【教师专用】2015高考数学专题辅导与训练配套课件：选修2-2 选修2-3 概率、计数原理、二项式定理

第二讲 概率、计数原理、二项式定理
【主干知识】 1.必记公式 （1）古典概型的概率公式:
A包含的基本事件的个数 P(A)＝______________________. 基本事件的总数
（2）几何概型的概率公式:
构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） P（A）=_________________________________________.
列,求第100个数.
可用捆绑法完成 看到 【信息联想】(1)看到相邻问题,想到_______________;
0 n 1 k n n n k k Ck a b ②通项公式：Tk+1=_________. n n 1 1 k n k
2.易错提醒
（1）漏古典概型的事件数：求古典概型的概率时，计算基本
事件总数与事件A所包含的基本事件数，易忽视部分情况而失
误.
（2）忽视几何概型中的区域特征：在计算几何概型时，对应
m 1 n n ③ C0 C C 2 . n n n m m m1 ④ Cm n Cn 1 Cm Cn 1 . m1 n m
（7）二项式定理：
Cn a Cn a b Cn a b Cn b （n N*） ①定理内容(a+b)n=_____________________________________.
(2)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字
构成空间直角坐标系中的点的坐标(x,y,z),若x+y+z是3的倍数,
求满足条件的点的个数.
(3)从1,3,5,7,9中任取2个数,从0,2,4,6中任取2个数组成没有
重复数字的四位数,若将所有个位是5的四位数从小到大排成一
长方形的 (2)①看到将一个质点随机投入长方形ABCD中,想到_________ 面积公式 _________;
半圆面积的求法 ②看到质点落在以AB为直径的半圆内,想到_______________.
【规范解答】(1)因为f(x)= 1 x3-ax2+(a+2)x,
3
所以f′(x)=x2-2ax+a+2, 又因为函数f(x)= 1 x3-ax2+(a+2)x有极值,
(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),
(b1,b2).共15个,其中都来自城市A的有:
(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4),共6个.故
6 2 这2个都来自城市A的概率为 . 15 5
3.（2014·湖北高考改编）若二项式 (2x a ) 7 的展开式中
1 的系数是84，求实数a的值. 3 x x
a r r ·(2x)7-r· 【解析】因为Tr+1= C7 ( ) r C7 27 r a r x 7 2r， x
令7-2r=-3，得r=5，
2·a5=84，解得a＝1. 所以 C5 · 2 7
【加固训练】连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量 a＝(m，n)与向量b＝(1，-1)的夹角为θ ，求θ ∈(0， 的概率.
所以m≥n满足 ， (0， ]， 2 2 2 m n 2 1 5 5 条件.m＝n的概率为 6 ＝ 1 ，m＞n的概率为 ＝ ， 2 6 12 36 6
] 2
【信息联想】(1)看到第二次取到编号为偶数球,想到
第一次取球有两种可能 _____________________;
(2)看到求两次取出的球的编号之差的绝对值小于2的概率, 如何写出该事件所含的基本事件 想到_____________________________.
【规范解答】由题意得,从5个球中任取一球,共取2次,满足条 件的两球所有可能的结果有: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)共25个. (1)记“第二次取到偶数球”为事件A,则事件A包含的事件 为:(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(3,2),(3,4),(3,6),(4, 2),(4,4),(5,2),(5,4),(5,6)共13个. 故所求事件的概率P(A)=
13 . 25
(2)记“两次取出的球的编号之差的绝对值小于2”为事件B, 则事件B包含的事件为:(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2), (3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,6)共11个.故所求事件的 概率P(B)= 11 .
25
【互动探究】在本例题条件下,求两次取出的球的编号之积为 奇数的概率. 【解析】由例题解题过程知,基本事件的总数为25个,记“两 次取出的球的编号之积为奇数”为事件C,则事件C包含的事件
1 3 x -ax2+(a+2)x有极值的概率. 3
(2)(2014·辽宁高考改编)将一个质点随机投入如图所示的长 方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,求质点落在以AB为直径的半圆内 的概率.
