1910320x y 【答案】C【分析】根据题中数量关系列出⽅程即可解题；【详解】解：由10张A票的总价与19张B票的总价相差320元可知，1019320x y或1910320y x，∴1019320x y，故选：C．【点睛】本题主要考查⼆元⼀次⽅程的应⽤，解题的关键在于能根据实际情况对题⽬全⾯分析．3．为了增强学⽣的安全防范意识，某校初三（1）班班委举⾏了⼀次安全知识抢答赛，抢答题⼀共20个，记分规则如下：每答对⼀个得5分，每答错或不答⼀个扣1分．⼩红⼀共得70分，则⼩红答对的个数为（）A．14B．15C．16D．17【答案】B【分析】设⼩红答对的个数为x个，根据抢答题⼀共20个，记分规则如下：每答对⼀个得5分，每答错或不答⼀个扣1分，列出⽅程求解即可．【详解】解：设⼩红答对的个数为x个，由题意得52070x x，解得15x ，故选B．【点睛】本题主要考查了⼀元⼀次⽅程的应⽤，正确理解题意是列出⽅程求解是解题的关键．4．上学期某班的学⽣都是双⼈同桌，其中14男⽣与⼥⽣同桌，这些⼥⽣占全班⼥⽣的15，本学期该班新转⼊4个男⽣后，男⼥⽣刚好⼀样多，设上学期该班有男⽣x⼈，⼥⽣y⼈，根据题意可得⽅程组为（）A ．445x y x yB ．454x y x yC ．445x yx yD ．454x yx y【答案】A【分析】设上学期该班有男⽣x ⼈，⼥⽣y ⼈，则本学期男⽣有（x +4）⼈，根据题意，列出⽅程组，即可求解．【详解】解：设上学期该班有男⽣x ⼈，⼥⽣y ⼈，则本学期男⽣有（x +4）⼈，根据题意得：445x y x y．故选：A【点睛】本题主要考查了⼆元⼀次⽅程组的应⽤，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．5．【原创题】在解⼀元⼆次⽅程x 2+px +q ＝0时，⼩红看错了常数项q ，得到⽅程的两个根是﹣3，1．⼩明看错了⼀次项A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出⼀元⼆次⽅程，再舍去错误信息，从⽽可得正确答案.【详解】解：Q ⼩红看错了常数项q ，得到⽅程的两个根是﹣3，1，所以此时⽅程为：310,x x 即：2230,x xQ ⼩明看错了⼀次项系数P ，得到⽅程的两个根是5，﹣4，所以此时⽅程为：540,x x 即：2200,x x从⽽正确的⽅程是：22200,x x故选：.B 【点睛】本题考查的是根据⼀元⼆次⽅程的根构建⼀元⼆次⽅程，掌握利⽤⼀元⼆次⽅程的根构建⽅程的⽅法是解题的关键.6．满⾜1m 的整数m 的值可能是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A11的范围，再确定m 的范围即可确定答案．【详解】34Q ，213 ，11，1m ，3m ，故选：A ．【点睛】本题考查了绝对值的化简，⽆理数的估算和不等式的求解，熟练掌握知识点是解题的关键．7．定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q，有 ,,m p q n mn pq ※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：  2,34,5253422 ※．若关于x 的⽅程 21,52,0x x k k ※有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k且0k B ．54kC ．54k且0k D ．54k【答案】C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x 的⼀元⼆次⽅程，从⼆次项系数和判别式两个⽅⾯⼊⼿，即可解决．【详解】解：∵[x 2+1，x ]※[5−2k ，k ]=0，∴21520k x k x ．整理得，2520kx k x k ．∵⽅程有两个实数根，∴判别式0V 且0k ．由0 V 得， 225240k k ，解得，54k．∴k 的取值范围是54k且0k ．故选：C【点睛】本题考查了新定义运算、⼀元⼆次⽅程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知⼀元⼆次⽅程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题⽬容易忽略之处在于⼆次项系数不能为零的条件限制，要引起⾼度重视．8．若关于x 的分式⽅程2121m x x有正数解，求m 的取值范围．甲解得的答案是：4m，⼄解得的答案是：2m，则正确的是（ ）A ．只有甲答案对B ．只有⼄答案对C ．甲、⼄答案合在⼀起才正确D ．甲、⼄答案合在⼀起也不正确【答案】D【分析】先解分式⽅程，得出24m x m ，根据关于x 的分式⽅程2121mx x 有正数解，得出2042142142mm mm m m，解不等式组即可得出答案．【详解】解：2121mx x，去分母得：42x mx m，移项，合并同类项得：42m x m ，解得：24m x m，∵关于x 的分式⽅程2121mx x有正数解，∴2042142142mm mm m m，解得：4m或2m ，且0m ，∴甲、⼄答案合在⼀起也不正确，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式⽅程，解不等式组，解题的关键是根据关于x 的分式⽅程2121mx x有正数解，列出关于m 的不等式组．9．【原创题】设a 、b 、c 为实数，22,3x a b 22,3y b c 22,3z c a则x 、y 、z 中⾄少有⼀个值（ ）A ．⼤于0B ．等于0C ．不⼤于0D ．⼩于0【答案】A【分析】先计算x +y +z ，再利⽤配⽅法得到x +y +z ＝ 2221113a b c ，根据⾮负数的性质和 ＞3得到x +y +z ＞0，根据有理数的性质得到x 、y 、z 中⾄少有⼀个正数．【详解】解：x +y +z ＝222222333a b b c c a222222a a b b c c＝ 2221113a b c ，∵ 21a ≥0， 21b ≥0， 21c ≥0，3 ＞0，∴x +y +z ＞0，∴x 、y 、z 中⾄少有⼀个⼤于0．故选：A ．【点睛】本题考查了配⽅法的应⽤，熟练掌握配⽅法是解题的关键．10．【创新题】已知多项式2232M x x，多项式23N x ax ．①若0M，则代数式21331x x x 的值为263；②当3a，4x 时，代数式M N 的最⼩值为14 ；③当0a时，若0M N ，则关于x 的⽅程有两个实数根；④当3a 时，若2221513M N M N ，则x 的取值范围是723x ．以上结论正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【分析】①把0M代⼊解⽅程即可求解；②把3a 代⼊，再配⽅求最⼩值即可；③把0a 代⼊解⽅程即可求解；④根据绝对值的意义求解即可．【详解】解：①若0M，则22320M x x ，解得2x ，或12x，∴21331x x x 的值为263；故①错误；②当3a时，2223233M N x x x x 265x x2314x ，∴当4x时，代数式M N 的最⼩值为13 ；故②错误；③由题意得，2223230MN x x x ，∴22320x x或230x ，解22320x x得2x ，或12x；解230x，即230x ，没有实数解，∴关于x 的⽅程有两个实数根，故③正确；④当3a时，|22||215|M N M N 2222|(232)2(33)2||(232)2(33)15|x x x x x x x x |36||37|13x x ∴370360x x ，解得723x ；故④错误；综上，只有③正确；故选：B ．【点睛】本题考查了配⽅法的应⽤，解⼀元⼆次⽅程、解不等式组、绝对值的意义，理解绝对值的性质和⼀元⼆次⽅程的解法是解题的关键．⼆．填空题（共6⼩题，满分18分，每⼩题3分）11．【原创题】已知关于x 的⼀元⼀次⽅程12024x +3=2x +b 的解为x =2，则关于y 的⼀元⼀次⽅程12024y +1=2y −1+b 的解为 ．【答案】y =1【分析】本题主要考查⼀元⼀次⽅程的解，熟练掌握⼀元⼀次⽅程的解是解题的关键；所以由题意易得12024y +1+3=2y +1+b ，然后可得y +1=2，进⽽求解即可．【详解】解：由⽅程12024y +1=2y −1+b 可变形为12024y +1+3=2y +1+b ，因为关于x 的⼀元⼀次⽅程12024x +3=2x +b 的解为x =2，所以把y +1看作⼀个整体，则⽅程12024y +1+3=2y +1+b 的解为y +1=2，解得：y =1，故答案为y =1．12．如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 ．先化简，再求值：314xx ，其中x解：原式3(4)(4)4x x x x 34x x 1【答案】5【分析】根据题意得到⽅程3114xx ，解⽅程即可求解．【详解】解：依题意得：3114x x ，即3204x x ，去分母得：3-x +2(x -4)=0，去括号得：3-x +2x -8=0，解得：x =5，经检验，x =5是⽅程的解，故答案为：5．【点睛】本题考查了解分式⽅程，⼀定要注意解分式⽅程必须检验．13．关于x 的⽅程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，则a 的值为 ．【答案】32/1.5/112【分析】根据⽅程根的定义得到223am bm，223an bn ，然后把(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54变形后，利⽤整体代⼊，得到关于a 的⼀元⼆次⽅程，解⽅程后去掉不合题意的解即可．【详解】解：∵关于x 的⽅程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，∴2230am bm，2230an bn ∴223am bm，223an bn ∵(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，∴[2（am 2－2bm ＋a ）] [3(an 2－2bn )－2a ]＝54∴2(3)(92)54a a解得0a或32a ∵ab ≠0∴a ，b 均为⾮零实数，∴32a故答案为：32【点睛】本题考查了⼀元⼆次⽅程根的定义和整体代⼊的⽅法，熟练掌握整体代⼊的⽅法是解题的关键．14．点Q 的横坐标为⼀元⼀次⽅程37322x x的解，纵坐标为a b 的值，其中a ，b 满⾜⼆元⼀次⽅程组2428a b a b，则点Q 关于y 轴对称点Q 的坐标为 ．【答案】5,4 【分析】先分别解⼀元⼀次⽅程37322x x 和⼆元⼀次⽅程组2428a b a b，求得点Q 的坐标，再根据直⾓坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x，移项合并同类项得，525x，系数化为1得，5x，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b ①②，由2 ①②得，3=12b ，解得：4b，把4b代⼊①得，24=4a ，解得：0a ，∴=04=4a b，∴点Q 的纵坐标为4 ，∴点Q 的坐标为 5,4 ，∴点Q 关于y 轴对称点Q 的坐标为5,4 ，故答案为： 5,4 ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解⼀元⼀次⽅程和解⼆元⼀次⽅程组、代数值求值、直⾓坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解⼀元⼀次⽅程和解⼆元⼀次⽅程组的⽅法求得点Q 的坐标是解题的关键．【新考法】 信息题15．我国古代天⽂学和数学著作《周髀算经》中提到：⼀年有⼆⼗四个节⽓，每个节⽓的晷（ɡuǐ）长损益相同（晷是按照⽇影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影⼦的长度），⼆⼗四节⽓如图所⽰．从冬⾄到夏⾄晷长逐渐变⼩，从夏⾄到冬⾄晷长逐渐变⼤，相邻两个节⽓晷长减少或增加的量均相同，周⽽复始．若冬⾄的晷长为13.5尺，夏⾄的晷长为1.5尺，则相邻两个节⽓晷长减少或增加的量为 尺，⽴夏的晷长为 尺．【答案】 1 4.5【分析】设相邻两个节⽓晷长减少的量为x 尺，由题意知，13.512 1.5x，计算求出相邻两个节⽓晷长减少或增加的量；根据⽴夏到夏⾄的减少量求解⽴夏的晷长即可．【详解】解：设相邻两个节⽓晷长减少的量为x 尺，由题意知，13.512 1.5x，解得，1x，∴相邻两个节⽓晷长减少或增加的量为1尺；∵1.531 4.5，∴⽴夏的晷长为4.5尺；故答案为：1；4.5．【点睛】本题考查了⼀元⼀次⽅程的应⽤．解题的关键在于根据题意列⽅程．【新考法】 与⼀元⼆次⽅程有关的新定义问题16．将两个关于x 的⼀元⼆次⽅程整理成 20a x h k ＝（0a，a 、h 、k 均为常数）的形式，如果只有系数a 不同，其余完全相同，我们就称这样的两个⽅程为“同源⼆次⽅程”．已知关于x 的⼀元⼆次⽅程20ax bx c （0a ）与⽅程 2120x 是“同源⼆次⽅程”，且⽅程20ax bx c （0a ）有两个根为1x 、2x ，则b －2c ＝ ，1122ax x x ax的最⼤值是 ．