2023-2024学年云南省西双版纳傣族自治州高一上册期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}22A x x =-<<，{}1B x x =≤-，则A B = （）A ．{}1x x >-B ．{}2x x ≥C ．{}12x x -<<D ．{}|21x x -<≤-【正确答案】D【分析】根据集合的并运算即可求解.【详解】A B = {}{}{}|22|1|21x x x x x x -<<⋂≤-=-<≤-.故选：D2．命题“x N ∃∈，22320x x +-=”的否定为（）A ．N x ∀∈，22320x x +-=B ．N x ∀∈，22320x x +-≠C ．x N ∃∉，22320x x +-=D ．x N ∃∉，22320x x +-≠【正确答案】B【分析】根据特称命题的否定为全称命题可得.【详解】根据特称命题的否定为全称命题，可得命题“x N ∃∈，22320x x +-=”的否定为“N x ∀∈，22320x x +-≠”．故选：B.3．以下四组函数中，表示同一函数的是（）A ．()()f x g x =B ．f （x ）=()2111x g x x x -=+-C ．()()2f xg x =D ．f （x ）=x，g （t ）【正确答案】D【分析】通过定义域和解析式是否相同，即可根据选项逐一判断是否同一函数.【详解】A.()f x =[)1,+∞,()g x =[)(]1,,1+∞⋃-∞-，由于两个函数定义域不同，故不是同一函数；故A 错误，B.=()f x 211x x --的定义域为{}1x x ≠，()1g x x =+的定义域为R ，两个函数定义域不同，不是同一函数；故B 错误，C.()f x R ，()2g x =的定义域为[)0,∞+，两个函数定义域不同，不是同一函数；故C 错误，D.()f x x =，()g t t ==的定义域都为R ，解析式也相同，故两个函数是同一函数.故选：D.4．下列命题中，正确的是（）A ．若a b <，则22ac bc <B ．若0a b >>，0c d >>，则ac bd >C ．若a b >，则22a b >D ．若0a b >>，则11a b>【正确答案】B【分析】结合不等式的性质或者通过举反例，逐一对选项进行判断即可.【详解】对于选项A ，若0c =，不等式不成立，故A 不正确；对于选项B ，根据不等式性质可知，正数的同向不等式可以相乘，故B 正确；对于选项C ，取1,3a b ==-，满足a b >，但是不满足22a b >，故C 不正确；对于选项D ，根据不等式的性质可知，对两个正数的不等式两边同时取倒数，不等号方向应改变，故D 不正确；故选：B.5．设函数()53231f x x x x =+++在区间[]2021,2021-的最大值是M ，最小值为m ，则M m +=（）A ．0B ．2C ．1D ．3【正确答案】B【分析】将原函数变形，可令52()()123g x f x x x x =-=++，易知函数()g x 为奇函数，利用奇函数的性质容易得解．【详解】令()()53123g x f x x x x =-=++，则函数()g x 为奇函数，()g x ∴在区间[]2021,2021-上的最大值与最小值之和为0，即110M m -+-=，2M m ∴+=．故选：B.6．下列结论正确的是（）A ．幂函数的图象一定过原点B ．11,3,2α=时，幂函数y x α=是增函数C ．幂函数的图象会出现在第四象限D ．22y x =既是二次函数，又是幂函数【正确答案】B【分析】利用幂函数的简单性质判断即可．【详解】解：幂函数图象不一定过原点，例如1y x -=，函数的图象不经过原点，故A 不正确；当11,3,2α=时，幂函数y x =，3y x =，12y x =B 正确；由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C 不正确；函数22y x =是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如()R y x αα=∈，故D 不正确.故选：B.7．已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．5【正确答案】A 【分析】由题意，54x <，则1540,054x x ->>-，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，54x <，则1540,054x x->>-，则11142453[(54)]3454554y x x x x x x =-+=-++=--++---31≤-=，当且仅当15454x x-=-，即1x =时等号成立，所以函数14245y x x =-+-的最大值为1，故选：A8．已知偶函数f (x )在区间[)0+，∞单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是（）A ．12(,)33B ．12[,)33C ．12(,)23D ．12[,23【正确答案】A【分析】由偶函数性质得函数在(,0]-∞上的单调性，然后由单调性解不等式．【详解】因为偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，故x 越靠近y 轴，函数值越小，因为()121(3f x f -<），所以1213x -<，解得.1233x <<故选：A ．二、多选题9．下列四个选项中，p 是q 的充要条件的有（）A ．:p 四边形是正方形，:q 四边形的对角线互相垂直且平分B ．:p 两个三角形相似，:q 两个三角形三边成比例C ．:0p xy >，:0,0q x y >>D ．:p 三角形是等腰三角形，:q 三角形存在两角相等【正确答案】BD【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A.