学案17 山西大学附中古典概型学案17

古典概型教案优秀教案标题：古典概型教案优秀教学目标：1. 了解古典概型的基本概念和原理。

2. 能够应用古典概型解决简单的概率问题。

3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学重点：1. 古典概型的定义和特点。

2. 古典概型的计算方法。

3. 古典概型在实际问题中的应用。

教学难点：1. 学生对古典概型的理解和应用能力。

2. 学生在实际问题中运用古典概型解决问题的能力。

教学准备：1. 教学课件和投影仪。

2. 学生练习册和作业本。

3. 小组讨论活动所需的材料。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体展示一些与概率相关的场景，引起学生的兴趣和思考。

2. 提出问题：你认为什么是概率？为什么我们需要学习概率？二、知识讲解（15分钟）1. 介绍古典概型的定义和特点，以及其在概率中的应用。

2. 讲解古典概型的计算方法，包括等可能性原理和计数原理。

3. 通过具体的例子和计算步骤，帮助学生理解和掌握古典概型的计算方法。

三、示范演练（20分钟）1. 给学生提供一些简单的古典概型问题，让他们尝试解决。

2. 引导学生按照计算步骤进行思考和计算，解决问题。

3. 对学生的答案进行讲解和讨论，帮助他们发现问题和改进思路。

四、合作探究（15分钟）1. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，应用古典概型解决。

2. 学生在小组内进行讨论和计算，共同解决问题。

3. 每个小组汇报他们的解决思路和计算结果，进行交流和讨论。

五、拓展延伸（10分钟）1. 给学生提供一些拓展问题，要求他们运用古典概型解决。

2. 鼓励学生思考更复杂的问题，挑战他们的思维和解决能力。

六、总结反思（5分钟）1. 对本节课的学习内容进行总结，强调古典概型的重要性和应用。

2. 鼓励学生提出问题和反思，为下节课的学习做准备。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。

2. 学生完成的练习册和作业本。

3. 学生小组讨论活动中的表现和解决问题的能力。

教学反思：1. 在教学过程中，要充分激发学生的兴趣和思考，使他们主动参与到课堂中来。

高一数学◆必修3◆导学案1§3.2.1古典概型一、【温故知新】1、抛掷一枚质地均匀的骰子，记“出现点数1”为事件A 、“出现点数2”为事件B ，则A 、B为 事件，P(A ∪B)＝P(A) P(B).2、抛掷一枚质地均匀的骰子，记“出现点数1”“ 出现点数2”“ 出现点数3”“ 出现点数4”“出现点数5”“ 出现点数6”分别为事件A 1，A 2，…，A 6，则P(A 1∪A 2∪…∪A 6)＝P(A 1) P(A 2) … P(A 6)．3、抛掷一枚质地均匀的骰子，记“出现偶数点”为事件A ，“出现奇数点”为事件B,则A ∩B为 事件，A ∪B 为 事件，称事件A 与事件B 互为 事件。

则P(A)＋P(B)＝ ．二、【自学探究】考察下面的两个实验：【试验1】掷一枚质地均匀的硬币的试验.写出可能的结果分别有哪些？【试验2】掷一颗质地均匀的骰子的试验.写出可能的结果分别有哪些？1、什么是基本事件？2、基本事件特点：（1）任何两个基本事件都是______的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成______________．【合作探究】：（1）连续抛掷两枚硬币，有哪些基本事件？（2）连续抛掷两枚骰子，有哪些基本事件？（3）从字母a ，b ，c ，d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？（4）从字母a ，b ，c ，d ，e 中任意取出三个不同字母的试验中，有哪些基本事件？3、基本事件数的探求方法：(列举法、列表法、树状图法)4、古典概型上述的【试验1】和【试验2】的共同点是什么？（1）在一次试验中所有可能出现的基本事件中有______个；（2）每个结果出现的可能性是______的．（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为_____________________，简称______________。

【试验3】在区间[0,1]上任取一个数的试验，是不是古典概率模型？【试验4】抛掷两枚质地均匀的硬币，在这个试验中，3个基本事件：“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“一枚正面朝上，一枚反面朝上” 。