【答案】 4； -3【分析】利⽤20ax bx c （0a ）与⽅程 2120x 是“同源⼆次⽅程”得出2b a ，2c a ，即可求出2b c ；利⽤⼀元⼆次⽅程根与系数的关系可得122x x，122a x x a ，进⽽得出1122121ax x x ax a a ，设1a t a （0t），得210a t a  ，根据⽅程210a t a  有正数解可知240t，求出t 的取值范围即可求出1122ax x x ax 的最⼤值．【详解】解：根据新的定义可知，⽅程20ax bx c（0a ）可变形为 2120a x ，∴ 2212a x ax bx c ，展开，2222ax ax a ax bx c ，可得2b a，2c a ，∴ 22224b c a a ；∵122x x，122a x x a ，∴1122121221221a ax x x ax a x x x x a a a a ，∵⽅程20ax bx c（0a ）有两个根为1x 、2x ，∴ 22424280b ac a a a a ，且0a ，∴0a，设1a t a （0t），得210a t a  ，∵⽅程210a t a 有正数解，∴240t，解得2t ，即12a a ≥，∴11221213ax x x ax a a ．故答案为：4，-3．【点睛】本题考查新定义、⼀元⼆次⽅程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到1122121ax x x ax a a 是解题的关键．三．解答题（共9⼩题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17．由⼯业和信息化部⼈才交流中⼼和RoboCom 国际公开赛组委会共同主办的睿抗机器⼈开发者⼤赛 RAICOM ，2023年1⽉6⽇在线上召开2023赛季启动⼤会.为备战机器⼈⼤赛，某校对机器⼈进⾏50⽶⽐赛，“冲锋”和“东风”两个机器⼈进⼊了决赛.⽐赛中，“冲锋”先出发8秒后，“东风”从同⼀起始位置出发，结果“东风”迟到2秒到达终点.已知“东风”是“冲锋”的平均速度的2.5倍，求“冲锋”的平均速度．【答案】“冲锋”的平均速度5⽶/秒【分析】设“冲锋”的平均速度为x ⽶/秒，则“东风”的平均速度的2.5x ⽶/秒，根据“冲锋”从起点出发8秒后，“东风”才从起点出发，结果“东风”迟到2秒到达终点，可得⽅程，解出即可．【详解】解：设“冲锋”的平均速度为x ⽶/秒，则“东风”的平均速度的2.5x ⽶/秒，由题意得5050282.5x x ，解得：5x，经检验5x是原⽅程的解．答：“冲锋”的平均速度5⽶/秒．【点睛】本题考查了分式⽅程的应⽤，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系18．已知⼀元⼆次⽅程□210x x，其中系数“□”印刷不清．(1)嘉嘉把“□”猜成是2，请你解⽅程2210x x；(2)淇淇说：“我看答案该⽅程有两个相同的根”请你通过计算说明“□”是⼏？【答案】(1)112x ，21x (2)14【分析】本题考查⼀元⼆次⽅程的解法、⼀元⼆次⽅程的根的判别式，解题的关键是公式法解⼀元⼆次⽅程．（1）利⽤公式法解⼀元⼆次⽅程即可；（2）根据⽅程有两个相同的根可得Ä0 ，代⼊计算解题即可．【详解】（1）解：2210x x211a b c ，，，241890b ac ，⽅程有两个不相等的实数根，∴134x ，解得：112x ，21x ；（2）设“□”⾥的数为m ，∵该⽅程有两个相同的根，∴Ä0 ，即 1410m  ,解得：14m ，∴“□”⾥的数为14．19．整式133m 的值为P ．(1)当m ＝2时，求P 的值；(2)若P 的取值范围如图所⽰，求m 的负整数值．【答案】(1)5(2)2,1【分析】（1）将m ＝2代⼊代数式求解即可，（2）根据题意7P，根据不等式，然后求不等式的负整数解．【详解】（1）解：∵133m P 当2m 时，1323P 533=5 ；（2）Q133m P ，由数轴可知7P ，即1373m ，1733m ，解得2m， m 的负整数值为2,1 ．【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．20．下⾯是⼩辉和⼩莹两位同学解⽅程组31,237x y x y的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：令31237x y x y①②⼩辉：由②得，372y x．③…………第⼀步将③代⼊①得，721x x ．……第⼆步整理得，721x x ．………………第三步解得6x．…………………………第四步将6x 代⼊③，解得193y ．………第五步∴原⽅程组的解为6,19.3x y ……………第六步⼩莹： ①②得，36x ．………………第⼀步解得2x ，…………………………第⼆步将0x代⼊①得，231y ．…………第三步整理得，312y ．………………第四步解得13y …………………………第五步∴原⽅程组的解为2,1.3x y …………第六步任务⼀：请你从中选择⼀位同学的解题过程并解答下列问题．①我选择___________同学的解题过程，该同学第⼀步变形的依据是___________；②该同学从第___________开始出现错误，这⼀步错误的原因是___________；任务⼆：直接写出该⽅程组的正确解；任务三：除以上两位同学的⽅法，请你再写出⼀种⽅法（不⽤求解）．【答案】①⼩辉；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同⼀个代数法，所得结果仍是等式）；②三；去括号时，括号外是“-”号，去年括号后未给 括号内的第⼆项进⾏变号；任务⼆：21x y；任务三：2②①【详解】任务⼀：①⼩辉；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同⼀个代数法，所得结果仍是等式）；②三；去括号时，括号外是“-”号，去年括号后未给 括号内的第⼆项进⾏变号；或①⼩莹；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同⼀个代数式，所得结果仍是等式）；②四；移项未变号； 任务⼆：令31237x y x y①② ①②得，36x 解得：2x 将2x 代⼊①得，231y解得：1y正确的解为21x y任务三：2 ②①．得99y解得：1y，代⼊①得31x ，x解得：2【点睛】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘⽅以及特殊⾓的三⾓函数值，解⼆元⼀次⽅程组，熟练掌握以上知识是解题的关键．【新考法】数学与规律探究——图形规律规律21．为美化市容，某⼴场要在⼈⾏⾬道上⽤10×20的灰、⽩两⾊的⼴场砖铺设图案，设计⼈员画出的⼀些备选图案如图所⽰．[观察思考]图1灰砖有1块，⽩砖有8块；图2灰砖有4块，⽩砖有12块；以此类推．(1)[规律总结]图4灰砖有______块，⽩砖有______块；图n灰砖有______块时，⽩砖有______块；(2)[问题解决]是否存在⽩砖数恰好⽐灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．【答案】(1)16，20；2n，4n＋4(2)存在，见解析【分析】（1）根据图形算出图3⽩砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4⽩砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n⽩砖和灰砖的数量；（2）假设存在图n⽩砖数恰好⽐灰砖数少1的情形，根据⽩砖和灰砖的数量建⽴⽅程，⽅程有解证明假设成⽴．【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9图3的⽩砖数量为12+4=16图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16图4的⽩砖应⽐图3上下各多⼀⾏得图4⽩砖的数量为：16+4=20图1灰砖的数量为1图2灰砖的数量为4图3灰砖的数量为9图4灰砖的数量为16得图n 灰砖的数量为2n 图1⽩砖的数量为8=414图2⽩砖的数量为12=424图3⽩砖的数量为16=434图4⽩砖的数量为20=444得图n ⽩砖的数量为44n故答案为：16，20；2n ，4n ＋4．（2）假设存在，设图n ⽩砖数恰好⽐灰砖数少1∴⽩砖数量为44n，灰砖数量为2n ∴44n=21n ∴2450n n ∴5+10n n ∴5n，或1n （舍去）故当5n时，⽩砖的数量为24，灰砖的数量为25，⽩砖⽐灰砖少1故答案为：存在．【点睛】本题考查数字规律和⼀元⼆次⽅程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析⽅法和⼀元⼆次⽅程的性质．22．某⽔果经营户从⽔果批发市场批发⽔果进⾏零售，部分⽔果批发价格与零售价格如下表：⽔果品种梨⼦菠萝苹果车厘⼦批发价格（元/kg ）45640零售价格（元/kg ）56850请解答下列问题：(1)第⼀天，该经营户⽤1700元批发了菠萝和苹果共300kg ，当⽇全部售出，求这两种⽔果获得的总利润？(2)第⼆天，该经营户依然⽤1700元批发了菠萝和苹果，当⽇销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种⽔果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg ，这两种⽔果已全部售出且总利润⾼于第⼀天这两种⽔果的总利润，请通过计算说明该经营户第⼆天批发这两种⽔果可能的⽅案有哪些？【答案】(1)500元；(2)⽅案⼀购进88kg 菠萝，210kg 苹果；⽅案⼆购进94kg 菠萝，205kg 苹果．【分析】（1）设第⼀天，该经营户批发了菠萝xkg ，苹果ykg ，根据该经营户⽤1700元批发了菠萝和苹果共300kg ，即可得出关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程组，解之即可得出x ，y 的值，再利⽤总利润=每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；（2）设购进菠萝mkg ，则购进苹果17005kg 6m ，根据“菠梦的进货量不低于88kg ，且这两种⽔果已全部售出且总利润⾼于第⼀天这两种⽔果的总利润”，即可得出关于m 的⼀元⼀次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m ，170056m均为正整数，即可得出各进货⽅案．【详解】（1）解：设第⼀天，该经营户批发菠萝xkg ，苹果ykg ，根据题意得：300561700x y x y，解得：100200x y，∴(65)(86)(65)100(86)200500x y元，答：这两种⽔果获得的总利润为500元；（2）解：设购进菠萝mkg ，则购进苹果17005kg 6m ，根据题意：8817005(65)(86)5006m m m ，解得：88100m，∵m ，170056m均为正整数，∴m 取88，94，∴该经营户第⼆天共有2种批发⽔果的⽅案，⽅案⼀购进88kg 菠萝，210kg 苹果；⽅案⼆购进94kg 菠萝，205kg 苹果．【点睛】本题考查了⼆元⼀次⽅程组的应⽤以及⼀元⼀次不等式组的应⽤，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出⼆元⼀次⽅程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出⼀元⼀次不等式组．23．某公司⽣产的⼀种营养品信息如下表．已知甲⾷材每千克的进价是⼄⾷材的2倍，⽤80元购买的甲⾷材⽐⽤20元购买的⼄⾷材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克原料每千克含铁甲⾷材50毫克配料表⼄⾷材10毫克规格每包⾷材含量每包单价A包装1千克45元B包装0.25千克12元（1）问甲、⼄两种⾷材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每⽇⽤18000元购进甲、⼄两种⾷材并恰好全部⽤完．①问每⽇购进甲、⼄两种⾷材各多少千克？②已知每⽇其他费⽤为2000元，且⽣产的营养品当⽇全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每⽇所获总利润最⼤？最⼤总利润为多少元？【答案】（1）甲、⼄两种⾷材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每⽇购进甲⾷材400千克，⼄⾷材100千克；②当A为400包时，总利润最⼤．最⼤总利润为2800元【分析】（1）设⼄⾷材每千克进价为a元，根据⽤80元购买的甲⾷材⽐⽤20元购买的⼄⾷材多1千克列分式⽅程即可求解；（2）①设每⽇购进甲⾷材x千克，⼄⾷材y千克．根据每⽇⽤18000元购进甲、⼄两种⾷材并恰好全部⽤完，利⽤进货总⾦额为180000元，含铁量⼀定列出⼆元⼀次⽅程组即可求解；②设A为m包，根据题意，可以得到每⽇所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从⽽可以求得总利润的最⼤值．【详解】解：（1）设⼄⾷材每千克进价为a元，则甲⾷材每千克进价为2a元，由题意得802012a a，解得20a ．经检验，20a 是所列⽅程的根，且符合题意．240a （元）．答：甲、⼄两种⾷材每千克进价分别为40元、20元．（2）①设每⽇购进甲⾷材x 千克，⼄⾷材y 千克．由题意得 402018000501042x y x y x y ，解得400100x y答：每⽇购进甲⾷材400千克，⼄⾷材100千克．②设A 为m 包，则B 为 500200040.25m m 包．记总利润为W 元，则45122000418000200034000W m m m ．Q A 的数量不低于B 的数量， 20004m m，400m ．Q 30k， W 随m 的增⼤⽽减⼩。

