第02讲 矢量分析

第2讲 矢量分析 矢量分析： 本附录列出矢量分析的主要公式，其详细证明可参阅有关的数学书籍。 1. 矢量代数 （1）三矢量的混合积 ()cab 这混合积是一个标量。如图I-1，a×b是与a和b垂直的矢量，其数值等于absinφ,即等于由a和b构成的平行四边形的面积。 ()coscabab=c 但ccosθ等于图中所示的平行六面体的高，因此c∙(a×b)等于由这三个矢量构成的平行六面体的体积。同理a∙(b×c)和b∙(c×a)都等于同一个体积。又因为a×b = − b×a，所以c∙(b×a) = − c∙(a×b)。总括起来，混合积有如下性质： ()()()abcbcacab ()()()acbbabcba （I.1） 上式表明，把三个矢量按循环次序轮换，其积不变；若只把两矢量对调，其积差一负号。 （2）三矢量的矢积 ()cab a×b是与a和b都垂直的一个矢量d，而c×d是与d垂直的一个矢量f，因此f必在a和b构成的平面上，即可表为a和b的线性组合。用矢积的分量表示可以直接算出结果。令 d=ab, ()f=cab=cd. 先算f的x分量f1： 12332212213311312233122331112233111223311()()()()()()()().fcdcdcababcababacbcbbcacaacbcbcbbcacacaab cbca 同样可算出f2和f3，结果是 ()()()f=cab=cbacab （I.2） 把c和(a×b)对调，矢积差一负号，由上式得 ()()()abccabcba （I.3） 由公式和可得规则：把括号外的矢量与括号内较远的矢量点乘起来，所得的项为正号，另一项为符号。 2. 散度、旋度和梯度 （1）矢量场f (x,y,z)的散度 设闭合曲面S围着体积ΔV。当ΔV→0时，f对S的通量与ΔV之比的极限称f为的散度

0lim.VVddiVSff （I.4） （2）矢量场f (x,y,z)的旋度 设闭合曲线L围着面积ΔS。当ΔS→0时，f对L的通量与ΔS之比的极限称f为的旋度沿该面法线的分量。

0()lim.nSdrotSflf （I.5） 上式可以写作，当ΔS→0时， ().drotSflf （I.5a） （3）标量场φ (x,y,z)的梯度 设沿线元dl上，标量场φ (x,y,z)的数值改变dφ.dφ/dl称为φ (x,y,z)的梯度沿dl方向的分量

(),ldgraddl （I.6） 上式可以写作， .dgraddl （I.6a） （4）积分变换式 由上述定义可得积分变换式

,SVVddidVS

ff （I.7）

式中S为区域V的界面。 ,LSdrotdSflf （I.8） 式中L为S的边界线。 （5）直角坐标系中散度、旋度和梯度的表示式

,yxzVfffdixyzf （I.9）

()()yxzzxyffffrotyzzxeef()yxzffxye,xyzxyzxyzfffeee （I.10） .xyzgradxyzeee （I.11） 式中ex,ey,ez是直角坐标系的三个单位矢量 （6）▽算符 在直角坐标系中▽算符定义为

xyzxyzeee （I.12） 利用▽算符，可以把散度、旋度和梯度表为 ,Vdiff ,rotff （I.13） .grad 在式中与另一矢量的标积和矢积形式上按一般矢量的标积和矢积运算。 3. 关于散度和旋度的一些定理 （1）标量场的梯度必为无旋场 0. （I.14） [证]令f = ▽φ, ()()yzxxffyzf()()0yzzy 同理可证其他分量为0，因此▽×▽φ = 0。 （2）矢量场的旋度必为无源场 0f （I.15） [证]

()()()0yyxxzzffffffxyzyzxzxyf （3）无旋场必可表为标量场梯度 0,=若则 ff （I.16） （4）无源场必可表为另一矢量的旋度 0,=A若则 ff （I.17） 4. ▽算符运算公式 下面先把公式列出，再加以说明。公式中φ，ψ代表标量场，f，g代表矢量场。 (), （I.18） ()(),fff （I.19） ()(),fff （I.20） ()()(),fgfgfg （I.21） ()()()()(),fggfgffgfg （I.22） ()()()()(),fgfgfggfgf （I.23） 2, （I.24） 2()()fff （I.25） [说明]以上公式都可以同直角分量展开直接验证。例如（I.19）式，