3.2.1古典概型教学目标：1．知识与技能(1)理解古典概型及其概率计算公式，(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。

3．情感态度与价值观概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。

适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。

使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。

一、课前预习1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件；2．等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件；3．古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件的发生都是等可能的；4．古典概型的概率：如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为()mP An=．二、例题讲解例1．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数和是3的倍数的概率是多少？解：（１）将骰子抛掷１次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6中结果。

先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于是一共有6636⨯=种不同的结果；(2)第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有6212⨯=种不同的结果．(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A，则事件A的结果有12种，因为抛两次得到的36中结果是等可能出现的，所以所求的概率为121 ()363 P A==答：先后抛掷2次，共有36种不同的结果；点数的和是3的倍数的结果有12种；点数和是3的倍数的概率为13； 说明：也可以利用图表来数基本事件的个数：例2． 用不同的颜色给右图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．分析：本题中基本事件比较多，为了更清楚地枚举出所有的基本事件，可以画图枚举如下：（树形图）三、针对练习：1.豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd ，若第二子代的,D d 基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D 则其就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显现矮茎）．2.同时抛掷两个骰子，计算：①向上的点数相同的概率；②向上的点数之积为偶数的概率．3.据调查，10000名驾驶员在开车时约有5000名系安全带，如果从中随意的抽查一名驾驶员有无系安全带的情况，系安全带的概率是4.在20瓶饮料中，有两瓶是过了保质期的，从中任取１瓶，恰为过保质期的概率为 （选做）一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.四、小结：1.古典概型解题步骤：⑴阅读题目，搜集信息；⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；⑶求出基本事件总数n 和事件A 所包含的结果数m ；⑷用公式()m P A n求出概率并下结论. 2.复杂背景的古典概型基本事件个数的计算――树形图； 五、课后作业。

"山西省芮城县风陵渡中学高一数学 3.2.1古典概型学案新人教A版必修3 "自学要求大体事件⇒等可能事件⇒古典概型⇒计算公式．学习要求1、理解大体事件、等可能事件等概念；正确理解古典概型的特点；二、会用列举法求解简单的古典概型问题；掌握古典概型的概率计算公式。

自学进程一、大体事件：．二、等可能大体事件：。

3、若是一个随机实验知足：（1）；（2）；那么，咱们称那个随机实验的概率模型为古典概型．4、古典概型的概率：若是一次实验的等可能事件有n个，那么，每一个等可能大体事件发生的概率都是；若是某个事件A包括了其中m个等可能大体事件，那么事件A发生的概率为．【课堂展示】例1 一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球，(1)共有多少个大体事件？(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？【分析】可用列举法找出所有的等可能大体事件．【解】例 2 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因尽是d时，才显现矮茎）．【分析】由于第二子代的,D d基因的遗传是等可能的，能够将各类可能的遗传情形都列举出来．【解】试探：第三代高茎的概率呢？例3 一次抛掷两枚均匀硬币．（1）写出所有的等可能大体事件；（2）求出现两个正面的概率；【解】例4 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．【分析】掷骰子有6个大体事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型．【解】例5 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次掏出后不放回，持续取两次，求掏出的两件产品中恰有一件次品的概率．【解】【小结】利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）（2）追踪训练一、在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（）A．4030B．4012C．3012D．以上都不对二、盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（）A．51B．41C．54D．1013、判断下列命题正确与否.(1)掷两枚硬币,可能出现“两个正面”,“两个反面”,“一正一反”3种结果;(2)某袋中装有大小均匀的三个红球,两个黑球,一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同;(3)从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同;(4)别离从3名男同窗,4名女同窗中各选一名作代表,那么每一个同窗被选的可能性相同.4、有甲,乙,丙三位同窗别离写了一张新年贺卡然后放在一路,此刻三人均从中抽取一张.（1）求这三位同窗恰好都抽到他人的贺卡的概率.（2）求这三位同窗恰好都抽到自己写的贺卡的概率.五、抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和是4的倍数的概率（2）点数之和大于5小于10的概率六、现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品。