中考数学总复习《方程不等式》专项测试卷(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________01 对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义新运算：|c a |d b =ad −bc ，已知|x 2x |1−4=18，则x =（ ）A ．﹣1B ．2C ．3D ．402 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．2x 2=5x −1B ．x +1x =2 C ．(x −3)(x +1)=x 2−5D ．3x −y =503 如果m 是一个不等于−1的负整数，那么m ，1m ，−m ，−1m这几个数从小到大的排列顺序是（ ） A ．m <1m<−m <−1mB ．m <1m<−1m<−mC ．−m <−1m <m <1m D ．−1m <−m <1m <m04 已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足√2a −3b +5+(2a +3b −13)2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）． A ．8B ．6或8C ．7D ．7或805 不等式x −2≤3+x 3的非负整数解有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无数个06 已知关于x 、y 的方程x 2m -n -2+ym +n +1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为（ ）A ．m ＝1，n ＝﹣1B ．m ＝﹣1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝﹣43D ．m ＝﹣13，n ＝4307 下列说法错误的是（ ）A ．不等式x −3>2的解集是x >5B ．不等式x <3的整数解有无数个C ．不等式x +3<3的整数解是0D ．x =0是不等式2x <3的一个解08 对于任意的实数m ，关于x 的方程x 2−mx −12=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定09 在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a ⊕b =2a −3b ．如：1⊕5=2×1−3×5=−13，则不等式4⊕x <2的解集为是（ ） A ．x <2B ．x <−2C ．x >2D ．x >−210 不等式组{2x −1≤32x +3>1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．11 关于x 的方程x+2x+3=m x+3有增根，则m 的值及增根x 的值分别为（ ）A ．−1，−3B ．1，−3C ．−1，3D ．1，312 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x 个小分支，则下列方程中正确的是（ ） A ．1+x 2=43B ．1+x +x 2=43C ．x +x 2=43D ．(1+x)2=4313 已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（ ）A ．4045B ．4044C ．2022D ．114 已知关于x 的分式方程x−2x+2−mx x 2−4=1无解，求m 的值．甲同学的结果：m =0．乙同学的结果：m =−8．关于甲、乙两位同学计算的结果，下列说法正确的是（ ） A ．甲同学的结果正确B ．乙同学的结果正确C ．甲、乙同学的结果合在一起正确D ．甲、乙同学的结果合在一起也不正确15 已知关于x 的不等式组{x −2>0−x +a ≥0有以下说法：①如果它的解集是2<x ≤5，那么a =5；②当a =2时，它无解；③如果它的整数解只有3，4，5，那么5≤a <6；④如果它有解，那么a ≥3． 其中说法正确的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16关于x 的不等式组{2x+53>x −5x+32<x +a只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．−6<a <−112B ．−6≤a <−112C ．−6<a ≤−112D ．−6≤a ≤−11217 若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1+3y−81−y=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．5B ．8C ．12D ．1518 将关于x 的一元二次方程x 2﹣px+q ＝0变形为x 2＝px ﹣q ，就可以将x 2表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x 3＝x •x 2＝x （px ﹣q ）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x 2﹣x ﹣1＝0，且x ＞0，则x 3+1的值为（ ） A ．1+√5B ．1﹣√5C ．3﹣√5D ．3+√519 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（）A．25 B．75 C．81 D．9020每年的6月5日为世界环境日．中国生态环境部将“共建清洁美丽世界”作为今年环境日的主题，旨在促进全社会增强生态环境保护意识，投身生态文明建设．某校学生会积极响应国家号召，组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1800个，至少需要多少名八年级学生参加活动？设参加活动的八年级学生x名，由题意得（）A．15x＋20（100﹣x）≥1800B．15x＋20（100﹣x）＞1800C．20x＋15（100﹣x）≥1800D．20x＋15（100﹣x）≤1800答案&解析01【答案】C【分析】根据新运算公式，得：2x+4x=18，解得x=3．【详解】解：∵|c a|d b=ad−bc∴2x+4x=18解得x=3故选：C．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是把数式代入到对应的字母中，进行运算求解，易错点是数式与字母不能准确对应．02【答案】A【分析】利用一元二次方程的定义，即可找出结论．【详解】解：A．方程2x2=5x−1是一元二次方程，选项A符合题意；=2是分式方程，选项B不符合题意；B．方程x+1xC．原方程整理得2x−2=0，该方程为一元一次方程，选项C不符合题意；D．3x−y=5是二元一次方程，选项D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．03 【答案】B【分析】先求出m 和1m 的差，根据m 的取值范围确定m 和1m 的大小关系和正负，再根据不等式的性质确定−m 和−1m 的大小关系和正负，即可得出这四个数的大小关系． 【详解】解：m −1m =(m+1)(m−1)m．∵m 是一个不等于−1的负整数∴m<0，m+1<0，m −1<0，1m <0． ∴(m+1)(m−1)m <0．∴m −1m <0 ∴m <1m<0．∴−m >−1m >0． ∴m <1m<−1m<−m ．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握该知识点是解题关键．04 【答案】B【分析】根据反比例函数图象上点的特征列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数y =kx 的图象经过A (3,m )、B(m −1,6)两点 ∴{k =3m k =6(m −1) 解得{k =6m =2故选：B ．【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．05 【答案】C【分析】求出不等式的解集，再根据非负整数解的条件求出特殊解． 【详解】解：去分母得：3(x －2)≤x＋3去括号，得3 x-6≤x+3 移项、合并同类项，得2x≤9 系数化为1，得x≤4.5，则满足不等式的“非负整数解”为：0，1、2，3，4，共5个 故选：C ．【点睛】本题考查解不等式，解题的关键是理解题中的“非负整数”．06 【答案】A【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m 、n 的方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵x 2m -n -2+ym +n +1＝6是关于x 、y 二元一次方程 ∴{2m −n −2=1m +n +1=1解得：{m =1n =−1，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据题意列出关于m 、n 的方程组，是解题的关键．07 【答案】C【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．【详解】解：A 、不等式x −3＞2的解集是x ＞5，正确，不符合题意；B 、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x ＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；C 、不等式x ＋3＜3的解集为x ＜0，所以不等式x ＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；D 、由于不等式2x ＜3的解集为x ＜1.5，所以x ＝0是不等式2x ＜3的一个解，正确，不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．08 【答案】B【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号即可. 【详解】解：∵a=1，b=−m ，c=−12 ∴Δ=b 2−4ac=m 2+2＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．09【答案】C【分析】已知不等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解集．【详解】解：根据题中的新定义化简得：2×4-3x＜2移项合并得：3x＞6解得：x＞2．故选：C．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．10【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：{2x−1≤3①2x+3>1②解不等式①得：x≤2解不等式②得：x>−1∴不等式组的解集为：−1＜x≤2故选C．【点睛】考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11【答案】A【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以先确定增根的可能值，让最简公分母x+3=0，得到x=−3，然后代入化为整式方程的方程求出m的值．【详解】解：原分式方程两边都乘以x+3，得：x+2=m∵原方程有增根∴最简公分母x+3=0解得：x=−3将x =−3代入x +2=m ，得：−3+2=m 解得：m =−1∴m 的值及增根x 的值分别为−1，−3 故选：A ．【点睛】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关未知数的值．12 【答案】B【分析】设每个支干长出x 个小分支，则主干生出x 个小分支，而x 个小分支每个又生出x 个小分支，所以一共有(1+x +x 2)个，从而可得答案. 