四边形是正方形，则对角线互相垂直且平分，反之不一定成立，故错误；B.若两个三角形相似，则三边成比例，反之也成立，故正确；C.若0xy >，则0,0x y >>或0,0x y <<，故错误；D.若三角形是等腰三角形，则存在两角相等，反之也成立，故正确；故选：BD.10．若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②()f x 在定义域上单调递减，则称函数()f x 对“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（）A ．()f x x =-B ．23()f x x=C ．1()f x x=D ．22,0(),0x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩【正确答案】AD根据题所给“理想函数”的定义，可知该函数是奇函数且为单调递减，然后对A 、B 、C 、D 四个选项的函数进行分析，同时满足奇函数和单调递减的函数为正确选项.【详解】根据()()0f x f x +-=得()f x 为奇函致，且在定义域内单调递减.A ：()f x x =-是奇函数且单调递减，故A 正确.B ：23()f x x =是幂函数且为偶函数，故B 错误.C ：1()f x x=，在区间(-∞，0)和(0，+∞)递减，但不是单调递减函数，故C 错误.D ：由22,0(),0x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩的图象可知D 选项正确.故选：AD.11．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的是（）A ．11+b+4a ab ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．若a +b =2，则22a b +的最小值为4C ．若a >b ，则2211a b<D ．若a +b =1，则14a b+的最小值是8【正确答案】ABC应用不等式和基本不等式的性质逐一判断即可得出结果.【详解】A ：∵a >0，b >0，∴10a a +>，10b b+>∴12a a+≥，当且仅当11a a==时成立，∴12b b+≥，当且仅当11b b ==时成立，即11()4a b a b ⎛⎫+⋅+≥ ⎪⎝⎭，故A 正确；B .224a b +≥=，故B 正确；C .当0a b >>时，220a b >>，则22110a b <<，故C 正确；D .当1a b +=，14144()59b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭取等条件：13a =，23b =所以最小值为9，故D 错误.12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数1,()0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数称为狄利克雷函数，则关于()f x 下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的值域是[0,1]B ．,(())1x R f f x ∀∈=C ．(2)()f x f x +=对任意x R ∈恒成立D ．存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，33(,())C x f x ，使得ABC 为等腰直角三角形【正确答案】BC根据新定义函数得函数的值域为{0,1}；无论x 为有理数还是无理数，()f x 均为有理数，故,(())1x R f f x ∀∈=；由于x 与2x +均属于有理数或均属于无理数，故(2)()f x f x +=对任意x R ∈恒成立；假设存在，则根据函数推出矛盾即可否定结论.【详解】解：对于A 选项，函数的值域为{0,1}，故A 选项错误.对于B 选项，.当x 为有理数时，()1f x =，(())()1f f x f x ==当x 为无理数时，()0f x =，()()()01f f x f ==所以R ∀∈，(())1f f x =，故B 选项正确.对于C 选项，x 为有理数时，2x +为有理数，(2)()1f x f x +==当x 为无理数时，2x +为无理数，(2)()0f x f x +==所以(2)()f x f x +=恒成立，故C 选项正确.对于D 选项，若ABC 为等腰直角三角形，不妨设角B 为直角，则()()()123,,f x f x f x 的值得可能性只能为()()()1230,1,0f x f x f x ===或()()()1231,0,1f x f x f x ===，由等腰直角三角形的性质得211x x -=，所以12()()f x f x =，这与()()12f x f x ≠矛盾，故D 选项错误.故选：BC.本题考查函数新定义问题，考查数学知识的迁移与应用能力，是中档题.本题解题的关键在于根据函数的定义，把握函数的值只有两种取值{0,1}，再结合题意讨论各选项即可得答案.三、填空题13．函数()f x =________.【正确答案】(,2)(2,2]-∞-- .【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()2f x x =+有意义，满足2020x x -≥⎧⎨+≠⎩，解得2x ≤且2x ≠-，所以函数()f x 的定义域为(,2)(2,2]-∞-- .故答案为.(,2)(2,2]-∞-- 14．已知函数()()()4,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()()13f f +-=______.【正确答案】26【分析】代入分段函数，分别求值.