山西大学附中高中数学（必修3）学案18几何概型【学习目标】：对比古典概型，通过实例，理解几何概型；会用几种常见几何概型模型的概率计算公式，求解与之相关的概率问题．【学习重点】理解几何概型及其概率计算公式．【学习难点】理解几何概型及其概率计算公式．【学习过程】一、导读1．阅读教材135P 及136P 的有关内容，思考并回答下列问题：（1）什么是几何概型？它有什么特点？与古典概型的区别是什么？如何判断一个概率模型是否为几何概型？（2）对比古典概型的概率计算公式，理解几何概型的概率计算公式.2．阅读教材136P 的例1，思考并回答下列问题：（1）该问题是几何概型吗？如何将其抽象成几何概型？（2）请总结求几何概型的概率的步骤，并与求古典概型的概率步骤进行对比，进一步理解并掌握这两种概型．3．几种常见的几何概型（1）与长度有关的几何概型例．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是多少？（2）与面积有关的几何概型例．甲、乙二人相约于7点至8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，超时就离去，若甲、乙两人都在7点到8点之间的任意时刻到达该地，试求这两个人能会面的概率（3）与体积有关的几何概型例．用橡皮泥做成一个棱长为6cm 的正方体，假设橡皮泥中混入了一颗很小的砂粒（其大小忽略不计），从这块橡皮泥的一角切下一个棱长为2cm 的小正方体，求这个砂粒正好在这个小正方体中的概率.（4）与角度有关的几何概型例.在等腰ABC Rt ∆中， 90=∠C ．① 在直角边BC 上任取一点M ，求 30<∠CAM 的概率；② 过点A 在CAB ∠内作射线交线段BC 于点M ，求 30<∠CAM 的概率.二、导练1．计算下列两题的概率：（1）在区间]10,0[上任取一个整数x ，这x 不大于3的概率为 ；（2）在区间]10,0[上任取一个实数x ，这x 不大于3的概率为 ．2．在等腰ABC Rt ∆中，在斜边AB 上取一点M ，求AC AM <的概率．3．在半径为R 的圆周上取C B A ，，三点，求ABC ∆为锐角三角形的概率．。

3.2.1古典概型导学案【教学目标】1.能说出古典概型的两大特点：2.会应用古典概型的概率计算公式3.会叙述求古典概型的步骤；【教学重难点】教学重点：正确理解掌握古典概型及其概率公式教学难点：会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率【教学过程】（一）新知探究1、考察两个试验：①掷一枚质地均匀的硬币的试验；②掷一枚质地均匀的骰子的试验。

这两个试验出现的结果分别有几个？2、思考：在试验二中，出现偶数点包含哪些基本事件？点数大于4可有哪些基本事件构成？上述两个试验的每个结果之间都有什么特点？3、基本事件的特点：（1）任何两个基本事件是（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成（二）、通过类比，引出概念例1：从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的实验中，有哪些基本事件？问题：上述试验和例1的共同特点是什么？10.试验中所有可能出现的基本事件；20.各基本事件的出现是，即它们发生的概率相同．将具有这两个特征的概率模型称为古典概型（三）、观察类比，推导公式思考：古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件按出现的概率又该如何计算？例如：（1）掷硬币试验中，“正面朝上”与“反面朝上”的概率分别是多少？（2）在掷骰子试验中，“出现偶数点”的随机试验的概率是多少？（3）你能从这些试验中找出规律，总结出公式吗？古典概型的概率公式：设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：思考：在运用古典概型计算事件的概率时应当注意什么？（四）、典例分析，加深理解例2：单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。

如果考生掌握了考察内容，他可以选择唯一正确的答案。

假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？变式探究：在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选择所有正确答案，同学们有一种感觉，如果不知道正确答案多选题更难猜对，这是为什么？例3、同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？例4 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？例5 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.(五)、归纳反思（1）基本事件的两个特点?（2）古典概型的特点?（3）古典概型计算任何事件的概率计算公式?（4）古典概型解题步骤?。

