江苏省泰州市2017届高三数学考前模拟试卷及答案

2016～2017高三模拟考试数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B = ▲ ．2．函数()sin(4)6f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．3．复数(i)(12i)a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = ▲ ． 4．某算法的伪代码如图所示，如果输入的x 值为32，则输出的y 值 为 ▲ ．5．从1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是偶数的概率为 ▲ ．6．若双曲线22221x y a b -=的离心率2=e ，则该双曲线的渐近线方程为▲ ．7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为 ▲ ．9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．10．如图，在由5个边长为1，一个顶角为60的菱形组成的图形中， AB CD ⋅= ▲ ．11．已知点,F A 是椭圆:C 2211612x y +=的左焦点和上顶点，若点 P 是椭圆C 上一动点，则PAF ∆周长的最大值为 ▲ ．第10题图DBA第4题图Read x If 5x ≤Theny ←2xElse y ←2log x End IfPrint y12．已知函数3()1f x x x =++，若对任意的x ，都有2()()2f x a f ax ++>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．在ABC ∆中，若120C =，tan 3tan A B =，sin sin A B λ=，则实数λ= ▲ ． 14．若函数22()(1)(0)f x ax a x a a =++->的一个零点为0x ，则0x 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b .（1）若3m =，1n =-，且(λ⊥+)a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值． 16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ． 17．（本题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在O 上，,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ． （1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,1)P 且互相垂直的两条直线分别与 圆22:4O x y +=交于点,A B ，与圆22:(2)(1)1M x y -+-=交于点,C D ．（1）若AB =CD 的长； （2）若CD 中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．19．（本题满分16分）已知函数2()2ln f x x x ax =+-，R a ∈．（1）若函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若a =e ，解不等式：()2f x <；（3）求证：当4a >时，函数()y f x =只有一个零点．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足11b =，22b =，12n n n n T bT b ++=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在正整数n ，使得11n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要求的n b ；若不存在，说明理由．2016～2017高三模拟考试高三数学参考答案一、填空题1．{1,1}-； 2．2π； 3．2； 4．5； 5．13；6．y =； 7．19； 8．； 9； 10．4-；11．16； 12．04a <<； 13．12+ ； 141. 二、解答题15. 解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ∴+=+-=+-a b ，若(λ⊥+)a a b ，则(0)=λ⋅+a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． ……………7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=，所以211122()216644mn m n ⋅⨯+≤++=+⨯=a b =， 故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． ……………14分 16. 证：（1）因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC CD ⊥，又因为CD AC ⊥，所以CD ⊥平面PAC ． ……………7分 （2）因为AB //CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以//AB 平面CDEF ， ……………10分 又因为平面PAB 平面CDEF EF =，AB ⊄平面CDEF ，所以//AB EF ． ……………14分17. 解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米，所以10OA OB AB ===，则3AOB π∠=，所以103AB π=，………2分所以广场的面积为2211050(1010)101002343ππ⋅⋅-⋅+=+-2m ）………6分 （2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=，则2220sin AD DG OK α===， ………8分 由余弦定理得 2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥， ………12分所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=时取等号，所以201)OA OB OC OD +++≤+= 因此求4条小路的总长度的最小值为 答：（1）广场的面积为501003π+- （2）4条小路的总长度的最小值为 …………14分 18. 解：（1）直线AB 斜率显然存在，设为k ，则直线:1AB y kx =+，因为22()42AB +=，所以AB = ………3分由=215k =，22211()12CD -+-=-，CD === ………6分 （2）当直线AB 斜率不存在时，ABE ∆的面积14242S =⨯⨯=； 当直线AB 斜率存在时，设为k ，则直线:1AB y kx =+，显然0k ≠，直线1:1CD y x k =-+1<得23k >, ………8分所以(,(3,)k ∈-∞+∞．因为22()42AB+=，所以AB =E 到直线AB 的距离即M 到AB的距离，为d ==，所以ABE ∆的面积12S AB d =⋅== ………12分 令234(45)t t k +=<<，则4)S ==．综上，ABE ∆面积的取值范围4]． …………16分说明：求S =范围还可以： 令214k t +=>，S ==∈19．解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()2ln f x x x ax =+-，2()2f x x a x'=+-， 由题意，对任意的0x >，都有2()20f x x a x '=+-≥，只要min 2(2)x a x+≥，由基本不等式得224x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， 所以4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞． ………4分（2）当a =e 时，2()2ln f x x x x =+-e ，2222()20x x f x x x x-+'=+-=>e e ， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为2()2ln 2f =+-⋅e e e e e =，所以()2()()f x f x f <⇔<e ，因此0x <<e ， 故不等式()2f x <的解集为(0,)e ． ………9分（3）2222()2x ax f x x a x x-+'=+-=，(0,)x ∈+∞，令2()22g x x ax =-+，当4a >时，因为2160a ∆=->,所以2()22g x x ax =-+一定有两个零点， 设为1212,()x x x x <，又因为121x x =，所以1201x x <<<，则()f x 在区间1(0,)x 或2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减， ………12分因为2111()220g x x ax =-+=，所以22111111()2ln 2ln 2f x x x ax x x =+-=--， 因为101x <<,所以221111()2ln 22ln120f x x x x =--<--<，所以21()()0f x f x <<，又()2ln ()f x x x x a =+-，则()2ln 0f a a =>，所以()f x 在(0,)+∞上只有一个零点． ………16分 说明：事实上，对任意的R a ∈，函数()y f x =只有一个零点． 20. 解：(1) 因为22n n S a =-，所以当2n ≥时，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=- ，即12n n a a -=，又1122S a =-，则12a =，所以数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，故2nn a =． ………4分由12n n n n T b T b ++=得 33111122233445112,,,,,n n n n n n n n T bT b T bT b T b T b T b T b T b T b --+++=====， 以上n 个式子相乘得11212n n n T b bT b b ++=，即12n n n T b b += ①，当2n ≥时，112n n n T b b --=②， 两式相减得 112()n n n n b b b b +-=-，即112n n b b +--=（2n ≥）， ………6分所以数列{}n b 的奇数项、偶数项分别成等差数列， 又1123T b T b =，所以32123b T b b ==+=，则1322b b b +=， 所以数列{}n b 是以11b =为首项，1为公差的等差数列，因此数列{}n b 的通项公式为n b n =． ………8分另法：由已知显然0n b ≠，因为12n n n n T bT b ++=，所以1112n n n n n n T T b b b b ++++=，则数列1{}n n n T b b +是常数列，所以111212n n n T T b b b b +==，即12n n n T b b +=，下同上． （2）当1n =时，11n n n n a b a b +++-无意义，设1121(2,)2(1)n n n n n n n a b n c n n a b n *+++++==∈--+Ｎ≥，显然1n c >，则111112221202(2)2(1)[2(2)][2(1)]n n n n n n n n nn n n c c n n n n +++++++++-⋅-=-=<-+-+-+⋅-+，即11n n c c +>>， 显然212(1)nnn n ++>-+，所以234731c c c =>=>>>，所以存在2n =，使得72b c =，33b c =， ………12分下面证明不存在2n c =，否则2122(1)n n nn c n ++==-+，即23(1)n n =+， 此式右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该式不成立．综上，满足要求的n b 为37,b b ． ………16分附加题参考答案21.A ．证明：因为CD 为圆的切线，弧BC 所对的圆周角为BAC ∠ 所以 BCD BAC ∠=∠ （1） 又因为 AB 为半圆O 的直径所以90ACB ∠=︒，又BD ⊥CD ，所以90CDB ACB ∠=︒=∠ （2） 由（1）、（2）得ABC CBD ∆∆ 所以2AB BCBC BA BD BC BD=⇒=⋅ ……………10分 21.B . 解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩所以4,3x y ==； ……………5分矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ……………10分21.C . 解：曲线C 的普通方程是2213x y +=． ……………………………2分直线l的普通方程是0x +=． ……………………………4分 设点M的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是d=10分21.D .证明：因为2≤(a +1+b +1)(12+12)=6， ………… 8分． …………10分，即证22≤，即证116a b +++≤，即证3(1)(1)a b =+++ 由基本不等式易得。