【详解】解：设每个支干长出x 个小分支，则1+x +x 2=43故选B【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键.13 【答案】A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：解：∵1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根 ∴2112022x x -= 122022x x =- 121x x =+321122022-+x x x ()()()2222211212121220222122022x x x x x x x x x =-+=+=+-=-⨯-4045=故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．14 【答案】D【分析】解分式方程，用含m 的代数式表示出x ，当分式方程无解时，求出的x 的值无意义或为增根，由此可解．【详解】解：x−2x+2−mxx 2−4=1 去分母，得(x −2)2−mx =x 2−4 解得x =8m+4∵关于x 的分式方程x−2x+2−mx x 2−4=1无解∴ x =8m+4无意义或使x =8m+4为增根 当x =8m+4无意义时m +4=0解得m =−4 当x =8m+4为增根时∴ 8m+4=2或8m+4=−2 解得m =0或m =−8综上可知，m =−4或m =0或m =−8 因此甲、乙同学的结果合在一起也不正确 故选：D ．【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件．15 【答案】C【分析】解出不等式组中的每一个不等式，再逐项判断即可． 【详解】{x −2>0①−x +a ≥0②解不等式①，得：x >2 解不等式②，得：x ≤a ．∴如果它的解集是2<x ≤5，则a =5，故①正确； 当a =2时，则不等式②的解集为x ≤2 ∴关于x 的不等式组无解，故②正确； ∵关于x 的不等式组的整数解只有3，4，5 ∴5≤a <6，故③正确； ∵关于x 的不等式组有解 ∴a >2，故④错误； 综上可知，正确的有3个． 故选C ．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数．掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．16 【答案】C【分析】先解x 的不等式组{2x+53>x −5x+32<x +a，然后根据整数解的个数确定a 的不等式组，解出取值范围即可．【详解】解：不等式组{2x+53>x −5x+32<x +a解得：{x <20x >3−2a∵不等式组只有5个整数解，即解只能是x =15，16，17，18，19 ∴a 的取值范围是：{3−2a ≥143−2a <15解得：−6<a ≤−112．故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解的个数确定关于a 的不等式组．17 【答案】B【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到5+a 2<6解得a <7，再解分式方程得到y =a+52，根据分式方程的解是正整数，得到a >−5，且a +5是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a 的值，最后求和． 【详解】解：{3x −2≥2(x +2)①a −2x <−5②解不等式①得x ≥6 解不等式②得∵不等式组的解集为：x ≥6∴5+a2<6 ∴a <7解分式方程y+2ay−1+3y−81−y=2得y +2a y −1−3y −8y −1=2 ∴y +2a −(3y −8)=2(y −1)整理得y=a+52∵y−1≠0,则a+52≠1∴a≠−3,∵分式方程的解是正整数∴a+52>0∴a>−5，且a+5是2的倍数∴−5<a<7，且a+5是2的倍数∴整数a的值为-1, 1, 3, 5∴−1+1+3+5=8故选：B．【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．18【答案】D【分析】用一元二次方程求根公式得x＝1±√52，利用x2＝x+1，得x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，代入即可求得．【详解】解：x2﹣x﹣1＝0∵a=1,b=−1,c=−1∴△=b2−4ac=(−1)2+4=5∴x＝1±√52，且x2＝x+1∵x＞0∴x＝1−√52∴x3+1＝x•x2+1＝x（x+1）+1＝x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2∴x3+1=2x+2=2⋅√5+12+2=√5+3．故选：D．【点睛】本题考查了整体降次的思想方法，但降次后得到的是x的代数式，还要利用一元二次方程求根公式求出x的值，代入化简后的2x+2中计算出结果．19【答案】B【分析】设城中有x户人家，利用鹿的数量=城中人均户数13+⨯城中人均户数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设城中有x户人家依题意得：11003x x+=解得：75x=∴城中有75户人家．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．20【答案】C【分析】设参加活动的八年级学生x名，，则参加活动的七年级学生为（100-x）名，由收集塑料瓶总数不少于1800个建立不等式即可．【详解】设参加活动的八年级学生x名，则七年级参加活动的人数为（100-x）名，由题意得20x＋15（100﹣x）≥1800故选C．【点睛】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时由收集塑料瓶总数不少于1800个建立不等式是解题的关键．。

2024年中考数学二轮复习模块专练—二次函数与方程、不等式综合（含答案）一、二次函数与一元二次方程1．抛物线与x 轴交点的横坐标抛物线2y ax bx c =++，令y =0，则20ax bx c ++=，方程的解就是抛物线与x 轴交点的横坐标；2．抛物线与x 轴交点情况（1）抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点个数由判别式24b ac ∆=-的值的正负确定；（2）当240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有两个交点；当240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴只有一个交点；当24<0b ac ∆=-时，抛物线与x 轴没有交点；3．利用二次函数求一元二次方程的近似根对于一元二次方程20ax bx c ++=，令2y ax bx c =++，画出函数的图像，抛物线与x 轴的交点的横坐标就是方程的解；二、二次函数与不等式1．二次函数与一元二次不等式20ax bx c ++>的解集就是抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的那部分图像对应的自变量的取值范围．《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：1．知道二次函数和一元二次方程之间的关系；2．会根据二次函数的求其图像与坐标轴的交点坐标；试卷第2页，共12页3．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；【例1】（2023·四川巴中·统考中考真题）1．规定：如果两个函数的图象关于y 轴对称，那么称这两个函数互为“Y 函数”．例如：函数3y x =+与3y x =-+互为“Y 函数”．若函数2(1)34k y x k x k =+-+-的图象与x 轴只有一个交点，则它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为．【变1】（2023·河南鹤壁·统考三模）2．已知抛物线233(0)y mx mx m m --=>与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．(1)抛物线对称轴为，A 点坐标为．(2)当0m >时，不等式232m mx mx ≤-的解集为．(3)已知点(2,4)M -、1(,4)2N -，连接MN 所得的线段与该抛物线有一个交点，求m 的取值范围．【例1】（2023·四川成都·校考三模）3．在探究关于x 的二次三项式21215x x +-的值时，小明计算了如下四组值：x1.1 1.2 1.3 1.421215x x +-0.59-0.842.293.76小明说，他通过这四组值能得到方程212150x x +-=的一个近似根，这个近似根的个位是，十分位是．【变1】（2023·河南商丘·统考二模）4．为解方程31212x x -=，小舟根据学习函数的经验对其进行了探究，下面是其探究的过程，请补充完整：(1)先研究函数3122y x x =-，列表如表：x 2-1-0121252y32m324516表格中，m 的值为__________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了函数3122y x x =-图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数图象．(3)观察图象，当31202x x ->时，满足条件的x 的取值范围是__________．(4)在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线1y =．根据图象直接写出方程31212x x -=的近似根（结果保留一位小数）试卷第4页，共12页【例1】（2021·广西贺州·统考中考真题）5．如图，已知抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+交于1(3,)A y -，2(1,)B y 两点，则关于x 的不等式2ax c kx m +≥-+的解集是（）A ．3x ≤-或1x ≥B ．1x ≤-或3x ≥C ．31x -≤≤D ．13x -≤≤【变1】（2023·山西太原·校联考二模）6．请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．利用二次函数图象解不等式数学活动课上，老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一次不等式，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解相应的不等式呢？例如解不等式2233x x -->-，同学们以小组为单位展开了讨论．善思小组展示了他们的方法：将不等式进一步变形为220x x ->，如图1，画出函数22y x x =-的图象，抛物线与x 轴相交于()0,0和()2,0两点，这两个点将x 轴分为三段，当0x <或2x >时，二次函数的图象位于x 轴上方，此时0y >，所以220x x ->，即2233x x -->-，所以此不等式的解集为0x <或2x >．勤学小组受善思小组的启发，画出函数2=23y x x --的图象和直线=3y -．如图2所示，它们相交于()0,3-和()2,3-两点，当0x <或2x >时，二次函数的图象位于直线=3y -的上方，此时3y >-，即2233x x -->-，所以不等式的解集为0x <或2x >．任务：(1)两个小组的方法主要运用的数学思想是______（从下面的选项中选择一个即可）．A ．数形结合思想B ．分类讨论思想C ．公理化思想(2)请你选择阅读材料中的一个方法解不等式243x x -<-．请将函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并参照材料中的分析过程写出你的分析过程．【例1】（2023·青海西宁·统考中考真题）7．直线1y ax b =+和抛物线22y ax bx =+（a ，b 是常数，且0a ≠）在同一平面直角坐标系中，直线1y ax b =+经过点()4,0-．下列结论：试卷第6页，共12页①抛物线22y ax bx =+的对称轴是直线2x =-②抛物线22y ax bx =+与x 轴一定有两个交点③关于x 的方程2ax bx ax b +=+有两个根14x =-，21x =④若0a >，当<4x -或1x >时，12y y >其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．①④【变1】（2023·江苏·统考中考真题）8．已知二次函数23y xbx =+-（b 为常数）．(1)该函数图像与x 轴交于A B 、两点，若点A 坐标为()3,0，①则b 的值是_________，点B 的坐标是_________；②当<<0y 5时，借助图像，求自变量x 的取值范围；(2)对于一切实数x ，若函数值y t >总成立，求t 的取值范围（用含b 的式子表示）；(3)当m y n <<时（其中m n 、为实数，m n <），自变量x 的取值范围是12x <<，求n 和b 的值以及m的取值范围．