二维随机变量及其分布题目

1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。

2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。

3．设，且P{}=1，求（，）的联合分布律，并指出，是否独立。

4．设随机变量X的分布律为Y=，求（X,Y）联合分布律。

5．设（X,Y）的概率分布为且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。

6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0<P<1）相互独立。

以Y表示中途下车的人数。

（1）求在发车时有n个人的情况下，中途m个人下车的概率；（2）求（X,Y）联合分布律。

7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan) (C+arctan)。

（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度，概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题8.设f(x,y)=为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：其它（1）C的值（2）， (3)P{X+Y1}并判别X与Y是否独立。

为（X,Y）的密度函数，求：9．设f(x,y)=其它(3)P{X>1/2|Y>0}为（X,Y）的密度函数，求10. 设f(x,y)=其它11. 设f(x,y)=为（X,Y）的密度函数，求（）的联合分布其它函数。

12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数。

13. 设f(x,y)=（）为（X,Y）的密度函数，Z=X+Y,求的密度函其它数。

概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题14.设X,Y独立，X~N(μ,),Y~V(-π,π),Z=X+Y,求，结果用Φ( x)表示。

15.设（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)=,Z=X+Y,求Z的概率密度。

为（X,Y）的密度函数，Z=X+2Y,求的密度函数。

第三章二维随机变量及其分布练习题 3.1一、判断题1(X,Y)的分布可确定 X 与 Y 的边缘分布。

()、由2、设、是两个随机变量，则是二维随机变量。

3、设二维随机变量 (,)的联合分布函数为 F (x, y) ，则 F ( x, y)P{x,y} 1 P{x,y} 。

() 4、设二维随机变量(,) 的联合分布函数为 F (x, y) 则，P{ x1x2 , y1y2 } F (x2 , y2 ) F ( x1 , y1 )()5、由( X,Y)的两个边缘分布可确定 ( X ,Y )的联合分布()6、若(X,Y)为离散型二维随机变量，则P{ X a,Y b}P{ x a, y b} (其中 a,b 为常数)() 7、设( , )的概率分布为0133 1010131 1010则， U的概率分布为U012343。

( )P1010 10二、填空题1.设二维随机变量 ( , ) 的联合概率分布为01200.10.2010.30.10.120.100.1则 P0 =____。

2.设二维随机变量 ( , ) 的概率密度e y0 x yx, y0其他而的边缘密度为y ，则 2 =________。

3.设二维随机变量 ( , ) 的概率密度为1 0 x 1,0 y1x, y0其他则概率 P0.5,0.6 =________。

4.设二维随机变量 ( , ) 的概率密度为4xy0 x1,0y1x, y0其他则 P 01 , 12 41=___________，P{} =_________，P{} =_________。

5.(X ,Y)是二维连续型随机变量，用(X ,Y)的联合分布函数 F ( x, y)表示下列概率（1）p( a X b, Y c)__________ __________;（2）p( X a, Y b)____________________ ;（3） p(0 Y a ) __________ __________;（4） p( X a, Y b) ____________________ .练习题 3.2一、选择题1、设,为随机变量，则事件1,1的逆事件为 ().A1, 1 ;B1, 1 ;C1, 1 ;D1 1 .2、p ij P{x i ,y j }( i, j1,2,) 是离散型二维随机变量( ,) 的（）。