江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷答 案1．12-2．2|}0{x x ＜＜3．564．3 5．75006．110789．10．111．812．[46]-,13．214．3(,2)2- 15．解：（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即πsin 3f x A x =+()()．因为f x ()的图象经过点π()32，所以2πsin 32A =． ∴1A =， ∴πsin 3f x x =+()()．（2）由12f παα+=()(-)，得πππsin 1323αα++=()(-)，即ππsin 133αα++=()()，可得：ππ2sin 133[]α=(+)-，即1sin 2α=． 因为0πα∈(,)，解得：π6α=或5π6． 16．证明：（1）因为M 、N 分别为PD 、PC 的中点， 所以//MN DC ，又因为底面ABCD 是矩形，所以//AB DC ．所以//MN AB ，又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．（2）因为AP AD =，P 为PD 的中点，所以AM PD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD 平面ABCD =AD ，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥．因为CD 、PD ⊂平面PCD ，CDPD D =，∴AM ⊥平面PCD ．17．解：（1）由题意，10F (-,)，由焦点210F (,)，且经过31,2P ()， 由22PF PF a +=，即24a =，则2a =，2223b a c ==-， ∴椭圆的标准方程22143x y +=； （2）设直线AB 的方程为1y k x =+()．①若0k =时，24AB a ==，1FD FO +=， ∴4ABDF =．②若0k ≠时，11Ax y (,)，22B x y (,)，AB 的中点为00M x y (,)， 22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22224384120k x k x k +++=()-， ∴2122834k x x k +=-+，则202434k x k =-+，则0023134k y k x k =+=+()． 则AB 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k =+++--()， 由DA DB =，则点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点， ∴22034k D k +(-,)，∴22223313434k k DF k k +=-+=++， 由椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+， 同理21(4)2BF x =+， ∴212211212()4234k AB AF BF x x k +=+=++=+， ∴4ABDF = 则综上，得ABDF 的值为4．18．解：（1）设DQ 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，OQ DE ⊥，以CF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．设EF 与圆切于G 点，连接OG ，过点E 作EH OF ⊥，垂足为H ．∵EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，∴Rt EHF Rt OGF △≌△，∴12HF FG EF t ==-． ∴222111()2EF HF EF t =+=+-， 解得1024t EF t t=+(＜＜)． （2）设修建该参观线路的费用为y 万元． ①当103t <≤，由1325[2()]5()42t y t t t t =++=+．2325(02)y t '=-＜，可得y 在1(0,]3上单调递减， ∴13t =时，y 取得最小值为32.5． ②当123t <<时，2111632(8)[2()]1242t y t t t t t t=-++=+--． 22331624(1)(331)'12t t t y t t t -+-=-+=． ∵123t <<，∴23310t t +-＞． ∴1(,1)3t ∈时，0y '＜，函数y 此时单调递减；12t ∈(,)时，0y '＞，函数y 此时单调递增． ∴1t =时，函数y 取得最小值24.5．由 ①②知，1t =时，函数y 取得最小值为24.5．答：（1）1024t EF t t =+(＜＜)（百米）．（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元．19．解：（1）∵122331a b a b a b +=+=+，∴21111112a b q a d b q a d b +=++=++，化为：2210q q =--，1q ≠±． 解得12q =-． （2）m p p r r m a b a b a b +=+=+，即p m p r a a b b =--，∴p m r m m p m d b q q =--(-)(-)，同理可得：1r m m r p d b q =-(-)(-)．∵m ，p ，r 成等差数列，∴12p m r p r m ==--(-)，记p m q t =-，则2210t t =--， ∵1q ≠±，1t ≠±，解得12t =．即12p m q =-，∴10q -＜＜， 记p m α=-，α为奇函数，由公差大于1，∴3α≥． ∴11311()()22a q =≥，即131()2q ≤-， 当3α=时，q 取得最大值为131()2-． （3）满足题意的数组为23E m m m =++(,,)，此时通项公式为：1133()(1)288m n n a m -=---，*m N ∈． 例如134E =(,,)，31188n a n =-． 20．（1）证明：12a =时，21cos 2f x x x =+()， 故sin f x x x '=（）-，即sin g x x x =()-，1cos 0g x x '=≥()-， 故g x ()在R 递增；（2）解：∵2sin g x f x ax x ='=()()-，∴2cos g x a x '=()-， ①12a ≥时，1cos 0g x x '≥≥()-，函数f x '()在R 递增， 若0x ＞，则00f x f '=()＞()， 若0x ＜，则00f x f ''=()＜()，故函数f x ()在0+∞(,)递增，在0∞(-,)递减， 故f x ()在0x =处取极小值，符合题意； ②12a ≤-时，1cos 0g x x '≤≤()--，f x '()在R 递减， 若0x ＞，则00f x f ''=()＜()， 若0x ＜，则00f x f '=()＞()， 故f x ()在0+∞(,)递减，在0∞(-,)递增， 故f x ()在0x =处取极大值，不合题意； ③1122a -＜＜时，存在00x π∈(,)，使得0cos 2x a =，即00g x '=()， 但当00x x ∈(,)时，cos 2x a ＞，即0g x '()＜，f x '()在00x (,)递减， 故00f x f ''=()＜()，即f x ()在00x (,)递减，不合题意， 综上，a 的范围是1[2+∞,)； （3）解：记2cos ln 0h x ax x x x x =+-()(＞)，①0a ＞时，ln x x ＜，则1122ln x x <，即ln x <，当2x >时，112sin 1ln 2222022h x ax x x ax a a+'==()---＞--﹣﹣)＞，故存在21(2m a+=，函数h x ()在m +∞(,)递增； ②0a ≤时，1x ＞时，2sin 1ln sin 1ln 0h x ax x x x x '=()---＜---＜， 故存在1m =，函数h x ()在m +∞(,)递减；综上，函数ln y f x x x =()-在0+∞(,)上广义单调．21．解：连结PA 、PB 、CD 、BC ，因为PAB PCB ∠=∠，又点P 为弧AB 的中点，所以PAB PBA ∠=∠，所以PCB PBA ∠=∠，又DCB DPB ∠=∠，所以PFE PBA DPB PCB DCB PCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所E 、F 、D 、C 四点共圆．所以PE PC PF PD =．22．解：由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，解得2a =，4b =，所以矩阵1214M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 所以矩阵M 的特征多项式为2125614f λλλλλ--==+-()-，令0f λ=()，得矩阵M 的特征值为2和3． 23．解：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为：cos a ρθ=，又因为点)4π在圆C 上，所以cos 4a π=，解得6a =， 所以圆C 的极坐标方程为：6cos ρθ=．24．证明：∵a ，b ，c ，d 是正实数，且1abcd =，∴54a b c d a +++≥=，同理可得：54a b c d b +++≥=，54a b c d c +++≥=，54a b c d d +++≥=，将上面四式相加得：555533334444a b c d a b c d a b c d +++++++≥+++，∴5555a b c d a b c d +++≥+++．25．解：（1）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则000D (,,)，220B (,,)，010C (,,)，002S (,,) ∴(2,2,2)SB =-，(0,1,2)SC =-，(0,0,2)DS =设面SBC 的法向量为(,,)m x y z =由222020m SB x y z m SC y z ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩可取(1,2,1)m =-∵SD ⊥面ABC ，∴取面ABC 的法向量为(0,0,1)n = 6cos ,m n =∵二面角S BC A --为锐角．二面角S BC A --（2）由（1）知101E (,,)，则(2,1,0)CB =，(1,1,1)CE =-， 设CP CB λ=，01λ≤≤()．则(2,,0)CP λλ=，(12,1,1)PE CE CP λλ=-=---易知CD ⊥面SAD ，∴面SAD 的法向量可取(0,1,0)CD =cos ,13PE CD ==， 解得13λ=或119λ=（舍去）． 此时21(,,0)33CP =，∴5CP =∴线段CP26．解：（1）102()bc ad f x f x ax b -='=+()()， 2132[]2()()()bc ad ax b a bc ad f x f x ax b -+--='='=+()()； （2）猜想111(1)()!()n n n n a bc ad n f x ax b --+-++-++()=，*n N ∈， 证明：①当1n =时，由（1）知结论正确；②假设当n k =，*k N ∈时，结论正确， 即有111(1)()!()k k k k a bc ad k f x ax b --+-+-+=+() 11112(1)()1?1])[(k k k k k k a bc ad k a bc ad k ax b ax b -++-++-+=+++'=+---()(-)(-)()() 所以当10n k =+时结论成立，由①②得，对一切*n ∈N 结论正确．江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷解析1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵a+bi=（4+3i）i=﹣3+4i．∴a=﹣3，b=4．∴ab=﹣12．故答案为：﹣12．2．【考点】1F：补集及其运算．【分析】根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={x|x＞0}，A={x|x≥2}，则∁U A={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．3．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，由此能求出甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率．【解答】解：∵随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，∴基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，∴甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率：p=1﹣=．故答案为：．4．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．5．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校学生总人数．【解答】解：由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是=7500．故答案为：7500．6．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式求出首项a1=2，由此利用等差数列前n项和公式能求出S10．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．7．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC===．故答案为：．8．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，将其代入双曲线的方程可得a2的值，即可得双曲线的方程，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=8x，其焦点为（2，0），若双曲线﹣y2=1（a＞0）经过点（2，0），则有﹣0=1，解可得a2=4，即双曲线的方程为：﹣y2=1，则a=2，c==，则双曲线的离心率e==；故答案为：．9．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为： =2．故答案为：2．10．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出切点坐标P（x0，e x0+x0），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由直线是y=2x+b 是曲线y=e x+x的一条切线，求出实数b的值．【解答】解：∵y=e x+x，∴y′=e x+1，设切点为P（x0，e x0+x0），则过P的切线方程为y﹣e x0﹣x0=（e x0+1）（x﹣x0），整理，得y=（e x0+1）x﹣e x0•x0+e x0，∵直线是y=2x+b是曲线y=e x+x的一条切线，∴e x0+1=2，e x0=1，x0=0，∴b=1．故答案为1．11．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将变形可得则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4，由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，x，y满足x+y=1，则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4≥2+4=8，即的最小值是8；故答案为：8．12．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（﹣1≤μ≤0），由=+， =+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，﹣1≤μ≤0，即可求得﹣4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．【解答】解：∵AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（﹣1≤μ≤0），又=+， =+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又﹣1≤μ≤0，∴﹣4≤4μ≤0②，①+②得：﹣4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[﹣4，6]，故答案为：[﹣4，6]．13．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设出=t，化简可得圆的方程，运用两圆相减得交线，考虑圆心到直线的距离不大于半径，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），=t，则（1﹣t2）x2+（1﹣t2）y2﹣2x+（2﹣4t2）y+2﹣4t2=0，圆x2+y2=2两边乘以（1﹣t2），两圆方程相减可得x﹣（1﹣2t2）y+2﹣3t2=0，（0，0）到直线的距离d=，∵t＞0，∴0＜t≤2，∴的最大值是2，故答案为2．14．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出g（x）的解析式，计算g（x）的零点，讨论g（x）在区间[a，+∞）上的零点个数，得出g（x）在（﹣∞，a）上的零点个数，列出不等式解出a的范围．【解答】解：g（x）=，显然，当a=2时，g（x）有无穷多个零点，不符合题意；当x≥a时，令g（x）x=0得x=0，当x＜a时，令g（x）=0得x=0或x2=，（1）若a＞0且a≠2，则g（x）在[a，+∞）上无零点，在（﹣∞，a）上存在零点x=0和x=﹣，∴≥a，解得0＜a＜2，（2）若a=0，则g（x）在[0，+∞）上存在零点x=0，在（﹣∞，0）上存在零点x=﹣，符合题意；（3）若a＜0，则g（x）在[a，+∞）上存在零点x=0，∴g（x）在（﹣∞，a）上只有1个零点，∵0∉（﹣∞，a），∴g（x）在（﹣∞，a）上的零点为x=﹣，∴﹣＜a，解得﹣＜a＜0．综上，a的取值范围是（﹣，2）．故答案为（﹣，2）．15．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）由条件可求周期，利用周期公式可求ω=1，由f（x）的图象经过点（，），可求Asin =．解得A=1，即可得解函数解析式．（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin．结合范围α∈（0，π），即可得解α的值．16．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．17．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求得2a=4，由c=1，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆的标准方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M点坐标，求得直线AB垂直平分线方程，即可求得D点坐标，由椭圆的第二定义，求得丨AF丨=（x1+4），即丨BF丨=（x2+4），利用韦达定理即可求得丨AB丨，即可求得的值．18．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，以CF所在直线为x 轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy．设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EH⊥OF，垂足为H．可得Rt△EHF≌Rt△OGF，HF=FG=EF﹣t．利用EF2=1+HF2=1+，解得EF．（2）设修建该参观线路的费用为y万元．①当，由y=5=5．利用y′，可得y在上单调递减，即可得出y的最小值．②当时，y==12t+﹣﹣．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．19．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】（1）由a1+b2=a2+b3=a3+b1，利用等差数列与等比数列的通项公式可得：a1+b1q==a1+2d+b1，化简解出即可得出．（2）a m+b p=a p+b r=a r+b m，即a p﹣a m=b p﹣b r，可得（p﹣m）d=b m（q p﹣m﹣q r﹣m），同理可得：（r﹣p）d=b m（q r ﹣m﹣1）．由m，p，r成等差数列，可得p﹣m=r﹣p=（r﹣m），记q p﹣m=t，解得t=．即q p﹣m=，由﹣1＜q＜0，记p﹣m=α，α为奇函数，由公差大于1，α≥3．可得|q|=≥，即q，即可得出．（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a n=，m∈N*．20．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，单调函数的极小值，从而确定a的具体范围即可；（3）记h（x）=ax2+cosx﹣xlnx（x＞0），求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性证明即可．21．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】连结PA、PB、CD、BC，推导出∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，从而E、F、D、C四点共圆．由此能证明PE•PC=PF•PD．22．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为：ρ=acosθ，又因为点（3，）在圆C上，代入解得ρ即可得出圆C的极坐标方程．[选修4-5：选修4-5：不等式选讲]24．【考点】R6：不等式的证明．【分析】由不等式的性质可得：a5+b+c+d≥4=4a，同理可得其他三个式子，将各式相加即可得出结论．解答题25．【考点】MI：直线与平面所成的角；MT：二面角的平面角及求法．【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．26．【考点】RG：数学归纳法；63：导数的运算．【分析】（1）利用条件，分别代入直接求解；（2）先说明当n=1时成立，再假设n=K（K∈N*）时，猜想成立，证明n=K+1时，猜想也成立．从而得证．。

【关键字】试题江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.设复数为虚数单位），若，则的值是．2.已知集合，则．3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁首歌曲中的首，则甲、乙首歌曲至少有首被播放的概率是．4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是．5.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，其中大一年级抽取人，大二年级抽取人.若其他年级共有学生人，则该校学生总人数是．6.设等差数列的前项和为，若公差，则的值是．7.在锐角中，，若的面积为，则的长是．8.在平面直角坐标系中，若双曲线经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率是．9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为．10.若直线为曲线的一条切线，则实数的值是．11.若正实数满足，则的最小值是．12.如图，在直角梯形中，，若分别是线段和上的动点，则的取值范围是．13. 在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上一动点，则的最大值是．14.已知函数若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点.（1）求函数的解析式；（2）若角满足，求角值.16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面分别为棱的中点.求证：（1）平面；（2）平面.17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦过点，且与轴不垂直.若为轴上的一点，，求的值.18. 如图，半圆是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径的长为百米.为了保护景点，基地管理部门从道路上选取一点，修建参观线路,且,均与半圆相切，四边形是等腰梯形，设百米，记修建每百米参观线路的费用为万元，经测算.（1）用表示线段的长；（2）求修建参观线路的最低费用.19. 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，正整数组.（1）若，求的值；（2）若数组中的三个数构成公差大于的等差数列，且，求的最大值.（3）若，试写出满足条件的一个数组和对应的通项公式.(注：本小问不必写出解答过程) 20. 已知函数），记的导函数为.（1）证明：当时，在上的单调函数；（2）若在处取得极小值，求的取值范围；（3）设函数的定义域为，区间.若在上是单调函数，则称在上广义单调.试证明函数在上广义单调.数学Ⅱ(附加题)21. 【选做题】本题包括A、B、C、四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，已知为圆的一条弦，点为弧的中点，过点任作两条弦分别交于点.求证：.B. 选修4-2：距阵与变换已知矩阵，点在对应的变换作用下得到点，求矩阵的特征值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在坐标系中，圆的圆心在极轴上，且过极点和点，求圆的极坐标方程.D. 选修4-5：选修4-5：不等式选讲已知是正实数，且，求证：.【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90,2,1ADC DAB SD AD AB DC ∠=∠=====.（1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD 所成角的正弦值为13，求线段CP 的长. 23. 已知函数()()00,0cx df x a ac bd ax b+=≠-≠+，设()n f x 为()1n f x -的导数，n ∈N *. （1）求()()12,f x f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论.江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题参考答案一、填空题:1．12- 2.{}|02x x << 3.564.35.75006.1101 11.8 12：[]4,6-13.2 14.3,22⎛⎫-⎪⎝⎭二、解答题:15. 解：(1)由条件，周期2T π=，即22ππω=，所以1ω=，即()sin 3f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为()f x 的图象经过点,32π⎛⎝⎭，所以()2sin 1,sin 33A A f x x ππ⎛⎫=∴=∴=+ ⎪⎝⎭.(2)由()12f παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得sin 1332πππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 1,2sin 13333ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=∴+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即1sin 2α=.因为()0,,6παπα∈∴=或56π. 16. 解：(1)因为,M N 分别为棱,PD PC 的中点，所以//MN DC ，又因为底面ABCD 是矩形，所以//,//AB DC MN AB ∴.又AB ⊂平面,PAB MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .(2)因为,AP AD M =为PD 的中点，所以AM PD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD平面,,ABCD AD CD AD CD =⊥⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为,CD PD ⊂平面,,PCD CDPD D AM =∴⊥平面PCD .17. 解：(1)由题意，知24,2a a ==∴=.又2221,,c a b c b ==+∴=22143x y +=.(2)设直线AB 的方程为()1y k x =+.①若0k =时，24,1,4ABAB a FD FO DF====∴=. ②若0k ≠时，()()1122,,,,A x y B x y AB 的中点为()00,M x y ，代入椭圆方程，整理得()22223484120k x k x k +++-=，所以()2120002243,13434k k x x x y k x k k ==∴=-∴=+=++，所以AB 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭.因为DA DB =，所以点D为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22222233,0,1343434k k k D DF k k k ⎛⎫+-∴=-+= ⎪+++⎝⎭，因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得()1142AF x =+，同理()()2212021112124,442234k BF x AB AF BF x x x k +=+∴=+=++=+=+，所以4ABDF=，综上，得ABDF的值为4. 18. 解：设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，,OQ l DQ QE ⊥=，以OF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy . (1)设EF 圆切于G ，连结OG 过点E 作EH AB ⊥，垂足为H .因为,,EH OG OFG EFH GOF HEF =∠=∠∠=∠，所以1,2Rt EHF Rt OGF HF FG EF t ∆≅∆∴==-.由()2221111,0224t EF HF EF t EF t t⎛⎫=+=+-∴=+<< ⎪⎝⎭.(2) 设修建该参观线路的费用为y 万元. ①当11320,525342t t y t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<≤=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由232'502y t ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ ，则y 在10,3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以当13t =时，y 取得最小值为32.5. ②当123t <<时， 2111632821242t y t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()()223316241331'12t t t y t t t-+-=-+=， 212,33103t t t <<∴+->，且当1,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y <；当()1,2t ∈时，'0y >，所以y在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增.所以当1t =时，y 取得最小值为24.5. 由 ①②知，y 取得最小值为24.5.答：（1）EF 的长为114t ⎛⎫+⎪⎝⎭百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元. 19. 解：(1)由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，即()()21221,2101d b q q q q d b q ⎧=-⎪∴--=⎨=-⎪⎩，11,2q q ≠±∴=-.(2)由m p p r a b a b +=+，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()()1r m m r p d b q --=-，因为,,m p r 成等差数列，所以()12p m r p r m -=-=-.记p m q t -=，则有2210t t --=，1,1q t ≠±∴≠±，故12t =-，即1,102p mq q -=-∴-<<.记p m α-=，则α为奇函数，又公差大于1，所以113113,22q αα⎛⎫⎛⎫≥∴=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1312q ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，当3α=时，q 取最大值为1312⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)满足题意的数组(),2,3E m m m =++，此时通项公式为11331,288m n a n m m -⎛⎫⎛⎫=---∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭N *.例如：()3111,3,4,88==-n E a n . 20. 解：(1)当12a =时，()()21cos ,'sin 2f x x x f x x x =+∴=-，即()()sin ,'1cos 0g x x x g x x =-∴=-≥，()g x ∴在R 上单调递增.(2)()()()'2sin ,'2cos g x f x ax x g x a x ==-∴=-. ①当12a ≥时，()'1cos 0g x x ≥-≥，所以函数()'f x 在R 上单调递增.若0x >，则()()'00f x f >=；若0x <，则()()''00f x f <=，所以函数()f x 的单调增区间是()0,+∞，单调减区间是(),0-∞，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意.②当12a ≤-时，()'1cos 0g x x ≤--≤，所以函数()'f x 在R 上单调递减.若0x >，则()()''00f x f <=；若0x <，则()()''00f x f >=，所以()f x 的单调减区间是()0,+∞，单调增区间是(),0-∞，所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意. ③当1122a -<<时，()00,x π∃∈，使得0cos 2x a =，即()0'0g x =，但当()00,x x ∈时，cos 2x a >，即()'0g x <，所以函数()'f x 在()00,x 上单调递减，所以()()''00f x f <=，即函数()f x 在()00,x 单调递减，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）记()()2cos ln 0h x ax x x x x =+->. ①若0a >，注意到ln x x <，则1122ln x x <，即ln x < 当212x a ⎛> ⎝⎭时，()'2sin 1ln 22h x ax x x ax =--->-20=>.所以212m a ⎛+∃= ⎝⎭，函数()h x 在(),m +∞上单调递增.②若0a ≤，当1x >时，()'2sin 1ln sin 1ln 0h x ax x x x x =---<---<，所以1m ∃=，函数()h x 在(),m +∞上单调递减，综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间()0,+∞上广义单调.数学Ⅱ(附加题)21. A. 解：连结,,,PA PB CD BC ，因为PAB PCB ∠=∠，又点P 为弧AB 的中点，所以,PAB PBA PCB PBA ∠=∠∴∠=∠，又DCB DPB ∠=∠，所以PFE PBA DPB PCB DCB PCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以,,,E F D C 四点共圆.所以PE PC PF PD ⋅=⋅.B. 解：由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，解得2,4a b ==，所以矩阵1214M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.所以矩阵M 的特征多项式为()11f λλ-= 22564λλλ-=-+-，令()0f λ=，得122,3λλ==，所以M 的特征值为2和3.C. 解：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 极坐标方程为cos a ρθ=，又因为点4π⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆C上，所以cos 4a π=，解得6a =，所以圆C 极坐标方程为6cos ρθ=.D. 解：因为,,,a b c d是正实数，且51,4abcd a b c d a =∴+++≥=，① 同理54b b c d b +++≥，② 54c b c d c +++≥， ③ 54d b c d d +++≥，④ 将①②③④式相加并整理，即得5555d b c d a b c d +++≥+++. 22. 解：(1)以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则()()()()0,0,0,2,2,0,0,1,0,0,0,2D B C S ，所以()()()2,2,2,0,1,2,0,0,2SB SC DS =-=-=，设平面SBC 的法向量为()1,,n x y z =，由110,0n SB n SC ⋅=⋅=，得2220x y z +-=且20y z -=，取1z =，得1,2x y =-=，所以()11,2,1n =-是平面SBC 的一个法向量.因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =，设二面角S BC A --的大小为θ，所以12121cos 6n n n n θ⋅===，由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A --(2)由（1）知()1,0,1E ，则()()2,1,0,1,1,1CB CE ==-.设()01CP CB λλ=≤≤，则()()()2,1,02,,0,12,1,,1CP PE CE CP λλλλλ==∴=-=---，易知CD ⊥平面(),0,1,0SAD CD ∴=是平面SAD 的一个法向量.设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos ,5PE CD PE CDPE CDα⋅====13λ=或119λ=（舍）.所以215,,0,333CP CP ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以线段CP 23. 解：（1）()()()()()()()()'''10212232',+-+--⎡⎤⎡⎤======⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+++⎣⎦cx d bc ad cb ad a bc ad f x f x f x f x ax b ax b ax b ax b . （2）猜想()()()()1111!,n n n n a bc ad n f x n N ax b --*+-⋅⋅-⋅=∈+.证明：① 当1n =时，由(1)知结论正确；②假设当,n k k N *=∈时，结论正确，即有()()()()1111!k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+.当1n k =+时，()()()()()'11'111!--++⎡⎤-⋅⋅-⋅==⎢⎥+⎣⎦k k k k k a bc ad k f x f x ax b ()()()()'1111!--+-⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦k k k a bc ad k ax b ()()()()211!+-⋅⋅-⋅+=+k k k a bc ad k ax b ，所以当1n k =+时结论成立，由①②得，对一切n N *∈结论正确.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

