考研数二历年真题(2016-2002)22016年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(lnx 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121（D ）),(212．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）xxy sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+=3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤（C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是347．行列式dc d c ba b a 00000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b da -（D ）2222c b da +-8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．⎰∞-=++12521dx x x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．512．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 三、解答题15．（本题满分10分） 求极限)ln())((lim xx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分） 已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 17．（本题满分10分） 设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdyyx y x x )sin(22π18．（本题满分10分） 设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y ef z x=满足6x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（1） []b a x a x dt t g x a,,)(∈-≤≤⎰0； （2） ⎰⎰≤⎰+badtt g a adxx g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设函数[]101,,)(∈+=x x x x f ，定义函数列)()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=，ΛΛ)),(()(,x f f x fn n1-=设nS 是曲线)(x f y n=，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限nn nS ∞→lim ．21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且yy y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．22．（本题满分11分） 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．7（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵． 23．（本题满分11分） 证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似．2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、下列反常积分中收敛的是（） （A）2+∞⎰（B ）2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰(D)2x x dx e +∞⎰2、函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断8点 (D)有无穷间断点 3、设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 (B)1 (C)2 (D)35、设函数(u v)f ，满足22(,)yf x y xy x +=-，则11u v fu==∂∂与11u v f v ==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-126、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r drππθθθ⎰ （C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r drππθθθ⎰97、设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（） （A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ） (A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C)2221232y y y --(D) 2221232yy y ++二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. 9、设2231arctan ,3t x t d ydx y t t ==⎧=⎨=+⎩则10、函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =11、设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = 13、若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz =1014、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E=-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。