考研数学一（二维随机变量及其分布）历年真题试卷汇编2(总分150, 做题时间180分钟)选择题1.[2009年] 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函的概率分布P(Y=0)=P(Y=1)=1／2．记FZ数F(z)的间断点的个数为( )．ZSSS_SINGLE_SELAB1C2D3分值: 7.5答案:BF(z)=P(Z≤z)=P(XY≤z)=P(XY≤z｜Y=0)P(Y=0)+P(XY≤z｜Y=1)P(Y=1)Z=[P(XY≤z｜Y=0)+P(XY≤z｜Y=1)]／5．又X，Y相互独立，故 F(z)=[P(X·0≤z)+P(X≤z)]／2．Z(z)=[+ф(z)]／2=ф(z)／2．当z＜0时， FZ(z)=[P(Ω)+P(X≤z)]／2=[1+ф(z)]／2．当z≥0时， FZ综上所述，得到因(z)只有一个间断点z=0．仅B入选．所以FZ2.[2012年] 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则P(X＜Y)=( )．SSS_SINGLE_SELA1／5B1／3C2／5D4／5分值: 7.5答案:A由题设有而X与Y相互独立，故f(x，y)=fX (x)fY(y)=则P(X＜Y)= f(x，y)dxdy=∫0+∞∫x+∞4e-(x+4y)dxdy=一∫+∞e-x dx∫x+∞e-4y d(一4y)=∫0+∞e-x·e-4x dx=∫+∞e-5x dx=仅A入选．3.[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则( )．SSS_SINGLE_SELAa=0．2，b=0．3Ba=0．4，b=0．1Ca=0．3，b=0．2Da=0．1，b=0．4分值: 7.5答案:B由=(a+0．4)+(b+0．1)=a+b+0．5=1(归一性)知，a+b=0．5．又由事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，有P(X=0，X+Y=1)=P(X=0)P(X+Y=1)，而P(X=0，X+Y=1)=P(X=0，Y=1)=a，P(X=0)=a+0．4，P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=a+b，故 a=(a+0．4)(a+b)=(a+0．4)×0．5．①所以a=0．4．从而b=0．5一a=0．1．填空题4.[2003年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P(X+Y≤1)=______．SSS_FILL分值: 7.5答案:首先求出积分区域D ∩ G．D ∩ G实质上是G={(x，y)｜0≤x≤y≤1}与D={(x，y)｜x+y≤1}交集．可知，0≤x≤y≤1是在y=x上方的区域，而x+y≤1是直线x+y=1下方的区域．两者之交即为D ∩ G(见图)，故5.[2015年] 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY—Y＜0}=_______．SSS_FILL分值: 7.5答案:因(X，Y)～N(1，1；0，1；0)，ρ=0，故X，Y相互独立，则P{XY—y＜0}=P{(X一1)Y＜0}=P{X一1＜0，Y＞0}+P{X一1＞0，Y＜0}=P{X＜1}P{Y＞0}+P{X＞1}P{Y＜0}．因X～N(1，1)，故P{X＜1}=P{X＞1}=．因Y～N(0，1)，故P{Y＞0}=P{Y＜0}=．所以6.[2006年] 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P(max{X，Y}≤1)=______．SSS_FILL分值: 7.5答案:1/9P(max(X，Y)≤1)=P({X≤1}{Y≤1})=P(X≤1，Y≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=[(1一0)／(3—0)][(1一0)／(3一0)]=(1／3)×(1／3)=1／9．解答题[2008年] 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=i)=1／3(i=一1，0，1)，Y的概率密度为记Z=X+Y．SSS_TEXT_QUSTI7.求P(Z≤1／2｜X=0)；分值: 7.5答案:由于X，Y相互独立，有P(Z≤1／2 ｜X=0)=P(X+Y≤1／2｜X=0)=P(y≤1／2｜X=0)SSS_TEXT_QUSTI8.求Z的概率密度fZ(z)．分值: 7.5答案:因X的可能取值为一1，0，1，而fY(y)取非零值的自变量的变化范围为0≤y≤1，一1≤z=x+y≤2．(1)当z≥2时，X，Y的所有取值均满足上式，故F(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=1．(2)当z=x+y＜一1时，X，Y的取值为空值，则P(X+Y≤z)==0．(3)当一1≤z＜2时，下面用全概率公式求出FZ(z)的表示式：FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=P(X+Y≤z｜X=一1)P(X=一1)+P(X+Y≤z｜X=0)P(X=0)+P(X+Y≤z｜X=1)P(X=1)(Fy(z)为y的分布函数)，则fZ (z)=F'Z(z)=[FY(z+1)+fY(z)+fY(z—1)]．