2017年江苏省泰州市高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，3}，B={x|x∈R，x2＜3}，则A∩B=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）复数（a+i）（1+2i）是纯虚数（i是虚数单位），则实数a=．4．（5分）某算法的伪代码如图所示，如果输入的x值为32，则输出的y值为．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数和为偶数的概率为．6．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为．7．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10=．8．（5分）将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为．9．（5分）若正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则2x+y的最小值为．10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，•=．11．（5分）已知点F，A是椭圆C：的左焦点和上顶点，若点P是椭圆C上一动点，则△PAF周长的最大值为．12．（5分）已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是．13．（5分）在△ABC中，若C=120°，tanA=3tanB，sinA=λsinB，则实数λ=．14．（5分）若函数f（x）=ax2+（a2+1）x﹣a（a＞0）的一个零点为x0，则x0的最大值为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（15分）已知向量=（1，m），=（2，n）．（1）若m=3，n=﹣1，且⊥（+λ），求实数λ的值；（2）若|+|=5，求•的最大值．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）求证：AB∥EF．17．（15分）如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于点C，D．（1）若，求CD的长；（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．19．（15分）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若a=e，解不等式：f（x）＜2；（3）求证：当a＞4时，函数y=f（x）只有一个零点．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2；数列{b n}的前n 项和为T n，且满足b1=1，b2=2，．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得恰为数列{b n}中的一项？若存在，求所有满足要求的b n；若不存在，说明理由．（附加题）（[选做题]请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分，几何证明选讲）21．（10分）如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD⊥CD于点D．求证：BC2=BA•BD．B．（本小题满分0分，矩阵与变换）22．设矩阵M=，N=，若MN=，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．C．（本小题满分0分，坐标系与参数方程选讲）23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．D．（本小题满分0分，不等式选讲）24．已知a，b＞0，且a+b=1，求证：．【必做题】（每小题满分0分）25．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记．（1）当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值．26．设（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z）．（1）求证：a n2﹣8b n2能被7整除；（2）求证：b n不能被5整除．2017年江苏省泰州市高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，3}，B={x|x∈R，x2＜3}，则A∩B={﹣1，1} ．【解答】解：B={x|x∈R，x2＜3}={x|﹣＜x＜}，则A∩B={﹣1，1}，故答案为：{﹣1，1}2．（5分）函数的最小正周期为．【解答】解：函数，∴f（x）的最小正周期T=．故答案为．3．（5分）复数（a+i）（1+2i）是纯虚数（i是虚数单位），则实数a=2．【解答】解：∵（a+i）（1+2i）=a﹣2+（1+2a）i是纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）某算法的伪代码如图所示，如果输入的x值为32，则输出的y值为5．【解答】解：根据算法的功能是输出函数y=，当x=32时，y=log232=5．故答案为：5．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数和为偶数的概率为．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，基本事件总数n==6，两个数和为偶数包含怕基本事件个数m==2，∴这两个数和为偶数的概率p===．故答案为：．6．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得，即：，可得，该双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．7．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10=19．【解答】解：设数列的公差为d，（d≠0）∵S5=a32，得：5a3=a32，∴a3=0或a3=5；∵a2，a5，a14成等比数列，∴a52=a2•a14，∴（a3+2d）2=（a3﹣d）（a3+11d）若a 3=0，则可得4d2=﹣11d2即d=0不符合题意，若a3=5，则可得（5+2d）2=（5﹣d）（5+11d），解可得d=0（舍）或d=2，∴a10=a3+7d=5+7×2=19，故答案为：19．8．（5分）将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为8π．【解答】解：将1个半径为1的小铁球的体积为：，1个底面周长为2π，高4的铁制圆柱的体积为：4π，重新锻造成一个大铁球的体积为：，大球的半径为：=，r3=4，该大铁球的表面积为：4πr2=8π．故答案为：8π．9．（5分）若正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则2x+y的最小值为．【解答】解：∵正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，∴y=﹣，∴2x+y=2x+﹣=x+=（3x+）≥×2=，当且仅当x=时取等号，∴2x+y的最小值为，故答案为：10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，•=﹣4．【解答】解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：则A（，﹣），B（﹣，），C（1，），D（﹣1，﹣），∴=（﹣1，2），=（﹣2，﹣），∴=2﹣6=﹣4．故答案为：﹣4．11．（5分）已知点F，A是椭圆C：的左焦点和上顶点，若点P是椭圆C上一动点，则△PAF周长的最大值为16．【解答】解：椭圆C：，a=4，b=2，c=2，则左焦点（﹣2，0）和上顶点（0，2），则椭圆的右焦点F2（2，0），由椭圆的定义丨PF丨+丨PF2丨=2a=8，丨AF丨+丨AF2丨=2a=8，∴△PAF周长l：l=丨AF丨+丨PF丨+丨PA丨≤丨AF丨+丨PF丨+丨PF2丨+丨AF2丨=4a=16，当且仅当AP过F2时△PAF周长取最大值，∴△PAF周长的最大值16，故答案为：16．12．（5分）已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是0＜a＜4．【解答】解：构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3+x，则函数是奇函数，在R上单调递增，f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞0，∴x2+a＞﹣ax，∴x2+ax+a＞0，∴△=a2﹣4a＜0∴0＜a＜4，故答案为0＜a＜4．13．（5分）在△ABC中，若C=120°，tanA=3tanB，sinA=λsinB，则实数λ=．【解答】解：∵C=120°，由余弦定理可得：c2=a2+b2+ab，①∵tanA=3tanB，可得：sinAcosB=3sinBcosA，由正弦定理可得：acosB=3bcosA，∴由余弦定理可得：a=3b，整理可得：c2=2a2﹣2b2，②∴由①②可得：a2﹣ab﹣3b2=0，可得：（）2﹣﹣3=0，解得：=，∴由正弦定理可得：sinA=sinB，故答案为：．14．（5分）若函数f（x）=ax2+（a2+1）x﹣a（a＞0）的一个零点为x0，则x0的最大值为﹣1．【解答】解：解方程得x=，∴x0==﹣（+）+=﹣（+）+，令t=+，则t≥2=1，x0=﹣t+，设g（t）=﹣t+，则g′（t）=﹣1+=＜0，∴g（t）在[1，+∞）上单调递减，∴g（t）≤g（1）=﹣1，∴x0的最大值为﹣1，故答案为：﹣1．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（15分）已知向量=（1，m），=（2，n）．（1）若m=3，n=﹣1，且⊥（+λ），求实数λ的值；（2）若|+|=5，求•的最大值．【解答】解：（1）m=3，n=﹣1时，=（1，3），=（2，﹣1），∴+λ=（1+2λ，3﹣λ），∵⊥（+λ），∴•（+λ）=1+2λ+3（3﹣λ）=0，解得λ=10，（2）∵=（1，m），=（2，n），∴+=（3，m+n），•=2+mn，∵|+|=5，∴9+（m+n）2=25，∴（m+n）2=16，∴•=2+mn≤2+（m+n）2=6，当且仅当m=n=2或m=n=﹣2时取等号，故•的最大值6．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）求证：AB∥EF．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PC，∵CD⊥AC，PC∩AC=C，∴CD⊥平面PAC．（2）∵AB∥CD，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F，且平面CDEF∩平面PAB=EF，又CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB，∴CD∥EF，∴AB∥EF．17．（15分）如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值．【解答】解：（1）连接AB，∵AB=10，∴正方形ABCD的面积为100，又OA=OB=10，∴△AOB为正三角形，则，而圆的面积为100π，∴扇形AOB得面积为，又三角形AOB的面积为．∴弓形面积为，则广场面积为100+（平方米）；（2）过O作OK⊥CD，垂足为K，过O作OH⊥AD（或其延长线），垂足为H，设∠OA D=θ（0＜θ＜），则OH=10sinθ，AH=10cosθ，∴DH=|AD﹣AH|=|2OH﹣AH|=|20sinθ﹣10cosθ|，∴OD==．∴当θ=时，．∴铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值为（米）．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于点C，D．（1）若，求CD的长；（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．【解答】解：（1）设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0），∵，∴+=22，化为：k2=15，解得k=．∴直线CD的方程为：y=x+1．∴|CD|=2=．（2）①直线AB为y轴时，直线AB的方程为：x=0，直线CD的方程为：y=1．S△ABE===4．②直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+1，若k=0，则方程为y=1，经过圆心（2，1），此时△ABE不存在，舍去．k≠0时，可得直线CD的方程为：y=﹣x+1．|AB|=2=2．联立，化为：（k2+1）x2﹣4k2x+3k2=0，△=16k4﹣12（k2+1）k2＞0，化为：k2＞3．∴x1+x2=，可得E．∴点E到直线AB的距离d==．=|AB|•d=×2×=2=2，∴S△ABE令k2+1=t＞1，可得f（t）==∈（0，2）．∈（0，4）．∴S△ABE综上可得：S∈（0，4]．△ABE19．（15分）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若a=e，解不等式：f（x）＜2；（3）求证：当a＞4时，函数y=f（x）只有一个零点．【解答】解：（1）由f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）=2lnx+x2﹣ax，f′（x）=+2﹣a，由题意，对任意的x＞0，都有f′（x）=+2﹣a≥0，只要（+2x）min≥a，由+2x≥2=4，当且仅当x=1时取等号，则a≤4，∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]；（2）当a=e，f（x）=2lnx+x2﹣ex，f′（x）=+2﹣e=＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（e）=2lne+e2﹣e2=2，∴f（x）＜2，则f（x）＜f（e），∴0＜x＜e，故不等式f（x）＜2的解集为（0，e）；（3）证明：由f′（x）=+2﹣a=，x∈（0，+∞），g（x）=2x2﹣ax+2，当a＞4时，△=a2﹣16＞0，∴g（x）=2x2﹣ax+2一定有两个零点，设x1，x2（x1＜x2），x1x2=1，0＜x1＜1＜x2，则f（x）在区间（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，g（x 1）=2x12﹣ax1+2=0，∴f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1=2lnx1+x12﹣2，由0＜x1＜1，则f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1＜2ln1+1﹣2＜0，∴f（x2）＜f（x1）＜0，由f（x）=2lnx+x（x﹣a），则f（a）=2lna＞0，∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2；数列{b n}的前n 项和为T n，且满足b1=1，b2=2，．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得恰为数列{b n}中的一项？若存在，求所有满足要求的b n；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由S n=2a n﹣2，则当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，两式相减得：a n=2a n﹣2a n﹣1，则a n=2a n﹣1，由S1=2a1﹣2，则a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a n=2n，由．则=，=，=，…，=．=以上各式相乘，=，则2T n=b n b n+1，当n≥2时，2T n=b n﹣1b n，两式相减得：2b n=b n（b n+1﹣b n﹣1），即b n+1﹣b n﹣1=2，﹣1∴数列{b n}的奇数项，偶数项分别成等差数列，由=，则b3=T2=b1+b2=3，b1+b3=2b2，∴数列{b n}是以b1=1为首项，1为公差的等差数列，∴数列{b n}的通项公式b n=n；（2）当n=1时，无意义，设c n==，（n≥2，n∈N*），﹣c n=﹣=＜0，则c n+1即c n＞c n＞1，+1显然2n+n+1＞2n﹣（n+1），则c2=7＞c3=3＞c4＞ (1)∴存在n=2，使得b7=c2，b3=c3，下面证明不存在c2=2，否则，c n==2，即2n=3（n+1），此时右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该不等式成立，综上，满足要求的b n为b3，b7．（附加题）（[选做题]请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分，几何证明选讲）21．（10分）如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD⊥CD于点D．求证：BC2=BA•BD．【解答】证明：CD与半圆相切于点C．由弦切角定理可得：∠DCB=∠CAB．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，由BD⊥CD，∴∠D=90°，∴△ACB∽△CDB．∴=，∴BC2=BA•BD．B．（本小题满分0分，矩阵与变换）22．设矩阵M=，N=，若MN=，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【解答】解：∵M=，N=，∴MN=，∵MN=，∴，解得x=4，y=3，∴M=，∵（A|I）=→→．∴矩阵M的逆矩阵M﹣1=．C．（本小题满分0分，坐标系与参数方程选讲）23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．【解答】解：曲线C的普通方程是．（2分）直线l的普通方程是．（4分）设点M的坐标是的距离是．（6分），d取得最大值．（8分）．D．（本小题满分0分，不等式选讲）24．已知a，b＞0，且a+b=1，求证：．【解答】证明：∵a+b=1，由≤可得：a+1+b+1+2≤6，∴2≤3由不等式的性质可得：2≤a+1+b+1=3，当且仅当a=b时取等号．∴．【必做题】（每小题满分0分）25．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记．（1）当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值．【解答】解：（1）连结CE，以EB、EC、EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（﹣1，0，0），∵F是线段AB上一动点，且=λ，则==（﹣），∴F（1﹣λ，0，），当时，F（），=（），=（1，﹣，0），∴cos＜，＞==，∴异面直线DF与BC所成角的余弦值为．（2）=（1﹣），=（1，0，），=（1，，0），设平面ACD的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），∵CF与平面ACD所成角的正弦值为，∴|cos＜＞|==，解得或λ=2（舍），∴λ=2．26．设（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z）．（1）求证：a n2﹣8b n2能被7整除；（2）求证：b n不能被5整除．【解答】证明：（1）（1+2）2n+1=+（2）+（2）2+…+（2）2n+1，（1﹣2）2n+1=﹣（2）+（2）2+…﹣（2）2n+1，由（1+2）2n+1=a n+2b n，（1﹣2）2n+1=a n﹣2b n，（1+2）2n+1（1﹣2）2n+1=（a n+2b n）（a n﹣2b n），即a n2﹣8b n2=﹣72n+1，∴a n2﹣8b n2能被7整除；（2）由a n2﹣8b n2=﹣72n+1，则8b n2=a n2+72n+1，由72n=49n=（50﹣1）n=×50n+×50n﹣1×（﹣1）1+…+×50×（﹣1）n ﹣1+×（﹣1）n，除最后一项都是5的倍数，∴72n+1的余数是2或﹣2，由a n2的是平方数，其尾数为0，1，4，5，6，9，∴a n2+72n+1的尾数不可能是0或5，∴a n2+72n+1不能被5整除，即8b n2不能被5整除，∴b n不能被5整除．。