山西大学附中高一年级（上）数学学案 编号24古典概型一．学习目标：通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．二．学习重难点：理解古典概型及其概率计算公式．三．学习过程：1．阅读教材125P 的有关内容，自主完成例1，思考并回答下列问题：（1）一次试验中发生的每一个结果都是随机事件吗？它们彼此之间有什么关系?（2）什么是基本事件？基本事件具有什么特点？（3）在掷骰子的试验中，随机事件“出现奇数点”可以由哪些基本事件组成？2．阅读教材125P 及126P “思考”以上的内容， 思考并回答下列问题：（1）两次试验及例1的试验中，基本事件分别有几个？它们有什么共同特点？（2）什么是古典概型？其特点是什么？（3）若向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，这是古典概型吗？3．阅读教材129125~P P 的有关内容，思考并回答下列问题：（1）在“掷一枚质地均匀的骰子的试验”中，基本事件总数是几？每个基本事件出现的概率是多少？随机事件“出现奇数点”的概率如何求？（2）结合上述问题和教材内容，请总结古典概型计算概率的公式．结合公式，体会古典概型两个特征的必要性．4．结合例2，思考并回答下列问题：（1）如果单选题改成是多选题，问题该如何解答？（2）通过上述解决问题的过程，结合教科书归纳求解古典概型的概率问题的步骤．5．结合例3，思考并回答下列问题：（1）请你列出该问题的所有基本事件．（点拨：求基本事件数时，较简单的问题，适合用列举法，较复杂的问题适合用列表法或树状图法）（2）为什么要将两个骰子标上记号？如果不标记会出现什么情况？解释其中的原因，再次体会古典概型的第二个条件的必要性．6．在计算基本事件总数时，要注意分清“有序”和“无序”，不要出现“重复”或“遗漏”的错误，请对教材中的例1、例3、例5进行对比，找出它们之间的联系和区别．四．课堂自测1．从甲乙丙丁4人中任选2人，甲被选中的概率是2．在20瓶饮料中，有2瓶已经过了保质期．从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少？3．在夏令营的7名成员中，有3名同学已去过北京．从这7名同学中任选2名同学，选出的这2名同学恰是已去过北京的概率是多少？4．从1,2,3,4中任取两个不同的数字组成两位数的偶数，则基本事件有哪些？5．5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任取2本，取出的书恰好都是数学书的概率是多少？6．从含有2件正品21,a a 和一件次品1b 的3件产品中每次抽取一件，（1）每次取出后不放回，连续取两次，求取出的2件产品中恰有1件次品的概率．（2）从中取出一件，然后放回，再任取一件，求取出的2件产品中恰有1件次品的概率．7．一个口袋中装有红、白、黄、黑大小相同的四个小球．（1）从中任取一球，求取出白球的概率；（2）从中任取两球，求取出的是红球、白球的概率；（3）先后各取一球，求先后分别取出的是红球白球的概率．。