一、选择题（2023·湖北恩施·统考中考真题）9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间．下列结论：①20a b +>；②0bc <；③13a c <-；④若1x ，2x 为方程20ax bx c ++=的两个根，则1230x x ⋅-<<．其中正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4（2023·河北·统考中考真题）10．已知二次函数22y x m x =-+和22y x m =-（m 是常数）的图象与x 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A ．2B ．2m C ．4D ．22m （2023·湖南·统考中考真题）11．已知0m n >>，若关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <．关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <．则下列结论正确的是（）A ．3124x x x x <<<B ．1342x x x x <<<C ．1234x x x x <<<D ．3412x x x x <<<（2023·四川自贡·统考中考真题）12．经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点的抛物线22122y x bx b c =-+-+（x 为自变量）与x 轴有交点，则线段AB 长为（）A ．10B ．12C ．13D ．15（2023·浙江衢州·统考中考真题）13．已知二次函数24y ax ax =-（a 是常数，a<0）的图象上有()1,A m y 和()22,B m y 两点．若点A ，B 都在直线3y a =-的上方，且12y y >，则m 的取值范围是（）A ．312m <<B ．423m <<C ．4332m <<D ．m>2二、填空题试卷第8页，共12页（2023·广东深圳·深圳市石岩公学校考模拟预测）14．如图，二次函数与x 轴交点坐标为()10-，，()20，，当0y <时，x的取值范围是（2023·江苏镇江·统考二模）15．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠的自变量和对应函数值如表：x…1-047 (1)y (01)58 (x)…2-1-04 (2)y …503-5…21y y>当时，自变量x 的取值范围是（2023·云南昆明·统考二模）16．如图，在平面直角坐标中，抛物线()20y ax bx a =+>和直线()0y kx k =>交于点O和点A ，则不等式2ax bx kx +<的解集为．（2023·江苏南京·统考二模）17．二次函数2y ax bx c =++（0,a a b c ≠、、是常数）的图象如图所示，则不等式()220ax b x c +-+>的解集是．（2023·湖南永州·统考二模）18．我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列材料，回答问题：例：已知关于x 的方程2(2)40tx t x t +-+=有实数根，求t 的最大值？解：由题意可知，当t =0时，方程有实数解当0t ≠时，240b ac ∆=-≥即()22440t t t --⋅⋅≥∴215440t t +-≤设函数()21544f t t t =+-当()0f t ≤时，2235t -≤≤综上max 25t =(1)已知关于x 的方程2252214x mx x m m -++-=有实数根，则m 的最大值为；(2)已知方程22221x xy y -+=有实数根，则x -2y 的最大值为．三、解答题（2022·山东青岛·统考中考真题）19．已知二次函数y =x 2+mx +m 2−3（m 为常数，m >0）的图象经过点P (2，4)．(1)求m 的值；(2)判断二次函数y =x 2+mx +m 2−3的图象与x 轴交点的个数，并说明理由．试卷第10页，共12页（2023·广东广州·统考模拟预测）20．如图，抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+交于点A (2，0)和点B．（1）求m 和b 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式2x mx x b +>-+的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．（2023·河南南阳·统考三模）21．如图，抛物线23y x mx =-++与直线2y x b =-+交于点()4,5A -和点B．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)请结合图象直接写出不等式232x mx x b -++<-+的解集；(3)点N 是抛物线对称轴上一动点，且点N 纵坐标为n ，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．若点1,2P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线2y x b =-+上，且直线PN 与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N 纵坐标n 的取值范围．（2023·云南·统考中考真题）22．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+（实数a 为常数）的图象为图象T ．(1)求证：无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；(2)是否存在整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．（2023·江苏盐城·统考中考真题）23．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①21y x =-；②2y x x =-，其中，_________为函数1y x =-的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y x c =+（c 为常数，0c >）的图象与x 轴交于点A ，其轴点函数2y ax bx c=++与x 轴的另一交点为点B .若14OB OA =，求b 的值．【拓展延伸】（3）如图，函数12y x t =+（t 为常数，0t >）的图象与x 轴、y 轴分别交于M ，C 两点，在x 轴的正半轴上取一点N ，使得ON OC =.以线段MN 的长度为长、线段MO 的长度为宽，在x 轴的上方作矩形MNDE .若函数12y x t =+（t 为常数，0t >）的轴点函数2y mx nx t =++的顶点P 在矩形MNDE 的边上，求n 的值．试卷第12页，共12页参考答案：1．(3,0)C 或(4,0)C 【分析】根据题意2(1)34k y x k x k =+-+-与x 轴的交点坐标和它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标关于y 轴对称，再进行分类讨论，即0k =和0k ≠两种情况，求出2(1)34k y x k x k =+-+-与x 轴的交点坐标，即可解答．【详解】解：①当0k =时，函数的解析式为3y x =--，此时函数的图象与x 轴只有一个交点成立，当0y =时，可得03x =--，解得3x =-，∴3y x =--与x 轴的交点坐标为()3,0-，根据题意可得，它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为()3,0；①当0k ≠时，函数2(1)34k y x k x k =+-+-的图象与x 轴只有一个交点，240∴-=b ac ，即()()214304k k k --⨯⨯-=，解得1k =-，∴函数的解析式为21244y x x =---，当0y =时，可得210244x x =---，解得4x =-，根据题意可得，它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为()4,0，综上所述，它的“Y 函数”图象与x 轴的交点坐标为(3,0)C 或()4,0C ，故答案为：(3,0)C 或(4,0)C ．【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x 轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．答案第2页，共28页2．(1)32x =；3(2(2)1x ≤-或3x ≥(3)m 的取值范围为416517m ≤<或1621m =【分析】（1）根据抛物线的对称轴方程可得答案；令0y =，求出x 的值，即可得出答案．（2）由题意得，2230x x --≥，求出方程2230x x --=的解，进而可得答案．（3）分别求出抛物线顶点在线段MN 上、抛物线经过点M 或点N 时m 的值，进而可得答案．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为3322m x m -=-=，令0y =，得2330mx mx m --=，解得12x x ==A 在B的左侧，33,,022A B ⎛⎫⎛⎫+∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：32x =；；（2）232m mx mx -≤ ，0m >2230x x --∴≥，解方程223=0x x --，得1213x x ，=-=，2230x x --∴≥的解集为1x ≤-或3x ≥，即不等式232m mx mx ≤-的解集为1x ≤-或3x ≥，故答案为：1x ≤-或3x ≥；（3）当抛物线233(0)y mx mx m m --=>的顶点在MN 上时，即2334mx mx m --=-有两个相等的实数根，()294340m m m ∴∆=--+=，解得10m =（舍去），21621m =；当抛物线经过线段MN 的左端点N 时，把1(,4)2N -代入233y mx mx m -=-，得133442m m m --=-，解得1617m =，当抛物线经过线段MN 的右端点M 时，把(2,4)M -代入233y mx mx m -=-，得4634m m m --=-，解得45m =；综上所述，m 的取值范围为416517m ≤<或1621m =．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数图象与系数的关系和抛物线与x 轴的交点问题．3．11【分析】根据表格可得0.5900.84-<<，则方程212150x x +-=的一个近似根取值范围为：1.1 1.2x <<，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：0.5900.84-<<，∴方程212150x x +-=的一个近似根取值范围为：1.1 1.2x <<，∴这个近似根的个位是1，十分为是1，故答案为：1，1．【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握正确理解表格中的数答案第4页，共28页据，根据表格得出近似根的取值范围．4．(1)1516-(2)见解析(3)20x -<<或2x >(4)231.7,0.5, 2.2x x x =-=-=【分析】（1）将12x =代入函数解析式进行求解即可；（2）根据表格，描点，连线画出函数图象即可；（3）结合图象即可得出结果；（4）图象法解方程即可．【详解】（1）解：当12x =时，311115222216y ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，∴1516m =-，故答案为：1516-；（2）根据（1）中表格数据，描点，连线，如图，（3）解：由图象可知，当20x -<<或2x >时，图象在x 轴上方，即：31202x x ->，故答案为：20x -<<或2x >；（4）解：作图如下：由图象可得：方程的解为231.7,0.5, 2.2x x x =-=-=．【点睛】本题考查函数的图象和性质．熟练掌握函数图象的画法，利用图象法解不等式和方程，是解题的关键．5．D【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】y kx m =+ 与y kx m =-+关于y 轴对称抛物线2y ax c =+的对称轴为y 轴，因此抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+的交点和与直线y kx m =-+的交点也关于y 轴对称设y kx m =-+与2y ax c =+交点为A B ''、，则A '2(1,)y -，B '1(3,)y 2ax c kx m+≥-+即在点A B ''、之间的函数图像满足题意2ax c kx m ∴+≥-+的解集为：13x -≤≤故选D ．【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决答案第6页，共28页函数问题更是如此．