江西省赣州市2017-2018学年高二下学期第一次段考数学试卷(文)Word版含解析

赣州市2016～2017学年度第二学期期末考试高二数学(文科)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}4,3,2,1,0,1M =----，{}2=30N x R x x ?<，则MN =( )A ．{}3,2,1,0---B ．{}2,1,0--C ．{}3,2,1,---D ．{}2,1,-- 2.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( ) A ．()12f x x = B ．()3f x x = C ．()3xf x = D ．()12xf x 骣琪=琪桫3.若,,a b c R Î，a b >，则下列不等式恒成立的是( ) A ．11a b < B ．22a b > C ．a c b c > D ．2211a b c c >++ 4.曲线C 的极坐标方程为6sin r q =化为直角坐标方程后为( )A ．()2239x y +-= B ．()2239x y ++= C.()2239x y ++= D ．()2239x y -+=5.设2log a =0.013b =，c =( ) A ．c a b << B ．a b c << C.a c b << D ．b a c <<6.定义集合运算：(){},,A Bz z xy x y x A yB ?=+挝，设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B Å的所有元素之和为( )A ．0B ．6 C.12 D ．187.已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()()()21lg 1g x f x x =--的定义域是( ) A ．[]0,1 B ．[)0,1 C.()0,1 D ．(]0,1 8.若函数()1f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．2 C.2或4- D ．4或2-9.在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线:2cos C r q =相交，则k 的取值范围是( )A ．k R ÎB ．34k ?C.34k <- D ．k R Î且0k ¹ 10.设函数()12log f x x x a =+-，则“()1,5a Δ是“函数()f x 在()2,8上存在零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要11.已知函数()()sin ,0,2f x x x p =?，点(),P x y 是函数()f x 图象上的任意一点，其中()0,0O ，()2,0A p ，记OAP △的面积为()g x ，则()'g x 的图象可能是( )A ．B ． C.D ．12.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1y f x =-的图象关于()1,0点对称，且当0x ³时恒有()()2f x f x +=，当[)0,2x Î时，()1x f x e =-，则()()20162017f f +-=( )(其中e 为自然对数的底)A ．1e -B ．1e - C.1e -- D ．1e +第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()()()122,0log ,0x x f x x x ì£ï=í>ïî，则()()4f f = ．14.在极坐标系中，O 是极点，设点1,6A p 骣琪琪桫，2,2B p骣琪琪桫，则OAB △的面积是 ． 15.直线()0x a a =>分别与直线33y x =+，曲线2ln y x x =+交于,A B 两点，则AB 的最小值为 ．16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美，定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，下列有关说法中：①圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；③存在圆O ，使得()11x x e f x e +=-是圆O 的太极函数；④直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：()()()222210x y R R -+-=>的太极函数.所有正确说法的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()x f x e ax b =-+.(1)若()f x 在2x =有极小值21e -，求实数,a b 的值； (2)若()f x 在定义域R 内单调递增，求实数a 的取值范围.18.已知函数()2,f x m x m R =--?，且()20f x +?的解集为[]1,1-. (1)求m 的值； (2)若,,a b c R Î，且222149m a b c++=，求证：22236a b c ++?. 19.设命题p ：实数x 满足1x a ->(其中0a >)；命题q ：实数x 满足2631x x --<.(1)若命题p 中1a =，且p q Ù为真，求实数x 的取值范围； (2)若p Ø是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.20.在平面直角坐标系xOy中，已知直线1:12x l y t ìï=ïíï=ïî(t 为参数)与圆23cos :3sin x C y q q ì=+ïí=ïî(q为参数)相交于,A B 两点. (1)求直线l 及圆C 的普通方程； (2)已知()1,0F ，求FA FB +的值.21.已知函数()f x 为二次函数，满足()02f =，且()()12f x f x x +-=. (1)求函数()f x 的解析式； (2)若方程()22x x f a =+在(],2x ??上有两个不同的解，求实数a 的取值范围.22.已知函数()ln f x x =，()()23g x f x ax x =+-，函数()g x 的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴. (1)求a 的值；(2)求函数()g x 的极小值；(3)设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，()12x x <，证明：2111k x x <<.赣州市2016～2017学年度第二学期期末考试高二数学(文科)参考答案一、选择题1-5:DCDAA 6-10:DBDCC 11、12：AA二、填空题13.144 16.②④三、解答题17.解：(1)()'x f x e a =-；依题意得()()2'2021f f e ì=ïíï=-î即222021e a e a b e ì-=ïíï-+=-î， 解得21a eb ì=ïí=ïî，故所求的实数2a e =，1b =.(2)由(1)得()'x f x e a =-，因为()f x 在定义域R 内单调递增，所以()'0x f x e a =-?在R 上恒成立， 即2a e £，x R Î恒成立，因为x R Î，()0,x e ??，所以0a £，所以实数a 的取值范围为(],0-?. 18.解：(1)因为()2f x m x +=-， 所以()20f x +?等价于x m £， 由x m £有0m >且其解集为[],m m -， 因为()20f x +?的解集为[]1,1-，所以1m =. (2)由(1)得()2221491,,a b c R a b c ++=?， 由柯西不等式得：()222222222149a b c a b c a b c 骣琪++=++++琪桫()2212312336a b c ab c 骣琪匙+??++=琪桫.(另解：()222222222149a b c a b c a b c 骣琪++=++++琪桫()222222222222499414914461236a b a c b c b a c a cb 骣骣骣琪琪琪=+++++++?++=琪琪琪桫桫桫.19.解：(1)当1a =时，{}:20p x x x ><或.{}:23q x x -<<.又p q Ù为真，所以,p q 都为真， 由2023x x x ì><ïí-<<ïî或，得20x -<<或23x <<. (2):1p x a ->，所以1x a <-或()10x a a >+>， ():110p a a a ??>，所以满足条件p Ø的解集(){}110A x a x a a =-＃+>，{}:23q B x x =-<<. 因为p Ø是q 的必要不充分条件， 所以B A Ì，所以01312a a a ì>ïï+?íï-?ïî，得3a ³.20.解：(1)直线l的普通方程为10x --=， 圆C 的普通方程为()2229x y -+=. (2)将1:12x l y t ìï=ïíï=ïî代入()229x y -+=，得280t --=，设方程(*)的两根设为12,t t，则12t t +128t t =-， 所以1212FA FB t t t t +=+=-21.解：(1)因为函数()f x 为二次函数，且()02f =，故设()22f x ax bx =++， 又()()12f x f x x +-=，所以()()()()221112222f x f x a x b x ax bx ax a b x +-=++++---=++=，所以22a =，0a b +=， 所以1a =，1b =-，所以函数()f x 的解析式为()()22f x x x x R =-+?. (2)由(1)知：方程()22x x f a =+可化为()()22222x xxa -+=+，即()()22222xxa -?=，令2x t =，因为(],2x ??，则(]0,4t Î.因为方程()22x x f a =+在(],2x ??上有两个不同的解，所以方程222t t a -?=在区间(]0,4上有两个不同的正根. 即函数222y t t =-+和直线y a =在(]0,4t Î上有两个不同的交点， 所以12a <<.22.解：(1)依题意得()2ln 3g x x ax x =+-，则()1'23g x ax x=+-. 由函数()g x 的图象在点()()1,1g 处的切线平行于x 轴得： ()'11230g a =+-=，所以1a =.(2)由(1)得()()()2211231'x x x x g x x x---+==，因为函数()g x 的定义域为()0,+?，令()'0g x =得12x =或1x =.函数()g x 在10,2骣琪琪桫上单调递增，在1,12骣琪琪桫上单调递减，在()1,+?上单调递增，故函数()g x 的极小值为()12g =-. (3)证法一：依题意得21212121ln ln y y x x k x x x x --==--， 要证2111k x x <<，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 因210x x ->，即证21221211ln x x x x xx x x --<<， 令()211x t t x =>，即证()11ln 11t t t t-<<->， 令()()ln 11k t t t t =-+>，则()1'10k t t =-<，所以()k t 在()1,+?上单调递减，所以()()10k t k <=，即ln 10t t -+<，所以ln 1t t <-①令()()1ln 11h t t t t =+->，则()22111'0t h t t t t -=-=>.所以()h t 在()1,+?上单调递增，所以()()10h t h >=，即()1ln 11t t t>->② 综①②得()11ln 11t t t t -<<->，即2111k x x <<.证法二：依题意得212122112121ln ln ln ln y y x x k x kx x kx x x x x --==?=---，令()ln h x x kx =-，则()1'h x k x=-， 由()'0h x =得1x k =，当1x k >时，()'0h x <，当10x k <<时，()'0h x >， 所以()h x 在10,k 骣琪琪桫单调递增，在1,k 骣琪+?琪桫单调递减，又()()12h x h x =， 所以121x x k <<，即2111k x x <<.。

2017-2018学年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}2．已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．4．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（）A．3x2﹣y2=1 B．=1 C．x2﹣3y2=1 D．5．已知数列{a n}满足：a1=2，且对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，S n是数列{a n}的前n项和，则=（）A．2 B．3 C．4 D．56．设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（x，y）∈E，有2x﹣y≥1”，则满足事件A发生的概率P（A）=1的平面区域E可以是（）A．B．C．D．7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣18．甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（）种．A．36 B．39 C．42 D．459．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|=3|FB|，则|PF|=（）A．7.5 B．7 C．8.5 D．811．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．12812．对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x2﹣2x+3）=g（x），若关于x的方程g（x）+sin x=0只有5个根，则这5个根之和为（）A．5 B．6 C．8 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则=______．14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=______．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为______．16．在等差数列{a n}中，首项a1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为______．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA﹣2sinA）cosC=0．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=，AB边上的中线CM=，求sinB及△ABC的面积．18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望EX．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f（x）在定义域内单调递增；（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．2017-2018学年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】分别解不等式，再求它们的交集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈R}=[﹣1，2]，∵lg（x+1）＜1=lg10，∴﹣1＜x＜9，∴B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D2．已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z=1+i代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．【解答】解：∵复数z=1+i，∴===2，故选：A．3．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=A N N，满足继续循环的条件，k=N+1；第N+1次执行循环体，k=N+1，p=A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为A N+1N+1，故选：C4．离心率为2的双曲线E的一个焦点到一条渐近线的距离为1，则E的标准方程可以是（）A．3x2﹣y2=1 B．=1 C．x2﹣3y2=1 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】对照选项，可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），运用离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：可设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得e==2，一个焦点（c，0）到一条渐近线y=x的距离为1，可得=b=1，又c2=a2+1，解得a=，即有双曲线的方程为﹣y2=1．故选：A．5．已知数列{a n}满足：a1=2，且对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，S n是数列{a n}的前n项和，则=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】数列的求和．