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4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y ＝f (x )(a ≤x ≤b )和x 轴之间的图形，叫作函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法 化整为零，以直代曲． 3．定积分的概念设f (x )是在区间[a ，b ]上有定义的函数，在a ，b 之间取若干分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b .记小区间[x k －1，x k ]为Δk ，其长度x k －x k －1记作Δx k ，Δx k 中最大的记作d ，再在每个小区间Δk z k ，作和式：∑k ＝1nf (z k )Δx k . ①如果(不论如何取分点x k 和代表点z k )当d 趋于0时和式①以S 为极限，就说函数f (x )在[a ，b ]上可积，并且说S 是f (x )在[a ，b ]上的定积分，记作S ＝⎠⎛a bf (x )d x .4．微积分基本定理如果f (x )是在[a ，b ]上有定义的连续函数，F (x )在[a ，b ]上可导并且F ′(x )＝f (x )， 则⎠⎛a bf (t )d t ＝F (b )－F (a )．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf (x )d x 的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bf (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .4．如图所示，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf (x )d x 的值？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3.计算下列定积分：(1) ⎠⎛－13(4x －x 2)d x; (2)⎠⎛12(x －1)5 d x ； (3)⎠⎛12(t ＋2)d x; (4)⎠⎛121x (x ＋1)d x . [自主解答] (1)取F (x )＝2x 2－x 33，因为F ′(x )＝4x －x 2，所以⎠⎛－13(4x －x 2)d x ＝F (3)－F (－1)＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203. (2)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝F (2)－F (1)＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (3)取F (x )＝(t ＋2)x ，因为F ′(x )＝t ＋2， 所以⎠⎛12(t ＋2)d x ＝F (2)－F (1) ＝2(t ＋2)－(t ＋2)＝t ＋2.(4)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln x x ＋1， 则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1d x ＝F (2)－F (1)＝ln 43.运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．1．计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ； (2) ⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ； (3) ⎠⎛0π (sin x －cos x )d x ； (4) ⎠⎛02|1－x |d x . 解：(1)取F (x )＝x 3－x 2＋x ， 则F ′(x )＝3x 2－2x ＋1.∴⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝F (3)－F (－1)＝24.(2)取F (x )＝12x 2－ln x ，则F ′(x )＝x －1x .∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝F (2)－F (1)＝32－ln 2. (3)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x .∴⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(4)∵|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，0＜x ＜1，x －1，1＜x ＜2，∴取F 1(x )＝x －12x 2,0＜x ＜1，F 2(x )＝12x 2－x,1＜x ＜2，则F 1′(x )＝1－x ，F 2′(x )＝x －1.∴⎠⎛02|1－x |d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝1.已知函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[自主解答] 因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 取F (x )＝a3x 3＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝F (1)－F (0)＝a 3＋c ＝ax 20＋c . 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． 即x 0＝33.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．2．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 取F 1(x )＝12ax 2＋bx ，∴F 1′(x )＝f (x )．则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ， 取F 2(x )＝13ax 3＋12bx 2且F 2′(x )＝ax 2＋bx ，则⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝F 2(1)－F 2(0)＝13a ＋12b ，由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176.解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以直线y ＝－x ＋2与抛物线 y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛－32(6－x －x 2)d x ，取F (x )＝6x －12x 2－13x 3，则F ′(x )＝6－x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (－3)＝1256.若将本例中“直线y ＝－x ＋2”换为“抛物线y ＝3－34x 2”，如何求解？解：如图所示，设所求图形面积为S ，S ＝⎠⎛－22⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3－34x 2－()x 2－4d x ＝⎠⎛－22⎝⎛⎭⎫7－74x 2d x ， 取F (x )＝7x －712x 3，则F ′(x )＝7－74x 2，∴S ＝F (2)－F (－2)＝563.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．3．求曲线y ＝e x ，y ＝e－x及直线x ＝1所围成的图形的面积．解：由图可知，积分区间为[0,1]，面积S ＝⎠⎛10()e x －e －x d x ，取F (x )＝e x ＋e －x ， 则F ′(x )＝e x －e －x ， ∴S ＝F (1)－F (0)＝e ＋1e－2.变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．[自主解答] 当0≤t ≤1时，v (t )≥0， 当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程 S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t取F 1(t )＝t －13t 3，F 2(t )＝13t 3－t ，S ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝2.2秒末所在的位置：x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t ＝13. 即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x 1＝13.1．