第五章平面图形几何性质(讲稿)
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《平面的基本性质》课件
平面不能被弯曲或折叠，始终保持平直。
无厚度
平面没有高度，只具有长度和宽度。
由无数个线段组成
平面由无数条线段相连组成，形成各种图形。
平面的基本性质
1
平面上的直线相互作用的规定
2
平面上的直线可以平行、垂直或有其
他特定的相
角度是指由两个线段或直线围成的空 间。
平面上的点与直线的关系
总结
1 明确平面的特征与定义
了解平面的基本性质，包括无限大、无厚度和无法折叠曲折。
2 控制平面的性质和规则
理解平面上的点与直线的关系，以及角度和夹角的度量规则。
3 应用平面知识到实际中
将平面的应用领域应用到不同领域，如地理学、图形设计和工程学。
点和直线可以在平面上相互交叉、相 连或相切。
平面上直线的夹角
夹角是指两条直线在平面上的交叉程 度，可以是锐角、直角或钝角。
平面的相关性质
垂直、平行
垂直的线段间的夹角为90度， 平行线始终保持相同的距离。
完美相等与相似的关系
相等的图形的线段和角度完全 相同，相似的图形只需保持比 例关系。
角度的度量与求和
《平面的基本性质》PPT 课件
本课件详细介绍了平面的基本性质，包括定义、特征和应用。通过丰富的布 局和图像，旨在使演示内容更加生动有趣。
平面的定义
平面是指由无限个线段组成的，并且没有厚度的二维图形。与几何体相比，平面只有两个维度。
平面的特征
无限大
平面在两个方向上是无限延展的，没有边界 限制。
无法折叠曲折
角度通过度量单位（如度或弧 度）来表示，多个角度可以相 加为一个新角度。
平面的应用
地理学中的平面
地图是平面的应用之一，用于表示地球表面 的二维信息。
无厚度
平面没有高度，只具有长度和宽度。
由无数个线段组成
平面由无数条线段相连组成，形成各种图形。
平面的基本性质
1
平面上的直线相互作用的规定
2
平面上的直线可以平行、垂直或有其
他特定的相
角度是指由两个线段或直线围成的空 间。
平面上的点与直线的关系
总结
1 明确平面的特征与定义
了解平面的基本性质，包括无限大、无厚度和无法折叠曲折。
2 控制平面的性质和规则
理解平面上的点与直线的关系，以及角度和夹角的度量规则。
3 应用平面知识到实际中
将平面的应用领域应用到不同领域，如地理学、图形设计和工程学。
点和直线可以在平面上相互交叉、相 连或相切。
平面上直线的夹角
夹角是指两条直线在平面上的交叉程 度，可以是锐角、直角或钝角。
平面的相关性质
垂直、平行
垂直的线段间的夹角为90度， 平行线始终保持相同的距离。
完美相等与相似的关系
相等的图形的线段和角度完全 相同，相似的图形只需保持比 例关系。
角度的度量与求和
《平面的基本性质》PPT 课件
本课件详细介绍了平面的基本性质，包括定义、特征和应用。通过丰富的布 局和图像，旨在使演示内容更加生动有趣。
平面的定义
平面是指由无限个线段组成的，并且没有厚度的二维图形。与几何体相比，平面只有两个维度。
平面的特征
无限大
平面在两个方向上是无限延展的，没有边界 限制。
无法折叠曲折
角度通过度量单位（如度或弧 度）来表示，多个角度可以相 加为一个新角度。
平面的应用
地理学中的平面
地图是平面的应用之一，用于表示地球表面 的二维信息。
数学教案：平面图形的性质与判断
数学教案：平面图形的性质与判断一、平面图形的基本概念与分类平面图形是我们日常生活中经常接触到的，如矩形、三角形、圆形等。
在数学中，我们可以通过对平面图形的性质与判断来深入理解它们，并应用于解决实际问题。
本教案将重点介绍平面图形的性质与判断，帮助学生掌握正确的判定方法。
1.1 平面图形的定义及分类首先，让我们回顾一下平面图形的定义。
平面图形是由点和线段构成的简单封闭几何体。
其中，点是没有大小和方向的，在表示几何体时通常用大写字母表示；而线段是连接两个点并有有限长度的直线。
根据边的数量和长度关系，我们可以将平面图形分为以下几类：1. 直线：由无限多个点组成, 两端没法标记.2. 封闭曲线：由无限多个连续且相邻点组成, 同时起始点和终止点相同。
3. 多边形：由若干条线段依次连接而成，并且首尾相连。
4. 弧：由一段曲线所夹区域内部，并且具有两个端点。
了解了这些基本概念后，我们可以更好地进行平面图形的性质判断。
二、平面图形的性质与判断方法2.1 线段和角的基本性质线段是平面图形中最基本的元素之一。
在判断线段时，我们需要考虑它的长度、方向和相互之间的关系。
1. 长度关系：两条线段长度的大小可以通过直接比较或使用数值进行判定。
例如，对于线段AB和线段CD来说，若AB > CD，则可断定AB比CD长；若AB = CD，则AB和CD长度相等。
2. 方向关系：根据线段上两个点之间的位置关系，可以得出线段之间是否平行、垂直或任意方向。