【信息联想】(1)看到函数f(x)= 1 x3-ax2+(a+2)x有极值,
3
f′(x)为二次函数,且f′(x)=0有两个不同的零点 想到____________________________________________.
1 π×12= ，长方形面 2 2
所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是
S阴 2 . S 2 4
【规律方法】几何概型的适用条件及求解关键 (1)适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、 弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解. (2)关键:寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域, 有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.
10 5
2.（2014·浙江高考改编）在8张奖券中有一、二、三等奖各1 张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，求不 同的获奖情况有多少种（用数字作答）. 【解析】不同的获奖情况分两种，一是有一人获两张奖券，
2 2 一人获一张，共有 C3 A 4 =36种，二是有三人各获得一张，
共有 A3 =24种，因此不同的获奖情况有60种. 4
热点考向一
【考情快报】
利用古典概型求事件的概率
难度:基础题
命题指数:★★☆
考查方式:主要考查基本事件、古典典型公式,考查分类
讨论思想的应用
【典题1】(2014·泰安模拟)袋中有大小相同的五个小球,编号 分别为1,2,3,4,5,从袋中每次任取一个球,记下其编号.若所取 球的编号为奇数,则把该球编号改为6后放回袋中,继续取球;若 所取球的编号为偶数,则直接放回袋中,继续取球. (1)求第二次取到编号为偶数球的概率. (2)求两次取出的球的编号之差的绝对值小于2的概率.
1 2 P＝－ 1 ＝ . 3 3
热点考向三 【考情快报】
计数原理、排列与组合的应用
难度:基础题
命题指数:★★☆
考查方式:主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原 理,排列与组合的应用问题
【典题3】(1)(2014·北京高考改编)把5件不同产品摆成一排, 若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,求不同的摆法数.
Байду номын сангаас
【解析】(1)由题意得 ＝ ＝ ，
所以x=56,y=2.
x 4
28 y
84 6
(2)记从城市A所抽取的民营企业分别为a1,a2,a3,a4,从城市B
抽取的民营企业分别为b1,b2.则从城市A,B抽取的6个中再随
机选2个进行跟踪式调研的基本事件有:
(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),
【变式训练】在区间[0,10]上随机取两个实数x,y,求事件 “2x+y≥2”的概率. 【解析】由题意
0 x 10, 在平面直角坐标系中作出对应的 0 y 10,
区域,及事件“2x+y≥2”对应的区域,如下图所示: 所以事件“2x+y≥2”的概率为:
1 1 2 99 2 1 ＝ . 10 10 100
的是区间、区域还是几何体，一定要区分开来，否则结论不正
确. （3）混淆事件“互斥”与“对立”的关系：两个事件互斥， 不一定对立；但两个事件对立，则它们一定互斥.
（4）忽视顺序：解决排列组合问题时，不要忽视问题与顺序 是否有关这一条件. （5）两个系数不要混淆：二项展开式中某一项的系数与某一 项的二项式系数易混，一定要区分开来.
【变式训练】(2014·韶关模拟)为调查民营企业的经营状况,某 统计机构用分层抽样的方法从A,B,C三个城市中,抽取若干个民 营企业组成样本进行深入研究,有关数据见下表:(单位:个) 城市 A B 民营企业数量 x 28 抽取数量 4 y
C
(1)求x,y的值.
84
6
(2)若从城市A与B抽取的民营企业中再随机选2个进行跟踪式调 研,求这2个都来自城市A的概率.
为:(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)共6个.故所求事
件的概率P(C)= 6 .
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【规律方法】利用古典概型求事件概率的关键及注意点 (1)关键:正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事 件数. (2)注意点:①对于较复杂的题目,列出事件数时要正确分类,分 类时应不重不漏. ②当直接求解有困难时,可考虑求其对立事件的概率.