()()()()()()xyzyxzxyzffffxyzffffffxyzxyzff 事实上，我们不必这样用分量展开，只要我们正确地考虑到▽算符的特性，就可以把上列公式简单地写出来。 ▽算符在方向关系上是一个矢量，所以它的运算具有矢量运算的特点；另外，▽算符不同于普通矢量，它是微分算符，所以在其运算中我们必须考虑到微分运算的特点，不能把它和普通矢量任意对调位置。我们举例说明如下： （I.18）式：▽是微分算符，这公式和一般对两因子乘积的微分运算公式一样。 （I.19）式：作为微分算符，▽既要作用到φ上，有要作用到f上，再考虑到▽的矢量性质，就必须把点乘放在正确位置上。例如(▽∙φ)f是没有意义的，必须写成(▽φ)∙f。 （I.21）式：从微分运算看，▽既要对f作用，又要对g作用，所以应该有两项。从矢量运算看，这式子相当于三个矢量的混合积，我们必须注意三个矢量▽，f和g的次序。在右边第一项中，三个矢量次序没有对调，因此这两项取正号。从混合积公式看，∙和×的位置本来无关重要，但在这里必须写成(▽×f)∙g，因为另一写法(▽∙f) × g是没有意义的。是右边第二项中三个矢量顺序发生对调，所以这项取负号。 （I.22）式：从矢量性质看，这是三矢量的矢积。用公式（I.2），暂时不管▽的微分性质，得两项 ()()gffg （I.26） 从▽的微分性质看，每一项都既要对g微分，又要对f微分。考虑到这点，把第一项变为两项 ()()ggff 式中第一项是g的散度乘上f，第二项是要对f作微分运算，即

()xyzgggxyzf （I.26）的第二项也变为两项。 ()()ggff 由此即得（I.22）式。 （I.25）式：从矢量性质看，这是三矢量的矢积。由公式（I.2）得 2()()fff 这里要注意的是所有▽算符都要写在的前面。 5. 曲线正交坐标系 在一般曲线正交坐标系中，空间一点P的位置用三个坐标表示u1,u2和u3表示。沿这些坐标增加方向的单位矢量为e1 , e2和e3。沿这三个方向的线元为 111222333,,dlhdudlhdudlhdu （I.27） 其中h1,h2和h3一般为坐标的函数。在P点上任一矢量可以写为 112233fffeeef （I.28） 在曲线正交坐标系中有一般公式 123112233111huhuhueee （I.29）

231312123123123

1()()()hhfhhfhhfhhhuuuf （I.30）

3322123231133231312211312121()()1()()1()()hfhfhhuuhfhfhhuuhfhfhhuueeef （I.31） 22331121231112223331()()()hhhhhhhhhuhuuhuuhu （I.32） 最常用的曲线正交坐标系有柱坐标系和球坐标系。 （1）柱坐标系 123,,,uruuz 1231,,1,hhrh （I.33）

11rzrrrzeee （I.34） 11()zrffrfrrrzf （I.35） 111()zrzrrzffffrzzrfrfrrreeef （I.36） 22222211()rrrrz （I.37） （2）球坐标系 123,,,uruu 1231,,sin,hhrhr （I.38）

11sinrrrreee （I.39）

22111()(sin)sinsinrffrffrrrr （I.40）

111(sin)()sinsin1()rrrffffrfrrrfrfrreee （I.41） 22222222111()(sin)sinsinrrrrrr （I.42） 6. 并矢和张量 （1）定义 两矢量A和B并列，它们之间不作任何运算，称为并矢。A和B的并矢写为AB。把并矢AB看作一个量，它有9个分量

111213212223313233ABABABABABABABABAB （I.43） 一般来说 AB ≠ BA