在角度判断方面：1. 直角：定义为90度角，两条直线垂直交汇形成一个直角。
2. 锐角：小于90度的角称为锐角。
3. 钝角：大于90度小于180度（半周）的角称为钝角。
4. 平行: 若两条直线上一点与另一线上两点连成相等边分别满足兩個邊連成兩直線且有唯少一點剛好和連成那單位距離時有平行比训练。
（各點遙距如輸入，直接從出线量上断寸之世孰小。
）2.2 多边形的性质与判断多边形是由若干个线段依次连接起来的简单平面图形。
《材料力学》课程讲解课件附录I平面图形几何性质
解：
y
d
S x
yd A
A
2 yb( y) d y
0
b(y)
C
xc
yc
d
2 y2
R2 y2 d y d3
0
12
x
d
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
b( y) 2 R2 y2
29
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
y
2、求对形心轴 xc 的惯性矩
Ix
πd 4 64 2
3、惯性积是对轴而言。
y
z
dA
4、惯性积的取值为正值、负值、零。
y
5、规律：
o
z
20
5、规律：
Izy
zydA
A
0
y
dA z z dA
y
y
z
o
两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则 图形这一对坐标轴的惯性积为零。
21
对比记忆 静矩、形心；惯矩和惯性半径；它们都是反映截
面面积关于坐标轴分布情况的物理量。 静矩=（面积）（形心坐标） 惯矩=（面积）（惯性半径）2
z
o
dA y
z
全面积对z轴的惯性矩: I z y2dA,
2 z2 y2
全面积对y轴的惯性矩: I y A z2dA
A
15
Iz y2dA, I y z2dA
A
A
y
z
dA
y
o
z
2、量纲：［长度］4；单位：m4、cm4、mm4。 2 z2 y2
3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。
A
《平面图形》说课稿范文（精选5篇）
《平面图形》说课稿范文（精选5篇）《平面图形》说课稿范文（精选5篇）作为一名为他人授业解惑的教育工作者，通常需要准备好一份说课稿，借助说课稿可以更好地组织教学活动。
如何把说课稿做到重点突出呢？下面是小编为大家整理的《平面图形》说课稿范文（精选5篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
《平面图形》说课稿1一、教学内容分析：在学完4.1——4.3这三小节的学习，学生意识到立体图形是由平面图形围成的、因此此时学生的心中有一种意犹未尽的感觉，他们希望有对所学知识作进一步探究及讨论的机会，因此平面图形这一节课由此而产生、平面图形是建立在学生具有一定空间观念基础上，对有关图形知识的一个再知过程。
它是对学生空间观念，基本图形知识以及动手操作能力的一种综合培养。
首先课本p140页图4.4.1给出了5幅形状各异的物体照片，向学生提问是否能画出它们的表面形状。
并让学生举出类似的例子，由此引起学生的好奇心，激发学生的学习兴趣。
其次，由学生动手得出的5个图形，引出多边形的定义以及多边形的分类。
然后，让学生通过观察7个图形，思考当中那些是四边形，由四边形巩固并加深多边形，接着让学生展开充分的讨论与交流完成多边形的分割。
最后的试一试以实际生活中的一些优美图案结尾，让学生找出其中的的平面图形，刚好与刚上课时的图4.4.1遥向对应，再次激起学生的探究学习的兴趣。
二、目标的设定与重难点的确立：根据新课程标准的目标之一：“要使学生具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。
”在教学设计上，通过创设的丰富背景，激发学生的学习兴趣和探究欲，引导学生积极参与和主动探索，并在实践中积累教学活动经验，发展有条理的思考。
由于在平面图形这节课中，除了要学习多边形的相关内容是重点外，还要经常识别图形或画图，因此观察并分析出图形的基本构成是平面图形这节课的关键，也是本课的难点所在，也是本节课学生所要达到的能力目标。
课程目标：1、通过平面图形的学习，巩固有关图形知识，进一步建立空间观念。
平面图形的几何性质
——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。
定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。
如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。
设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