第三章概率3.2古典概型知识点1．古典概型（1）基本事件在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件．基本事件有如下特点：①任何两个基本事件是___________的．②任何事件（除不可能事件）都可以表示成___________．（2）古典概型把具有特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有___________个；②每个基本事件出现的可能性___________的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．2．古典概型的概率公式如果一次试验中，可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果事件A包含的基本事件有m个，那么事件A的概率为()P A _______=_________．3．(整数值)随机数的产生（1）随机数与伪随机数例如我们要产生1~25之间的随机整数，我们把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3， (24)25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性（周期很长），它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．（2）随机数的产生方法课本中给出了两种产生随机数的方法：①利用带有PRB功能的计算器产生随机数；②用计算机软件产生随机数，比如用Excel软件产生随机数．（3）用随机模拟方法估计概率用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．其基本步骤是：①建立概率模型；②进行模拟试验，可用计算器或计算机进行模拟试验；③统计试验的结果．参考答案：1．古典概型的判定并不是所有的试验都是古典概型，只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型．两个条件中只要有一个不满足就不是古典概型．【例1】（1）在数轴上0~3之间任取一点x，观察x是否小于1．此试验是否为古典概型？为什么？（2）从1，2，3，4四个数中任意取出两个数，观察所取两数之一是否是5．此试验是古典概型吗？试说明理由．（3）投掷一颗质地非均匀的骰子，观察掷出的点数．此试验是否为古典概型？为什么？【解析】（1）在数轴上0~3之间任取一点，此点可以在0~3之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型．（2）此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有6个：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型．（3）投掷一颗质地非均匀的骰子，掷出的点数不是等可能出现的，质地较重的那一面朝下的可能性比较大，其对面的点数出现的可能性就比其他点数出现的可能性大，因此不属于古典概型．2．古典概型的计算求古典概型的概率的关键是正确列出基本事件，在写出基本事件后最好检验一下各基本事件发生的概率是否相同．求随机事件的概率的关键就是明晰它包含了几个基本事件．要写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列举法、列表法、坐标系法、树形图法等．无论采用哪种方法，都要求按照一定的顺序进行，以做到不重不漏．【例2】（2015山东）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,A A A A A ，，，，3名女同学123.B B B ，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“1A 被选中且1B 未被选中”所包含的基本事件有：1213{,},{,}A B A B ，共2个．因此1A 被选中且1B 未被选中的概率为215P ． 【例3】某大学的教授从大二年级学生所选修的《消费者化学》的成绩中随机抽取40名学生的成绩，分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中实数a的值；（2）若该校大二年级共有640名学生，试估计该校大二年级所选修的《消费者化学》的成绩不低于60分的学生人数；（3）若从样本中成绩在[40，50)与[90，100]内的所有学生中随机选取2名学生，求这2名学生的成绩之差的绝对值不大于10的概率．（3）成绩在[40，50)内的学生人数为40×0.05=2，分别记为A，B；成绩在[90，100]内的学生人数为40×0．1=4，分别记为C，D，E，F．若从成绩在[40，50)与[90，100]内的所有学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．若这2名学生的成绩都在[40，50)内或都在[90，100]内，则这2名学生的成绩之差的绝对值一定不大于10；若1名学生的成绩在[40，50)内，另1名学生的成绩在[90，100]内，则这2名学生的成绩之差的绝对值一定大于10．记“这2名学生的成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个．所以所求的概率为P(M)=715．【名师点睛】概率问题常与统计问题综合考查，在此类问题中，注意灵活运用概率与统计的知识求解．3．用随机模拟估计概率用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组（比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组），明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组，即可求解概率．【例4】已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：137 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A．0.40 B．0.30 C．0.35 D．0.254．混淆“等可能”与“非等可能”【例5】从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛，求选中女生的概率．【错解】从8人中选出1人的结果有“男生”“女生”两种，则选中女生的概率为12．【错因分析】因为男生人数多于女生人数，所以选中男生的机会大于选中女生的机会，它们不是等可能的．【正解】选出1人的所有可能的结果有8种，即共有8个基本事件，其中选中女生的基本事件有3个，故选中女生的概率为38．【名师点睛】利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）试验的每个基本事件是等可能发生的．基础题1．甲乙两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为24362．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为A．110B．15C．710D．453．箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为A．16B．13C．15D．254．在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是A．14B．13C．12D．345．袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为A．310B．25C．35D．7106．有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率为A．320B．25C．15D．3107．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为A．25B．16C．13D．358．某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为A．15B．14C．13D．129．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是A．310B．25C．12D．3510．已知2个人在一座5层大楼的第一层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则两人在不同层离开的概率等于234511．某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲中至少有1首歌曲被播放的概率是__________．12．