2021年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．2．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，那么A∪B=．复数z=〔1+2i〕2，其中i为虚数单位，那么z的实部为．34．口袋中有假设干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，那么摸出蓝球的概率为．5．如图是一个算法的流程图，那么输出的n的值为．6．假设实数x，y满足那么z=3x2y的最大值为．+7．抽样统计甲、乙两名学生的 5次训练成绩〔单位：分〕，结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲658070857 5乙807075807 0那么成绩较为稳定〔方差较小〕的那位学生成绩的方差为．8．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，那么三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线，那么该双曲线的离心率为．10．?九章算术?中的“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，那么该竹子最上面一节的容积为升．11．在△ABC中，假设?+2?=?，那么的值为．12．两曲线f〔x〕=2sinx，g〔x〕=acosx，相交于点P．假设两曲线在点P处的切线互相垂直，那么实数a的值为．1 3．函数2+2〕＞f〔x〕的解集用区间表示为．f〔x〕=|x|+|x﹣4|，那么不等式f〔x1 4．在平面直角坐标系xOy 中，B，C为圆x2+y2=4上两点，点〔，〕，且⊥，那么线段A11ABACBC的长的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB= ．1〕求cosβ的值；2〕假设点A的横坐标为，求点B的坐标．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：1〕直线PA∥平面BDE；2〕平面BDE⊥平面PCD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆〔a＞b＞0〕的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．18．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到N处，FN交边BC于点P〕，再沿直线PE裁剪．ABCD进行裁剪．点F为AD的中点，点EMNFE 处〔点C，D分别落在直线BC下方点M，1〕当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；2〕假设使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．函数f〔x〕=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．1〕当时，求函数f〔x〕的最小值；2〕假设﹣1≤a≤0，证明：函数f〔x〕有且只有一个零点；3〕假设函数f〔x〕有两个零点，求实数a的取值范围．20．等差数列{an}的公差d不0，且，，⋯，，⋯〔k1＜k2＜⋯＜kn＜⋯〕成等比数列，公比q．1〕假设k1=1，k2=3，k3=8，求的；〔2〕当何，数列{kn}等比数列；〔3〕假设数列{k}等比数列，且于任意n∈N*，不等式恒成立，求a的取范．1南通市2021届高三第一次研数学Ⅱ〔附加〕[做本包括四小，多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．[修明]2作答．假设4-1：几何21．O的直径AB=4，C AO的中点，弦DE点C且足CE=2CD，求△OCE的面．[修4-2：矩与]22．向量是矩A的属于特征1的一个特征向量．在平面直角坐系xOy中，点P〔1，1〕在矩A的作用下P'〔3，3〕，求矩A．[修4-4：坐系与参数方程]23．在极坐系中，求直被曲ρ=4sin所θ截得的弦．[修4-5：不等式]24．求函数的最大．[必做]共2小，分20分〕25．如，在棱2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P棱C1D1的中点，Q棱BB1上的点，且BQ=λBB1〔λ≠0〕．〔1〕假设，求AP与AQ所成角的余弦值；〔2〕假设直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py〔p＞0〕上的点M〔m，1〕到焦点F的距离为2，1〕求抛物线的方程；2〕如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．2021年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．设集合A=1，3，B=a2，5，A∩B=3，那么A∪B=，3，5}{}{+}{【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，那么A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．复数z=〔12i2，其中i为虚数单位，那么z的实部为﹣3〕+【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=〔1+2i〕2=1+4i+〔2i〕2=﹣3+4i，z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．口袋中有假设干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，那么摸出蓝球的概率为．【考点】概率的根本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，∴摸出蓝球的概率为1﹣﹣．故答案为．5．如图是一个算法的流程图，那么输出的n的值为5 ．【考点】程序框图．【分析】由的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．假设实数x，y满足那么z=3x+2y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+ z，由图象可知当直线y=﹣x+ z经过点A时，直线y=﹣x+ z的截距最大，此时z最大．由，解得A〔1，2〕，代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．抽样统计甲、乙两名学生的 5次训练成绩〔单位：分〕，结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲658070857 5乙807075807 0那么成绩较为稳定〔方差较小〕的那位学生成绩的方差为20 ．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比拟可得S甲2＞S乙2，那么乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数=，其方差2[〔65﹣75〕2+=75=80﹣75〕2+〔70﹣75〕2+〔85﹣75〕2+〔75﹣75〕2]=50；对于乙，其平==75，其方=2+70﹣75〕2〔75﹣均数差S〔75〕[〔80﹣75〕+ 2+〔80﹣75〕2+〔70﹣75〕2]=20；比拟可得：S甲2＞S乙2，那么乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．如图，在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，那么三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积= = ，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：= === = 〔cm3〕．故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线，那么该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线 =1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得= ．故答案为：．10．?九章算术?中的“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共3升，下面3节的容积共4升，那么该竹子最上面一节的容积为升．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．在△ABC中，假设?2?=?，那么的值为+【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由?+2?=?，得ac?cosB+2bc?cosA=ba?cosC，由余弦定理得：a2+c2﹣b2〕+〔b2+c2﹣a2〕=〔b2+a2﹣c2〕，化简得=2，=，由正弦定理得= = ．故答案为：．12．两曲线f〔x〕=2sinx，g〔x〕=acosx，相交于点P．假设两曲线在点P处的切线互相垂直，那么实数a的值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx= = ，a＞0，设交点P〔m，n〕，分别求出f〔x〕，g 〔x〕的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角根本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f〔x〕=g〔x〕，即2sinx=acosx，即有tanx= = ，a＞0，设交点P〔m，n〕，f〔x〕=2sinx的导数为f′〔x〕=2cosx，g〔x〕=acosx的导数为g′〔x〕=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm?〔﹣asinm〕=﹣1，且tanm=，那么=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+ ，解得a= ．故答案为：．13．函数f〔x〕=|x|+|x﹣4|，那么不等式f〔x2+2〕＞f〔x〕的解集用区间表示为．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g〔x〕=f〔x2+2〕﹣f〔x〕=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g〔x〕=f〔x2+2〕﹣f〔x〕=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g〔x〕=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g〔x〕=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g〔x〕=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g〔x〕=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g〔x〕=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．在平面直角坐标系2y2=4上两点，点A〔1，1〕，且AB⊥AC，那么线段xOy中，B，C为圆x+BC的长的取值范围为[，]．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，B，C为圆x2+y2=4上两点，点〔，〕，且⊥，11ABAC如下图当BC⊥OA时，BC取得最小值或最大值．由，可得B〔，1〕或〔，1〕，||由，可得C〔1，〕或〔1，﹣〕解得BCmin= = ，BCmax= = ．故答案为：[ ，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点 A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB= ．1〕求cosβ的值；2〕假设点A的横坐标为，求点B的坐标．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】〔1〕由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．2〕利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的根本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．【解答】解：〔1〕在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos∠AOB，所以，= ，即．〔2〕因为，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：1〕直PA∥平面BDE；2〕平面BDE⊥平面PCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直与平面平行的判定．【分析】〔1〕OE，明OE∥PA．然后明PA∥平面BDE．2〕明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后明平面BDE⊥平面PCD．【解答】明：〔1〕OE，因O平行四形ABCD角的交点，所以OAC中点．又因EPC的中点，所以OE∥PA．⋯4分又因OE?平面BDE，PA?平面BDE，所以直PA∥平面BDE．⋯6分2〕因OE∥PA，PA⊥PD，所以O E⊥PD．⋯8分因OP=OC，EPC的中点，所以OE⊥PC．⋯10分又因PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．⋯12分又因OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．⋯14分．17．如，在平面直角坐系xOy中，〔a＞b＞0〕的离心率，焦点到相准的距离1．〔1〕求的准方程；〔2〕假设P上的一点，点O作OP的垂交直于点Q，求的．【考点】直与的位置关系；的准方程．【分析】〔1〕由条件可得，，然后求解的方程．〔2〕由意知OP的斜率存在．当OP的斜率0，求解果；当OP的斜率不0，直OP方程y=kx．立方程，推出．OQ222．然后求解即可．=2k+【解答】解：〔1〕由意得，，，⋯2分解得，c=1，b=1．所以的方程．⋯4分〔2〕由意知OP的斜率存在．当OP的斜率0，，，所以．⋯6分当OP的斜率不0，直OP方程y=kx．由得〔2k2+1〕x2，解得，所以，=2所以．⋯9分因OP⊥OQ，所以直OQ的方程．由得，所以OQ2=2k2+2．⋯12分所以．上，可知．⋯14分．18．如，某机械厂要将6m，2m的方形皮ABCD行裁剪．点 F AD的中点，点E在BC上，裁剪先将四形CDFE沿直EF翻折到MNFE〔点C，D分落在直BC下方点M，N，FN交BC于点P〕，再沿直PE裁剪．1〕当∠EFP=，判断四形MNPE的形状，并求其面；2〕假设使裁剪得到的四形MNPE面最大，出裁剪方案，并明理由．【考点】函数模型的与用．【分析】〔1〕当∠EFP=，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四形MNPE矩形．即可得出．〔2〕解法一：，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四形MNPE 面= = ，化利用根本不等式的性即可得出．解法二：BE=tm，3＜t＜6，ME=6 t．可得PE=PF，即．，NP=3T+ ，四形MNPE面= = ，利用根本不等式的性即可得出．【解答】解：〔1〕当∠EFP=，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN⊥BC，四形MNPE矩形．⋯3分所以四形MNPE的面S=PN?MN=2m．⋯5分〔2〕解法一：，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，．⋯8分由得所以四形MNPE面====⋯12分．当且当，即取“=．〞⋯14分此，〔*〕成立．答：当，沿直PE裁剪，四形MNPE面最大，最大m2．⋯16分解法二：BE=tm，3＜t＜6，ME=6t．因∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．所以，⋯8．分由得所以四形MNPE面==⋯1 2分=．当且当，即取“=．〞⋯14分此，〔*〕成立．答：当点E距B点m，沿直PE裁剪，四形MNPE面最大，最大m2．⋯16分．19．函数f〔x〕=ax2x lnx，a∈R．1〕当，求函数f〔x〕的最小；2〕假设1≤a≤0，明：函数f〔x〕有且只有一个零点；3〕假设函数f〔x〕有两个零点，求数a的取范．【考点】数在最大、最小中的用；根的存在性及根的个数判断；利用数研究函数的极．【分析】〔1〕当，．求出函数的数，得到极点，然后判断性求解函数的最．〔2〕由f〔x〕=ax2 x lnx，得．当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点，当1≤a≤0，f〔1〕=a1＜0，，推出果．〔3〕由〔2〕知，当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点．明a＞0，由f〔x〕=ax2xlnx，得，明函数f〔x〕在〔0，x0〕上减；在〔0，∞〕+上增．要使得函数f〔x〕在〔0，+∞〕上有两个零点，只需要．通函数h〔x〕=2lnx+x1在〔0，+∞〕上是增函数，推出0＜a＜1．当0＜a＜1，函数f〔x〕有两个零点．明：lnx≤x1．t〔x〕=x 1 lnx，利用数求解函数的最即可．【解答】解：〔1〕当，．所以，〔x＞0〕．⋯2分令f'〔x〕=0，得x=2，当x∈〔0，2〕，f'〔x〕＜0；当x∈〔2，+∞〕，f'〔x〕＞0，所以函数f〔x〕在〔0，2〕上减，在〔2，+∞〕上增．所以当x=2，f〔x〕有最小．⋯4分〔2〕由f〔x〕=ax2 x lnx，得所以当a≤0，，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上减，所以当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点．⋯6分因当1≤a≤0，f〔1〕=a 1＜0，，所以当1≤a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上有零点．1a0，函数〕有且只有一个零点．⋯8上，当≤≤〔分3〕由〔2〕知，当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点．因函数f〔x〕有两个零点，所以a＞0．⋯9分由f〔x〕=ax2x lnx，得，令g〔x〕=2ax2 x 1．因g〔0〕= 1＜0，2a＞0，所以函数g〔x〕在〔0，+∞〕上只有一个零点，x0．当x∈〔0，x0〕，g〔x〕＜0，f'〔x〕＜0；当x∈〔x0，+∞〕，g〔x〕＞0，f'〔x〕＞0．所以函数f 〔x〕在〔0，x0〕上减；在〔x0，+∞〕上增．要使得函数f〔x〕在〔0，+∞〕上有两个零点，只需要函数f〔x〕的极小f〔x0〕＜，即．又因，所以2lnx0x01＞0，+又因函数h〔x〕=2lnxx1在〔0，∞〕上是增函数，且h〔1〕=0，++所以x0＞1，得．又由，得，所以0＜a＜1．⋯13分以下当0＜a＜1，函数f〔x〕有两个零点．当0＜a＜1，，所以．因，且f〔x0〕＜0．所以函数f〔x〕在上有一个零点．又因〔因lnx≤x1〕，且f〔x0〕＜0．所以函数f〔x〕在上有一个零点．所以当0＜a＜1，函数f〔x〕在内有两个零点．上，数a的取范〔0，1〕．⋯16分下面明：lnx≤x1．t〔x〕=x 1 lnx，所以，〔x＞0〕．令t'〔x〕=0，得x=1．当x∈〔0，1〕，t'〔x〕＜0；当x∈〔1，+∞〕，t'〔x〕＞0．所以函数t〔x〕在〔0，1〕上减，在〔1，+∞〕上增．所以当x=1，t〔x〕有最小t〔1〕=0．所以t〔x〕=x1lnx≥0，得lnx≤x1成立．20．等差数列{an}的公差d不0，且，，⋯，，⋯〔k1＜k2＜⋯＜kn＜⋯〕成等比数列，公比q．〔1〕假设k1，2，3，求的；=1k=3k=8〔2〕当何，数列{kn}等比数列；〔3〕假设数列{kn}等比数列，且于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取范．【考点】数列与不等式的合；等比数列的性．【分析】〔1〕由得：a13821的．，a，a成等比数列，从而4d=3ad，由此能求出〔2〕数列{kn}等比数列，，推出，从而，而．由此得到当，数列{kn}等比数列．〔3〕由数列{kn等比数列，1，．得到，a=d恒成立，再明于任意的正数ε〔0＜ε＜1〕，存在正整数n1，使得．要，即lnn11ε1的取范．＜+【解答】解：〔1〕由可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，⋯2分整理可得：4d2=3a1d．因d≠0，所以．⋯4分〔2〕数列{kn等比数列，．}又因，，成等比数列，所以．整理，得．因，所以1〔2kk〕=d〔2k kk〕．23213因2kk1k3，所以a1=d，即．⋯6≠+当，an=a1+〔n1〕d=nd，所以．又因，所以．所以，数列{kn等比数列．}上，当，数列{kn}等比数列．⋯8分〔3〕因数列{kn等比数列，由〔〕知1，．2a =d，an1〔〕1．= a+n1d=na因于任意n∈N*，不等式恒成立．所以不等式，即，恒成立．⋯10分下面明：于任意的正数ε〔0＜ε＜1〕，存在正整数n1，使得．要，即lnn1＜1ε．nlnq+ln因，，解不等式，即，可得，所以．不妨取，当n1＞n0，原式得．所以，所以a1≥2，即得a1的取范是[2，+∞〕．⋯16分南通市2021届高三第一次研数学Ⅱ〔附加〕[做本包括四小，2作答．假设多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．[修4-1：几何明]21的直径AB=4AO的中点，弦DE点且足CE=2CDOCE．，，求△的面．【考点】与有关的比例段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面．【解答】解：CD=x，CE=2x．因CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA?CB=CD?CE，所以1×3=x?2x=2x2，所以．⋯2分取DE中点H，OH⊥DE．因，所以⋯6．分又因，所以△OCE的面．⋯10分．[修4-2：矩与]22．向量是矩A的属于特征1的一个特征向量．在平面直角坐系xOy中，点P 〔1，1〕在矩A的作用下P'〔3，3〕，求矩A．【考点】特征与特征向量的算．【分析】，根据矩，列方程，即可求得a、b、c和d的，求得A．【解答】解：，因向量是矩A的属于特征1的一个特征向量，所以．所以⋯4分因点P〔1，1〕在矩A的作用下P'〔3，3〕，所以．所以⋯8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．⋯10分．[修4-4：坐系与参数方程]23．在极坐系中，求直被曲ρ=4sin所θ截得的弦．【考点】曲的极坐方程．【分析】极坐方程化直角坐方程，立，求出A，B的坐，即可求直ρ=4sinθ截得的弦．所【解答】解：以极点O坐原点，极x的正半建立平面直角坐系．直的直角坐方程y=x①，⋯3分被曲曲ρ=4sinθ直角坐方程的x2+y2 4y=0②．⋯6分由①②得或⋯8分所以A〔0，0〕，B〔2，2〕，所以直被曲ρ=4sinθ截得的弦所AB=．⋯10分．[修4-5：不等式]24．求函数的最大．【考点】柯西不等式在函数极中的用；三角函数的最．【分析】利用二倍角公式化函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最即可．【解答】解：⋯2分由柯西不等式得，⋯8分所以ymax=5，此．所以函数的最大5．⋯10分．[必做]共2小，分20分〕25．如，在棱2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P棱C1D1的中点，Q棱BB1上的点，且BQ=λBB1 〔λ≠0〕．〔1〕假设，求AP与AQ所成角的余弦；〔2〕假设直AA1与平面APQ所成的角45°，求数λ的．【考点】直与平面所成的角．【分析】〔1〕以正交基底，建立如所示空直角坐系 A xyz．求出，，利用数量求解AP与AQ所成角的余弦．〔2〕，．求出平面APQ的法向量，利用空向量的数量求解即可．【解答】解：以正交基底，建立如所示空直角坐系A xyz．〔1〕因，，所以= ．所以AP与AQ所成角的余弦．⋯4分〔2〕由意可知，，．平面APQ的法向量=〔x，y，z〕，即令z=2，x=2λ，y=2λ．所以=〔2λ，2λ，2〕．⋯6分又因直AA1与平面APQ所成角45°，所以|cos＜，＞|= = ，2．⋯10可得5λ4λ=0，又因λ≠0，所以分．26．在平面直角坐系xOy中，抛物x2=2py〔p＞0〕上的点M〔m，1〕到焦点F的距离2，1〕求抛物的方程；2〕如，点E是抛物上异于原点的点，抛物在点E的切与x相交于点P，直PF与抛物相交于A，B两点，求△EAB面的最小．【考点】数在最大、最小中的用；抛物的准方程；直与抛物的位置关系．【分析】〔1〕求出抛物x2〔＞〕的准方程，由抛物定，得到，即可求解=2pyp0p=2抛物的方程．〔2〕求出函数的．点，得到抛物在点E的切方程．求出．推出直PF的方程，点到直PF的距离，立求出AB，表示出△EAB的面，构造函数，通函数的数利用性求解最即可．【解答】解：〔1〕抛物x2〔＞〕的准方程，=2pyp0因M〔m，1〕，由抛物定，知，所以，即p=2，所以抛物的方程x2=4y．⋯3分〔2〕因，所以．点，抛物在点E的切方程．令y=0，，即点．因，F〔0，1〕，所以直PF的方程，即2x+ty t=0．点到直PF的距离．⋯5分立方程消元，得22〔2t216〕yt2=0．++因△=〔2t2+16〕24t4=64〔t2+4〕＞0，所以，，所以．⋯7分所以△EAB的面．不妨〔x＞0〕，．因＞0，所以，g'〔x〕＜0，所以g〔x〕在g〔x〕在上增．上减；上，g'〔x〕所以当，．所以△EAB的面的最小．⋯10分．南通市、泰州市2017届数学一模(含参考答案) 2021年3月4日41 / 4141。