初中数学教案：平面几何的基本概念与性质
初中数学教案：平面几何的基本概念与性质平面几何的基本概念与性质一、引言平面几何是数学中重要的一个分支，涉及到我们日常生活中许多实际问题的解决。
通过研究平面几何的基本概念与性质，我们能够进一步理解和应用几何知识。
本教案将介绍初中数学中平面几何的基本概念与性质，并通过具体例题进行辅助说明。
二、点、线、面1. 点：点是平面上最简单的图形，无长宽厚度。
2. 线：线由无数个点连成，表示长度无限延伸。
- 直线：直线上任意两点可相连得到唯一一条直线。
- 射线：起点为原点O，方向由起点出发再向某个方向延伸；射线用OA来表示，A为某一确定点。
- 线段：有两个端点A和B确定，在这两个端点之间包含所有这样的点。
三、角1. 角度是衡量空间中物体开会程度大小的物理量。
2. 角分为以下几类：- 零角：指两条射线共享同一个起始位置。
- 锐角：小于90°的角。
- 直角：等于90°的角。
- 钝角：大于90°但小于180°的角。
四、平行线和垂直线1. 平行线：两条直线在同一平面上，且永不相交，被称为平行线。
2. 垂直线：两条直线相交成直角时，称这两条直线互相垂直。
五、多边形1. 多边形是由若干个连续的线段围成的图形。
2. 常见的多边形有三角形、四边形、五边形等。
其中最基本的是三角形。
六、三角形1. 三角形是指由3个端点和3条边相连接而成的图像。
2. 三角形按照边长可以分为等腰三角形和非等腰三角形。
- 等腰三角形：两个边长相等的三角形。
- 非等腰三角形：所有边长都不相等的三角形。
3. 三角形按照内部夹角可以分为锐角三角形、钝角三角形和直角三态明杠方框ytlingerạng。
- 锐头唱跳情侣到广州荔枝湾,它高高地升到70米左右，再也没上来过- 钝角三角形：包含一个钝角（大于90°）的三角形。
- 直角三角形：包含一个直角（等于90°）的三角形。
七、四边形1. 四边形是指由4条线段围成的图像。
材料力学附录I 平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩
i1
i1
i1
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
例I-4-1：已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，
求其对过顶点的与底边平行的x2轴的所以不
x2
能直接使用平行移轴公式，需先求出 三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对
h xC
h/3
x1
x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴
I
A2 zc
60 1003
12
50 44.72
60 100
404 64
50 44.7
202
202
4.24106 mm4
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-5 转轴公式 主惯性轴*
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
y
x1 y1
x cos y sin x sin y cos
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
y
1．先求截面的 形心轴
A2
取参考坐标系如图，则：
A1
zc
yc
60100 50 60 100
202 202
70
44.7mm
yc z 2．求截面对形心轴的惯性矩：
I yc
Iy
100 603 12
404 64
1.67 106 mm4
I zc
I A1 zc
12
64 4
d
y
yC
x1
I
yC
I
矩xC
I圆xC
(1.5d )32d 12
d 4
64
0.513
d
4
I xCyC0
2d
O
xC yC轴便是形心主轴
x xC
I xC、I yC便是形心主惯性矩
平面的基本性质课件
边相等、角相等的多边形。
性质
正n边形的内角和总是等于(n-2) × 180度。
三角形及其性质
1
定义
由三条线段连接的图形。
2
等边三角形
三条边相等的三角形。
3
等腰三角形
两边相等的三角形。
直角三角形及其性质
定义 勾股定理 特殊直角三角形
一个角为90度的三角形。 直角三角形的斜边的平方等于两腰的平方和。 45-45-90三角形和30-60-90三角形。
平面上任意两点可确定一条直线，平面上的三个点不共线，可确定一个平面，且任意两 个平面相交于一条直线。
3 平行性质
平面上的两条直线要么相交于一点，要么平行。
平面图形的分类
三角形
由三条线段连接的图形。