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为__________．能力题13．从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是A．445B．13C．29D．1914．甲、乙、丙三人随意坐下，乙不坐中间的概率为A．23B．12C．13D．3415．从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为A．29B．13C．512D．5916．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy 中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x–y=1上的概率为A．112B．19C．536D．1617．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是A．736B．12C．1936D．51818．甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为A．13B．14C．15D．1619．将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为A．14B．38C．12D．51620．某校有3个不同的文艺社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺社团的概率为A．34B．23C．12D．1321．设m∈{1，2，3，4}，n∈{–12，–8，–4，–2}，则函数f(x)=x3+mx+n在区间[1，2]上有零点的概率是216161622．某学校举办了一次写作水平测试，成绩共有100分，85分，70分，60分及50分以下5种情况，并将成绩分成5个等级，从全校参赛学生中随机抽取30名学生，情况如下：已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学的成绩达到60分及60分以上的概率为45，其成绩等级为“A或B”的概率为15，则a＝___________；b＝__________．23．2016年二十国集团领导人峰会(简称“G20峰会”)于9月4日至5日在浙江杭州召开，为保证会议期间交通畅通，杭州市已发布9月1日至7日为“G20峰会”调休假期．据报道，对于杭州市民，浙江省旅游局联合11个市开展一系列旅游惠民活动，活动内容为：“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”，某旅游公司为了解群众出游的情况，拟采用分层抽样的方法从有意愿“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”这三个区域旅游的群众中抽取7人进行某项调查，已知有意愿参加“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”的群众分别有360,540,360人人人．（1）求从“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”这三个区域旅游的群众中分别抽取的人数；（2）若从抽得的7人中随机地抽取2人进行调查，用列举法计算这2人中至少有1人有意愿参加“本省游”的概率．24．一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回的取球，每次随机取一个，求连续取两次都是白球的概率．25．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为8的概率；（2）两数之和是3的倍数的概率．高考真题26．（2017天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A．45B．35C．25D．1527．（2017新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A．110B．15C．310D．2528．（2017山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A．518B．49C．59D．7929．（2017上海）已知四个函数：①y=–x，②y=–1x，③y=x3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为__________．30．（2017山东文科）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．31．（2016山东）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若3xy≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.xy≤，则奖励玩具一个；②若8假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.答案1．【答案】B【解析】甲乙两名同学分3本不同的书，设三本不同的书，分别为，基本事件包含：共8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，所以一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为：P=2184=．故选B．3．【答案】B【解析】分别设3双手套为：a1a2；b1b2；c1c2．a1，b1，c1分别代表左手手套，a2，b2，c2分别代表右手手套．从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：n=6×6=36，共36个基本事件．事件A包含：（a1，b2），（b2，a1），（a1，c2），（c2，a1），（a2，b1），（b1，a2），（a2，c1），（c1，a2），（b1，c2），（c2，b1），（b2，c1），（c1，b2），12个基本事件，故事件A的概率为P（A）=1236=13．故选B．4．【答案】A【解析】在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有4个，分别为：（1，2，3），（1，2，6），（1，3，6），（2，3，6），数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3），共1个．∴数字2是这三个不同数字的平均数的概率是14P=．故选A．6．【答案】D【解析】根据题意，从5根木棒中任取3根，共有10种情况，其中能够搭成三角形的有（3、5、7），（3、7、9），（5、7、9），共3种情况，则能搭成三角形的概率为310，故选D．7．【答案】D【解析】从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，基本事件有：12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20种情况；其中这个数大于30的有31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共12种情况．所以这个数大于30的概率为P=1220=35．故选D．8．【答案】D【解析】某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有4个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为P=2142=．故选D．9．【答案】D【解析】所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件总数n=10，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为：（1.72，1.83），（1.72，2.28），（1.72，1.55），（1.83，2.28），（1.83，1.55），（2.28，1.55），甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是P=63105=．故选D．10．【答案】C【解析】2个人在一座5层大楼的第一层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，由题意总的基本事件为：两个人各有4种不同的离开电梯方法，故共有：4×4=16种结果，而两人在同一层离开电梯，共有4种结果，所以两个人在同一层离开电梯的概率是：41164=，所以2个人在不同层离开的概率为：P=1–14=34．故选C．11．