15．解：（1）设BAD ∠=，CAD ∠=， 由三角函数的定义得4cos 5α=，3sin 5α=，故1cos cos(60)cos 2βααα︒=-=+即cos CAD ∠． （2）设点(,)C x y ．由（1）知13sin sin(60)sin 2210βααα︒=-=-=， 因为5AC AB ==，所以5cos x β==5sin y β=-=，故点C ．16．证明：（1）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BC B C ∥． 因为BC ⊄平面11AB C ，11B C ⊂平面11AB C ， 所以BC ∥平面11AB C ．（2）因为平面11A ABB ⊥底面ABCD ，平面11A ABB 底面ABCD AB =，BC ⊂底面ABCD ，且由π2ABC ∠=知AB BC ⊥， 所以BC ⊥平面11A ABB ． 又11BC B C ∥，故11B C ⊥平面11A ABB ． 而11B C ⊂平面11AB C ， 所以平面11A ABB 平面11AB C ．17．（1）由题意知AC BC ⊥，AC x =，20AB =， 则22400BC x =-， 所以224(020)400ky x x x =+<<-．因为当x =0.065y =， 代入表达式解得9k =，所以224(020)400k y x x x =+<<-． （2）因为224(020)400ky x x x =+<<-，所以42232232289(2)188(400)(400)(400)x x x y x x x x ⨯---'=--=--． 令y '，得422188(400)x x =-，所以2160x =，即x =当0x <<0y '<，所以函数2249400y x x =+-为减函数；当20x <<时，0y '>，所以函数2249400y x x =+-为增函数．所以当x =C 到城A 的距离为km 时，函数224(020)400ky x x x =+<<-有最小值．18．（1）由题意知椭圆22:1113x y C m m+=， 所以2211,3a b m m==，故2a == 解得16m =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=．因为2c ，所以离心率c e a ==（2）设线段AP 的中点为D ．因为BA BP =，所以BD AP ⊥． 由题意知直线BD 的斜率存在， 设点P 的坐标为000(,)(0)x y y ≠， 则点的坐标为003(,)22x y +，直线AP 的斜率003AP yk x =-，所以直线BD 的斜率0031BD AP x k k y -=-=， 故直线BD 的方程为000033()22y x x y x y -+-=-． 令0x =，得2200092x y y y +-=，故220009(0,)2x y B y +-．由2200162x y +=，得220063x y =-，化简得20023(0,)2y B y --．因此，OAP OAB OPAB S S S =+△△四边形2000233(||||)22y y y --=+32≥⨯．当且仅当0032||2||y y =时，即0[y =时等号成立． 故四边形OPAB面积的最小值为19．解：（1）当0c =时，32()f x ax bx cx b a =-++-． ①若a b =，则32()f x ax ax =-， 从而2()32f x ax ax '=-，故曲线()y f x =在0x x =处的切线方程为32200000()(32)()y ax ax ax ax x x --=--．将点(1,0)代入上式并整理得200000(1)(1)(32)x x x x x -=--，解得00x =或01x =．②若a b >，则令2()320f x ax bx '=-=，解得0x =或213bx a=<． （ⅰ）若0b ≤，则当[0,1]x ∈时，()0f x '≥， 所以()f x 为区间[0,1]上的增函数， 从而()f x 的最大值为(1)0f =． （ii ）若0b >，列表：所以()f x 的最大值为(1)0f =． 综上，()f x 的最大值为0．（2）假设存在实数,,a b c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立． 不妨设12x x <，则12()()f x f x <． 因为1x x =，1x x =为()f x 的两个极值点， 所以212()323()()f x ax bx c a x x x x '=-+=--．因为0a >，所以当12[,]x x x ∈时，()0f x '≤， 故()f x 为区间12[,]x x 上的减函数，从而12()()f x f x >，这与12()()f x f x <矛盾， 故假设不成立．既不存在实数,,a b c ，使得11()f x x =，22()f x x =同时成立． 20．（1）由题得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为7． （2）设1a p =，其中0p ≠且1p ≠±． 由111nn na a a ++=-， 得211p a p +=-，31a p=-，411p a p -=+，5a p =，…． 所以15a a =，25a a =，…．因此集合A 中的所有数列都具有周期性，且周期为4． 所以数列{}n b 中，32a b -=，23a b -=-，112a b -=-，1()3a b k =∈*N ， 数列{}n c 中，33a c -=，22a c -=-，113a c -=-，1()2a c k =∈*N ，因为1111||||k ki i i i i b c b c +==-≥-∑∑，所以项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大． 因为17||3ki i i b c =-=∑， 所以34564845117||||86420163iiiii i b c b c ⨯⨯==-=-=⨯=∑∑，因此，当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑．故m 的最大值为3 455．（3）假设T 中的元素个数大于或等于17． 因为数列{}n a 中，0n a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组（1a ，2a ，3a ）有且只有8个：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)．那么这17个元素之中必有3个具有相同的1a ，2a ，3a ．设这3个元素分别为{}n c ：1c ，2c ，3c ，4c ，5c ，6c ，7c ；{}n d ：1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，6d ，7d ；{}n f ：1f ，2f ，3f ，4f ，5f ，6f ，7f ，其中111c d f ==，222c d f ==，333c d f ==．因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3， 所以在{}n c 与{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=至少有3个成立． 不妨设44c d ≠，55c d ≠，66c d ≠．由题意得4c ，4d 中一个等于0，另一个等于1．又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立．同理得：55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”和“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立． 故71||2i i i f c =-≤∑和71||2i i i f d =-≤∑中必有一个成立，这与题意矛盾．所以T 中的元素个数小于或等于16．试题2（附加题）21．【选做题】A ．解：易得90ADO ACB ︒∠=∠=， 又A A ∠=∠，故Rt ADO Rt ACB △∽△， 所以BC ACOD AD=． 又2AC AD =， 故2BC OD =．B ．解：设将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90︒所对应的矩阵为A ，则01cos90sin9010sin90cos90A ︒︒︒︒-⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为， 则，所以连续两次变换所对应的矩阵00101111010022M BA ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C ．解：依题意知cos 1sin x y αα=-⎧⎨=⎩（α为参数），因为22sin cos 1αα+=，所以22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，化为极坐标方程得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． D ．证明：因为0a >，0b > ， 所以要证3334()()a b a b +>+， 只要证2234()()()a b a ab b a b +-+>+， 即要证2224()()a ab b a b -+>+， 只需证23()0a b ->，而a b ≠，故23()0a b ->成立．【必做题】22．解：（1）由题意知基本事件数为39C ，而满足条件||2i j a a -≥，即取出的元素不相邻，则用插空法，有37C 种可能，故所求事件的概率3739512C P C ==．（2）分析123,,a a a 成等差数列的情况；1ξ=的情况有7种：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，{7,8,9}；2ξ=的情况有5种：{1,3,5}，{2,4,6}，{3,5,7}，{4,6,8}，{5,7,9}； 3ξ=的情况有3种：{1,4,7}，{2,5,8}，{3,6,9}； 4ξ=的情况有1种：{1,5,9}．故随机变量ξ的分布列如下：因此，()1234161616168E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=23．解：（1）213(1)122f S ==+=，4111113(2)S 23412f S =-=++=， 62111119(3)345620f S S =-=+++=． （2）由（1）知(1)1f >，(2)1f >． 下面用数学归纳法证明：当3n =时，()1f n <． （i ）由（1）知当3n =时，()1f n <．（ii ）假设当(3)n k k =≥时，()1f n <，即111()112f k k k k=+++<-…， 那么11111(1)1222122f k k k k k k +=+++++++++… 11111111111()1()()122212221222k k k k k k k k k k k=++++++-<+-+-++++++… 2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++ 11112(21)(22)k k k k =--<++．所以当1n k =+时，()1f n <也成立． 因此，当3n ≥时，()1f n <．综上，当1n =和2n =时，()1f n >；当时，()1f n <．江苏省南通市2017届高三高考全真模拟数学试卷（一）解析1．略．2．略．3．略．4．略．5．略．6．略．7．略．8．9．10．11．12．13．14．15．16．略．17．18．19．20．21．A．B．C．D．22．23．21 / 21。