理解y kx m =+与y kx m =-+关于y 轴对称是解题的关键．6．(1)A(2)见解析【分析】（1）根据材料中两个小组的做法进行判别即可；（2）根据材料中两个小组的解题步骤进行解答即可．【详解】（1）两个小组都是画出了坐标系函数图象，通过观察图象得出的结论，∴主要运用的是数形结合的思想，故答案为：A ；（2）①选择善思小组的方法：将不等式进一步变形为2430x x -+<，画出函数243y x x =-+的图象，观察图象可知：抛物线与x 轴相交于()1,0和()3,0两点，这两个点将x 轴分为三段，当13x <<时，二次函数的图象位于x 轴下方，此时0y <，即2430x x -+<，∴不等式243x x -<-的解集为13x <<．②选择勤学小组的方法：画出函数24y x x =-的图象和直线=3y -，观察图象可知：函数24y x x =-的图象和直线=3y -相交于()1,3-和()3,3-两点，当13x <<时，二次函数的图象位于直线=3y -的下方，此时3y <-，即243x x -<-，∴不等式的解集为13x <<．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的综合，熟练运用数形结合的思想方法是解题的关键．7．B【分析】①可得40a b -+=，从而可求4b a =，即可求解；②可得2240b ac b ∆=-=≥，由0a ≠，可得20b ∆=>，即可求解；③可判断抛物线也过()4,0-，从而可得方程()20ax b a x b +--=的一个根为4x =-，可求抛物线()23y ax b a x b =+--的对称轴为直线32x =-，从而可得抛物线()23y ax b a x b =+--与x 轴的另一个交点为()1,0，即可求解；④当0a >，当41x -<<时，12y y <，即可求解．【详解】解：① 直线1y ax b =+经过点()4,0-，40a b ∴-+=，4b a ∴=，抛物线的对称轴为直线4222b a x a a=-=-=-，故①正确；答案第8页，共28页②2240b ac b ∆=-=≥，由①得4b a =，0a ≠ ，0b ∴≠，∴20b ∆=>，∴抛物线22y ax bx =+与x 轴一定有两个交点，故②正确；③当4x =-时，164y a b=-16160a a =-=，∴抛物线也过()4,0-，由2ax bx ax b +=+得∴方程()20ax b a x b +--=，∴方程的一个根为4x =-，抛物线()23y ax b a x b =+--， 43222b a a a x a a --=-=-=-，∴抛物线()23y ax b a x b =+--的对称轴为直线32x =-，与x 轴的一个交点为()4,0-，()33422x ⎛⎫∴--=--- ⎪⎝⎭，解得：1x =，∴抛物线()23y ax b a x b =+--与x 轴的另一个交点为()1,0，∴关于x 的方程2ax bx ax b +=+有两个根14x =-，21x =，故③正确；④当0a >，当41x -<<时，12y y <，故④错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．8．(1)①()2,1,0--②2<<1x --或34x <<(2)234b t <--(3)213,5,4b n m =-=-<-【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令0y =，求出点B 的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出x 的取值范围即可；（2）求出二次函数的最小值，即可得解；（3）根据当m y n <<时（其中m n 、为实数，m n <），自变量x 的取值范围是12x <<，得到1x =和2x =关于对称轴对称，进而求出b 的值，得到n 为1x =的函数值，求出n ，推出直线y m =过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．【详解】（1）解：①∵函数图像与x 轴交于A B 、两点，点A 坐标为()3,0，∴20333b =+-，∴2b =-，∴2=23y x x --，∴当0y =时，2230x x --=，∴121,3x x =-=，答案第10页，共28页∴点B 的坐标是()1,0-；故答案为：()21,0--，；②2=23y x x --，列表如下：xL 2-1-134L y L 504-05L画出函数图像如下：由图可知：当<<0y 5时，2<<1x --或34x <<；（2）∵2223324b b y x bx x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，∴当2b x =-时，y 有最小值为234b --；∵对于一切实数x ，若函数值y t >总成立，∴234b t <--；（3）∵2223324b b y x bx x ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，∴抛物线的开口向上，对称轴为2b x =-，又当m y n <<时（其中m n 、为实数，m n <），自变量x 的取值范围是12x <<，∴直线y n =与抛物线的两个交点为()()1,,2,n n ，直线y m =在抛物线的下方，∴()()1,,2,n n 关于对称轴对称，∴1222b +-=，∴3b =-，∴223932132424y x x ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴23211524n ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，当32x =时，y 有最小值214-，∴214m <-．答案第12页，共28页【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．9．B【分析】由图象得a<0，0c >，由对称轴12b x a=-=得20b a =->，20a b +=，0bc >；抛物线与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间，由对称性知另一个交点在(1,0)-，(0,0)之间，得0y a b c =-+<，于是13a c <-，进一步推知30c a -<<，由根与系数关系知1230x x -<< ；【详解】解：开口向下，得a<0，与y 轴交于正半轴，0c >，对称轴12b x a=-=，20b a =->，20a b +=，故①20a b +>错误；0bc >故②0bc <错误；抛物线与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间，对称轴为1x =，故知另一个交点在(1,0)-，(0,0)之间，故=1x -时，0y a b c =-+<∴(2)0a a c --+<，得13a c <-，故③13a c <-正确；由13a c <-，a<0，0c >知30c a -<<，∵1x ，2x 为方程20ax bx c ++=的两个根，∴12cx x a= ∴1230x x -<< ，故④正确；故选：B【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．10．A【分析】先求得两个抛物线与x 轴的交点坐标，据此求解即可．【详解】解：令0y =，则220x m x -+=和220x m -=，解得0x =或2x m =或x m =-或x m =，不妨设0m >，∵()0m ，和()0m -，关于原点对称，又这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，∴()20m ，与原点关于点()0m ，对称，∴22m m =，∴2m =或0m =（舍去），答案第14页，共28页∵抛物线22y x m =-的对称轴为0x =，抛物线22y x m x =-+的对称轴为222m x ==，∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2，故选：A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．11．B【分析】把12x x ，看做是直线y m =与抛物线223y x x =+-交点的横坐标，把34x x ，看做是直线y n =与抛物线223y x x =+-交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．【详解】解：如图所示，设直线y m =与抛物线223y x x =+-交于A 、B 两点，直线y n =与抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．12．B【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出1c b =-，求得抛物线解析式，根据抛物线与x 轴有交点得出240b ac ∆=-≥，进而得出2b =，则1c =，求得,A B 的横坐标，即可求解．【详解】解：∵抛物线22122y x bx b c =-+-+的对称轴为直线1222b b x b a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∵抛物线经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点∴23412b bc b -++-=，即1c b =-，∴22221122222y x bx b c x bx b b =-+-+=-+-+-，∵抛物线与x 轴有交点，∴240b ac ∆=-≥，即()22142202b b b ⎛⎫-⨯-⨯-+-≥ ⎪⎝⎭，即2440b b -+≤，即()220b -≤，∴2b =，1211c b =-=-=，∴23264,418118b b c -=-=-+-=+-=，∴()()41238412AB b c b =+---=--=，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与x 轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．C【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与x 轴的交点和二次函数的性质，即可解答．答案第16页，共28页【详解】解：0a < ，30y a ∴=->，点A ，B 都在直线3y a =-的上方，且12y y >，可列不等式：2483am am a ->-，0a < ，可得24830m m -+<，设抛物线21483y m m =-+，直线10x =，∴24830m m -+<可看作抛物线21483y m m =-+在直线10x =下方的取值范围，当10y =时，可得20483m m =-+，解得1213,22m m ==，40> ，21483y m m ∴=-+的开口向上，24830m m ∴-+<的解为1322m <<，根据题意还可列不等式：22448am am am am ->-，0a < ，∴可得22448m m m m -<-，整理得2340m m -+<，设抛物线2234y m m =-+，直线20x =，∴2340m m -+<可看作抛物线2234y m m =-+在直线20x =下方的取值范围，当20y =时，可得2034m m =-+，解得1240,3m m ==，30-<Q ，∴抛物线2234y m m =-+开口向下，2340m m ∴-+<的解为0m <或43m >，综上所述，可得4332m <<，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．14．12x -<<##21x >>-【分析】写出图象在x 轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：由图象可知，当0y <时，12x -<<．故答案为：12x -<<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，利用了转化及数形结合的数学思想．15．1x <-或4x >##4x >或1x <-【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为()10-，和()45，，画出草图，从而得到当21y y >时，自变量x 的取值范围．【详解】解：∵当=1x -时，120y y ==；当4x =时，125y y ==；∴直线与抛物线的交点为()10-，和()45，，画出草图如图所示，答案第18页，共28页当21y y >时，1x <-或>4x ，故答案为：1x <-或>4x ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，对于二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．16．