【分析】通过在a m+n=a m•a n中令m=1，结合a1=2数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，进而计算可得结论．【解答】解：∵对任意n，m∈N*，都有a m+n=a m•a n，∴对任意nN*，都有a n+1=a1•a n，又∵a1=2，∴a n+1=2a n，∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，∴S n==2（2n﹣1），∴==5，故选：D．6．设点（x，y）在平面区域E内，记事件A“对任意（x，y）∈E，有2x﹣y≥1”，则满足事件A发生的概率P（A）=1的平面区域E可以是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据条件若事件A发生的概率P（A）=1，则等价为面区域E都在直线2x﹣y=1的下方区域即可．【解答】解：若满足事件A发生的概率P（A）=1，则2x﹣y≥1对应的平面区域在平面区域E内，A．平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．B．平面区域E都在直线2x﹣y=1的下方区域，满足条件．C平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．．D．平面区域E不都在直线2x﹣y=1的下方区域，不满足条件．．故选：B7．已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则dx=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】定积分．【分析】先根据图象求出f（x）的表达式，在分段求出定积分．【解答】解：当0≤x≤1，f（x）=x﹣1，当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣x﹣1，则dx=（x+1）（x﹣1）dx+（x+1）（﹣x﹣1）dx=（x2﹣1）dx﹣（x2+2x+1）dx=（）|﹣（）|=﹣1+（﹣+1﹣1）=﹣1，故选：D．8．甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人．其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有（）种．A．36 B．39 C．42 D．45【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据甲，可以分两类，第一类，甲在10月5日值班，第二类，甲不在10月5日值班，根据分类计数原理可得答案．【解答】解：第一类，甲在10月5日值班，则乙丙在剩下的4天各选择一天，故有A42=12种，第二类，甲不在10月5日值班，则甲再10月2，3，4天选择一天，丙在除了10月5日的三天中选择一天，乙在剩下的三天中选择梯田，故有3×3×3=27种，根据分类计数原理可得，共有12+27=39种，故选：B．9．在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，设出底面三角形的外心G，找出三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O，通过求解直角三角形得到三棱锥的高，则答案可求．【解答】解：如图，取BC中点为E，连接AE，∵底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，∴△ABC的外心G在AE上，设为G，取AB中点F，连接GF，在Rt△AEB中，由BE=1，∠BAE=60°，得AF==，又在Rt△AFG中，得，过G作PA的平行线与PA的中垂线HO交于O，则O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，即R=OA，由4πR2=8π，得R=，∵PA⊥平面ABC，∴OG⊥AG，在Rt△AGO中，求得OG=，∴三棱锥P﹣ABC的高PA=2OG=，则三棱锥的体积为V=．故选：B．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A、B两点，与l交于点P，若|AF|=3|FB|，则|PF|=（）A．7.5 B．7 C．8.5 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），与抛物线方程联立化为：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，由|AF|=3|FB|，可得x A+2=3（x B+2），再利用根与系数的关系可得k，即可得出．【解答】解：设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），联立，化为：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x A+x B=，x A x B=4．∵|AF|=3|FB|，∴x A+2=3（x B+2），联立解得：k=．∴P．∴|PF|==8．故选：D．11．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．128【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：24，∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4=96，故选：C．12．对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x2﹣2x+3）=g（x），若关于x的方程g（x）+sin x=0只有5个根，则这5个根之和为（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件，先判断g（x）关于x=1对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3的对称轴为x=1，∴由f（x2﹣2x+3）=g（x）得g（x）关于x=1对称，由g（x）+sin x=0得g（x）=﹣sin x，作出函数y=﹣sin x的图象，若程g（x）+sin x=0只有5个根，则其中一个根x=1，其余四个根两两关于x=1对称，则关于对称的根分别为x1，和x2，x3和x4，则，，则x1+x2=2，x3+x4=2，则这5个根之和为2+2+1=5，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则=﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据图形，，而，且，这样即可求出的值，即得出的值．【解答】解：==2•2cos120°=﹣2．故答案为：﹣2．14．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（θ+）的值，再利用两角差的正弦公式求得要求式子的值．【解答】解：∵θ为第二象限角，若＞0，∴θ+为第三象限角，由=，sin（θ+）＜0，cos（θ+）＜0， +=1，求得sin（θ+）=﹣，则sinθ+cosθ=2sin（θ+）=﹣，故答案为：﹣．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为．【考点】线性回归方程．【分析】求出各对应点的坐标，代人曲线方程，可以求出实数b的值．【解答】解：根据题意，把对应点的坐标代人曲线y=bx2﹣的方程，即y1=b﹣，y2=b﹣，…，y6=b﹣，∴y1+y2+…+y6=b（++…+）﹣×6；又y i=13，x i2=21，∴13=b×21﹣6×，解得b=．故答案为：．16．在等差数列{a n }中，首项a 1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 200 ． 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】先排除不是遗漏掉首项与末项，从而设9项为a n ，a n+1，a n+2，…，a n+m ﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，从而可得10（2n +1）+90﹣2（m +n ）﹣1=185，从而求得． 【解答】解：若遗漏的是10项中的第一项或最后一项，则185=9•a 中，故a 中=20（舍去）；故设9项为a n ，a n+1，a n+2，…，a n+m ﹣1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9， 其中（0＜m ＜9，m ∈N *）故10a n +×2﹣a m+n =185，即10（2n +1）+90﹣2（m +n ）﹣1=185， 故m=9n ﹣43， 故n=5，m=2； 故10×a 5+×2=110+90=200；故答案为：200．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC ，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cosB +（cosA ﹣2sinA ）cosC=0． （Ⅰ）求cosC 的值；（Ⅱ）若a=，AB 边上的中线CM=，求sinB 及△ABC 的面积． 【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinAsinC ﹣2sinAcosC=0，由sinA ≠0，可得tanC=2，利用同角三角函数基本关系式即可求cosC 的值． （Ⅱ）由，两边平方得b 2+2b ﹣3=0，解得b ，由余弦定理可解得c 的值，即可求得sinB ，利用三角形面积公式即可求△ABC 的面积． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）因为cosB=﹣cos （A +C ）=﹣cosAcosC +sinAsinC ，… 又已知cosB +（cosA ﹣2sinA ）cosC=0， 所以sinAsinC ﹣2sinAcosC=0，…因为sinA ≠0，所以sinC ﹣2cosC=0，… 于是tanC=2，…所以．…（Ⅱ）因为，…两边平方得b 2+2b ﹣3=0，解得b=1，…在△ABC 中，由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=4，所以c=2，…由此可知△ABC 是直角三角形，故，…可得：△ABC 的面积．…18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48（Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm的5株树苗中随机的选种3株，记X是小王选种的3株树苗中苗高大于45cm的株数，求X的分布列与数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图，利用茎叶图能求出结果．（Ⅱ）由题意得X=1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知作出两组数据茎叶图：由茎叶图得到：（1）乙品种树苗的平均高度大于甲品种树苗的平均高度．（或：乙品种树苗的高度普遍大于甲品种树苗的高度）．（2）乙品种树苗的高度较甲品种树苗的高度更分散．（或：甲品种树苗的高度较乙品种树苗的高度更集中（稳定）．（3）甲品种树苗的高度的中位数为27mm，乙品种树苗的高度的中位数为35.5mm．（4）甲品种树苗的高度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．乙品种树苗的高度不对称，其分布不均匀．（注：以上四点答对任意两点均给分）…（Ⅱ）由题意得X=1，2，3，，，，…EX==．…19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出△A1AB和△A1AD均为正三角形，A1O⊥BD，AC⊥BD，由此能证明平面A1BD⊥平面A1AC．（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）因为AA1=AB=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D…设AC与BD的交点为O，则A1O⊥BD…又ABCD是菱形，所以AC⊥BD…而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC…而BD⊂平面A1BD，故平面A1BD⊥平面A1AC…解：（Ⅱ）由A1B=A1D及，知A1B⊥A1D…又由A1D=AD，A1B=AB，BD=BD，得△A1BD≌△ABD，故∠BAD=90°…于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD得A1O⊥底面ABCD…如图，以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），，…设平面B1BD的一个法向量为，由得，令x=1，得…平面A1BD的一个法向量为，设平面A1BD与平面B1BD所成角为θ，则…解得θ=45°，故平面A1BD与平面B1BD所成角的大小为45°．…20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，得到，由此能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得，由此利用韦达定理、椭圆性质、向量知识，结合已知条件能求出不存在点M，使成立．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…∴依题意知，即…∴C 的离心率…（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x ﹣c ，代入椭圆方程得…设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则，…设M （x 0，y 0），则①…由得…代入①得…因为，，所以②…而…从而②式不成立． 故不存在点M ，使成立…21．设函数f （x ）=e x +ln （x +1）﹣ax ．（Ⅰ）当a=2时，证明：函数f （x ）在定义域内单调递增；（Ⅱ）当x ≥0时，f （x ）≥cosx 恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=2时，f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），，记，则，分类讨论，即可证明：函数f （x ）在定义域内单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x ）在（0，+∞）上递增，分类讨论，利用当x ≥0时，f （x ）≥cosx 恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），…记，则当x ＞0时，e x ＞1，，此时g'（x ）＞0…当x ＜0时，e x ＜1，，此时g'（x ＜0…所以f'（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，…故f'（x）≥f'（0）=0，从而f（x）在（﹣1，+∞）上递增…（Ⅱ）解：，由（Ⅰ）知f'（x）在（0，+∞）上递增，所以当a≤2时，f'（x）≥f'（0）=2﹣a≥0，所以f（x）在[0，+∞）上递增…故f（x）≥f（0）=1≥cosx恒成立…当a＞2时，记φ（x）=f（x）﹣cosx，则记，则当x＞1时，…显然0≤x＜1时，h'（x）＞0，从而φ'（x）在[0，+∞）上递增…又φ'（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得φ'（x0）=0…所以φ（x）在（0，x0）上递减，所以当x∈（0，x0）时，φ（x）＜φ（x0）=0，即f（x）＜cosx，不符合题意…综上，实数a的取值范围是a≤2…请考生在第22、23、24两题中任选一题做答[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（I）由已知条件推导出△ABD≌△BCE，由此能证明四点P，D，C，E共圆．（II）连结DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，由此能证明AP⊥CP．【解答】证明：（I）在△ABC中，由BD=，CE=，知：△ABD≌△BCE，…∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．所以四点P，D，C，E共圆．…（II）如图，连结DE．在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，由正弦定理知∠CED=90°．…由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，所以AP⊥CP．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C2，运用三角函数的恒等变换可得极坐标方程；设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），代入极坐标方程，化简整理可得所求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），运用点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，可得最小值，解方程可得a的值．【解答】解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，即为ρ2﹣ρ（sinθ+cosθ）=0，可得C2的极坐标方程为，设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），则，由|OQ|•|OP|=4得ρ'•ρ=4，从而，即有ρ（sinθ+cosθ）=4，故C3的直角坐标方程为x+y=4；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），则M到直线C3的距离，所以=，解得．[选修4-5：不等式选讲]24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据基本不等式得出ab（a=b时等号成立），利用a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）求解即可．（2）根据+=2．∴a，代入得出（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3，即（2）2﹣4ab≥4（ab）3求解即可得出ab=1【解答】解：（1）∵a、b为正实数，且+=2．∴a、b为正实数，且+=2≥2（a=b时等号成立）．即ab（a=b时等号成立）∵a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）．∴a2+b2的最小值为1，（2）∵且+=2．∴a∵（a﹣b）2≥4（ab）3，∴（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3即（2）2﹣4ab≥4（ab）3即（ab）2﹣2ab+1≤0，（ab﹣1）2≤0，∵a、b为正实数，∴ab=12017-2018学年9月16日。