当0＜z+1＜1或0＜z＜1或0＜z—1＜1，即一1＜z＜2时，FZ(z)=；其他情况下，fZ(z)=0．[2017年] 设随机变量X，Y相互独立，，Y的概率密度为fY(y)=SSS_TEXT_QUSTI9.求P{Y≤E(Y)}；分值: 7.5答案:因E(Y)=∫-∞+∞yfY(y)dy=∫1y·2ydy=，故SSS_TEXT_QUSTI10.求Z=X+Y的概率密度．分值: 7.5答案:Z的分布函数FZ(Z)=P{X+Y≤z，X=0}+P{X+Y≤z，X=2} =P{X=0，Y≤z}+P{X=2，Y+2≤z}=，故Z的概率密度函数为[2014年] 设随机变量X的概率分布为P(X=1)=P(X=2)=，在给定X=i的条件下，随机变量y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)．SSS_TEXT_QUSTI11.求Y的分布函数F(y)；Y分值: 7.5答案:记U(0，i)的分布函数为F(x)(i=1，2)，则i(y)=p(Y≤Y)=P(x=1)P(Y≤y｜X=1)+P(X=2)P(Y≤y｜X=2)于是FY因在X=i的条件下，Y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)，故当y≤0时，(y)=0．Fi当0＜y≤1时，当1＜y＜2时，当y≥2时，所以SSS_TEXT_QUSTI12.求期望E(Y)．分值: 7.5答案:(y)可得概率密度函数为由Y的分布函数FY+∞yfy(y)dy=故E(Y)=∫-∞[2013年] 设随机变量X的概率密度为令随机变量，SSS_TEXT_QUSTI13.求y的分布函数；分值: 7.5答案:+∞f(x)dx=，得到a=9．此时，X的利用概率密度函数的归一性，由1=∫-∞概率密度为(y)．由题设知，Y的取值范围为1≤Y≤2，故设Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}=0；P(1≤Y≤2)=1．因而当y＜1时，FY当1≤Y＜2时，F(y)=P{Y≤y}=P{Y＜1}+P{Y=1}+P{1＜Y≤y}Y=0+P{X≥2}+P{1＜X≤Y}=(y)=P{Y≤y}=P{Y≤2}=1．当Y≥2时，FY综上得到y的分布函数为SSS_TEXT_QUSTI14.求概率P{X≤Y}．分值: 7.5答案:由随机变量y的分段表示式易看出，满足x≤y的x的取值范围为x＜2．因而所求概率为P{X≤Y}=P{X＜2}=[2016年]设二维随机变量(X，Y)在区域D=((x，y)｜0＜x＜1，x2＜y＜)上服从均匀分布．令SSS_TEXT_QUSTI15.写出(X，Y)的概率密度；分值: 7.5答案:易求得区域D的面积，故(X，Y)的概率密度SSS_TEXT_QUSTI16.问U与X是否相互独立?并说明理由；分值: 7.5答案:考查事件{U=0}与乘积的概率是否与事件{U=0}的概率的乘积相等．事实上，它们不相等．易求得显然，故U与X不独立．SSS_TEXT_QUSTI17.求Z=U+X的分布函数FZ(z)．分值: 7.5答案:下面用全集分解法求f(u，v)的分布函数FZ(z)=P(Z≤z)=P(U+X≤z)．FZ(z)=P(U+X≤z)=P(U=0，U+X≤z)+P(U=1，U+X≤z)=P(U=0，X≤z)+P(U=1，U≤z—1)=P(X＞y，X≤z)+P(X≤Y，X≤z一1)注意到x取值的边界点为0，1，而U取值边界点也为0，1，因而z的取值的分段点为0，1，2．于是应分下述四种情况分别求出FZ(z)的表示式．①z＜0时，则P(X≤z)==0，P(X≤z—1)==0，故FZ(z)=0．②0≤z＜1时，③1≤z＜2时，④z≥2时，FZ(z)=P(X＞Y)+P(X≤y)=P(U=0)+P(U=1)=1．综上所述，Z的分布函数为[2009年] 袋中有一个红球、两个黑球、三个白球．现在有放回地从袋中取两次，每次取一个，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球个数．SSS_TEXT_QUSTI18.求P(X=1｜Z=0)；分值: 7.5答案:(I)用缩减样本空间的方法求之．求时应注意两次取球取到的是不同类的球，要讲次序．因而两次都没取到白球(Z=0)的条件下，只能取红、黑两种球，且每次都要取到一个红球，其可能性为C11×C21+C21×C11=4，总的可能性为C 31×C31=3×3=9，故SSS_TEXT_QUSTI19.求二维随机变量(X，Y)的概率分布．分值: 7.5答案:由题设知X与Y的所有可能取值均为0，1，2，而取值的概率可由古典概率的计算公式得到．计算时要注意两次取球取到的是不同类的球要讲次序，取到的是同类的球不讲次序．故(X，Y)的概率分布为20.设随机变量X的概率密度为f(x)=e-｜x｜／2，一∞＜x＜+∞，问随机变量X 与｜X｜是否相互独立?为什么?SSS_TEXT_QUSTI分值: 7.5答案:因X和｜X｜为两个随机变量，下面证明对于给定的a(0＜a＜+∞)，式P(X＜x，Y＜y)=P(X＜x)P(Y＜y)不成立，从而X与｜X｜不相互独立．事实上，因事件{｜X｜＜a}包含在事件{X＜a}之中，即{X＜a} {｜X｜＜a}，故P(X＜a，｜X｜＜a)=P({X＜a}∩{｜X｜＜a})=P(｜X｜＜a)．又P(X＜a)＜1，P(｜X｜＜a)＞0，因而P(X＜a)P(｜X｜＜a)＜P(｜X｜＜a)．于是P(X＜a，｜X｜＜a)=P(｜X｜＜a)＞P(X＞a)P(｜X｜＜a)，故P(X＞a，｜X｜＜a)≠P(X＜a)P(｜X｜＜a) (0＜a＜+∞)．可知，X与｜X｜不相互独立．1。