泰州市2017届高三第一次调研测试数学第Ⅰ卷（共60分）一、填空题 1.函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ．2设集合{1,3}A =,{2,5}B a =+,{3}A B = ,则A B = . 3.复数2(12)z i =+,其中i 为虚数单位,则z 的实部为 ．4.口袋中有若干红球,黄球和篮球,从中摸出一只球.已知摸出红球的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,则摸出篮球的概率为 ．5.如图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 ．6.若实数x ,y 满足24,37,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则32z x y =+的最大值为 ．7.抽样统计甲乙，两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ．8.如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，3AB cm =，11AA cm =，则三棱锥11D A BD -的体积为 3cm ．9.在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ．10.（九章算术）中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 升．11.在ABC ∆中，若2BC BA AC AB CA CB ⋅+⋅=⋅ ，则sin sin AC 的值为 ．12.已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，(0,)2x π∈相交点P ，若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ．13.已知函数()|||4|f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为 ．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A .以OA 为始边作锐角β,其终边与单位圆交于点B ,AB =(1)求cos β的值; (2)若点A 的横坐标为513,求点B 的坐标. 16. 如图,在四棱锥p ABCD -中,四边形ABCD 为平行四边形, ,AC BD 相交于点O ,点E 为PC 的中点, ,OP OC PA PD =⊥.求证:（1）直线//PA 平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD .17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =Q ，求2211OP OQ+得值.18. 如图某机械长要将长6m,宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行剪裁,已知F 点为AD 的中点,点E 在边BC 上,裁剪时先将四边形CDEF 沿直线FE 翻折到处MNEF (点,C D ,分别落在直线BC 下方点,M N 处, FN 交边BC 于点P ),在沿直线裁剪. (1)当4EFP π∠=时,是判断四边形MNPE 的形状,并求其面积.(2)若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由.19. 已知函数2()ln ,f x ax x x a R =--∈, (1)当38a =时,求函数()f x 的最小值; (2)若10a a -≤≤,证明:函数()f x 有且只有一个零点.(3)若函数()f x 有两个零点,求实数a 的取值范围.20.已知等差数列{}n a 的公差不为0,且1,212,...,(......)k k kn n a a a k k k <<<<成等比数列公比为q .(1)若1231,3,8k k k ===, ,求1a d的值. (2)当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列. (3)如数列{}n k 为等比数列,且对于任意*n N ∈,不等式2n kn n a a k +>恒成立,求1a 的取值范围.泰州市2017届高三第一次调研测试数学学科参考答案试卷答案一、填空题 1.【答案】23π 2.【答案】{1,3,5} 3. 【答案】-3 4.【答案】0.17 5.【答案】5 6.【答案】7 7. 【答案】20 8.【答案】329.10.【答案】132211.12.13.【答案】(,2))-∞-+∞ 14.【答案】15.【解】 (1)在AOB ∆中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠，所以222cos 2OA OB AB AOB OA OB +-∠=⋅22211352115+-==⨯⨯即3cos 5β=（2）因为3cos 5β=,(0,)2πβ∈所以4sin 5β===，因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得, 5cos 13α=因为α为锐角，所以12sin 13α===所以5312433cos()cos cos sin sin 13513565αβαααβ+=-=-⨯⨯⨯=- 1235456sin()sin cos cos sin 13513565αβαααβ+=+=⨯⨯⨯=所以点3356(,),6565B -16.【证明】（1）连结OE ，因为O 为平形四边ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点，又因为E 为PC 的中点， 所以//OE PA有因为OE ⊂平面BDE ,PA ⊄平面BDE 所以直线//PA 平面BDE（2）因为//OE PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥ 因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥又因为PD ⊂平面PCD ，所以PC ⊂平面PCD ,PC PD P = 所以OE ⊥平面PCD又因为OE ⊂平面BDE ,所以平面BDE ⊥平面PCD17. 【解】（1）由题意得，212c a c a c===解得1,1a b ===,所以椭圆的方程为2212x y += （2）由题意知OP 的斜率存在，当OP 的斜率为0时，OP OQ ==22111OP OQ+= 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =由2212x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22(21)2k x +=，解得22221x k =+，所以222221k y k =+ 所以2222221k OP k +=+因为OP OQ ⊥所以直线OQ 的方程为1y x k=由1y y xk ⎧=⎪⎨=⎪⎩得x =，所以2222OQ k =+ 所以222221121112222k OP OQ k k ++=+=++综上，可知22111OP OQ += 18. 【解】（1）当4EFP π∠=时，有条件得4EFP EFD EFP π∠=∠=∠=所以2FPE π∠=，所以FN BC ⊥.四边形MNPE 为矩形,所以四边形MNPE 的面积22S PN MN M =⋅=(2)解法一:设(0)2EFD πθθ∠=<<,由条件,知EFP EFD EFP θ∠=∠=∠=所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-23sin 2NP NF θ==23ME tan θ=-由230sin 223002tan θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩,得. 2sin 232302tan θθπθ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪⎪<<⎪⎩()∙所以四边形MNPE 面积为1()2S NP ME MN =+ 122(3)(3)22sin 2tan θθ⎡⎤=-+-⨯⎢⎥⎣⎦ 226sin 2tan θθ=--2222(sin cos )6tan 2sin cos θθθθθ+=--36(tan +)tan θθ=-≤当且仅当3tan =tan θθ,即tan θ=3πθ时取=“”此时, ∙（）成立.答:当时3EFD π∠=,沿直线裁剪,四边形面积最大,最大值为.解法二:设,则 因为,所以,即 所以 由得所以四边形面积为 当且仅当,即时取”” 此时成立.答:当点距点时,沿直线裁剪,四边形面积最大,最大值为.19. 【解】(1)当38a =时,23()ln 8f x x x x =--. 所以31(32)(2)()1,(0)44x x f x x x x x+-=--=>. 令()0f x =,得2x =,当(0,2)x ∈时,当(0f x ）<;当(2+)x ∈∞，时，(0f x ）>， 所以函数(f x ）在(0,2)上单调递减,在(2,)+∞上单调递增. 所以当2x =时, (f x ）有最小值1(2)ln 22f =-- (2)由2()ln f x ax x x =--,得22121()21,(0)ax xf x ax x x x --=--=> 所以当0a ≤时,221()0ax xf x x--=< 函数()f x 在(0,)+∞上单调递减.所以当0a ≤时,函数()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点.因为当10a -≤≤时,221(1)10,()e e af a f e e-+=-<=， 所以当10a -≤≤时,函数()f x 在(0,)+∞上有零点. 综上,当10a -≤≤时,函数()f x 有且只有一个零点.(3)解法一:有(2)知,当0a ≤时,函数()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点. 因为函数()f x 有两个零点,所以0a >,由2()ln f x ax x x =--，得221(),(0)ax xf x x x--=>,令2()21g x ax x =--，因为(0)10,20g a =-<>.所以函数()g x 在(0,)+∞上只有一个零点,设为0x当0(0,)x x ∈时,()0,()0g x f x <<；当0(+)x x ∈∞，时,()0,()0g x f x >>； 所以函数()f x 在上0(0,)x 单调递减;在0(+)x ∞，上单调递增.要使得函数()f x 在0(+)x ∞，上有两个零点,只需要函数()f x 的极小值0()0f x <,即2000ln 0ax x x --<又因为200()210g x ax x =--=,所以2002ln 10x x +->,又因为函数200()2ln 1h x x x =+-在0(+)x ∞，上是增函数,且(1)0h =,所以0x >1,得101x<<. 又由20002ln 0ax x x --=,得22000111112()()24a x x x =+=+-, 所以01a <<, 以下验证当01a <<时,函数()f x 有两个零点.当01a <<时,21211()10a a g a a a a -=--=> 所以011x a<< 因为222112()10a e e f e e e e -+=-+=>.且0()0f x < 所以函数()f x 在01(,)x e上有一个零点. 因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=--=≥--=>（因为ln 1x x ≤-），且0()0f x < 所以函数()f x 在02(,)x a有一个零点 所以当01a <<时,函数()f x 在12(,)e a 内有两个零点. 综上,实数a 的取值范围为(0,1).下面证明:ln 1x x ≤-.设()1ln t x x x =--,所以'11()1,(0)x t x x x x-=-=>令'()0t x =,得1x =当(0,1)x ∈时,'()0t x <当(1,)x ∈+∞时，'()0t x >.所以函数()t x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增.所以当1x =时, ()t x 有最小值(1)0t =.所以()1ln t x x x =--,得ln 1x ≤-成立.解法二:由(2)知当0a ≤ 时,函数()f x 在(0,)+∞上最多有一个零点,因为函数()f x 有两个零点,所以0a >.由2()ln 0f x ax x x =--=,得关于x 的方程2ln ,(0)x x a x x +=>有两个不等实数解. 又因为ln 1x x ≤-, 所以222ln 211(1)1,(0)x x x a x x x x+-=≤=--+> 因为0x >时，21(1)11x--+≤,所以1a ≤. 又当0x >时，1x =,即关于x 的方程2ln ,(0)x x a x x +=>有且只有一个实数。

一．基础题组1。

【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知等差数列{}na 的前n 项和nS 满足350,5SS ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 。