有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为 (1)若v (t )≥0(a ≤t ≤b )，则s ＝⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . (2)若v (t )≤0(a ≤t ≤b )， 则s ＝－⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(3)在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上，v (t )<0， 则s ＝⎠⎛a cv (t )d t －⎠⎛c bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . 2．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)，功的单位才为焦耳(J)．4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°角的方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433JD ．2 3 J解析：W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3⎪⎪⎪21＝433(J)． 答案：C求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．法一：选x 作为积分变量，由图可看出S ＝A 1＋A 2.在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以S A 1＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x .取F 1(x )＝23x 32，∴S A 1＝22[F 1(2)－F 1(0)]＝163. S A 2＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x ， 取F 2(x )＝4x －12x 2＋223x 32.∴S A 2＝F 2(8)－F 2(2)＝383. ∴S ＝163＋383＝18.法二：选y 作积分变量， 将曲线方程写为x ＝y 22及x ＝4－y .S ＝2-4⎰⎣⎡⎦⎤(4－y )－y 22d y . 取F (y )＝4y －y 22－y 36，∴S ＝F (2)－F (－4)＝30－12＝18.1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：取F (x )＝x 2＋e x，则F ′(x )＝2x ＋e x，⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝F (1)－F (0)＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e.答案：C2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：取F (x )＝12gt 2，则F ′(x )＝gt ，所以电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝F (2)－F (1)＝2g －12g ＝32g . 答案：C3．s 1＝⎠⎛01x d x ，s 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．s 1＝s 2B ．s 21＝s 2C ．s 1>s 2D ．s 1<s 2解析：⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x ∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以s 1>s 2.答案：C4.⎠⎛－12x 4d x ＝________.解析：∵⎝⎛⎭⎫15x 5′＝x 4，取F (x )＝15x 5， ∴⎠⎛－12x 4d x ＝F (2)－F (－1)＝15[25－(－1)5]＝335. 答案：3355．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 解析：取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ， ∴⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝F (1)－F (0)＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案：16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝⎛⎭⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)， 故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝⎛⎭⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.一、选择题1.⎠⎛241x d x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：S ＝⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2， 则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9. ∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.答案：C4．定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2， 取F 1(x )＝13x 3－x 2，F 2(x )＝－13x 3＋x 2， 则F 1′(x )＝x 2－2x ，F 2′(x )＝－x 2＋2x .∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20 (x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝F 1(0)－F 1(－2)＋F 2(2)－F 2(0)＝8.答案：D二、填空题5．函数y ＝x －x 2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________．解析：由x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝1.因此所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x . 取F (x )＝12x 2－13x 3， 则F ′(x )＝x －x 2，∴面积S ＝F (1)－F (0)＝16. 答案：166．设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a 0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：⎠⎛0af ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：17．计算⎠⎛02(2x －e x )d x ＝________. 解析：取F (x )＝x 2－e x ，则F ′(x )＝2x －e x ，所以⎠⎛02(2x －e x )d x ＝F (2)－F (0)＝5－e 2. 答案：5－e 28．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x . 取F (x )＝ln x ＋x 2＋e 2x ，则F ′(x )＝1x ＋2x ＋2e 2x ，所以⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝F (e)－F (1)＝e 2e . 答案：e 2e三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x d x ； (2)⎠⎛01x 1＋x 2d x .解：(1)取F (x )＝2xln 2－2x ， 则F ′(x )＝2x －1x . ∴原式＝F (4)－F (1)＝⎝⎛⎭⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. (2)取F (x )＝12ln(1＋x 2)，则F ′(x )＝x 1＋x 2. ∴⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝F (1)－F (0)＝12ln 2.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)． ∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)． 取F (x )＝x 2－13x 3，则F ′(x )＝2x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (0)＝43.。