第三章习题3-1二维向量及分布一. 单项选择题1. 已知二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数F（x, y）= P{X≤x,Y≤y}，则事件{X>1,Y>0}的概率是（A）F（1, 0）（B）1－F（1, +∞）－F（+∞,0）+F （1, 0）（C）F（1, +∞）－F（1, 0）（D）1－F（1, 0）2. 下列说法不正确的是（A）分布函数F（x, y）是变量x和y的不减函数（B）0< F（x, y）<1（C）P{x1<X2<x2, y1<Y<y2}≥0 （D）f（x, y）≥03. 下列二元函数中，可作为连续型随机变量的联合概率密度为（A）（B）;（C）（D）二.填空题1. 因为二元函数不满足，所以不是某一个二维随机变量的联合分布函数。

2. 用（X ，Y）的联合分布函数F（x, y）表示下述概率：（1）P{a≤X≤b, Y <c} ；（2）P{a≤X, Y≥b} 。

3. 设随机变量X与Y相互独立，且均匀服从正态分布N（0，1），则概率P{XY ≥0}=。

4. 设随机变量（X ，Y）的概率密度为则概率P{ X<0.5,y<0.6}= 。

三. 计算题1. 在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑放回抽样试验现定义随机变量如下：0 若第一次取出的是正品 0 若第二次取出的是正品X= ，Y=1 若第一次取出的是次品 1 若第二次取出的是次品试就此情况，写出和的联合分布律2. 上题中若作不放回抽样，写出和的联合分布律3. 设随机变量的概率密度为（1）确定常数k（2）求P{X<1, Y<3}（3）求P{X<1.5}（4）求P{X+ Y≤4}四.证明题1. 二元函数不是一个分布函数。

参考答案一. （1）B（2）B（3）B二． 1. P{x1<X2<x2,y1<Y<y2}= F（x2, y2）－F（x2, y1）－F（x1, y2）+ F（x1, y1），2. （1）F（b, c）－F（a, c）（2） 1－F（+∞, b）－F（a, +∞）+ F（a,b）3. 0.54. 0.3三. 1.010 25/36 5/36 15/36 1/362.0 1 0 45/6610/66 110/661/663. （1）k = 1/8（2）3/8， （3）27/32， （4）2/3 四．3.2-边缘分布与条件分布一、单项选择题：1. 如果二维随机变量（X , Y ）分布律为P {X =x i ,Y =y j }=p i j ，X 的分布律为，X x1x2x31/3 1/5a则a =（A ） （B ） （C ）（D ）不能确定2. 设X ~N (1,0.5)，Y ~ N (0,0.5), 且相互独立。

word 格式-可编辑-感谢下载支持一、单项选择题1．设随机变量21,X X 独立，且21}1{}0{====i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ）A .21X X =B .1}{21==X X PC .21}{21==X X P D .以上都不正确 2设X 与Y 相互独立，X 服从参数为12的0—1分布，Y 服从参数为13的0—1分布，则方程220t Xt Y ++=中t 有相同实根的概率为 （A ）13 （B ）12 （C ）16 （D ）23[] 3．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为()22,02,14,(,)0,.k x y x y f x y ⎧+<<<<⎪=⎨⎪⎩其他则k 的值必为 （A ）130 （B ）150 （C ）160 （D ）180[] 4．设（X ，Y ）的联合密度函数为,0,(,)0,.ye x yf x y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他(1)P X Y +≥则概率为（A ）1122ee --- （B ）12e e --- （C ）1e - （D ）21e -- []5．设随机变量X 与Y 相互独立，而且X 服从标准正态分布N （0，1），Y 服从二项分布 B （n ，p ），0<p<1，则X+Y 的分布函数（A ）是连续函数 （B ）恰有n+1个间断点（C ）恰有1个间断点 （D ）有无穷个间断点 []6．设X 与Y 相互独立，~(0,2),X U Y 的密度函数为(),0,0, 0.y Y e y f y y -⎧≥=⎨<⎩则 (1)P X Y +≥为（A ）11e -- （B ）21e -- （C ） 1112e --（D ）212e -- [] 二、填空题1 ),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F ， ),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ； ),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F 随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为2若（X ，Y ）的联合密度(2),0,0,(,)0,.x y Ae x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他，______,(2,1)____.A P X Y =≤≤=则常数3 设3P{0,0}7X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 4 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042,20)6(),(y x y x k y x f ，则=k81. 且区域=D {}3|),(≤+y x y x ，则概率=∈}),{(D Y X P5 设123123~(0,2),~(1,3),~(0,6),,,X N X N X N X X X 且相互独立，则 123(2328)P X X X ≤++≤=_________。