四边形
由四条线段连接的图形。
圆
由一个固定点到平面上任意一点 的距离相等的点的集合。
正多边形及其性质
定义
运用平面图形基本性质的例题
通过解决一些实际问题，我们将学习如何运用平面图形的基本性质。
平面的基本性质ppt课件
这个PPT课件将帮助您了解平面的基本性质，包括平面的定义和分类，各种图 形及其性质，三角形的角度定理，四边形的性质以及圆的性质和周长面积计 算。
什么是平面？
平面是一个无限延伸的二维空间，由无数个点和直线组成。
平面的基本定义和性质
1 定义
平面由至少三个不共线的点确定。
2 性质
四边形及其性质
定义
由四条线段连接的图 形。
正方形
四条边相等，四个角 都是90度。
矩形
有四个角都是90度的 四边形。
平行四边形
没有角度为90度的四 边形。
圆及其性质
性质
正n边形的内角和总是等于(n-2) × 180度。
三角形及其性质
1
定义
由三条线段连接的图形。
2
等边三角形
三条边相等的三角形。
3
等腰三角形
两边相等的三角形。
直角三角形及其性质
定义 勾股定理 特殊直角三角形
一个角为90度的三角形。 直角三角形的斜边的平方等于两腰的平方和。 45-45-90三角形和30-60-90三角形。
平面上任意两点可确定一条直线，平面上的三个点不共线，可确定一个平面，且任意两 个平面相交于一条直线。
3 平行性质
平面上的两条直线要么相交于一点，要么平行。
平面图形的分类
三角形
由三条线段连接的图形。
四边形
由四条线段连接的图形。
圆
由一个固定点到平面上任意一点 的距离相等的点的集合。
正多边形及其性质
定义
运用平面图形基本性质的例题
通过解决一些实际问题，我们将学习如何运用平面图形的基本性质。
平面的基本性质ppt课件
这个PPT课件将帮助您了解平面的基本性质，包括平面的定义和分类，各种图 形及其性质，三角形的角度定理，四边形的性质以及圆的性质和周长面积计 算。
什么是平面？
平面是一个无限延伸的二维空间，由无数个点和直线组成。
平面的基本定义和性质
1 定义
平面由至少三个不共线的点确定。
2 性质
四边形及其性质
定义
由四条线段连接的图 形。
正方形
四条边相等，四个角 都是90度。
矩形
有四个角都是90度的 四边形。
平行四边形
没有角度为90度的四 边形。
圆及其性质
建筑力学 第五章(最终)
dA 2 y dz 2 R2 Z 2dz
于是求得
Sy
z dA
A
R
z
O
2
R2 z2 dz 2 R3 3
2R3
zc
Sy A
3 πR2
4R 3π
2
图5-6
5. 2. 3 组合图形的面积矩计算
当图形是由若干个简单图形（如矩形、圆形和三角形等）组合而成时， 这类图形称为组合图形。由于简单图形的面积及其形心位置均为已知，而且 由面积矩的定义可知，组合图形对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴 面积矩的代数和，即
5.1.2 物体重心的坐标公式
1. 重心坐标的一般公式
设有一物体，如图5-1所示。重心 c 坐 标为(xc，yc，zc)，物体的容重为 γ，总体积 为V。将物体分割成许多微小体积 ΔVi，每 个微小体积所受的重力 PGi Vi ， 其作 用点坐标(xi，yi，zi)。整个物体所受的重力
为 PG PGi 。
n
xc
A1x1c A2x2c An xnc A1 A2 An
Ai xic
i 1 n
Ai
i 1
n
yc
A1 y1c A2 y2c An ync A1 A2 An
Ai yic
i 1 n
Ai
i 1
(5-6)
【例5-1】试求图5-2 所示 Z 形平面图形的形心。
解：将Z 形图形视为由三个矩形图形组合而成，以 c1 、c2 、c3 分别表示 这些矩形的形心。取坐标系如图5-2 所示，各矩形的面积和形心坐标为
5. 2. 2 面积矩与形心的关系
由平面图形的形心坐标公式 (5-4) 和面积矩的定义可得
yc
A
理论力学 第五章 平面图形的几何性质
10
y
2)、求形心
xc
Ax
A
i ci
A1 xc1 A2 xc 2 A1 A2
C2
c(-20.3;34.7)
C1 80
35 1100 20.3(mm) 10 110 80 10
i ci
x
yc
A y
A
A1 y c1 A2 y c 2 A1 A2
60 1100 34.7(mm) 10 110 80 10
§5-3
极惯性矩
y
dA
定义：I p dA
2 A
I p：极惯性矩
极惯性矩恒为正 单位：长度4
x
O
圆截面
d
2
I p A dA
1、实心圆截面——
O
d
I P dA 2 d
2 2 A A
d 2 0
1 4 2 d d 32
y 10
A2 1200mm2 , xc 2 5mm, yc 2 60mm
2)、求形心