【答案】20164031-考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．2. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）(开学考试）】已知等比数列{}na 中,262,8a a ==，则345a a a =( ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==，而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==. 考点：等比数列的性质．3。

【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一)（开学考试）】 数列{}na 满足()121112n n an N a a *+=+=∈,记212n n n b a =，则数列{}nb 的前n 项和nS = ．【答案】2332nn +-【解析】 试题分析：11n a +=得221112n n a a +-=,且2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nn n a =+-⨯=-，从而得到2121n a n =-，则212nnn b-=， 所以21321222nn n S-=+++，231113232122222nn n n n S +--=++++, 两式相减,得2111111121222222n n n n S -+-=++++-1111121323122222n n n n n -++-+=+--=- 所以2332nnn S+=-. 考点：错位相减法求和．【名师点睛】利用错位相减法求数列的前n 项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的1n -项是一个等比数列．4。

绝密★启用前【百强校】2017届江苏泰州中学高三摸底考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：140分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、已知实数、满足若不等式恒成立，则实数的最小值是 ．2、已知|，是线段上异于，的一点，△，△均为等边三角形，则△的外接圆的半径的最小值是 ．3、已知圆：（）及圆上的点，过点的直线交圆于另一点，交轴于点，若，则直线的斜率为 ．4、函数（）的最大值与最小值之和为 ．5、对于函数，若存在区间，当时的值域为（），则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是 ．6、向量，，．7、下面求的值得伪代码中，正整数的最大值为 ．8、在△中，，，，若使△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是 ．9、若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值是 ．10、下图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为 ．11、已知，则．12、已知复数满足，则的模为 ．13、已知集合，，则等于 ．14、设等比数列满足公比，，且中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为 ．二、解答题（题型注释）15、已知函数（为自然对数的底数）．（1）求的单调区间；（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；（3）若存在不等实数，，使得，证明：．16、已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．（1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．17、已知椭圆：．（1）椭圆的短轴端点分别为，（如图），直线，分别与椭圆交于，两点，其中点满足，且．①证明直线与轴交点的位置与无关；②若△面积是△面积的5倍，求的值；（2）若圆：．，是过点的两条互相垂直的直线，其中交圆于、两点，交椭圆于另一点．求△面积取最大值时直线的方程．18、某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润函数（单位：万元）．为了获得更多地利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第个月的利润率为，例如．（1）求；（2）求第个月的当月利润率；（3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．19、如图，正方形所在的平面与△所在的平面交于，平面，且．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．Array20、已知，且，．（1）求的值；（2）证明：．参考答案1、2、3、4、5、6、7、20158、9、10、11、12、13、14、15、（1）单调递减区间是，单调递增区间为．（2）不存在（3）详见解析16、（1）（2）（3）17、（1）①详见解析，②（2）18、（1）（2）（3）4019、（1）详见解析（2）详见解析20、（1）（2）详见解析【解析】1、试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，因此,因为在上单调递增，所以，不等式恒成立等价于考点：线性规划，不等式恒成立【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2、试题分析：设,则，在△中，由余弦定理知，当且仅当时取等号，所以，因此△的外接圆的半径考点：余弦定理，基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.3、试题分析：设直线的斜率为,则直线，与联立解得，而，由得考点：直线与圆位置关系4、试题分析：因为为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数（）的最大值与最小值之和为2考点：奇函数性质5、试题分析：由题意得有两个不同的解，，则，因此当时，，当时，，从而要使有两个不同的解，需考点：函数与方程【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.6、试题分析：，所以考点：向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b ＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.7、试题分析：第一次循环：;第二次循环：;第三次循环：;直至结束循环，因此正整数的最大值为考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8、试题分析：过A作AD垂直BC于D点，则，因此所形成的几何体的体积是考点：旋转体体积9、试题分析：由题意得考点：双曲线渐近线10、试题分析：甲的平均成绩为，设被污损一个数字为，则乙的平均成绩为，解得，所以所求概率考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.11、试题分析：考点：对数运算12、试题分析：考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为13、试题分析：考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．14、试题分析：由题意，，设该数列中任意两项为，它们的积为，则，即，故必须是81的正约数，即的可能取值为，所以的所有可能取值的集合为考点：等比数列15、试题分析：（1）先求导数，再求导函数符号确定单调区间：单调递减区间是，单调递增区间为．（2）构造函数，，确定其是否有零点即可，先求导，确定为上的增函数，因此，无零点（3）为研究方便不妨设，，则需证明，构造函数，可证在上单调增，即，因此，而在上递减，即试题解析：解：（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间为．（2）不存在正实数使得成立，事实上，由（1）知函数在上递增，而当，有，在上递减，有，因此，若存在正实数使得，必有．令，令，因为，所以，所以为上的增函数，所以，即，故不存在正实数使得成立．（3）若存在不等实数，，使得，则和中，必有一个在，另一个在，不妨设，．①若，则，由（1）知：函数在上单调递减，所以；②若，由（2）知：当，则有，而，所以，即，而，，由（1）知：函数在上单调递减，∴，即有，由（1）知：函数在上单调递减，所以；综合①，②得：若存在不等实数，，使得，则总有．考点：利用导数求函数单调区间，利用导数证明不等式【思路点睛】导数与函数的单调性（1）函数单调性的判定方法：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）＞0，则y＝f（x）在该区间为增函数；如果f′（x）＜0，则y＝f（x）在该区间为减函数.（2）函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.16、试题分析：（1）由与关系求通项，注意分类讨论：当时，，得．当时，由，相减得，因此是等比数列，且公比是，所以（2）先代入化简得，由数列为等比数列得，解得，最后验证（3）先求前项和为，代入化简不等式得，所以只需求最大值，利用相邻两项关系求数列单调性，确定最大值试题解析：解：（1）当时，，得．当时，由，即，①得，②①②，得，即，∴（），∴是等比数列，且公比是，∴．（2）由（1）知，，即，若数列为等比数列，则有，而，，，故，解得，再将代入，得，由，知为等比数列，∴．（3）由，知，∴，∴，由不等式恒成立，得恒成立，设，由，∴当时，，当时，，而，，∴，∴，∴．考点：由与关系求通项，数列单调性【方法点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.17、试题分析：（1）①以算代证，即求出与轴交点：根据直线与椭圆交点得，，再根据两点式求直线的方程，最后令，得，②先将面积比转化为对应边的比，再根据弦长公式将对应边的比转化为对应坐标的比，解得（2）关键将面积表示出来，先设一直线斜率，另一直线斜率为.利用圆中垂径定理可求弦长，即直角三角形边长，再根据直线与椭圆交点得Q点坐标，进而可得，因此，最后根据基本不等式或导数求最值试题解析：解：（1）①因为，，，且，∴直线的斜率为，直线的斜率为，∴直线的方程为，直线的方程为，由得，∴，，∴，由得，∴，，∴；据已知，，∴直线的斜率，∴直线的方程为，令，得，∴与轴交点的位置与无关．②，，，，∴，∴，∴，∵，∴整理方程得，即，又有，∴，∴，∴为所求．（2）因为直线，且都过点，所以设直线：，即，直线：，即，所以圆心到直线：，即的距离，所以直线被圆所截的弦；由得，所以，所以，所以，当，即，解得时等号成立，此时直线：．考点：直线与椭圆位置关系【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。

2016-2017学年江苏省泰州二中高三（上）期初数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．（5分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=．2．（5分）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4≤0}，则∁U M=．3．（5分）命题“任意偶数是2的倍数”的否定是．4．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为．5．（5分）函数y=的定义域是．6．（5分）函数y=的值域为．7．（5分）已知f（+1）=lg x，则f（x）=．8．（5分）若函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，则函数f（x）的单调递减区间是．9．（5分）若f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为．10．（5分）设函数f（x）满足f（x）=1+f（）log2x，则f（2）=．11．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围是．12．（5分）若点A（2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B （﹣2，2），则矩阵M的逆矩阵为．13．（5分）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．14．（5分）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①若f（x）是奇函数，则c=0②b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根③f（x）的图象关于（0，c）对称④若b≠0，方程f（x）=0必有三个实根其中正确的命题是（填序号）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）求下列函数的值域：（1）；（2）．16．（14分）已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量．17．（14分）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．18．（16分）已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．20．（16分）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．2016-2017学年江苏省泰州二中高三（上）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．（5分）（2010•江苏）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=1．【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可．【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3 即a=1故答案为1【点评】本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．2．（5分）（2010•奉贤区一模）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4≤0}，则∁U M={x|x＞2或x＜﹣2} ．【分析】由题意全集U=R，先化简集合M，然后根据交集的定义“两个集合A 和B 的交集是含有所有既属于A 又属于B 的元素，而没有其他元素的集合”进行计算即可．【解答】解：因为M={x|x2﹣4≤0}={x|﹣2≤x≤2}，全集U=R，所以C U M={x|x＜﹣2或x＞2}，故答案为：{x|x＞2或x＜﹣2}．【点评】本题考查集合的补集运算、二次不等式的解法等基础知识，属基础题．3．（5分）（2014•天心区校级模拟）命题“任意偶数是2的倍数”的否定是存在偶数不是2的倍数．【分析】分别对题设和结论进行否定即可．【解答】解：题设的否定为∀偶数，结论的否定为不是2的倍数∴原命题的否定为：存在偶数不是2的倍数．【点评】本题考查了命题的否定，注意题设和结论否定时的写法．4．（5分）（2014•邳州市校级模拟）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为﹣1．【分析】因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．由此可求出a的最大值．【解答】解：因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答．5．（5分）（2016•江苏）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．6．（5分）（2016秋•泰州校级月考）函数y=的值域为{y∈R|y≠3} ．【分析】当函数的是分数型结构函数时，并且分子分母都是一次函数时，求值域可以采用：反函数法和分离常数法．【解答】分离常数法：解：化简函数∵∴y≠3所以：{y∈R|y≠3}故答案为：{y∈R|y≠3}反函数法：解：化简函数：y=⇔y（x﹣2）=3x+1⇔x（y﹣3）=1+2y⇔分式中分母不等于0，∴y≠3所以：{y∈R|y≠3}故答案为：{y∈R|y≠3}【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择，要熟悉每种方法解什么题型．此题属于基础题．7．（5分）（2016秋•泰州校级月考）已知f（+1）=lg x，则f（x）=lg（x＞1）．【分析】用换元法令+1=t（t＞1）解x=代入f（+1）=lg x求得．【解答】解：令+1=t（t＞1），则x=，∴f（t）=lg，f（x）=lg（x＞1）．【点评】本题主要考查换元法求函数解析式．8．（5分）（2012秋•靖江市期中）若函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，则函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．【分析】由f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，可求p，结合二次函数的性质可求函数的单调递减区间【解答】解：∵函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，∴p﹣1=0即p=1∴函数f（x）=﹣x2+2函数的单调递减区间是（0，+∞）故答案为（0，+∞）【点评】本题主要考查了偶函数的对称性的应用，及二次函数的单调区间的求解，属于基础试题9．（5分）（2015秋•丹阳市校级期中）若f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为2．【分析】先在直角坐标系中分别画出函数y=﹣2x+2和y=﹣2x2+4x+2的图象，再利用函数f （x）的定义，取函数图象靠下的部分作为函数f（x）的图象，由图数形结合即可得f（x）的最大值【解答】解：如图，虚线为函数y=﹣2x+2和y=﹣2x2+4x+2的图象，粗线为f（x）的图象由图可知函数f（x）在x=0时取得最大值2故答案为2【点评】本题考查了一次函数、二次函数图象的画法和新定义型函数图象的画法，数形结合求函数的最值10．（5分）（2016•湖南二模）设函数f（x）满足f（x）=1+f（）log2x，则f（2）=．【分析】通过表达式求出f（），然后求出函数的解析式，即可求解f（2）的值．【解答】解：因为，所以．，∴．∴=．故答案为：．【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力，灵活赋值的能力及观察判断的能力．11．（5分）（2016秋•泰州校级月考）函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围是a≥1．【分析】二次函数解析式配方变形后，利用二次函数的性质确定出a的范围即可．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+2=x2﹣2ax+a2﹣a2+2=（x﹣a）2﹣a2+2，∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=a，且在区间（﹣∞，1]上递减，∴a的范围是a≥1，故答案为：a≥1【点评】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．12．（5分）（2016秋•泰州校级月考）若点A（2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B（﹣2，2），则矩阵M的逆矩阵为．【分析】根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，确定矩阵M，再求矩阵的逆矩阵．【解答】解：由题意，=∴，∴sinα=1，cosα=0，∴M=∵=1≠0，∴M﹣1=．故答案为：．【点评】本题考查矩阵的求法，考查矩阵的逆矩阵，属于基础题．13．（5分）（2010•江苏）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是（﹣1，﹣1）．【分析】由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）=1，故满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需满足，解出x即可．【解答】解：由题意，可得故答案为：【点评】本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．14．（5分）（2012秋•徐州期中）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①若f（x）是奇函数，则c=0②b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根③f（x）的图象关于（0，c）对称④若b≠0，方程f（x）=0必有三个实根其中正确的命题是①②③（填序号）【分析】由奇函数定义结合比较系数法，可得f（x）是奇函数时c=0，故①正确；当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根，故②正确；利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称，故③正确；取b=1，c=0时，利用函数单调性可证出方程f（x）=0只有一个实根，故④错．【解答】解：对于①，若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c=﹣f（x）对任意x ∈R恒成立，可得c=0，故①正确；对于②，b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，所以方程f（x）=0有且只有一个实根，故②正确；对于③，因为f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c，所以f（﹣x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确；对于④，当b=1，c=0时，f（x）=x|x|+x在R上为增函数，此时方程f（x）=0有且只有一个实根，故④错．故答案为：①②③【点评】本题以命题真假的判断为载体，考查了函数的单调性、奇偶性、图象的对称性和函数零点与等知识，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）（2011秋•泰兴市校级期中）求下列函数的值域：（1）；（2）．【分析】（1）由于函数y=1﹣，且0＜≤1，故有0≤1﹣＜1，由此求得函数的值域．（2）由于函数在它的定义域{x|x≥﹣1}内是增函数，当x=﹣1时，函数有最小值等于﹣2，当X趋于+∞时，y趋于+∞，从而得到函数的值域．【解答】解：（1）由于==1﹣，∵0＜≤1，∴0≤1﹣＜1，故函数的值域为[0，1）．（2）由于函数的定义域为{x|x≥﹣1}，且函数在其定义域内是增函数，故当x=﹣1时，函数有最小值等于﹣2，当X趋于+∞时，y趋于+∞，故函数的值域为[﹣2，+∞）．【点评】本题主要考查利用常数分离法求函数的值域，以及利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．16．（14分）（2014•武进区校级三模）已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量．【分析】（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点P′（0，﹣3），写出题目的关系式，列出关于a的等式，解方程即可．（2）写出矩阵的特征多项式，令多项式等于0，得到矩阵的特征值，对于两个特征值分别解二元一次方程，得到矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量和矩阵A的属于特征值3的一个特征向量．【解答】解：（1）由=，得a+1=﹣3∴a=﹣4（2）由（1）知，则矩阵A的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵A的特征值为﹣1或3当λ=﹣1时二元一次方程∴矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量为当λ=3时，二元一次方程∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为．【点评】本题考查二阶矩阵，考查二阶矩阵的特征值的求法，考查二阶矩阵的特征向量的求法，因为是高等数学的内容，考查的比较简单，是一个中档题．17．（14分）（2014春•如皋市校级期末）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．【分析】先圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解：p2=2pcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2+y2=2x，（x﹣1）2+y2=1，直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，又圆与直线相切，所以=1，解得：a=2，或a=﹣8．【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．18．（16分）（2013秋•徐州期中）已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．【分析】（1）由题意可得函数的对称轴为x=1，结合已知函数在x轴上截得线段长为8，可得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（5，0），可设函数为f（x）=a（x+3）（x﹣5）（a ＜0），将（1，16）代入可求（2）g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3=（2﹣t）x+12，x∈[0，2]，结合题意可得，代入可求【解答】解：（1）∵二次函数图象顶点为（1，16），∴函数的对称轴为x=1∵在x轴上截得线段长为8，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（5，0），…（2分）又∵开口向下，设原函数为f（x）=a（x+3）（x﹣5）（a＜0）…（4分）将（1，16）代入得a=﹣1，…（6分）∴所求函数f（x）的解析式为f（x）=﹣x2+2x+15．…（7分）（2）g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3=（2﹣t）x+12，x∈[0，2]…（9分）由g（x）得图象在x轴上方，根据一次函数的性质可得，…（12分）即﹣2t+16＞0解得t＜8 …（14分）【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的函数解析式，解题的关键是利用对称轴找出二次函数与x轴的交点坐标19．（16分）（2011秋•苏州期末）已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由题意可得2m≥﹣4，且2m≠0，由此求得实数m的取值范围．（2）命题等价于任意x1∈（﹣∞，4]，任意的x2∈[3，+∞），f min（x1）＞g min（x2）成立，分m＜3、3≤m＜4、4≤m三种情况，分别求出实数m的取值范围再取并集，即得所求．【解答】解：（1）方程f（x）=|m|，即|x﹣m|=|m|，解得x=0，或x=2m．要使方程|x﹣m|=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，需2m≥﹣4，且2m≠0．解得m≥﹣2 且m≠0．故实数m的取值范围为[﹣2，0）∪（0，+∞）．（2）由于对任意x1∈（﹣∞，4]，都存在x2∈[3，+∞），使f（x1）＞g（x2）成立，故有f min（x1）＞g min（x2）成立．又函数f（x）=|x﹣m|=，故f min（x1）=．又函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m=，故g min（x2）=．当m＜3时，有0＞m2﹣10m+9，解得1＜m＜3．当3≤m＜4，有0＞m2﹣7m，解得3≤m＜4．当4≤m，有m﹣4＞m2﹣7m，解得4≤m＜4+2．综上可得，1＜m＜4+2，故实数m的取值范围为（1，4+2）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，方程根的存在性及个数判断，函数最值及其几何意义，属于中档题．20．（16分）（2015•浙江）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b的范围．【解答】解：（Ⅰ）当b=+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣，当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）=f（1）=+a+2；当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1；当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=﹣a+2．综上可得，g（a）=；（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，则，由于0≤b﹣2a≤1，由此≤s≤（﹣1≤t≤1），当0≤t≤1时，≤st≤，由﹣≤≤0，由=9﹣[（2（t+2）+]≤9﹣2，得﹣≤≤9﹣4，所以﹣≤b≤9﹣4；当﹣1≤t＜0时，≤st≤，由于﹣2≤＜0和﹣3≤＜0，所以﹣3≤b＜0，故b的取值范围是[﹣3，9﹣4]．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题．。

