初一数学第四讲绝对值

《绝对值》知识简要与举例1.绝对值的概念是代数的重要概念之一，它是学习代数后续内容的基础.同时，利用绝对值的概念，能使我们进一步认识已学过的概念.例如，我们可以把任何一个有理数看成是由符号与绝对值两部分组成；又如，互为相反数的两个数，其实质是绝对值相等而符号相反的两个数.像－6和6，它们的符号相反，而其绝对值|－6|=|6|=6.2.理解绝对值的意义，应注意以下三点：(1)绝对值的非负性即任何一个数a的绝对值，总是非负的.即|a|≥0.当a≠0时，|a|＞0；当a=0时，|a|=0.(2)绝对值相等的两个数或相等，或互为相反数.如|2|=|+2|=2，|+2|=|－2|=2.一般地，若|x|=|y|，则有x=y或x=－y.3.用正负数可以表示具有相反意义的量.但在实际生产和生活中，有时不考虑方向性.如：计算汽车的耗油量时，知道行驶单位路程的耗油量，只需求出汽车行驶的总路程，便可求出耗油量，与行驶的方向无关而汽车所走的路程就只需用正数表示，因此，引出绝对值的概念.4.绝对值的三种表达方法.（1）文字语言表达法（绝对值的概念）：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.（2）用数学式子法：设a为任意有理数，则(3)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.［例1］判断题(2)|－0.01|＜0.( )(3)－（－4）＜|－4|.( )(4)|a|=a.( )(5)当a≤0时，|a|+a=0.( )答案：(1)√；(2)×；(3)×；(4)×；(5)√.说明：在有理数的大小比较中，如果含有绝对值或相反数时，可先化简，然后再进行比较.［例2］填空题（5）______________与它的绝对值互为相反数；（6）如果|a|=|－7|，那么a=________.说明：如果两个数相等或互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；反之，如果这两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.［例3］a为何值时，下列各式成立?(1)|a|=a；（2）|a|=－a；（3）|a|≥a；（4）|a|＜a；（5）|a|=5；（6）|a|=－5.解：（1）a≥0；（2）a≤0；（3）a为任意有理数时，都使|a|≥a成立；（4）a为任意有理数时，|a|＜a都不成立；（5）a=±5；（6）a为任意有理数时，|a|=－5都不成立.说明：本题解决的关键是牢固掌握绝对值的非负性，即|a|≥0.另外，（3）、（4）小题还要准确理解有理数大小的比较法则.［例4］比较大小：［例5］把下列各数按照从大到小的顺序用“＞”连接起来：说明：学了绝对值的概念之后，比较两有理数大小的基本方法，我们便有了两种：(1)数轴法；(2)绝对值法.在这小节的后一部分，介绍了利用绝对值比较两个负数的大小的办法.这既可巩固绝对值的概念，又把比较有理数大小的方法提高了一步.利用绝对值来比较两有理数大小的方法是我们常用的方法之一.前面提到绝对值的概念是代数中重要的概念之一，我们应该很好地掌握它.［例6］（1）若a＞3,则|a－3|=________;（2）若a=3,则|a－3|=________;（3）若a＜3,则|a－3|=________.分析：要想正确地化简|a－3|的结果.关键是确定a－3的符号.当a＞3时，a －3＞0,即a－3为正，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3;当a=3时，a －3=0,所以|a－3|=|0|=0;当a＜3时，a－3＜0,即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得|a－3|=－(a－3).解：（1）a＞3时，|a－3|=a－3;（2）a=3时，|a－3|=0;（3）a＜3时，|a－3|=－(a－3)说明：由本题的解法说明，化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性.否则会出现错误，如|a－3|=a－3(×).。