2017—2018学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高二数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}{}|44,,|5A =-≤≤∈B =-≤≤x x x R x x a ，则“A ⊆B ”是“4>a ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.复数()2421-=+i i （ ）A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --3.若曲线(),()==a f x x g x x 在(1,1)P 处的切线分别为12,,l l 且12⊥l l ，则a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-4.已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形。

若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A .512π B.3π C. 4π D. 6π 5.设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图，则导函数'()y f x =的图象可能为 （ ）6. 已知函数)(x f 在0x x =处可导，若1)()3(lim 000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则0()f x '=（ ）A ．1B ．0C ．3D ．317.已知1F 、2F 是双曲()2222:10,0-=>>x y E a b a b线的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 4∠=MF F ，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．15 B ．53C. 2 D ．3 8.下列图象中，有一个是函数3221()(1)1(,0)3=++-+∈≠f x x ax a x a R a 的导数'()f x 的图象，则(1)-f 的值为（ ）A.13B.13-C.73D. 13-或539.用数学归纳法证明“1＋12＋13＋ (12)－1＜n (n ∈N *，n ＞1)”时由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时左边应增加的项数是（ ） A ．k ＋1 B ．k C ．2k D ．2k ＋110.已知函数))((R x x f ∈满足(1)1=f ，且)(x f 的导函数21)('<x f ，则212)(<-x x f 的解集为（ ） A. {}|11-<<x x B. {}|1<-x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}|1>x x11.已知,+∈a b R ，且115+++=a b a b，则a b +的取值范围是（ ） A.()2,4 B.[)2,+∞ C.[]1,4 D.()4,+∞12.若直线=+y kx b 是曲线ln 2=+y x 的切线，也是曲线ln(1)=+y x 的切线，则b = （ ） A.1ln 2-- B.1ln 2-+ C.1ln2+ D.1ln2-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13.已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()2'1ln =+f x xf x ，则()f x 在点()(1,1)M f 处的切线方程为14.有6位同学站成一排，其中A,B 两位必须相邻，C,D 两位不能相邻的排法有 种（数字作答）15．下列有关命题正确的序号是 （1）若P 且q 为假命题，则P ，q 均为假命题（2）若 P ⌝是q 的必要条件，则P 是 q ⌝的充分条件（3）命题“x x R x -∈∀2,≥0”的否定是“0,2<-∈∃x x R x ”（4）“2>x ”是“211<x ”的充分不必要条件16. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 三、解答题 17.（共10分）（1） 求函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-+=20, cos ,01,1)(πx x x x x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 （2）求由曲线3=y x 与3=y x 所围成的封闭图形的面积 18.（共12分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队 （1）若要求服务队中至少有1名女生，共有多少种不同的选法．（2）若要求服务队中队长或副队长至少有1名女生，共有多少种不同的选法．19.（共12分）如图，在四棱柱1111-ABCD A B C D 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，2AB =,1BC CD ==顶点1D在底面ABCD 内的射影恰为点C ． （1）求证：1⊥AD BC ；（2）若直线1DD 与直线AB 所成的角为3π,求平面11ABC D 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值．20.（共12分）某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以往的经验知道，其次品率P 与日产量x （件）之间近似满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤≤-=++N x c x N x c x x P ,,32,1,961（其中c 为小于96的正整常数） （注：次品率P=总生产量次品数，如P=0.1表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品.）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损A/2元，故厂方希 望定出合适的日产量。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x ﹣3）＜0}，则A∩B=（ ）A ．{﹣1，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{1，2，3}2．设命题，则¬p 是（ ）A ．B ．C ．D ．3．“lga＞lgb”是“a＞b”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．B ．y=x+e xC ．D ．5．cos40°sin20°+sin140°cos20°=（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数f （x ）=e x +x ﹣3的零点所在的一个区间是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）7．要得到函数的图象，只需将函数y=cos4x 的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位8．设函数31log (3)()31xx f x +-⎧=⎨-⎩11x x <≥，则f （﹣6）+f （log312）=（ ） A ．6B ．7C ．8D ．99．设曲线f （x ）=2mx ﹣ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=3x ，则m 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣210．定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意的12,x x ∈，则a+b= ．14．已知函数f （x ）及其导数f′（x ），若存在x 0，使得f （x 0）=f′（x 0），则称x 0是f （x ）的一个“巧值点”．下列函数有“巧值点”的是 （填序号）①f（x ）=x 2 ②③f（x ）=lnx ④．三、解答题（共5小题，满分50分）15．设函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，定义集合A﹣B={x|x∈A且x B∉}．（1）求A﹣B；（2）若C={x|m﹣1＜x＜2m+1}，C B⊆，求实数m的取值范围．16．已知函数．（1）求f（x）最小正周期和单调区间；（2）当时，求f（x）的最大值和最小值．17．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，设g （x）=f（x）﹣kx（1）当x∈时，g（x）为单调函数，求实数k的范围；（2）当x∈时，g（x）＜0恒成立，求实数k的范围．选修4-4：坐标系与参数方程18．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．选修4-5，不等式选讲19．已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．江西省赣州市2017-2018学年高二下学期小考数学（文）试题答案三、解答题（共5小题，满分60分）18．设函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，定义集合A﹣B={x|x∈A且x∉B}．（1）求A﹣B；（2）若C={x|m﹣1＜x＜2m+1}，C⊆B，求实数m的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】新定义；函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】（1）分别解不等式x2﹣2x﹣3＞0和2﹣|x|≥0可得A，B，由新定义可得A﹣B；（2）分类讨论：当C=∅时可得m﹣1≥2m+1，当C≠∅时可得，分别解得m综合可得．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3＞0可解得x＜﹣1或x＞3，故A={x|x＜﹣1或x＞3}；同理由2﹣|x|≥0可解得﹣2≤x≤2，故B={x|﹣2≤x≤2}；∵集合A﹣B={x|x∈A且x∉B}，∴A﹣B═{x|x＜﹣2或x＞3}；（2）由题意可得C={x|m﹣1＜x＜2m+1}，C⊆B，当C=∅时可得m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2；当C≠∅时可得，解得﹣1≤m≤；综合可得m≤﹣2或﹣1≤m≤．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及集合的运算和分类讨论，属基础题．19．已知函数．（1）求f（x）最小正周期和单调区间；（2）当时，求f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+）+1，由周期公式可得，解2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调递增区间，同理可得单调递减区间；（2）由题意可得2x+∈[，]，当2x+=和2x+=时，函数分别取最小和大值，代值计算可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∴最小正周期T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可解得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为，k ∈Z ； 同理可得函数的单调递减区间为，k ∈Z ；（2）∵，∴2x+∈[，]，∴当2x+=即x=时，函数取最小值0，当2x+=即x=时，函数取最大值3．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和最值及周期性，属基础题．20．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+1（a ＞0），若f （﹣1）=0，且对任意实数x 均有f （x ）≥0成立，设g （x ）=f （x ）﹣kx（1）当x ∈时，g （x ）为单调函数，求实数k 的范围； （2）当x ∈时，g （x ）＜0恒成立，求实数k 的范围． 【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由题意得函数f （x ）的对称轴为x=﹣1，用待定系数法求出f （x ）的解析式，从而得g （x ）的解析式，结合g （x ）在上是单调函数，知对称轴在外，求出k 的取值范围．（2）若g （x ）=x 2+（2﹣k ）x+1，x ∈时，g （x ）＜0恒成立，则，解得实数k的范围．【解答】解：（1）∵f（x ）=ax 2+bx+1（a ＞0）， f （﹣1）=0且对任意实数x 均有f （x ）≥0成立；∴x=﹣=﹣1，且a ﹣b+1=0；即b=2a ，且a ﹣b+1=0， 解得a=1．b=2； ∴f（x ）=x 2+2x+1，∴g（x ）=f （x ）﹣kx=x 2+（2﹣k ）x+1， ∵g（x ）在上是单调函数，∴x=应满足：≥2，或≤﹣2，即k≥6，或k≤﹣2；∴k的取值范围是{k|k≤﹣2，或k≥6}．（2）若g（x）=x2+（2﹣k）x+1，x∈时，g（x）＜0恒成立，则，即解得：k＞，∴k的取值范围是{k|k＞}【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及函数单调性的应用问题，是中档题．选修4-4：坐标系与参数方程22．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程．（2）设点P（2cosα， sinα），求得点P到直线l的距离d=，tanβ=，由此求得d的最大值．【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2，即ρ（cosθ﹣sinθ）=2，即x﹣y﹣4=0．曲线C的参数方程为（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，可得+=1．（2）设点P（2cosα， sinα）为曲线C上任意一点，则点P到直线l的距离d==，tanβ=，故当cos（α+β）=﹣1时，d取得最大值为．【点评】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、辅助角公式的应用，属于中档题．选修4-5，不等式选讲23．已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题．【分析】（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，由此求得不等式的解集．（2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，解得，∴不等式的解集为．…（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．解得a≥2，或a≤0．又∵a＞0，∴a≥2．∴实数a的取值范围为[2，+∞）．…【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。