03x <<【分析】根据已知图象，确定交点横坐标,再找出直线在抛物线上方的部分，即可得到答案．【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为0、3，当03x <<时，直线在抛物线上方，∴不等式2ax bx kx +<的解集为03x <<，故答案为：03x <<．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．17．1x <或3x >【分析】利用图象法解不等式即可．【详解】解：∵()220ax b x c +-+>，∴22ax bx c x ++>，将不等式转化为两个函数：2y ax bx c =++与2y x =的交点问题，由图可知：点()()1,2,3,6在抛物线2y ax bx c =++，又∵()()1,2,3,6满足直线2y x =的解析式，∴两个函数的交点坐标为：()()1,2,3,6，由图象可知：当1x <或3x >时，22ax bx c x ++>，∴不等式()220ax b x c +-+>的解集是1x <或3x >；故答案为：1x <或3x >．【点睛】本题考查图象法求不等式的解集．解题的关键是将不等式转化为二个函数图象交点的问题，利用数形结合的思想进行求解．18．5【分析】（1）仿照例题得出()2252142104m m m ⎛⎫-+---≥ ⎪⎝⎭，进而根据二次函数的性质即可求解．（2）令2x y t -=，则2x t y =+，将2x t y =+代入，得()()2222221t y t y y y +-++=，根据题意得出222Δ43640+200b ac t t =-=-≥，进而根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）∵关于x 的方程2252214x mx x m m -++-=，即22522104x mx x m m -++--=有实数根，∴240b ac ∆=-≥，1,21a b m ==-+，25214c m m =--，即()2252142104m m m ⎛⎫-+---≥ ⎪⎝⎭答案第20页，共28页∴2540m m +-≥设函数()245f m m m =-++当()0f m ≥时，15m -≤≤综上max 5m =，故答案为：5．（2）令2x y t -=，则2x t y =+，将2x t y =+代入，()()2222221t y t y y y +-++=整理得2256210y ty t ++-=，该方程有实数根，∴222Δ43640+200b ac t t =-=-≥∴t ≤≤t即2x y -【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19．(1)m =1(2)二次函数22y x x =+-的图象与x 轴有两个交点，理由见解析．【分析】（1）把P (2，4)代入y =x 2+mx +m 2−3即可求得m 的值；（2）首先求出Δ=b 2-4ac 的值，进而得出答案．【详解】（1）解：∵二次函数y =x 2+mx +m 2−3图象经过点P (2，4)，∴4=4+2m +m 2−3，即m 2+2m −3=0，解得：m 1=1，m 2=−3，又∵m >0，∴m =1；（2）解：由（1）知二次函数y =x 2+x −2，∵Δ=b 2−4ac =12+8=9>0，∴二次函数y =x 2+x −2的图象与x 轴有两个交点．【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．20．（1）2m =-，2b =；（2）不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．【分析】（1）把A (2，0)分别代入两个解析式，即可求得m 和b 的值；（2）解方程222x x x -=-+求得点B 的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．【详解】解：（1）∵点A (2，0)同时在2y x mx =+与y x b =-+上，∴2022m =+，02b =-+，解得：2m =-，2b =；（2）由（1）得抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =-+，解方程222x x x -=-+，得：1221x x ==-，．∴点B 的横坐标为1-，纵坐标为23y x =-+=，∴点B 的坐标为(-1，3)，观察图形知，当1x <-或2x >时，抛物线在直线的上方，答案第22页，共28页∴不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）如图，设A 、B 向左移3个单位得到A 1、B 1，∵点A (2，0)，点B (-1，3)，∴点A 1(-1，0)，点B 1(-4，3)，∴A A 1=BB 1=3，且A A 1∥BB 1，即MN 为A A 1、BB 1相互平行的线段，对于抛物线()22211y x x x =-=--，∴顶点为(1，-1)，如图，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线22y x x =-只有一个公共点，此时12M x -≤<，当线段MN 经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN 与抛物线22y x x =-也只有一个公共点，此时点M 1的纵坐标为-1，则12M x -=-+，解得3M x =，综上，点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．21．(1)223y x x =-++和23y x =-+(2)0x <或4x >(3)14n ≤≤【分析】（1）将点A 的坐标代入23y x mx =-++，2y x b =-+求出m 、b 的值即可；（2）求出点B 的坐标，根据图象得出不等式的解集即可；（3）求出点P 的坐标为1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 与抛物线对称轴的交点为()1,1，结合图象即可得出答案．【详解】（1）解：将点()4,5A -代入23y x mx =-++得：25443m -=-++，解得：2m =，将点()4,5A -代入2y x b =-+得：524b -=-⨯+，解得：3b =，∴抛物线和直线的解析式分别为223y x x =-++和23y x =-+．（2）解：联立22323y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，解得：1103x y =⎧⎨=⎩，2145x y =⎧⎨=-⎩，∴()0,3B ，∴根据图象可知，不等式232x mx x b -++<-+的解集为0x <或>4x ；（3）解：把1,2P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入23y x =-+得：4t =，∴点P 的坐标为1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵抛物线解析式为()222314y x x x =-++=--+，∴抛物线的顶点坐标为()1,4，对称轴为直线1x =，把1x =代入23y x =-+得：1y =，∴直线AB 与抛物线对称轴的交点为()1,1，根据图象可知，当直线PN 与图像G 有公共点时，14n ≤≤．答案第24页，共28页【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，以及求出两个函数解析式和交点坐标．22．(1)见解析(2)0a =或1a =-或1a =或2a =-【分析】（1）分12a =-与12a ≠-两种情况讨论论证即可；（2）当12a =-时，不符合题意，当12a ≠-时，对于函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+，令0y =，得2(42)(96)440a x a x a ++--+=，从而有4421a x a -=+或12x =-，根据整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点，即x 为整数，从而有211a +=或211a +=-或212a +=或212a +=-或213a +=或213a +=-或216a +=或216a +=-，解之即可．【详解】（1）解：当12a =-时，420a +=，函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+为一次函数126y x =+，此时，令0y =，则1260x +=，解得12x =-，∴一次函数126y x =+与x 轴的交点为102⎛⎫- ⎪⎝⎭；当12a ≠-时，420a +≠，函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+为二次函数，∵2(42)(96)44y a x a x a =++--+，∴()2(96)(42)444a a a ∆=+---+228110836643232a a a a =-++--214049100a a -+=。

2023年数学中考精选（一）1.(2023.北京16题)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一个学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品加工，则需要______分钟，若由两名学生合作完成此木艺艺术的加工，则最少需要_____分钟。

2.(2023.沈阳21题)甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件.3.（2023.贵州省19题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业. 根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品，解答下列问题：（1）更新设备后每天生产_____件产品（用含x的式子表示）；（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品。

4.（2023.上海22题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.（1）他实际花了多少钱购买会员卡？（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x 的函数解析式（不用写出定义域）（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？5.(2023.江西省18题)今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺少25棵.（1）求该班的学生人数；（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元，购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？6.(2023.云南省21题).蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意，某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷. 若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元.（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的(1/3)，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B 种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？7.(2023.山东省济南市20题)为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩,已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3元，且用15万元购买A型充电桩与20万元购买B型充电桩的数量相等.（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的1，2问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？8.(2023.北京23题)某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B 种客车，则可少租6辆，且恰好坐满.（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？9.（2023.四川省泸州21题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销. 根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A 粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，根据以上信息，解答下列问题：（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获利利润最大? 最大利润是多少？10.(2023.扬州市26题)近年不，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大，某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元。