[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一 导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).思考 函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二 微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？ 答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分. (1)3d x ；(2)(2x ＋3)d x ； (3) (4x －x 2)d x ；(4)(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以3d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以 (x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a ). (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分： (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(2)x (1＋x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122d x ＋⎠⎛121x2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21＝13×(23－13)＋2×(2－1)－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝296. (2)⎠⎛49x (1＋x )d x＝⎠⎛49(x ＋x )d x＝⎝⎛⎭⎫23x x ＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝⎛⎭⎫23×9×3＋12×92－⎝⎛⎭⎫23×4×2＋12×42 ＝2716. 题型二 求分段函数的定积分 例2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2)，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.解 由定积分的性质知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪10＋x 33⎪⎪⎪21＋2x ln 2⎪⎪⎪32＝14＋83－13＋8ln 2－4ln 2 ＝3112＋4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分： (1)⎠⎛02|x 2－1|d x ；(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .解 (1)∵y ＝|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，0≤x ＜1，x 2－1，1≤x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2.(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝⎝⎛⎭⎫22＋22－1＋(－1)－⎝⎛⎭⎫－22－22 ＝22－2.题型三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.反思与感悟 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x ＋sin x d x 等于( )A.2(2－1)B.2＋1C.2－1D.2－2答案 C解析 结合微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π4cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π40＝2－1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x ＝12x 2⎪⎪⎪ 10＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪ 10＝12＋1＝32，⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1，⎠⎛0112d x＝12x ⎪⎪⎪10＝12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪20－x 23⎪⎪⎪20＝83－43＝43. 4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫3x －x 22⎪⎪⎪21＝176.5.已知函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66 f (x )d x ＝ .答案 16解析 因为函数f (x )为偶函数， 且⎠⎛06f (x )d x ＝8，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y ＝⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.－sin xC.cos x －1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′＝cos x ，⎠⎛0x cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪x0＝sin x ，故选A. 2.若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )＝13x 3B.F (x )＝x 3C.F (x )＝13x 3＋1D.F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3. ⎠⎛－40|x ＋2|d x 等于( )A. ⎠⎛－40 (x ＋2)d xB. ⎠⎛－40 (－x －2)d xC.⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－202(－x －2)d xD.⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴⎠⎛－40|x ＋2|d x ＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x .故选D.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.－23 答案 B解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋x |10＝13＋1＝43，故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2－1 C.2 D.π－24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 6.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1＜S 2＜S 3B.S 2＜S 1＜S 3C.S 2＜S 3＜S 1D. S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.二、填空题7.⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝ .答案 π2解析 ⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积， 即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2|1－1＝0，∴⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝π2.8.若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝ 13x 3⎪⎪⎪t 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 9.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0＝ .答案33解析 由⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，得⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.故填33. 10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝ .答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3⎪⎪⎪a＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛01bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.即f (x )＝4x ＋3. 12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解 由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.13.求定积分⎠⎛－43|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛－43(x ＋a )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛－a3 (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a－4＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛－43[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪3-4＝－7a ＋72. 综上，得⎠⎛－43|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。
定积分与微积分基本定理教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义．求简单的定积分,微积分基本定理的应用教学难点：定积分的概念、求曲边图形面积．一．定积分的概念回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程等问题的解决方法，这几个问题都有什么共同点呢？分割→以直代曲→求和→取极限（逼近一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，分割 用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=）， 以直代曲 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，每份小曲边梯形的面积近似为()i f x ξ∆ 求和：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑取极限 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
思考 定积分()baf x dx ⎰是一个常数还是个函数？即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．常见定积分 曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr=⎰理解 本来 面积=底⨯高 路程=速度⨯时间 功=力⨯位移因为都是不规则的，所以都用先分割，再以直代曲，这样就可以相乘了，再求和 ，再取极限。
二．定积分的几何性质 定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，。
知识要点梳理1.一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I 上的连续曲线。
2 .以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤:①分割,②近似代替,③求和,④取极限. 3. 定积分的定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上图像是连续曲线，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[a,b]等分成n 个小区间。
在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ= 作和式11()()nni i i i b af x f n ξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限趋近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[a,b]上的定积分。
记作:⎰b a dx )x (f 。
即⎰b a dx )x (f =)(f n ab lim i n 1i n ξ-∑=∞→. 其中f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式，b,a 分别叫做积分上限和下限，区间[a,b]叫做积分区间。
4.定积分的几何意义: ⎰badx )x (f 表示介于x 轴,曲线y=f(x),与直线x=a,x=b 之间部分的曲边梯形面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积取负号.(如下图（1）、（2）5.微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式):如果f(x)是区间[a,b]上图象是连续不断的函数,并且F ˊ(x)=f(x),那么⎰ba dx )x (f =F(x)|ba =F(b)-F(a).其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。
6.定积分的性质:①⎰⎰=babadx )x (f k dx )x (kf ,(其中k 为常数);②⎰⎰⎰±=±bababadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [;③⎰⎰⎰+=bc cabadx )x (f dx )x (f dx )x (f (其中a<b<c)。
定积分与微积分基本定理教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义．求简单的定积分,微积分基本定理的应用教学难点：定积分的概念、求曲边图形面积．一．定积分的概念回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程等问题的解决方法，这几个问题都有什么共同点呢？分割→以直代曲→求和→取极限（逼近一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，分割 用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=）， 以直代曲 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，每份小曲边梯形的面积近似为()i f x ξ∆ 求和：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑取极限 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
思考 定积分()baf x dx ⎰是一个常数还是个函数？即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．常见定积分 曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr=⎰理解 本来 面积=底⨯高 路程=速度⨯时间 功=力⨯位移因为都是不规则的，所以都用先分割，再以直代曲，这样就可以相乘了，再求和 ，再取极限。
二．定积分的几何性质 定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()yf x 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，。
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S 吗？求曲边梯形的面积：dx x g x f S ba ))()((⎰-=（两曲线所围面积）；典例题一、用定义计算定积分 例1．计算定积分221x dx ⎰根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()ba kdx kb a =-⎰；性质2()()()bba a kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；性质31212[()()]()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；性质4()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）()0aaf x dx =⎰；试从运算过程和几何性质两方面给予解释。