20172018学年下学期高二年级期中考试仿真测试卷数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·汇文中学]若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B 【解析】()()()21i 21i 1i1i 1i z +===+--+，则复数的共轭复数为1i -，故选B ．2．[2018·人大附中]设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x 等于（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln2【答案】B【解析】由函数的解析式可得：()ln 1f x x '=+，则()00ln 12f x x '=+=，0ln 1x ∴=，0e x =，本题选择B 选项．3．[2018·北京工大附中]函数332e x y x x -=+-，则导数y '=（ ）A ．2236e xx x-+-B ．22312e 3xx x-++此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．22316e 3xx x-++D ．22316e 3+x x x--+【答案】D【解析】根据幂函数的求导公式、指数函数的求导公式以及复合函数的求导法则可知，()2222331161633+ee xx y x xx x----=+-⨯-=+'，故选D ．4．[2018·山西一模]完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（ ）（说明：上述表格内，顶点数V 指多面体的顶点数．） A ．()22πV - B ．()22πF -C ．()2πE -D ．()4πV F +-【答案】A【解析】用正方体（8V =，6F =，12E =）代入选项逐一检验，可排除B ，C ，D 选项． 故选：A5．[2018·湖北联考]如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内．若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．34【答案】B【解析】由题可知建立以AB 为X 轴，AD 为Y 轴的直角坐标系，则抛物线方程为214y x =，:2232011414123y x dx x x =-=-=⎛⎫⎪⎝⎭⎰，则此点落在阴影部分内的概率为42323=． 6．[2018·北京工大附中]函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数()21ln 2f x x x =-得()211x f x x xx'-=-=，定义域为()0,+∞，由()0f x '>，得01x <<；由()0f x '<，得1x >，∴函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()f x 在()0,+∞上的最大值为()1102f =-<，故选B ．7．[2018·豫西名校]已知函数()222e xf x x ax ax =--在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],e -∞ B ．(],1-∞ C ．[),e +∞ D ．[)1,+∞【答案】A【解析】()()()()()212121e e x x f x x a x x a =+-+=+-'，因为函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，所以导函数在区间[)1,+∞上上()0f x '≥，即0e x a -≥，e xa ≤，e a ≤，选A ．8．[2018·淮北一中]将正整数排成下表： 1 234 56789 ……………则在表中数字2017出现在（ ） A ．第44行第80列 B ．第45行第80列 C ．第44行第81列D ．第45行第81列【答案】D【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为2n ．因为442=1936，452=2025，所以2017出现在第45行上； 又由2017﹣1936=81，故2017出现在第81列，故选D ．9．[2018·人大附中]若函数()32f x x ax a =-+在()01，内无极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),0-∞C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由函数的解析式可得：()232f x x a '=-，函数()32f x x ax a =-+在()01，内无极值，则()0f x '=在区间()01，内没有实数根， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 无极值，满足题意，当0a >时，由()0f x '=可得x =1≥，解得：32a ≥， 综上可得：实数a 的取值范围是(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭，本题选择D 选项．10．[2018·中山期末][]0,3的最大值与最小值之积为（ ）A B C D 【答案】B【解析】结合函数的解析式有：()()()2422f x x x x '=-=+-，当()0,2x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当()2,4x ∈时，()'0f x >，()f x 单调递增， 且：()04f =，()423f =-，()31f =，据此可得函数的最大值为()04f =，函数的最小值为()423f =-，则最大值与最小值之积为416433-⨯=-．本题选择B 选项．11．[2018·南阳一中]从图中所示的矩形OABC 区域内任取一点(),M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．12C ．14D ．23【答案】B【解析】阴影部分的面积为()()121222221xx dx xx x-----+--=-⎰⎰，矩形的面积为2，故点M 取自阴影部分的概率为12．故选B ．12．[2018·豫西名校]偶函数()f x 定义域为ππ,22-⎛⎫⎪⎝⎭，其导函数是()f x '．当0π2x <<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式()2cos 4πf x f x >⎛⎫⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππππ,,2442-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．ππ,44-⎛⎫⎪⎝⎭D ．πππ,0,442-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由题意构造函数()()cos f x F x x=，()()()2cos sin cos f x x f x xF x x+''=，所以函数()F x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0F x '<，()F x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()π2cos 4f x f x >⎛⎫⎪⎝⎭ππ,22x ∈-⎛⎫⎪⎝⎭时，可变形为()π4cos 22f f x x >⎛⎫⎪⎝⎭，即()π4F x F >⎛⎫⎪⎝⎭，即ππ44x -<<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·首师附中]若复数z 满足，则复数z 的模为__________．【解析】14．[2018·百校联盟]函数()ln g x x =图象上一点P 到直线y x =的最短距离为__________． 2【解析】设与直线y x =平行的且与()ln g x x =相切的直线切点为()00,ln x x ，因为()1ln 'x x=，则011x =，01x ∴=，则切点为()1,0，∴最短距离为切点到直线yx =的距离：2d ==，故答案为2．15．[2018·上饶模拟]二维空间中，圆的一维测度（周长）2πl r =，二维测度（面积）2πS r =；三维空间中，球的二维测度（表面积）24πS r =，三维测度（体积）推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度312πV r =，则其四维测度W =__________． 【答案】43πr 【解析】二维空间中圆的一维测度（周长）2πl r =，二维测度（面积）2πS r =；观察发现S l '=，三维空间中球的二维测度（表面积）24πS r =，三维测度（体积）发现V S '=，∴四维空间中“超球”的三维测度38πV r =，猜想其四维测度W ，则312πW V r '==，43πW r ∴=，故答案为43πr ．16．[2018·烟台诊断]直线y b =分别与直线21y x =+和曲线ln y x =相交于点A 、B ，则AB 的最小值为____________________． 【答案】ln 212+【解析】两个交点分别为1A ,2b b -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()e ,b B b ，1e 2bb AB -=-， 设函数()1e 2xx g x -=-，()1e 2xg x '=-，()0g x '=的根为ln 2x =-，所以()g x 在区间(),ln 2-∞-单调递减，在区间()ln 2,-+∞上单调递增， 所以()()ln 2min g x g =-=ln 212+．填ln 212+．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2018·石嘴山中学]已知复数1Z 2ai =+（其中a ∈R 且a 0>，i 为虚数单位），且21z 为纯虚数．（1）求实数a 的值； （2）若1z z 1i=-，求复数z 的模z ． 【答案】（1）2；（2）2．【解析】（1）2221(2i)44i z a a a =+=-+，因为21z 为纯虚数，所以2400 0a a a ⎧-=≠>⎪⎨⎪⎩，解得：2a =．·······6分 （2）122i z =+，22i (22i)(1i)4i2i 1i (1i)(1i)2z +++====--+，2z =．·······12分 18．[2018·西城156中]已知函数()32133f x x x x =--．（）求()f x 的单调区间．（）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．【答案】（1）单调递增区间为()1-∞-，和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-；（2）的最大值为53，最小值为9-．【解析】（）由题得()()()22313f x x x x x '=--=+-．令()0f x '>，解得1x <-或3x >，令()0f x '<，解得13x -<<，∴()f x 的单调递增区间为()1-∞-，和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-．·······6分（）由（）可知，()f x 在区间()3,1--上单调递增， 在()1,3-上单调递减，且()39f -=-，()39f =-， ∴()f x 在区间[]3,3-上的最大值为5(1)3f -=， 最小值为()()339f f -==-．·······12分19．[2018·豫西名校]（1）当0n ≥时，证明：211n n n n +-+<+-； （2）已知x ∈R ，21a x =-，22b x =+，求证：a ，b 中至少有一个不小于0． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）要证211n n n n +-+<+-， 即证221n n n ++<+，只要证()()22221n nn ++<+，即证()222244n n n n +++<+，即证()21n n n +<+， 只要证22221n n n n +<++，而上式显然成立， 所以211n n n n +-+<+-成立．·······6分 （2）假设0a <且0b <，由210a x =-<得11x -<<，由220b x =+<得1x <-，这与11x -<<矛盾，所以假设错误，所以a 、b 中至少有一个不小于0．·······12分 20．[2018·天津联考]已知曲线21:2C y x =与221:2C y x =在第一象限内交点为P ．（1）求过点P 且与曲线2C 相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S ． 【答案】解：（1）22212y xy x==⎧⎪⎨⎪⎩，22x y =⎧∴⎨=⎩，(2,2)P ∴，221()22x k x ='==，∴所求切线方程为：220x y --=．·······6分（2）2322320200011142(2)2363xdx x dx x x -=-=⎰⎰，·······12分 解法2：算y x =与212y x =围出的面积，再利用对称性可求．【解析】略．21．[2018·北京八中]若函数()34f x ax bx -=＋，当2x =时，函数()f x 有极值43-．（1）求函数的解析式；（2）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()31443f x x x =-＋；（2）42833k -＜＜．【解析】（1）由题意可知()23f x ax b '=－，于是()423f =-，()20f '=解得13a =，4b =故所求的解析式为()31443f x x x =-＋． (5)分（2）由（1）可知()2()()422f x x x x =--'+=，令()0f x '=，得2x =或2x =-． 当x 变化时()f x '、()f x 的变化情况如下表所示：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x ' + 0 0 +()f x单调递增283单调递减43- 单调递增因此，当2x =-时，()f x 有极大值283；当2x =时，()f x 有极小值43-． 所以函数的大致图象如图，故实数k 的取值范围是42833k -<<．·······12分22．[2018·贺州调研]已知函数()()()ln f x x a x a =+-∈R ，直线22:ln 333l y x =-+-是曲线()y f x =的的一条切线． （1）求a 的值；（2）设函数()()2e 22g x x x f x a a =----+，证明：函数()g x 无零点． 【答案】（1）1a =；（2）见解析． 【解析】（1）()11f x x a'=-+，设切点为()00,P x y ，则()0000121322ln ln 333x a x a x x -=-++-=-+-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 解得02x =，1a =，∴1a =为所求．·······4分（2）由（1）知()()e 2112e ln xxg x x x f x x x x =----+=--，()()()()111e 1e1xxx g x x x xx+=+--=-'，令()e 1x G x x =-，∵当0x >时，()()1e 0xG x x =+>'，∴函数()G x 在()0+∞，上单调递增， 又()010G =-<，()1e 10G =->，∴()G x 存在唯一零点()0,1c ∈，且当()0,x c ∈时，()0G x <，当(),x c ∈+∞时，()0G x >． 即当()0,x c ∈时，()0g x '<；当(),x c ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在()0,c 上单调递减，在(),c +∞上单调递增，∴()()g x g c ≥． ∵()10e x G c c =+-=，01c <<，∴()ln 1ln 0x g c c c c c c c =+--=-->， ∴()()0g x g c ≥>，∴函数()g x 无零点．·······12分。