【详解】()15f =，()()()33721f -=-⨯-=，则()()1326f f +-=.故2615．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________．【正确答案】3+【详解】21a b += ，则1111223+3b aa b a b a b a b +=++=+≥+（）（）则11a b+的最小值为3+点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有11112a b a b a b+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16．在R 上定义运算：ba b c da d c =-．若不等式1211x a a x --≥+对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．【正确答案】32【分析】本题首先可根据题意将不等式转化为()()2121x x a a --≥-+，然后求出2514x x --≥-，将不等式转化为()()5214a a -≥-+，通过计算即可得出结果.【详解】由题意可知，()()()121211x a x x a a a x--=---++，不等式1211x a a x--≥+恒成立即()()()1211x x a a ---+≥恒成立，即()()2121x x a a --≥-+恒成立，因为221551244x x x ⎛⎫--=--≥- ⎪⎝⎭，所以()()5214a a -≥-+，即2304a a --≤，解得1322a -≤≤，则实数a 的最大值为32，故答案为.32四、解答题17．已知a R ∈，集合{}|23A x a x a =≤≤+，{}2560B x x x =+-≤．（1）当1a =-时，求A B ⋂；（2）若A B B ⋃=，求a 的取值范围．【正确答案】（1）{}|21A B x x ⋂=-≤≤；（2）[]()3,23,--+∞U ．【分析】（1）1a =-时，结合一元二次不等式的解法化简集合A ，B ，由此能求出A B ⋂．（2）由A B B ⋃=可得A B ⊆，分类讨论A =∅与A ≠∅，列出不等式，求解即可；【详解】（1）当1a =-时，{}2|2A x x -=≤≤{}()(){}{}2560160|61B x x x x x x x x =+-≤=-+≤=-≤≤，故{}|21A B x x ⋂=-≤≤；（2）由A B B ⋃=知A B⊆当A =∅时，23a a >+，解得3a >；当A ≠∅时，233126a a a a ≤+⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，解得32a --≤≤．综上所述，实数a 的取值范围为[]()3,23,--+∞U 易错点睛：本题主要考查了不等式，求集合的交集、集合的子集，属于容易题，在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“ ”还是求“ ”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.18．已知正实数,x y ，满足等式132x y+=.(1)求xy 的最小值；(2)若23x y m m +≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)3(2)23m -≤≤【分析】（1（2）由已知利用基本不等式求出3x y +的最小值，代入26m m ≥-，即可求出m 的范围．【详解】（1）因为,x y是正实数，所以132x y +=≥3xy ≥，当且仅当13x y=即1,3x y ==时，取等号，所以xy 的最小值为3；（2）因为,x y 是正实数，132x y+=，所以()6113131922662y x y x x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭⎝，当且仅当9y xx y=即1,3x y ==时，取等号，所以3x y +的最小值为6；因为23x y m m +≥-恒成立，∴26m m -≤，∴23m -≤≤．19．已知幂函数()y f x =的图象经过点（-3，-27）（1）求()y f x =的解析式；（2）判断()y f x =的单调性并用定义证明你的结论.【正确答案】(1)()3y f x x ==；(2)单调递增函数,证明过程见解析.【分析】(1)设出幂函数的解析式,把点（-3，-27）的坐标代入即可求出()y f x =的解析式；(2)运用函数的单调性的定义进行证明即可.【详解】(1)设()y f x x α==,因为幂函数()y f x =的图象经过点（-3，-27）,所以有27(3)3αα-=-⇒=,所以()y f x =的解析式是()3y f x x ==；(2)函数()3y f x x ==是实数集上的单调递增函数,证明如下：设12,,x x R ∀∈且12x x <.33222221212122112121113()()()()()[()]24f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-=-++=-++,因为12x x <,所以210x x ->,12,x x 不同时为零,故2221113[()]024x x x ++>,所以有2121()()0()()f x f x f x f x ->⇒<,因此函数()3y f x x ==是实数集上的单调递增函数.本题考查了已知幂函数过点求解析式问题,考查了运用单调性的定义证明幂函数的单调性.20．迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为600002cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5cm .