第四讲 绝对值【知识要点】1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作的绝对值.2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是03．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小.4．绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥05．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数.6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数.7．绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ： 有a =()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0)0(0)0(a a a a a 或 a =()⎩⎨⎧<-≥0)0(a a a a 或 a =()()⎩⎨⎧≤->00a a a a 【经典例题】【例1】①一个数的绝对值是3，则这个数是②一个数的绝对值是0，则这个数是③有没有一个数的绝对值是-4？【例2】已知119,43==b a ，且a b <，试求a 、b 的值.【例3】实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则求代数式c b a c b a a ---++-的值.【例4】①已知021=-++b a ，求4201)(b a + ②4329x x +=+【例5】若12<≤-a ，求22-++a a 的值.【例6】讨论a +a 的值的情况.【初试锋芒】1.绝对值和相反数都等于它本身的数是 ．2.如果a 是负数，则a - 0；如果a -是负数，则a 0；如果a 是非负数，则a = ．3.若1123x -=-，则x = ． 4.若023=++-b a ，则=a ，=b ；若x =4，y =5，且y x <，则=x ，=y ；若m 与n 互为相反数，则n m +-1= ．5.互不相等的有理数a b c 、、在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果,a b b c a c -+-=-那么点A 、B 、C 在数轴上的位置关系是（ ）A.点A 在点B 、C 之间B.点B 在点A 、C 之间C.点C 在点A 、B 之间D.以上三种情况均有可能6.代数式15x y -+的最大值是 ，当此代数式取最大值时，x 与y 的关系是 .7.对任意有理数a ，式子1a -，1a +，1a -+，1a +中，取值不为0的是 。

《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。

简单来说，绝对值表示一个数在数轴上离原点的距离。

例如，数字 5 在数轴上距离原点 5 个单位长度，所以 5 的绝对值是5；而－5 在数轴上同样距离原点 5 个单位长度，所以－5 的绝对值也是 5。

用数学符号表示，｜5| ＝ 5，｜－5| ＝ 5。

绝对值的定义可以表述为：对于任意实数 a，当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。

这意味着，绝对值总是非负的，即｜a| ≥ 0 。

二、绝对值的性质1、非负性绝对值的最基本性质就是非负性，也就是说，任何数的绝对值都大于或等于零。

这是因为距离不能是负数。

2、对称性｜a| ＝｜a| ，即一个数和它的相反数的绝对值相等。

例如，｜3|＝｜－3| 。

3、自反性｜a| ＝ 0 当且仅当 a ＝ 0 。

4、三角不等式对于任意实数 a 和 b ，有｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b| 。

当且仅当ab ≥ 0 时，等号成立。

例如，当 a ＝ 2 ，b ＝ 3 时，｜2 ＋ 3| ＝ 5 ，｜2| ＋｜3| ＝ 5 ，此时等式成立。

但当 a ＝－2 ，b ＝ 3 时，｜－2 ＋ 3| ＝ 1 ，而｜－2| ＋｜3| ＝5 ，此时不等式成立。

三、绝对值的运算1、简单计算计算一个数的绝对值，只需要判断这个数是正数、负数还是零。

如果是正数或零，绝对值就是它本身；如果是负数，绝对值是它的相反数。

例如，｜7| ＝ 7 ，｜－8| ＝ 8 。

2、含有绝对值的加减法当进行含有绝对值的加减法运算时，需要先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，然后再进行运算。

例如，计算｜3 5| ，先计算 3 5 ＝－2 ，因为－2 ＜ 0 ，所以｜3 5| ＝｜－2| ＝ 2 。

3、含有绝对值的乘除法对于两个数的乘积或商的绝对值，有｜ab| ＝｜a| ｜b| ，｜a ／ b| ＝｜a| ／｜b| （b ≠ 0 ）。

例如，｜－2 × 3| ＝｜－6| ＝ 6 ，｜－6 ／ 3| ＝｜－2| ＝ 2 。

《绝对值》知识解析
课标要求
理解绝对值的含义，会求一个数的绝对值，理解绝对值的几何定义和代数定义。

知识结构
1．绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，它是一个数的几何特征，利用一个数的绝对值的几何意义可以直观地将数和点联系起来．更有利于研究它的性质．
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
3．任给一个有理数，求它的绝对值．
内容解析
教材首先通过实例提出决定一个数不仅是符号，还有它到原点的距离---绝对值，然后利用数轴提出绝对值的几何意义——数轴上表示数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，在数轴上研究不同类别的数的绝对值，归纳总结出绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．从而使学生学会求一个数的绝对值，了解有理数的绝对值的特征．
重点难点
本节的重点是正确理解绝对值的定义，能求一个数的绝对值．难点是正确理解一个数的绝对值的几何定义和代数定义．
教法导引
利用数轴引导学生观察绝对值的几何意义，总结绝对值的代数意义，通过数形结合，启发、诱导、讨论的方法学会找一个数的绝对值．
学法建议
联系生活实际，利用类推，归纳，相互讨论的方式来学习绝对值．。