2017-2018学年江西省赣州市厚德外国语学校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．1+2i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i2．已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关3．将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（）A．B．C．D．4．已知整数的数对列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…则第60个数对是（）A．（3，8）B．（4，7）C．（4，8）D．（5，7）5．设a，b，c大于0，则3个数a+，b+，c+的值（）A．都大于2 B．至少有一个不大于2C．都小于2 D．至少有一个不小于26．已知直线L的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A．B．C．D．7．设直线l的参数方程为（t为参数），l上的点P1对应的参数为t1，则点P1与点P（a，b）之间的距离是（）A．|t1| B．2|t1| C．|t1| D．|t1|8．在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A．B．C．D．29．曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=4 10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．711．曲线C1：（t为参数），曲线C2：（θ为参数），若C1，C2交于A、B两点，则弦长|AB|为（）A．B．C．D．412．已知函数f（x）=在区间[0，+∞）上的最大值为a，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[﹣，+∞）D．[，+∞）二、填空题（每题5分，共20分）13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为．14．如图．小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin+cos=．15．如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=．16．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=．三、解答题（共70分）17．已知复数z1满足（z1﹣2）i=1+i，（1）求z1；（2）若复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求复数z2．18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求（1）恰有1人译出密码的概率；（2）若达到译出密码的概率为，至少需要多少乙这样的人．19．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．20．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年”K2=，（其中n=a+b+c+d）21．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．22．已知函数f（x）=lnx+ax，a∈R．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，且，求证：．2015-2016学年江西省赣州市厚德外国语学校高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．1+2i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z=+i3=﹣i=﹣（i﹣1）﹣i=1﹣2i，其共轭复数为1+2i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关【考点】变量间的相关关系．【分析】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设y=kz，k＞0，得到x与z的相关性．【解答】解：因为变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，一次项系数为﹣0.1＜0，所以x与y负相关；变量y与z正相关，设，y=kz，（k＞0），所以kz=﹣0.1x+1，得到z=，一次项系数小于0，所以z与x负相关；故选：A．【点评】本题考查由线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键．3．将两颗骰子各掷一次，设事件A=“两个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个6点”与“两个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案．【解答】解：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，“至少出现一个6点”的情况数目为6×6﹣5×5=11，“两个点数都不相同”则只有一个6点，共C21×5=10种，故P（A|B）=．故选：A．【点评】本题考查条件概率，注意此类概率计算与其他的不同，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率．4．已知整数的数对列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…则第60个数对是（）A．（3，8）B．（4，7）C．（4，8）D．（5，7）【考点】归纳推理．【分析】根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律，然后找出第60对数的两个数的和的值以及是这个和值的第几组，然后写出即可．【解答】解：（1，1），两数的和为2，共1个，（1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个，（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和为5，共4个…∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，∴第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）．故选D．【点评】本题是对数字变化规律的考查，规律比较隐蔽，观察出括号内的两个数的和的变化情况是解题的关键．5．设a，b，c大于0，则3个数a+，b+，c+的值（）A．都大于2 B．至少有一个不大于2C．都小于2 D．至少有一个不小于2【考点】基本不等式在最值问题中的应用；不等式比较大小．【分析】假设3个数a+＜2，b+＜2，c+＜2，则a++b++c+＜6，又利用基本不等式可得a++b++c+≥6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立．从而得出正确选项．【解答】证明：假设3个数a+＜2，b+＜2，c+＜2，则a++b++c+＜6，利用基本不等式可得a++b++c+=b++c++a+≥2+2+2=6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，3个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2．故选D ．【点评】本题考查用反证法证明数学，推出矛盾是解题的关键．6．已知直线L 的参数方程为（t 为参数 ），则直线的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】直线的倾斜角；参数方程化成普通方程．【分析】先求出直线的普通方程，再求出直线斜率，由此能求出直线的倾斜角．【解答】解：∵直线L 的参数方程为（t 为参数 ），∴2t=3﹣y ，x=1+=1+（3﹣y ），∴直线L 方程为x+﹣3﹣1=0，∴直线L 的斜率k=﹣=﹣，∴直线L 的倾斜角为．故选：D ．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的参数方程和普通方程的互化．7．设直线l 的参数方程为（t 为参数），l 上的点P 1对应的参数为t 1，则点P 1与点P （a ，b ）之间的距离是（ ）A ．|t 1| B ．2|t 1| C ．|t 1| D ．|t 1|【考点】参数方程化成普通方程；点到直线的距离公式．【分析】由l 上的点P 1对应的参数为t 1，则可写出点的坐标，再使用两点间的距离公式即可求出．【解答】解：∵l 上的点P 1对应的参数为t 1，则P 1（a+t 1，b+t 1），∴|P 1P|===．故选C ．【点评】本题考查给出参数方程求两点间的距离，理解参数的意义和两点间的距离公式是解决问题的关键．8．在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A．B．C．D．2【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把点A的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离．【解答】解：点A（，）的直角坐标为（1，1），直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的直角坐标方程为x﹣y﹣1=0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离为，故选：A．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．9．曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=4 【考点】极坐标系和平面直角坐标系的区别；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】曲线的极坐标方称即ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，化简可得结论．【解答】解：曲线的极坐标方程ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，化简为x2+（y﹣2）2=4，故选：B．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．曲线C1：（t为参数），曲线C2：（θ为参数），若C1，C2交于A、B两点，则弦长|AB|为（）A．B．C．D．4【考点】参数方程化成普通方程．【分析】将参数方程化为普通方程，联立直线方程和椭圆方程，消去y得到x的二次方程，利用韦达定理和弦长公式即可．【解答】解：曲线C1：（t为参数），化为普通方程为x+y﹣2=0，即y=2﹣x①曲线C2：（θ为参数），化为普通方程得，，②将①代入②，得5x2﹣16x+12=0，x1+x2=，x1x2=，则弦长|AB|==．故选B．【点评】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，运用韦达定理和弦长公式是解题的关键．12．已知函数f（x）=在区间[0，+∞）上的最大值为a，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[﹣，+∞）D．[，+∞）【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由求导公式和法则求出f′（x），化简后对a进行分类讨论，分别利用导数在定义域内求出函数的单调区间、最值，再求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意得，==，（1）当a=1时，，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）上递增，∴f（x）在区间[0，+∞）上有极小值f（2）=，∵f（0）=a=1，且=＜0，∴f（x）在区间[0，+∞）上有最大值f（0）=a=1，成立；（2）当a＞1时，由f′（x）=0得x=2或＜0，∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）上递增，∴f（x）在区间[0，+∞）上有极小值f（2）=，∵f（0）=a＞1，且=＜1，∴f（x）在区间[0，+∞）上有最大值f（0）=a，成立；（3）当a＜1时，由f′（x）=0得x=2或，①当a=时，有2=，f′（x）＜0，则f（x）在区间[0，+∞）上递减，∴f（x）在区间[0，+∞）上的最大值是f（0）=a，成立，②当时，有2＜，当x∈（2，）时，f′（x）＞0，则f（x）在区间（2，）上递增，当x∈（，+∞）、（0，2）时，f′（x）＜0，则f（x）在区间（，+∞）、（0，2）上递减，∴f（x）在区间[0，+∞）上的极大值是f（）=，又f（0）=a，由题意得≤a，解得0≤a＜1，即成立，③当时，有2＞，当x∈（，2）时，f′（x）＞0，则f（x）在区间（，2）上递增，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，则f（x）在区间（2，+∞）上递减，∴f（x）在区间[0，+∞）上的极大值是f（2）==，又f（0）=a，由题意得≤a，解得a≥，即，综上可得，a的取值范围是，故选：D．【点评】本题考查了导数与函数的单调性、最值的关系，考查分类讨论思想和极限思想的应用，属于难题．二、填空题（每题5分，共20分）13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为50．【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，，=40+∵y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，∴40+=6.5×5+17.5∴40+=50∴=10∴t=50故答案为：50．【点评】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点14．如图．小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin+cos=﹣1．【考点】归纳推理．【分析】根据已知，可得向量围绕着点O旋转了1080度，代入sin+cos，可得答案．【解答】解：从图中得出：第一个到第二个OA转过了60度，第二个到第三个转过了120度，依此类推每一次边上是60度，转角是120度，共有6个转角一共就是1080度，所以xsin180°+cos180°=﹣1．故答案为：﹣1【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性（猜想）．15．如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据几何概型计算公式，分别算出P（AB）与P（A），再由条件概率计算公式即可算出P（B|A）的值．【解答】解：根据题意，得P（AB）===∵P（A）==∴P（B|A）==故答案为：【点评】本题给出圆内接正方形，求条件概率P（B|A），着重考查了几何概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题．16．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=．【考点】直线的参数方程．【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径．【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，∴x=1，y=2，∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ==．故答案为：．【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（共70分）17．已知复数z1满足（z1﹣2）i=1+i，（1）求z1；（2）若复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求复数z2．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】（1）复数方程两边同乘复数i，然后化简即可求z1；（2）复数z2的虚部为2，设出复数z2利用z1z2是实数，复数的实部为0，即可求复数z2．【解答】解：（1）复数z1满足（z1﹣2）i=1+i，所以z1﹣2=﹣i（1+i）=1﹣i ∴Z1=3﹣i…（6分）（2）设z2=a+2i，所以z1z2=（3﹣i）（a+2i）=3a+2+（6﹣a）i，它是实数，所以a=6；所以Z2=6+2i…（12分）【点评】本题是基础题，考查复数的基本概念，复数的基本运算，考查计算能力，高考常考题型．18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求（1）恰有1人译出密码的概率；（2）若达到译出密码的概率为，至少需要多少乙这样的人．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）恰有1人译出密码的概率为P（A）+P（B）=+，运算求得结果．（2）先求出n个乙这样的人都译不出密码的概率为，由1﹣≥可得n 的范围，即得所求．【解答】解：设“甲译出密码”为事件A；“乙译出密码”为事件B，则P（A）=，P（B）=．（1）P（A）+P（B）=+=．（2）n个乙这样的人都译不出密码的概率为，由1﹣≥可得n≥17，达到译出密码的概率为，至少需要17 人．【点评】本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，求出n个乙这样的人都译不出密码的概率，是解题的关键．19．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）把C1消去参数化为普通方程为x2+y2=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为极参数方程．（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d=，故当sin（θ+）=1时，即θ=2kπ+，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值【解答】解：（1）把C1：（θ为参数），消去参数化为普通方程为x2+y2=1，故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为+=1，即+=1．故曲线C2的极参数方程为（θ为参数）．（2）直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4，即x+y﹣4=0，设点P（cosθ，2sinθ），则点P到直线的距离为d==，故当sin（θ+）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+，k∈z，点P（1，），故曲线C2上有一点P（1，）满足到直线l的距离的最小值为﹣．【点评】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．20．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年”K2=，（其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．【解答】解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共+=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如所以可得k2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．【点评】本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．21．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积C2MC2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为C2MC2N=11=．ρ【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．22．已知函数f（x）=lnx+ax，a∈R．（I）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）的两个零点为x1，x2，且，求证：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）=lnx+ax，a∈R的定义域与导数，通过a≥0，a ＜0，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．（Ⅱ）利用lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0，推出lnx2﹣lnx1=a（x1﹣x2），通过化简所证明的不等式，结合，，构造函数，利用导函数的单调性，推出ϕ（t）在[e2，+∞）上单调增，推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax，a∈R的定义域为{x|x＞0}，，（1）a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调增；在上单调增；在上单调减．…（5分）（Ⅱ）∵lnx1+ax1=0，lnx2+ax2=0，∴lnx2﹣lnx1=a（x1﹣x2）=令，令，则令，令，则，∴ϕ（t）在[e2，+∞）上单调增，…（12分）．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大．。