中考数学总复习《方程不等式》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．实数x ，y 满足方程组{2x +y =7x +2y =8，则x +y 的值为（ ）A ．3B ．-5C ．5D ．-32．新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有30名工人，每人每天可以生产900个口罩面或1200个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x 名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2×1200（30﹣x ）＝900x B ．1200（15﹣x ）＝900x C ．1200（30﹣x ）＝900xD ．1200（30﹣x ）＝2×900x3．小明和小亮各收集了一些废电池.如果小明 ，他的废电池个数就和小亮一样多.设小亮收集了 x 个废电池，则两人一共收集了 (2x −6) 个.要将题目补充完整，横线上可填（ ） A ．少收集3个B ．少收集6个C ．多收集3个D ．多收集6个4．一元二次方程 x 2+x −6=0 的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实根D ．无法确定5．我校九年级某班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1275张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ） A ．x （x ﹣1）＝1275 B ．x （x+1）＝1275 C ．2x （x+1）＝1275D ．x(x−1)2＝12756．已知关于 x 的方程 x 2+2x −k −2=0 没有实数解，则函数 y =kx的图象大致是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．7．不等式组{4(x −1)>3x −22x+13≥x −1的整数解是一个一元二次方程的两根，则该方程为（ ）A ．x 2+3x +4=0B ．x 2+7x +12=0C ．x 2−3x +4=0D ．x 2−7x +12=08．已知一元二次方程 x 2−8x +12=0 的两根恰好是某等腰三角形的两边长，则该等腰三角形的底边长为（ ） A ．2B ．6C ．8D ．2或69．不等式组 {x +2>03x −6≤0 的解集在数轴上表示正确的是( )A ．B ．C ．D ．10．对于两个不相等的有理数a ，b ，我们规定符号max{a ，b}表示a ，b 两数中较大的数，例如max{2，4}=4.按照这个规定，那么方程max{x ，-x}=3x-2的解为（ ） A ．12B ．1C ．1或 12D ．12 或 5611．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0根的情况是（ ）A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根12．下列解方程的步骤中正确的是（ ）A ．由 x −5=7 ，可得 x =7−5B ．由 8−2(3x +1)=x ，可得 8−6x −2=xC ．由 16x =−1 ，可得 x =−16D ．由 x−12=x 4−3 ，可得 2(x −1)=x −3二、填空题13．在虚线上填写一个二元一次方程，使所成方程组 {5x −2y =1＿＿＿＿的解是 {x =1y =2 ．14．疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第一周的订单数是5万件，第三周的订单数比第一周增加2.8万件，如果设平均每周订单数的增长率为x，那么正确的方程是．15．若关于x的分式方程x−mx−1﹣3x＝1无解，则m的值为．16．如图，一块长12m，宽8m的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，则道路的宽应为m.17．方程(x+3)⋅√x−2=0的解是．18．一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售20件的销售额，与按这种服装每件的标价降低27元销售25件的销售额相等，则这种服装每件的标价是元．三、综合题19．为弘扬爱国主义精神，某校组织七年级学生以班级为单位观看电影《长津湖》，票价为每张40元，701班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：“40人以上的团体票有两个优惠方案可选择，方案一：全体人员打8折；方案二：5人免票，其他人员打9折．”（1）702班有41名学生，选择哪个方案更优惠？（2）701班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案，要付的钱是一样多的．”请问701班有多少名学生？20．已知关于x的一元二次方程x2−6x+k=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若x1,x2为该方程的两个实数根且满足求k的值21．如图，在△ABC中，△B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，PQ的长度等于2√10cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．22．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍.（1）设：长方体的高为xcm，则其宽为cm.（2）求长方体的体积.23．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示﹣11，点B 表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距29个长度单位.动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒.（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等. 24．已知关于的一元二次方程x 2 +2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根.参考答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】x+y=314．【答案】5（1+x）2=5+2.815．【答案】﹣2或116．【答案】217．【答案】x=218．【答案】7519．【答案】（1）解：由题意可得方案一的花费为：41×40×0.8=1312（元）方案二的花费为：（41-5）×0.9×40=1296（元）∵1312＞1296∴702班该选择方案二更优惠；（2）解：设701班有x名学生，根据题意得x×40×0.8=（x-5）×0.9×40解得x=45．答：701班有45名学生．20．【答案】（1）解：由题意可得△=36-4k>0所以k<9；（2）解：由x1+x2=6,x1x2=k得(x1·x2)2−(x1+x2)=115k2−6=115 k2=121k=±11∵k<9所以k=-11.21．【答案】（1）解：设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得12(5−x)×2x=4整理得：x2-5x+4=0解得：x=1或x=4（舍去）；或12(5−x)×7=4解得：x= 27 7答：1秒或277秒后△PBQ的面积等于4cm2（2）解：PQ= 2√10，则PQ2=BP2+BQ2，即40=（5-t）2+（2t）2解得：t=-1（舍去）或3．则3秒后，PQ的长度为2√10cm（3）解：令S△PQB=7，即BP× BQ2=7，（5-t）×2t2=7整理得：t2-5t+7=0由于b2-4ac=25-28=-7＜0则原方程没有实数根；或Q到C了，P还在运动，（5-t）×7÷2=7解得t=3（舍去）．所以在（1）中，△PQB的面积不能等于7cm222．【答案】（1）30−2x2（2）解：根据题意得：30−2x2＝2x解得：x＝5故长方体的宽为10，高为5，长为30﹣5×2＝20则长方体的体积为5×10×20＝1000cm3.答：长方体的体积为1000cm3.23．【答案】（1）解：点P运动至点C时，所需时间t＝11÷2+10÷1+8÷2＝19.5（秒）答：动点P从点A运动至C点需要19.5时间；（2）解：由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x.则11÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2x＝5答：M所对应的数为5.（3）解：P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：①动点Q在CB上，动点P在AO上则：8﹣t＝11﹣2t，解得：t＝3.②动点Q在CB上，动点P在OB上则：8﹣t＝（t﹣5.5）×1，解得：t＝6.75.③动点Q在BO上，动点P在OB上则：2（t﹣8）＝（t﹣5.5）×1，解得：t＝10.5.④动点Q在OA上，动点P在BC上则：10+2（t﹣15.5）＝t﹣13+10，解得：t＝18综上所述：t的值为3、6.75、10.5或18.24．【答案】（1）因为x2+2x+2k -4 = 0有两个不相等的实数根所以Δ=b2−4ac＞0，即22−4×1×(2k−4)＞0所以8k＜20，解得：k＜5 2（2）因为k＜52且k为正整数，所以k=1或2当k=1时，方程化为x2+2x−2=0，△=12，此方程无整数根；当k=2时，方程化为x2+2x=0解得x1=0,x2=2所以k=2，方程的有整数根为x1=0,x2=2.。

热点02 方程（组）与不等式（组）中考数学中《方程（组）与不等式（组）》部分主要考向分为四类：一、一元一次方程与二元一次方程（组）（每年2~4道，8~14分）二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）三、分式方程（每年1~3题，3~12分）四、不等式（组）（每年2~4题，8~18分）方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察。

其中，一元一次方程与二元一次方程（组）是比较接近的两个考点，出题一般都只有1题，一元一次方程多考察其在实际问题中的应用，多为选择题；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多。

一元二次方程单独出题时多考察其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一元二次方程的计算则主要出现在几何大题中，辅助解压轴题。

分式方程的考察内容不多，但基本属于必考考点，可以是一道小题考察其解法，也可以是应用题。

不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难度也是可大可小，其解法、含参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到。

虽然该热点难度中等，一般不会失分，但是组合出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意。

考向一：一元一次方程与二元一次方程组【题型1 实际问题抽象出一元一次方程】行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得()A．12240150x x+=B．12240150x x=-C．240(12)150x x-=D．240150(12)x x=+2．（2023•丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为斤．3．（2023•陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．【题型2 二元一次方程组的解法相关】满分技巧解二元一次方程组有2种方法——带入消元法和加减消元法不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。