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
A1 xc1 A2 xc 2 zc A A1 A2 45 700 5 1200 19.7mm) 700 1200
i ci
Ax
80
2 2 A A 2 A c 2 2 A A
y
I x I xc a 2 A I y I yc b A
2
yc xc
x
b
c
a
y
dA yc
xc
——平行移轴公式
o
x
•图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平 行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距 平方的乘积；
y
2)、求形心
xc
Ax
A
i ci
A1 xc1 A2 xc 2 A1 A2
C2
c(-20.3;34.7)
C1 80
35 1100 20.3(mm) 10 110 80 10
i ci
x
yc
A y
A
A1 y c1 A2 y c 2 A1 A2
60 1100 34.7(mm) 10 110 80 10
§5-3
极惯性矩
y
dA
定义：I p dA
2 A
I p：极惯性矩
极惯性矩恒为正 单位：长度4
x
O
圆截面
d
2
I p A dA
1、实心圆截面——
O
d
I P dA 2 d
2 2 A A
d 2 0
1 4 2 d d 32
y 10
A2 1200mm2 , xc 2 5mm, yc 2 60mm
2)、求形心
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
A1 xc1 A2 xc 2 zc A A1 A2 45 700 5 1200 19.7mm) 700 1200
i ci
Ax
80
2 2 A A 2 A c 2 2 A A
y
I x I xc a 2 A I y I yc b A
2
yc xc
x
b
c
a
y
dA yc
xc
——平行移轴公式
o
x
•图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平 行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距 平方的乘积；
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第五章平面图形的几何性质
同济大学航空航天与力学学院顾志荣
材料力学的研究对象为杆件，杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。
杆件的承载能力与其横截面图形的一些几何特性有密切的关系。
（小实验）
研究平面图形几何性质的方法：化特殊为一般图5-27。
实际杆件的横截面：抽象为：
特殊一般
图5-27
1、静矩形心位置
（１）静矩图5-28：
图5-28
微面积dA 与Z 轴、Y 轴间距离的乘积ydA,zdA 分别称为微面积dA 对Z 轴、Y 轴的静矩。
整个截面对Z 轴、Y 轴的静矩可用下式来定义：
（若把A 看作力）
定义：截面A 对Z 轴：
⎪⎭
⎪
⎬⎫==⎰⎰A
y A Z
S
ZdA S ydA （４-1） 截面A 对Y 轴：
计算：①对（４-1）式直接积分：
②若已知截面的形心位置C ，则y Z S S ,可以写成：
⎭
⎬⎫
==c Z c Y AY S AZ S （４-2）
（２）形心的位置：
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬⎫
=
=
A S Z A S Y y C Z C （４-3）
性质：①截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过形心。
②截面对通过形心的轴的静矩恒等于零，即： ;0=ZC S 0=YC S
决定因素：静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。
数值范围：可以为正、或负、或等于零。
单位：333,,m cm mm （３）组合截面的静矩：
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫==∑∑==n i i i y n i i i Z A S Y A z S 11
（４-4） 即组合截面的整个图形对于某一轴的静矩，等于各组部分对于同一轴静矩代数和。
（４）组合截面的形心位置：
（4-5） 例题5-7 求图5-29所示截面图形的形心。
图5-29
解：把T 形看成为由矩形Ⅰ和Ⅱ组成 ∵y 轴是对称轴 ∴形心必在y 轴上
① 求?'=Z S
216002080mm A I =⨯= A Ⅱ=2240020120mm =⨯ mm y c 10=I （到Z ′轴） y c Ⅱ=60+20=80mm