江西省赣州市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5分）=（）A．2i B．﹣2i C．2D．﹣22．（5分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知z∈C，若z2+|z|=0，则z=（）A．i B．±i C．0D．0或±i4．（5分）已知a＞b＞0，则﹣与的大小关系是（）A．﹣＞ B．﹣＜ C．﹣=D．无法确定5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）A．4B．5C．6D．76．（5分）已知关于x与y之间的一组数据：x 2 3 3 6 6y 2 6 6 10 11则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点（）A．（4，7）B．（3.5，6.5）C．（3.5，7.5）D．（5，6）7．（5分）设直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数），直线l与曲线C1交于A，B两点，则|AB|=（）A．2B．1C．D．8．（5分）不等式x﹣＜1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，1）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D．（﹣1，3）9．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线10．（5分）该试题已被管理员删除11．（5分）不等式|2x﹣1|+|x+1|＞2的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）D．（﹣∞，0）12．（5分）设x，y，z均大于0，则三个数：x+，y+，z+的值（）A．都大于2 B．至少有一个不大于2C．都小于2 D．至少有一个不小于2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．（5分）复数ω=﹣+i，则在复平面内，复数ω2对应的点在第象限．14．（5分），由此猜想出第n（n∈N+）个数是．15．（5分）阅读程序框图，输出的结果s的值为．16．（5分）在极坐标系中，极点为O，曲线C1：ρ=6sinθ与曲线C2：ρsin（θ+）=，则曲线C1上的点到曲线C2的最大距离为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某地对50人进行运动与性别是否有关测试，其中20名男性中有15名喜欢运动，30名女性中10名喜欢运动．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2列联表；（Ⅱ）判断喜欢运动是否与性别有关？参考数据：．临界值表：P（Χ2≥k）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82818．（12分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．19．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；参考数据：=77.5，=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．20．（12分）（1）已知等差数列{a n}，（n∈N*），求证：{b n}仍为等差数列；（2）已知等比数列{c n}，c n＞0（n∈N*）），类比上述性质，写出一个真并加以证明．21．（12分）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线（θ为参数），过点P（0，2）且斜率为k的直线与曲线C1相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5分）=（）A．2i B．﹣2i C．2D．﹣2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：原式==2，故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：考虑“a＞0且b＞0”与“a+b＞0且ab＞0”的互推性．解答：解：由a＞0且b＞0⇒“a+b＞0且ab＞0”，反过来“a+b＞0且ab＞0”⇒a＞0且b＞0，∴“a＞0且b＞0”⇔“a+b＞0且ab＞0”，即“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充分必要条件，故选C点评：本题考查充分性和必要性，此题考得几率比较大，但往往与其他知识结合在一起考查．3．（5分）已知z∈C，若z2+|z|=0，则z=（）A．i B．±i C．0D．0或±i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答：解：设z=a+bi，（a，b∈R）．∵z2+|z|=0，∴a2﹣b2+2abi+=0，∴，解得或．则z=0，或z=±i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．4．（5分）已知a＞b＞0，则﹣与的大小关系是（）A．﹣＞ B．﹣＜ C．﹣=D．无法确定考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：平方作差可得：（）2﹣（）2，化简可判其小于0，进而可得结论解答：解：（﹣）2﹣（）2=a+b﹣2﹣a+b=2（b﹣）=2（﹣），∵a＞b＞0，∴﹣＜0，∴（﹣）2﹣（）2＜0，∴﹣＜，故选：B．点评：本题考查不等关系与不等式，平方作差是解决问题的关键，属基础题5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）A．4B．5C．6D．7考点：循环结构．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S，k值并输出k，模拟程序的运行过程，即可得到答案．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前100 0/第一圈100﹣20 1 是第二圈100﹣20﹣21 2 是…第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0 6 是则输出的结果为7．故选C．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（5分）已知关于x与y之间的一组数据：x 2 3 3 6 6y 2 6 6 10 11则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点（）A．（4，7）B．（3.5，6.5）C．（3.5，7.5）D．（5，6）考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：要求y与x的线性回归方程为y=bx+a必过的点，需要先求出这组数据的样本中心点，根据所给的表格中的数据，求出横标和纵标的平均值，得到样本中心点，得到结果．解答：解：∵=（2+3+3+6+6）=4，=（2+6+6+10+11）=7，∴本组数据的样本中心点是（4，7），∴y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（4，7）故选：A．点评：本题考查线性回归方程必过样本中心点，考查学生的计算能力，这是一个基础题．7．（5分）设直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数），直线l与曲线C1交于A，B两点，则|AB|=（）A．2B．1C．D．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由曲线C1：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数化为=0．求出圆心C1（0，0）到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．解答：解：由曲线C1：（θ为参数），化为x2+y2=1，直线l：（t为参数），消去参数化为y=（x﹣1），即=0．∴圆心C1（0，0）到直线l的距离d==．∴|AB|=2==1．故选：B．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）不等式x﹣＜1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，1）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）D．（﹣1，3）考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用分式不等式求解即可．解答：解：不等式x﹣＜1化为：，即：，由穿根法可得：不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）故选：C．点评：本题考查分式不等式的解法，考查计算能力．9．（5分）极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由题中条件：“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．解答：解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0⇒ρ=1或θ=π，ρ=1是半径为1的圆，θ=π是一条射线．故选C．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．10．（5分）该试题已被管理员删除11．（5分）不等式|2x﹣1|+|x+1|＞2的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）D．（﹣∞，0）考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过对自变量x范围的讨论，去掉绝对值符号，即可得出不等式|2x﹣1|+|x+1|＞2的解集．解答：解：①当x＞时，|2x﹣1|+|x+1|=2x﹣1+（x+1）=3x，∴3x＞2，解得x＞，又x ＞，∴x＞；②当﹣1≤x≤时，原不等式可化为﹣x+2＞2，解得x＜0，又﹣1≤x≤，∴﹣1≤x＜0；③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x＞2，解得x＜﹣，又x＜﹣1，∴x＜﹣1．综上可知：原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（，+∞）．故选：A．点评：本题考查绝对值不等式的解法，突出考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，熟练掌握分类讨论思想方法是解含绝对值的不等式的常用方法之一，属于中档题．12．（5分）设x，y，z均大于0，则三个数：x+，y+，z+的值（）A．都大于2 B．至少有一个不大于2C．都小于2 D．至少有一个不小于2考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：举反例否定A，B，C，即可得出答案．解答：解：已知x，y，z均大于0，取x=y=z=1，则x+=y+=z+=2，否定A，C．取x=y=z=，则x+，y+，z+都大于2．故A，B，C都不正确．因此只有可能D正确．故选：D．点评：本题考查了举反例否定一个的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．（5分）复数ω=﹣+i，则在复平面内，复数ω2对应的点在第三象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接化简复数为：a+bi的形式，然后判断即可．解答：解：复数ω=﹣+i，复数ω2=﹣﹣i，对应点（﹣，）在第三象限．故答案为：三．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．14．（5分），由此猜想出第n（n∈N+）个数是．考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：根号下由两个数组成，前一个数是首项为2，公差为1的等差数列，后一个数是分数，通项是，从而可猜想第n个数．解答：解：∵，∴将根号下的数分成两个数的和，2，3，4…的通项是n+1；，，…的通项是∴由此猜想第n个数为．故答案为：．点评：本题考查了归纳推理，考查了信息获取能力，先利用已知的计算，认真观察是解决此类问题的关键．15．（5分）阅读程序框图，输出的结果s的值为．考点：运用诱导公式化简求值；循环结构．专题：计算题；规律型．分析：由2011除以6余数为1，根据程序框图转化为一个关系式，利用特殊角的三角函数值化简，得出6个一循环，可得出所求的结果．解答：解：∵2011÷6=335…1，∴根据程序框图转化得：sin+sin+sinπ+…+sin=（++0﹣﹣+0）+（++0﹣﹣+0）+…+（++0﹣﹣+0）+=．故答案为：点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，循环结构，以及特殊角的三角函数值，认清程序框图，找出规律是解本题的关键．16．（5分）在极坐标系中，极点为O，曲线C1：ρ=6sinθ与曲线C2：ρsin（θ+）=，则曲线C1上的点到曲线C2的最大距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把已知曲线极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可得出．解答：解：曲线C1：ρ=6sinθ化为：ρ2=6ρsinθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=6y，配方为x2+（y﹣3）2=9．曲线C2：ρsin（θ+）=，展开为=，化为直角坐标方程为：x+y﹣2=0．圆心（0，3）到直线的距离d==．则曲线C1上的点到曲线C2的最大距离为．故答案为：．点评：本题考查了把曲线极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某地对50人进行运动与性别是否有关测试，其中20名男性中有15名喜欢运动，30名女性中10名喜欢运动．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2列联表；（Ⅱ）判断喜欢运动是否与性别有关？参考数据：．临界值表：P（Χ2≥k）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据所给数据得到列联表．（Ⅱ）根据列联表中所给的数据做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到有99.5%的把握认为“是否喜欢运动与性别有关”．解答：解：（Ⅰ）建立2×2列联表喜欢运动不喜欢运动合计男性15 5 20女性10 20 30合计25 25 50…（5分）（Ⅱ）…（8分）故有99.5%的把握认为“是否喜欢运动与性别有关”…（10分）点评：独立性检验是考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法，主要是通过Χ2的观测值与临界值的比较解决的．18．