说明：①推广： 1212[()()()]()()()bb bbm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰三、微积分基本定理思考 ：微积分与导数都应用了无限接近，求极限的方法，这两者之间有什么关系呢？设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 1、 任意一刻的速度v(t)就是S(t)的导函数2、物体在时间间隔12[,]T T 经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰，另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，那岂不是有21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -？对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()b af x dx F b F a =-⎰？ 用()f x 的原函数的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分 定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()b b a af x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．典型题一、基本定积分的计算例1．计算下列定积分： （1）211dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x-⎰已知t ＞0，若（2x ﹣2）dx=3，则t=（ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 3或﹣1分析：首先利用定积分求出关于t 的方程，然后解一元二次方程求出t ，注意t ＞0． 解答：解：由（2x ﹣2）dx=（x 2﹣2x ）|=t 2﹣2t=3，解得t=3后者t=﹣1， 因为t ＞0； 所以t=3； 故选A ． A 变式2cosxdx=（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3分析： 直接利用定积分的运算法则求法求解即可． 解答：解：cosxdx=sinx=1﹣0=1．故选：B ．计算：=（ ）A ． 2B ． 4C ． 8D ． 12考点： 定积分． 专题： 导数的综合应用． 分析： 求出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限后作差得答案． 解答：解：===4．已知20π⎰（sinx-acosx ）dx=2，则实数a 等于（ ）B 变式1 sin 2xdx=（ ）A ． 0B ．﹣C ．D ．﹣1分析： 根据微积分基本定理计算即可 解答：解： sin 2xdx=dx=（x ﹣ sin2x ）=（﹣sinπ﹣0﹣0）=，故选：CB 变式2cos 2xdx=（ ）典型题二、 分段函数的定积分 例题 已知函数，则的值为（ ）A ．B ． 4C ． 6D ．分析： 原式分解为x 2在区间[﹣2，0]上的积分与x+1在区间[0，2]上的积分之和，再分别用积分公式求出它们的原函数，最后利用定积分的运算法则进行计算，即可得到原式的值． 解答：解：==（x 2+x+C 1）+（+C 2），（其中为C 1、C 2常数） =[（）﹣（）]+[（）﹣（）]=4+=故选DA 变式1设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A 变式2301x dx⎰-四、用定积分计算围成图形面积。
例2．计算下列定积分：220sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1 . 6 一 3 ( 2 ）（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．图形在x 轴下方时，定积分的值计算后加绝对值才等于曲边梯形面积。
函数值如果有正有负，则计算定积分时应该分开算。
【典型例题】用定积分计算围成图形面积例1（1）由抛物线x y =2和直线x =1所围成的图形的面积等于 （ ）利用对称性可以简化运算例题2 求由抛物线28(0)y x y =>与直线6x y +=及0y =所围成图形的面积.在图形的不同部分函数关系式不一样。
分几段求。
1.找出分界点2.写出每一段的函数关系式例题3 如图，阴影部分的面积是（）两条曲线围成图形，一条在另一条上方，函数即为()()f xg x-（上方函数-下方函数）A变式1曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）分析：先求出曲线y=x3与y=x的交点坐标，得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一象限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三象限的面积，从而求出所求．解答：解：曲线y=x3与y=x的交点坐标为（0，0），（1，1），（﹣1，﹣1）曲线y=x3与直线y=x在第一象限所围成的图形的面积是==根据y=x3与y=x都是奇函数，关于原点对称，在第三象限的面积与第一象限的面积相等∴曲线y=x3与y=x所围成的图形的面积为故选BA变式2图中y=3﹣x2与y=2x阴影部分的面积是（）例1（2）A ．B ．9﹣C ．D ．分析： 求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限，分别对三部分进行积分求和即可．解答： 解：直线y=2x 与抛物线y=3﹣x 2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x 2与x 轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s ，则==所以阴影部分的面积为 ，故选C ．A 变式3求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积。
A 变式 4求32y x y x ==与围成的图形面积A 变式4如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________B 变式 1 例7．求由x y 42=与直线42-=x y 所围成图形的面积B 变式2图中，阴影部分的面积是（ ）A ． 16B ． 18C ． 20D ． 22 分析： 从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x 轴的垂线把阴影部分分为S 1，S 2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积． 解答： 解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x 轴的垂线把阴影部分分为S 1，S 2两部分，分别求出它们的面积A 1，A 2：A 1=∫02[]dx=2 dx=，A 2=∫28[]dx=所以阴影部分的面积A=A 1+A 2==18故选B ．B 变式3. 已知抛物线y=x 2-2x 及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为34，求a 的值．B.变式4 如图，求由两条曲线2x y -=，24x y -=及直线y = -1所围成图形的面积．典型题 用几何法求定积分 例题 定积分dx 的值为（ ） A ．B ．C ．﹣1D ．﹣1分析： 根据定积分的几何意义，求定积分． 解答：解：由定积分的几何意义，例2图dx为图中阴影部分的面积，dx=；故选C．A变式1．计算（1+）dx的结果为（）A．1 B．C．1+D．1+分析：由定积分的公式和定积分的几何意义计算可得．解答：解：（1+）dx=1dx+dx=1+dx ∵由定积分的几何意义可知dx表示圆x2+y2=1在第一象限的面积，即单位圆的四分之一，∴dx=×π×12=，∴（1+）dx=1+，故选：CA变式2计算：（x2+）dx= ．A变式3计算：= π．分根据y=表示x轴上方的半圆，可得dx=，利用析：=2 dx﹣sinxdx，即可求得结论．解解：∵y=表示x轴上方的半圆，答：∴dx=∴=2 dx﹣sinxdx=2×﹣（﹣cosx）=π﹣0=π．故答案为：π首先利用定积分的运算法则将所求转化为和的积分，然后分别求原函数代入求值．分析：解解：（x2+）dx==|+=答：；故答案为：．典型题定积分的实际应用例题一物体沿直线以v=t2+3（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度运动，则该物体在1～4s间行进的路程是A变式1 一个物体作变速直线运动，速度和时间关系为v（t）=4-t2 m/s，则该物体从0秒到4秒运动所经过的路程为A变式2 若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为（），f为力，x为伸长长度）（提示：f kxA变式3.如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（）B变式1 汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。