（1）试用栏目高cm a 与宽cm b （0,0a b >>）表示整个矩形广告面积2cm S ；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.【正确答案】（1）30(2)60600S a b =++；（2）当广告矩形栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小为272600cm .【分析】（1）由题意知20000ab =，所以20000b a =，表示出广告的面积S ；（2）由（1）可得4000030()60600S a a=++，利用基本不等式可得出广告面积的最小值．【详解】（1）由栏目高cm a 与宽cm b （0,0a b >>），可知20000ab =，广告的高为(20)cm a +，宽为(330)cm b +(其中0,0a b >>)广告的面积(20)(330)30(2)60600S a b a b =++=++（2）由20000ab =，所以20000b a =4000030(2)6060030()60600S a b a a ∴=++=++3060600120006060072600≥⨯+=+=当且仅当40000a a=，即200a =时取等号，此时100b =.故当广告矩形栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小为272600cm .易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.21．已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x 、y 恒有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，又f (1)＝－23.(1)求证：f (x )为奇函数；(2)求证：f (x )在R 上是减函数；(3)求f (x )在[－3，6]上的最大值与最小值．【正确答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）最大值为2，最小值为－4【详解】(1)证明：令x ＝y ＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.令y ＝－x ，可得f(x)＋f(－x)＝f(x －x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，于是f(x 1－x 2)＜0.从而f(x 1)－f(x 2)＝f[(x 1－x 2)＋x 2]－f(x 2)＝f(x 1－x 2)＋f(x 2)－f(x 2)＝f(x 1－x 2)＜0.所以f(x)为减函数．(3)解：由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.于是f(x)在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－422．已知函数()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，满足()115f =，当20x -≤≤时，有()24ax b f x x +=+.(1)求a ，b 的值；(2)判断()f x 的单调性（不需要写证明过程）；(3)若对[]2,2x ∀∈-，都有21()24f x m m ≤-+恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1a =，0b =(2)函数()f x 在[]22-,为单调递增函数(3)][(),02,∞∞-⋃+【分析】（1）利用奇函数的性质()00f =，可求出b 的值，再利用()115f =可求出a 的值；（2）根据（1）的结论及对勾函数的性质，结合奇函数单调性的性质即可求解；（3）根据（1）结论及奇偶法求函数的解析式，再利用（2）的结论及函数单调性与最值的关系，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，结合一元二次不等式的解法即可求解.【详解】（1）函数()f x 是定义在[]22-,上的奇函数∴()00f =，即04b =∴0b =.又因为()115f =，即1(1)55a f -=-=-，所以1a =，经检验得符合题意.综上所述1a =，0b =.（2）由（1）知，1a =，0b =，所以()2144x f x x x x==++，由对勾函数的性质知，4x x +在[]2,0-上单调递减，所以()f x 在[]2,0-上单调递增，又因为函数()f x 是定义在[]22-,上的奇函数所以函数()f x 在[]22-,为单调递增函数.（3）由（1）可知，(]0,2x ∀，则[)2,0x -∈-(]2,0x -∈-因为当20x -≤≤时，有()24x f x x =+，函数()f x 是定义在[]22-,上的奇函数所以()()2244x x f x f x x x -=--=-=++，所以(]0,2x ∀∈，()24xf x x =+综上所述[]2,2x ∀∈-，()24x f x x =+，由（2）知，函数()y f x =在区间[]22-,上单调递增，所以()max 124f f ==，由于21()24f x m m ≤-+对[]2,2x ∀∈-恒成立，则[]2,2x ∀∈-，211244m m -+≥，即220m m -≥，于是有(2)0m m -≥，解得2m ≥或0m ≤，因此，实数m 的取值范围是][(),02,∞∞-⋃+.解决此题的关键第一问利用奇函数在0x =上有定义，则有(0)0f =即可，第二问主要利用对勾函数的性质及在公共定义域内函数单调性的性质即可；第三问利用奇偶法求函数的解析式及将不等式恒成立问题转化为函数的最值的最值问题即可.。