（12分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 8590 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；参考数据：=77.5，=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）按分层抽样原理，计算应抽取的男生、女生各是多少；（Ⅱ）根据题目中的公式，计算相关系数r，判断线性相关性；求出线性回归方程中的系数，得出回归方程．解答：解：（Ⅰ）按男女生分层抽样的结果是，女生应抽取（人），男生应抽取（人）；…（4分）（Ⅱ）变量y与x的相关系数是r===≈0.99；…（6分）可以看出，物理与数学成绩是高度正相关；…（8分）【若以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图，从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近，并且在逐步上升，所以物理与数学成绩是高度正相关；】设y与x的线性回归方程是，根据所给的数据，可以计算出b===0.66，a=﹣b=85﹣0.66×77.5=33.85；…（10分）所以y与x的回归方程是．…（12分）点评：本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了线性相关系数的计算问题，是基础题目．20．（12分）（1）已知等差数列{a n}，（n∈N*），求证：{b n}仍为等差数列；（2）已知等比数列{c n}，c n＞0（n∈N*）），类比上述性质，写出一个真并加以证明．考点：等差关系的确定；类比推理．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由求和公式可得b n==，进而可得b n+1﹣b n为常数，可判为等差数列；（2）类比：若{c n}为等比数列，c n＞0，（n∈N*），d n=，则{d n}为等比数列，只需证明为常数即可．解答：解：（1）由题意可知b n==，∴b n+1﹣b n=﹣=，∵{a n}等差数列，∴b n+1﹣b n==为常数，（d为公差）∴{b n}仍为等差数列；（2）类比：若{c n}为等比数列，c n＞0，（n∈N*），d n=，则{d n}为等比数列，证明：由等比数列的性质可得：d n==，故==为常数，（q为公比）故{d n}为等比数列点评：本题考查等差数列的定义，涉及类比推理和等比数列的定义，属中档题．21．（12分）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线（θ为参数），过点P（0，2）且斜率为k的直线与曲线C1相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）曲线C1的方程可写成（x﹣6）2+y2=4，过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2，代入曲线C1的方程可得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0，直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△＞0，解出即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，与共线等价于﹣2（x1+x2）=6（y1+y2），利用根与系数的关系代入解出即可判断出．解答：解：（Ⅰ）曲线C1的方程可写成（x﹣6）2+y2=4，过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2，代入曲线C1的方程得x2+（kx+2）2﹣12x+32=0，整理得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0，①直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=﹣4×36（1+k2）=42（﹣8k2﹣6k）＞0，解得，即k的取值范围为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由方程①，，②又y1+y2=k（x1+x2）+4，③而，∴与共线等价于﹣2（x1+x2）=6（y1+y2），将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k．点评：本题考查了圆的参数方程化为直角坐标方程、直线与圆相交问题、向量共线定理、根与系数的关系应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

江西省赣州市2017-2018学年高二下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设（1+2i）（a+i）的共轭复数是它本身，其中a为实数，则a=（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．下列值等于1的积分是（）A． xdx B．（x+1）dx C． 1dx D．dx3．已知Cn+17﹣Cn7=Cn8，那么n的值是（）A．12 B．13 C．14 D．154．如果随机变量ξ～N（0，σ2），且P（﹣2＜ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.45．定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：①y=﹣x2+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=其中“H函数”的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．16．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位③线性回归方程必过；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=13.079，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是（）本题可以参考独立性检验临界值表A．0 B．1 C．2 D．37．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．8．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．e2f（﹣2）＞f（0），f（2）＞e2f（0）B．e2f（﹣2）＜f（0），f（2）＜e2f（0）C．e2f（﹣2）＞f（0），f（2）＜e2f（0）D．e2f（﹣2）＜f（0），f（2）＞e2f（0）9．编号为A、B、C、D、E的五个小球放在如图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A不能放1，2号，B必需放在与A相邻的盒子中，则不同的放法有（）种．A．42 B．36 C．30 D．2810．在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（）A．120 B．168 C．204 D．21611．执行某个程序，电脑会随机地按如下要求给图中六个小圆涂色．①有五种给定的颜色供选用；②每个小圆涂一种颜色，且图中被同一条线段相连两个小圆不能涂相同的颜色．若电脑完成每种涂色方案的可能形相同，则执行一次程序后，图中刚好有四种不同的颜色的概率是（）A ．B ．C ．D ．12．抛物线y 2=2x 的内接△ABC 的三条边所在直线与抛物线x 2=2y 均相切，设A ，B 两点的纵坐标分别是a ，b ，则C 点的纵坐标为（ ） A ．a+b B ．﹣a ﹣b C ．2a+2b D ．﹣2a ﹣2b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算（用数字作答）：+++…+= ．14．的展开式中含x 5的项的系数为 （用数字作答）．15．已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下左表，f′（x ）为f （x ）的导函数，函数y=f′（x ）的图象如图所示，若两正数a ，b 满足f （2a+b ）＜1，则的取值范围是 ．16．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f′（x ）﹣f （x ）=（1﹣2x ）e ﹣x ，且f （0）=0则下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的序号） ①f （x ）有极大值，没有极小值；②设曲线f （x ）上存在不同两点A ，B 处的切线斜率均为k ，则k 的取值范围是；③对任意x 1，x 2∈（2，+∞），都有恒成立；④当a ≠b 时，方程f （a ）=f （b ）有且仅有两对不同的实数解（a ，b ）满足e a ，e b 均为整数．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ=﹣2． （Ⅰ）求C 1和C 2在直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）已知直线l ：y=x 和曲线C 1交于M ，N 两点，求弦MN 中点的极坐标．18．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA 1⊥AC 1（1）求证：AC 1⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A ﹣A 1B ﹣C 的余弦值的大小．19．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A 、B 、C 、D 四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为， （1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X ，求X 的分布列和期望．20．已知等差数列{a n }满足a 5=a 2+a 3，a 13=13． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，数列{b n }前n 项和为S n ，证明：﹣1＜S n ＜．21．已知椭圆C：，左焦点，且离心率（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．22．设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（Ⅰ）若对定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若b=﹣1，证明对任意的正整数n，不等式成立．江西省赣州市2017-2018学年高二下学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设（1+2i）（a+i）的共轭复数是它本身，其中a为实数，则a=（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】由（1+2i）（a+i）=a﹣2+（1+2a）i，又知（1+2i）（a+i）的共轭复数是它本身，可得a﹣2+（1+2a）i是实数，即虚部等于0，求解即可得答案．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（1+2a）i，∵（1+2i）（a+i）的共轭复数是它本身，∴a﹣2+（1+2a）i是实数，即1+2a=0，解得a=﹣．故选：D．2．下列值等于1的积分是（）A． xdx B．（x+1）dx C． 1dx D．dx【考点】69：定积分的简单应用．【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．【解答】解：选项A， xdx=x2=，不满足题意；选项B，（x+1）dx=（x2+x）=+1=，不满足题意；选项C， 1dx=x=1﹣0=1，满足题意；选项D，dx=x=﹣0=，不满足题意；故选C．3．已知Cn+17﹣Cn7=Cn8，那么n的值是（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】根据题意，由组合数的性质，可得Cn 8+Cn7=Cn+18，即Cn+17=Cn+18，再结合组合数的性质，分析可得答案．【解答】解：根据题意，C n+17﹣Cn7=Cn8，变形可得，Cn+17=Cn8+Cn7，由组合数的性质，可得Cn 8+Cn7=Cn+18，即Cn+17=Cn+18，进而可得8+7=n+1，解可得n=14，故选C．4．如果随机变量ξ～N（0，σ2），且P（﹣2＜ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），由此知曲线的对称轴为Y轴，P（﹣2≤ξ≤2）=2P（﹣2＜ξ≤0），又P（ξ＞2）= [1﹣P（﹣2≤ξ≤2）]，再由P（﹣2＜ξ≤0）=0.4，可得答案．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，∴P（﹣2≤ξ≤2）=0.8∴P（ξ＞2）= [1﹣P（﹣2≤ξ≤2）]= [1﹣0.8]=0.1．故选A．5．定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：①y=﹣x2+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=其中“H函数”的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】3F：函数单调性的性质；3L：函数奇偶性的性质．【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x2+x+1的对称轴是x=，则函数在定义域上不单调，不满足条件．②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y′=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故选：C．6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位③线性回归方程必过；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=13.079，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是（）本题可以参考独立性检验临界值表A．0 B．1 C．2 D．3【考点】BO：独立性检验的应用；BK：线性回归方程．【分析】根据方差是表示一组数据波动大小的量，判断①正确；根据回归方程的系数判断x与y是负相关，得②错误；根据线性回归方程必过样本中心点，判断③正确；根据观测值与临界值的关系，判断④正确．【解答】解：对于①，根据方差是表示一组数据波动大小的量，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，①正确；对于②，设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误对于③，线性回归方程必过样本中心点，③正确；对于④，在2×2列联表中，计算得K2=13.079＞10.828，对照临界值表知，有99.9%的把握确认这两个变量间有关系，④正确．综上，其中错误序号是②，共1个．故选：B．7．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数y=﹣xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可．【解答】解：由函数y=﹣xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增；当﹣1＜x＜0时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当0＜x＜1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当x＞1时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增．综上所述，y=f （x ）的图象可能是B ， 故选：B ．8．设函数f （x ）的导函数为f′（x ），且f′（x ）＜f （x ）对于x ∈R 恒成立，则（ ） A ．e 2f （﹣2）＞f （0），f （2）＞e 2f （0） B ．e 2f （﹣2）＜f （0），f （2）＜e 2f （0） C ．e 2f （﹣2）＞f （0），f （2）＜e 2f （0） D ．e 2f （﹣2）＜f （0），f （2）＞e 2f （0） 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g （x ）=，利用导数判断其单调性即可得出．【解答】解：令g （x ）=，则g′（x ）=＜0．∴函数g （x ）在R 上单调递减，故g （﹣2）＞g （0），即＞，即e 2f （﹣2）＞f （0），g （2）＜g （0），即＜，即f （2）＜e 2f （0），故选：C ．9．编号为A 、B 、C 、D 、E 的五个小球放在如图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A 不能放1，2号，B 必需放在与A 相邻的盒子中，则不同的放法有（ ）种．A ．42B ．36C ．30D ．