则：31
20800802400101600'mm Y A n
i i
i z s =⨯+⨯==∑=
②求c y
＝？
c y
＝A
s z ＝∑∑==n
i i
n
i i i A Y A 11＝201202080208000⨯+⨯＝52mm 2、惯性矩（形心主惯性矩） 惯性半径 极惯性矩
图5-30
定义：（1）惯性矩
⎪
⎭
⎪
⎬⎫==⎰⎰A y
A Z dA Z I dA y I 2
2
（4-6） 定义为截面对z 轴,y 轴的惯性矩。
（2）形心主惯性矩——若Z 轴经过截面的形心，并取得最大或最小惯性矩，则该轴称为形心主惯性轴。
截面对该轴的惯性矩称为形心主惯性矩，用zc I ，yc I 表示 （3）惯性半径
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
=
=A I i A I i z z y y （4-7）
对于圆形截面 i =4
d
A I = （4）极惯性矩：
⎰=A
p dA I 2ρ （4-8）
定义为截面对坐标原点的极惯性矩。
∵222z y +=ρ ∴z y p I I I += 计算方法：直接积分 例题5-8：惯性矩的计算
①求矩形截面对其对称轴（即形心轴）y 、z 的惯性矩？
图5-31
解：⎰⎰==A h h z bdy y dA y I 22
22
)(
＝
3
3
by 2
2
h
h -＝12
3bh I y ＝⎰A dA Z 2
＝⎰-22
2)(b b hdZ Z
＝33hZ 2
2b b
-＝12
3
hb
②三角形 求其?=Z I
图5-32
解：
D
D y ＝
h y h - y D ＝
D h
y
h ⋅- dA ＝dy D y ⋅ dy D h
y
h y dA y I h
A z ⋅⋅-==⎰⎰0
2
2
=12
3
Dh
③圆形（扇形、1／4圆、1／2圆、全圆） （1）扇形 求其?=Z I
图5-33
解：⎰=A Z dA y I 2
ρθρd d dA ⋅= θρsin ⋅=y
⎰⋅⋅⋅=A
z d d I ρθρθρ2)sin (
=)cos sin (8
4
αα-a R （A ）
（2）1／4圆 ?=Z I
图5-34
解；∵2
π
α=
代入（A ）式即得 16
4
R I z π=
（3）1／2圆 ?=Z I
图5-35
解：∵πα=， 代入式（A ）得
8
4
R I z π=
（4）全圆 ?=Z I
图5-36
解： ∵πα2= 代入（A ）式即得 64
44
4
D R I z ππ=
=
32
24
D I I I I z y z p π=
=+=
性质：（1）同一截面对不同的坐标轴的惯性矩是不相同的。
（2）截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，恒等于它对该两轴
交点的极惯性矩（∵222z y p +=） 决定因素：截面形状、尺寸、轴的位置。
数值范围：惯性矩、惯性半径和极惯性矩的数值恒为正。
单位：惯性矩、极惯性矩的单位相同、均为：,,,444m cm mm 惯性半径：m cm mm ,, 3、平行移轴公式
图5-37
已知：z I 、y I ；zc I 、yc I c y ∥y ， c Z ∥Z （两坐标轴互相平行）
;b y y c += a Z Z c +=
求：z I 、y I ； zc I 、yc I 的关系。
解：⎰=A z dA y I 2
=⎰⎰++=+A c c A c dA b b y y dA b y )2()(222 =⎰⎰⎰++A A c A c dA b dA y b dA y 222 =A b I A b I zc zc 220+=++
由此可见：图形对任意轴的惯性矩=z I 图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩+zc I 图形面积与两轴间距离平方的乘积。
同理可得：
A a I I yc y 2+=
平行移轴公式的运用： 例题5-9 求图示图形的 ?,2=z zc I I
图5-38
解：求zc I
因A b I I zc Z 21+=，即：
23122
3Dh h I Dh zc ⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+= 362912323Dh Dh h Dh I zc =⋅-= （2）求?2=z I
∵21223212
Dh d Dh A d I I z z ⋅+=+= （错！！） 而应该：
A h d I I zc z 2
23⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 注意：移轴一定要对截面形心。