【答案】5 6【解析】随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，所有基本事件有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），共6种，其中甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的情况有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共5种．所以甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率：P=56．故答案为：56．12．【答案】31 36【解析】同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为P=1–536=3136．故答案为：3136．13．【答案】A【解析】从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，基本事件总数n=45，其个位数为0的有4个，∴从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是：P=445．故选A．14．【答案】A【解析】所有的坐法有（甲乙丙），（甲丙乙），（乙甲丙），（乙丙甲），（丙甲乙），（丙乙甲），共6种，乙正好坐中间的坐法有2种，乙不坐中间的坐法有4种，故乙不坐中间的概率是46=23．故选A．15．【答案】D【解析】从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，基本事件有：102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321，共18种情况；其中该三位数能被3整除包含的基本事件有：102，120，123，132，201，210，213，231，312，321，共10种情况．所以该三位数能被3整除的概率为P=105189mn==．故选D．16．【答案】A【解析】试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果．当x=1，y=1；x=2，y=3；x=3，y=5时，以（x，y）为坐标的点落在直线2x–y=1上，满足条件，即满足条件的共有3种结果，根据古典概型的概率公式得，以（x，y）为坐标的点落在直线2x–y=1上的概率为：P=313612=．故选A．18．【答案】A【解析】基本事件总数为3×3=9种，两位同学参加同一个小组的情况有3种，所以所求概率P=39=13，故选A．19．【答案】D【解析】将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，共有16种情况，如下：其中出现正面的次数多于反面次数的情况有5种，分别是（正面、正面、正面、正面），（正面、正面、正面、反面），（正面、正面、反面、正面），（正面、反面、正面、正面），（反面、正面、正面、正面），所以出现正面的次数多于反面次数的概率为：P=516．故选D．20．【答案】D【解析】某校有3个不同的文艺社团，分别记作A、B、C，甲、乙两名同学各自参加其中1个文艺社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，共有基本事件总数n =9种，如下：．其中这两位同学参加同一个文艺社团包含的基本事件个数为m =3，所以这两位同学参加同一个文艺社团的概率为P =39m n ==13．故选D ． 21．【答案】C【解析】由题意知函数f (x )共有16个，满足在区间[1，2]上有零点的m 、n 的取法有(1，–8)，(1，–4)，(1，–2)，(2，–12)，(2，–8)，(2，–4)，(3，–12)，(3，–8)，(3，–4)，(4，–12)，(4，–8)，共有11种，因此所求事件的概率为1116． 22．【答案】5，10【解析】从全校参加比赛的学生中任意抽取一人，估计出该同学的成绩达到60分及60分以上的概率为45，其成绩等级为“A 或B ”的概率为15，则18430511305a b a +++⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得5,10a b ==，故填5,10．23．【解析】（1）群众总数为3605403601260++=，样本容量与总体容量的比为711260180=，所以从“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”这三个区域旅游的群众中分别抽取的人数为2,3,2．（2）设12,A A 为在“本省游”中抽得的2人，123,,B B B 为在“黄山游”中抽得的3人，12,C C 为在“黔东南游”中抽得的2人，在这7人中随机抽取2人，全部可能的结果有：()()()()12111213,,,,,,,,A A A B A B A B ()()()()()()()()()()()1112212223212212131112,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A C A C AB A B A B AC A C B B B B B C B C ()()()()()()232122313212,,,,,,,,,,,B B B C B C B C B C C C ，共有21种．随机地抽取2人，至少有1人有意愿参加“本省游”的结果(记为事件X )有：()()()121112,,,,,,A A A B A B()()1311,,,,A B A C ()()()()12212223,,,,,,,,A C A B A B A B ()()2122,,,,A C A C 共有11种，所以这2人中至少有1人有意愿参加“本省游”的概率为()1121P X =．25．【解析】将一颗骰子先后抛掷2次，含有36个等可能基本事件，（1）记“两数之和为8”为事件A，则事件A中含有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个基本事件，故两数之和为8的概率为：P（A）=5 36（2）记“两数之和是3的倍数”为事件B，则事件B中含有（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6）共12个基本事件，故两数之和是3的倍数的概率为：P（B）=1236=13．26．【答案】C【解析】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n=10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m=4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为P=mn=42105．故选C．27．【答案】D【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率P=1025=25．故选D．29．【答案】1 3【解析】给出四个函数：①y=–x，②y=–1x，③y=x3，④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件有（①②），（①③），（①④），（②③），（②④），（③④），共n=6种，事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，所以事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）=26=13．故答案为：13．30．【解析】（1）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．从这6个国家中任选2个，所有基本事件有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共n=15种，这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共有m=233C 种，∴这2个国家都是亚洲国家的概率P=mn=315=15．（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），这2个国家包括A1但不包括B1包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个，∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P=29．（2）记“8xy≥”为事件B，“38xy<<”为事件C. 则事件B包含的基本事件共有6个，即()()()()()()2,4,3,3,3,4,4,2,4,3,4,4,所以()63.168P B==事件C包含的基本事件共5个，即()()()()()1,4,2,2,2,3,3,2,4,1,所以()5.16P C=因为35,816>所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.。