28【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，A 不能放1，2号，则A 可以放在3、4、5号盒子，但“A 在4、5号盒子时”与“A 在3号盒子时”，B 的放法情况数目不同，据此分两种情况讨论，分别求得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，A 不能放1，2号，则A 可以放在3、4、5号盒子， 分2种情况讨论：①当A 在4、5号盒子时，B 有1种放法，剩下3个有A 33=6种不同放法，此时，共有2×1×6=12种情况；3=6种不同放法，此时，共有1×3×6=18②当A在3号盒子时，B有3种放法，剩下3个有A3种情况；由加法原理，计算可得共有12+18=30种不同情况；故选C．10．在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（）A．120 B．168 C．204 D．216【考点】D3：计数原理的应用．【分析】本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三3，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有个，确定是两个三位数共有2C92个．相加得到结果．递减一种结果，共有C9【解答】解：由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序确定是两个三位数，3=168，共有2C92=36个，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C9根据分类计数原理知共有168+36=204故选C11．执行某个程序，电脑会随机地按如下要求给图中六个小圆涂色．①有五种给定的颜色供选用；②每个小圆涂一种颜色，且图中被同一条线段相连两个小圆不能涂相同的颜色．若电脑完成每种涂色方案的可能形相同，则执行一次程序后，图中刚好有四种不同的颜色的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别讨论满足条件的涂色的总数，以及刚好有四种不同的颜色的数目，利用概率公式进行求解即可．【解答】解：分两步来进行，先涂A、B、C，再涂D、E、F．①若5种颜色都用上，先涂A、B、C，方法有种；再涂D、E、F中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有••2=720种．②若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；先涂A、B、C，方法有种；再涂D、E、F中的1个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有••3•3=1080种．③若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；先涂A、B、C，方法有种；再涂D、E、F，方法有2种，故此时方法共有••2=120 种．综上可得，不同涂色方案共有 720+1080+120=1920 种，则图中刚好有四种不同的颜色的概率是=．故选：A12．抛物线y2=2x的内接△ABC的三条边所在直线与抛物线x2=2y均相切，设A，B两点的纵坐标分别是a，b，则C点的纵坐标为（）A．a+b B．﹣a﹣b C．2a+2b D．﹣2a﹣2b【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意分别设出A（），B（），C（）．然后由两点坐标分别求得三角形三边所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，和抛物线方程联立，由判别式等于0得到a，b，c所满足的条件，把c用含有a，b的代数式表示得答案．【解答】解：如图：设A（），B（），C（）．则，∴AB 所在直线方程为，即．联立，得：（b+a ）x 2﹣4x ﹣2ab=0．则△=（﹣4）2+8ab （a+b ）=0，即2+ab （a+b ）=0． 同理可得：2+ac （a+c ）=0，2+bc （b+c ）=0． 两式作差得：c=﹣a ﹣b ． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算（用数字作答）：+++…+= 1139 ．【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】利用=求解．【解答】解： +++…+=（+）+++…+﹣=（+）++…+﹣1=（+）+…+﹣1=+…+﹣1=…=+﹣1=﹣1=1139．故答案为：1139．14．的展开式中含x 5的项的系数为 36 （用数字作答）．【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】先求出的展开式的通项为T r+1==，然后令9﹣2r=5可求r ，代入即可求解【解答】解：由题意可得，的展开式的通项为T r+1==令9﹣2r=5可得r=2即展开式中含x 5的项的系数为=36故答案为：3615．已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下左表，f′（x ）为f （x ）的导函数，函数y =f′（x ）的图象如图所示，若两正数a ，b 满足f （2a+b ）＜1，则的取值范围是 （） ．【考点】62：导数的几何意义；3O ：函数的图象；I3：直线的斜率．【分析】由图得导数大于零，函数单增；导数小于0，函数单减；用单调性脱去f （2a+b ）＜1的符号f ，用线性规划求出的范围【解答】解：由图知函数f （x ）在[﹣2，0]上，f′（x ）＜0，函数f （x ）单减； 函数f （x ）在[0，+∞）上，f′（x ）＞0，函数f （x ）单增；，表示点（a ，b ）与点（﹣3，﹣3）连线斜率，故的取值范围为（）．16．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f′（x ）﹣f （x ）=（1﹣2x ）e ﹣x ，且f （0）=0则下列命题正确的是 ①②③④ ．（写出所有正确命题的序号） ①f （x ）有极大值，没有极小值；②设曲线f （x ）上存在不同两点A ，B 处的切线斜率均为k ，则k 的取值范围是；③对任意x 1，x 2∈（2，+∞），都有恒成立；④当a ≠b 时，方程f （a ）=f （b ）有且仅有两对不同的实数解（a ，b ）满足e a ，e b 均为整数．【考点】2K ：命题的真假判断与应用；6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】由已知中函数f （x ）满足f′（x ）﹣f （x ）=（1﹣2x ）e ﹣x ，可得f （x ）=xe ﹣x ，f′（x ）=（1﹣x ）e ﹣x ，逐一分析四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：①∵f′（x ）﹣f （x ）=（1﹣2x ）e ﹣x ， ∴f （x ）=xe ﹣x ，f′（x ）=（1﹣x ）e ﹣x ，令f′（x ）＞0，解得：x ＜1，令f′（x ）＜0，解得：x ＞1， ∴函数f （x ）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减， ∴函数f （x ）的极大值是f （1），没有极小值； 故①正确；②∵k=f′（x ）=（1﹣x ）e ﹣x ， ∴f″（x ）=e ﹣x （x ﹣2），令f″（x ）＞0，解得：x ＞2，令f″（x ）＜0，解得：x ＜2， ∴f′（x ）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f′（x ）最小值=f′（x ）极小值=f′（2）=﹣，而x→∞时，f′（x ）→0，∴k 的取值范围是；故②正确；③结合①②函数f（x）在（2，+∞）上是凹函数，∴恒成立，故③正确；④当a≠b时，方程f（a）=f（b），不妨令a＜b，则a∈（0，1），则e a∈（1，e），又有e a为整数．故e a=e b=2，同理a＞b时，也存在一对实数（a，b）使e a=e b=2，故有两对不同的实数解（a，b）满足e a，e b均为整数．故④正确；故答案为：①②③④三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=﹣2．（Ⅰ）求C1和C2在直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）已知直线l：y=x和曲线C1交于M，N两点，求弦MN中点的极坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）消调参数θ，即可得到普通方程，由极坐标方程即可直接得到普通方程；（Ⅱ）根据韦达定理，即可求出弦MN中点的坐标，再化为极坐标即可．【解答】解：（Ⅰ）由得，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=cos2θ+sin2θ=1，所以C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．因为x=ρcosθ，所以C2的普通方程为x=﹣2．（Ⅱ）由，得x2﹣3x+2=0，，弦MN中点的横坐标为，代入y=x得纵坐标为，弦MN中点的极坐标为：18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1（1）求证：AC1⊥平面A1BC；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值的大小．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MJ：与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（1）根据题意可知BC⊥AC，而A1D⊥底ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC=D，从而BC⊥面A 1AC，则BC⊥AC1，又因为BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，满足线面垂直的判定定理，从而AC1⊥底A1BC；（2）设AC1∩A1C=O，作OE⊥A1B于E，连AE，由（1）所以A1B⊥AE，根据二面角的平面角的定义可知∠AEO为二面角平面角，在Rt△A1BC中求出OE，AO，AE，从而求出二面角余弦．【解答】解：（1）证明：∠BCA=90°得BC⊥AC，因为A1D⊥底ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC=D，所以BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC1因为BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，所以AC1⊥底A1BC（2）设AC1∩A1C=O，作OE⊥A1B于E，连AE，由（1）所以A1B⊥AE，所以∠AEO为二面角平面角，在Rt△A1BC中，所以，所以二面角余弦19．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．（2）分析此问题时要注意有顺序，所以X的所有取值为：2，3，4，5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值．【解答】解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为P= [（）4+C（）3•]=，（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．P（X=2）=×=；P（X=3）=C•••=；P（X=4）=C••（）2•=；P（X=5）=1﹣﹣﹣=．该生参加考试的项数ξ的分布列为：EX=2×+3×+4×+5×=．20．已知等差数列{an }满足a5=a2+a3，a13=13．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，数列{b n }前n 项和为S n ，证明：﹣1＜S n ＜．【考点】8E ：数列的求和；8K ：数列与不等式的综合．【分析】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求出b n ==，由＜=﹣，＞=﹣，运用裂项相消求和，即可得证．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ， a 5=a 2+a 3，a 13=13，可得 a 1+4d=2a 1+3d ，a 1+12d=13， 解得a 1=d=1，a n =a 1+（n ﹣1）d=n ，n ∈N*；（2）证明：b n ==，数列{b n }前n 项和为S n ，由＜=﹣，可得S n ＜1﹣0+﹣1+﹣+…+﹣==，由＞=﹣，可得S n ＞﹣1+﹣+…+﹣=﹣1=﹣1，则﹣1＜S n ＜成立．21．已知椭圆C ：，左焦点，且离心率（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m （k ≠0）与椭圆C 交于不同的两点M ，N （M ，N 不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I ）由题设知c=，，由此能求出椭圆C 的方程．（II ）设M （x 1，y 1） N （x 2，y 2），右顶点A （2，0），，由以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ，知（2﹣x 2）（2﹣x 1）+y 1y 2=0，由y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2，知4+（km ﹣2）（x 1+x 2）+（1+k 2）x 1x 2+m 2=0．把y=kx+m 代入椭圆方程，得（+k 2）x 2+2kmx+m 2﹣1=0，再由韦达定理结合题设条件能求出该定点坐标．【解答】（I ）解：∵椭圆C ：，左焦点，且离心率，∴c=，，∴a=2，b 2=4﹣3=1，∴椭圆C 的方程．（II ）证明：设M （x 1，y 1） N （x 2，y 2）， 右顶点A （2，0），∵以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ， ∴（2﹣x 2）（2﹣x 1）+y 1y 2=0，∵y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2 ∴4+（km ﹣2）（x 1+x 2）+（1+k 2）x 1x 2+m 2=0 ①把y=kx+m 代入椭圆方程，得+（kx+m ）2=1，整理，得（+k 2）x 2+2kmx+m 2﹣1=0，所以x 1x 2=，x 1+x 2=﹣，②把②入①，得4+（km﹣2）•（﹣）+（1+k2）•+m2=（5m2+16km+12k2）÷（1+4k2）=（m+2k）（5m+6k）÷（1+4k2）=0所以m+2k=0 或者 m+k=0当m+2k=0时，直线y=kx﹣2k恒过点（2，0）和A点重合显然不符合当m+k=0时直线恒过点（，0）符合题意所以该定点坐标就是（，0）．22．设函数f（x）=x2+bln（x+1）．（Ⅰ）若对定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若b=﹣1，证明对任意的正整数n，不等式成立．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由x+1＞0，得f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．因为对x∈（﹣1，+∞），都有f（x）≥f（1），所以f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0由此能求出b．（Ⅱ）由，函数f（x）在定义域上是单调函数，知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（_1，+∞）上恒成立．由此能求出实数b的取值范围．（Ⅲ）当b=1时，函数f（x）=x2﹣ln（x+1）．令h（x）=f（x）﹣x3=﹣x3+x2﹣ln（x+1），则．由此入手能够证明．【解答】解：（Ⅰ）由x+1＞0，得x＞﹣1．∴f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．…因为对x∈（﹣1，+∞），都有f（x）≥f（1），∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0．…，∴2+=0，解得b=﹣4．…经检验，b=﹣4时，f（x）在（﹣1，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增．f（1）为最小值．故得证．…（Ⅱ）∵=，又函数f（x）在定义域上是单调函数，∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（_1，+∞）上恒成立．…若f′（x）≥0，则2x+≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，即b≥﹣2x2﹣2x=﹣2（x+）2+恒成立，由此得b；…若f′（x）≤0，则2x+≤0在（﹣1，+∞）上恒成立，即b≤﹣2x2﹣2x=﹣2（x+）2+恒成立．因在（﹣1，+∞）上没有最小值，∴不存在实数b使f′（x）≤0恒成立．综上所述，实数b的取值范围是[）．…（Ⅲ）当b=﹣1时，函数f（x）=x2﹣ln（x+1）．令h（x）=f（x）﹣x3=﹣x3+x2﹣ln（x+1），则=﹣．当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．又h（0）=0，∴当x∈[0，+∞）时，恒有h（x）＜h（0）=0，即x2﹣ln（x+1）＜x3恒成立．故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．…∵k∈N*，∴．取，则有．∴．所以结论成立．…。