江苏省泰州市2017届高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）函数的最小正周期为．2．（5分）设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B=．3．（5分）复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为．4．（5分）口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为．6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为．7．（5分）抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为．8．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1﹣A1BD 的体积为cm3．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．10．（5分）《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升．11．（5分）在△ABC中，若•+2•=•，则的值为．12．（5分）已知两曲线f（x）=2sin x，g（x）=a cos x，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为．13．（5分）已知函数f（x）=|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，P A⊥PD．求证：（1）直线P A∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．18．（16分）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F 为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣x﹣ln x，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．20．（16分）已知等差数列{a n}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜k n＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列{k n}为等比数列；（3）若数列{k n}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取值范围．（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．[必做题]（共2小题，满分20分）25．（10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．参考答案一、填空题1．【解析】函数的最小正周期为，故答案为：．2．{1，3，5}【解析】集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．﹣3【解析】∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．0.17【解析】∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．5．5【解析】当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．7【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．20【解析】根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．【解析】∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．9．【解析】直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得=．故答案为：．10．【解析】设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．【解析】在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cos B+2bc•cos A=ba•cos C，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．12．【解析】由f（x）=g（x），即2sin x=a cos x，即有tan x==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sin x的导数为f′（x）=2cos x，g（x）=a cos x的导数为g′（x）=﹣a sin x，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cos m•（﹣a sin m）=﹣1，且tan m=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．13．【解析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．[，]【解析】在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB ⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．二、解答题15．解：（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2﹣2OA•OB cos∠AOB，所以，=，即．（2）因为，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，即点．16．证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥P A．又因为OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，所以直线P A∥平面BDE．（2）因为OE∥P A，P A⊥PD，所以OE⊥PD．因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC．又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．17．解：（1）由题意得，，，解得，c=1，b=1．所以椭圆的方程为．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，，，所以．当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．由得（2k2+1）x2=2，解得，所以，所以．因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为．由得，所以OQ2=2k2+2．所以．综上，可知．．18．解：（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．所以四边形MNPE的面积S=PN•MN=2m2．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，．由得所以四边形MNPE面积为== ==．当且仅当，即时取“=”．此时，（*）成立．答：当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．所以，．由得所以四边形MNPE面积为===．当且仅当，即时取“=”．此时，（*）成立．答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．19．解：（1）当时，．所以，（x＞0）．令f'（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．所以当x=2时，f（x）有最小值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣ln x，得．所以当a≤0时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．因为当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，所以当﹣1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点．综上，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．由f（x）=ax2﹣x﹣ln x，得，令g（x）=2ax2﹣x﹣1．因为g（0）=﹣1＜0，2a＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设为x0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即．又因为，所以2ln x0+x0﹣1＞0，又因为函数h（x）=2ln x+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，所以x0＞1，得．又由，得，所以0＜a＜1．以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，，所以．因为，且f（x0）＜0．所以函数f（x）在上有一个零点．又因为（因为ln x≤x﹣1），且f（x0）＜0．所以函数f（x）在上有一个零点．所以当0＜a＜1时，函数f（x）在内有两个零点．综上，实数a的取值范围为（0，1）．下面证明：ln x≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣ln x，所以，（x＞0）．令t'（x）=0，得x=1．当x∈（0，1）时，t'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，t'（x）＞0．所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0．所以t（x）=x﹣1﹣ln x≥0，得ln x≤x﹣1成立．20．解：（1）由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，整理可得：4d2=3a1d．因为d≠0，所以．（2）设数列{k n}为等比数列，则．又因为，，成等比数列，所以．整理，得．因为，所以a1（2k2﹣k1﹣k3）=d（2k2﹣k1﹣k3）．因为2k2≠k1+k3，所以a1=d，即．当时，a n=a1+（n﹣1）d=nd，所以．又因为，所以．所以，数列{k n}为等比数列．综上，当时，数列{k n}为等比数列．（3）因为数列{k n}为等比数列，由（2）知a1=d，．，a n=a1+（n﹣1）d=na1．因为对于任意n∈N*，不等式恒成立．所以不等式，即，恒成立．下面证明：对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证ln n1＜n1ln q+lnε．因为，则，解不等式，即，可得，所以．不妨取，则当n1＞n0时，原式得证．所以，所以a1≥2，即得a1的取值范围是[2，+∞）．（附加题）21．解：设CD=x，则CE=2x．因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA•CB=CD•CE，所以1×3=x•2x=2x2，所以．取DE中点H，则OH⊥DE．因为，所以．又因为，所以△OCE的面积．22．解：设，因为向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量，所以．所以因为点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），所以．所以解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．23．解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线的直角坐标方程为y=x①，曲线ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0②．由①②得或，所以A（0，0），B（2，2），所以直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长AB=．24．解：由柯西不等式得，所以y max=5，此时．所以函数的最大值为5．[必做题]25．解：以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．（1）因为，，所以=．所以AP与AQ所成角的余弦值为．（2）由题意可知，，．设平面APQ的法向量为=（x，y，z），则即令z=﹣2，则x=2λ，y=2﹣λ．所以=（2λ，2﹣λ，﹣2）．又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，所以|cos＜，＞|==，可得5λ2﹣4λ=0，又因为λ≠0，所以．26．解：（1）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，因为M（m，1），由抛物线定义，知，所以，即p=2，所以抛物线的方程为x2=4y．（2）因为，所以．设点，则抛物线在点E处的切线方程为．令y=0，则，即点．因为，F（0，1），所以直线PF的方程为，即2x+ty﹣t=0．则点到直线PF的距离为．联立方程消元，得t2y2﹣（2t2+16）y+t2=0．因为△=（2t2+16）2﹣4t4=64（t2+4）＞0，所以，，所以．所以△EAB的面积为．不妨设（x＞0），则．因为时，g'（x）＜0，所以g（x）在上单调递减；上，g'（x）＞0，所以g（x）在上单调递增．所以当时，．所以△EAB的面积的最小值为．。

第十一章 概率统计 1. 【南师附中2017届高三模拟二】从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为__________．【答案】112【解析】从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，有98362n ⨯==种情形，其中一个是另一个的三倍的事件有()()()1,3,2,6,3,9，共3种情形，所以由古典概型的计算公式可得其概率是313612P ==，应填答案112。

2. 【南师附中2017届高三模拟二】射击运动员打靶，射5发，环数分别为9，10，8，10，8，则该数据的方差为__________．【答案】45【解析】因为910810895x ++++==，所以[]2140111155s =++++=，应填答案45。

3. 【南师附中2017届高三模拟一】从2,3,4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是__________.【答案】124．【南师附中2017届高三模拟一】随机抽取年龄在[)[)[]10,20,20,30,......50,60年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[]50,60年龄段应抽取人数为__________.【答案】2【解析】由题设提供的直方图可以看出年龄在[]40,60内的人数为()0.0150.005100.02(n n n +⨯=是样本容量），则0.028400n n =⇒=，故年龄在[]50,60内的人数为0.005100.052n n ⨯==，应填答案2。

5. 【某某中学2018届高三10月月考】记函数定义域为，在区间上随机取一个数，则的概率是_______. 【答案】点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动X 围．当考察对象为点，点的活动X 围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．6. 【某某中学2018届高三上学期开学考试】某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示，则估计该校高三学生中数学成绩在之间的人数为__________．【答案】660【解析】由样本频率分布直方图，知：该校高三学生中数学成绩在之间的频率为：，∴估计该校高三学生中数学成绩在之间的人数为：.故答案为660.7. 【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知一个边长为2的正方形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子，则豆子落入正方形内的概率为_________.【答案】8．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】某校高一年级共有800名学生，根据他们参加某项体育测试的成绩只做了如图所示的频率分布直方图，则成绩不低于80分的学生人数为_________.【答案】240【解析】由题设中提供的频率分布直方图可以看出：不低于80分的学生人数为()0.020.0110800240m=+⨯⨯=，应填答案240。

2017～2017学年度泰州市第二次模拟考试高三数学试题(考试时间：120分钟总分：160分)命题人：朱占奎张圣官张俊龚才权丁连根审题人：丁凤桂石志群注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．（参考公式：柱体体积公式为V Sh=）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.若复数(2)ia-+（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a= ▲．2.已知集合{}=，若{1,2,3,4}1,2,4A=，{},4B a，则A B=A B=▲．3.某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．4.已知双曲线2214x y m -=的渐近线方程为2y x =±，则m = ▲ ．5.执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6.若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为 ▲ ．7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于21，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于41，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是 ▲ ．8.在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 9.已知函数a x x y +-=22的定义域为R ，值域为),0[+∞，则实数a 的取值集合为▲ ． 10.已知实数,x y满足40210440x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+-的取值范围是▲ ． 11.设函数π()π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y轴的交点分别为M、N，已知O为原点，则OM ON ⋅=▲ ．12.若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦长之比为2，则这两条直线的斜率之积为▲ ．13. 若函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是▲ ．14. 在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，4,6AB AD AC ===，若ABC ∆的外心恰在线段BD 上，则BC = ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）已知向量1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，0πθ<<． （1）若a ∥b ，求角θ的大小； （2）若+=a b b ，求sin θ的值． 16.（本题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与直角三角形AE⊥，点NABE所在平面互相垂直，BEAE,的中点．M,分别是CD（1）求证：MN∥平面BCE；（2）求证：平面⊥BCE平面ADE．17.（本题满分14分）如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m．在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l、m，欲再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上，且要求PQ与圆A相切．（1）当P距O处2百米时，求OQ的长；（2）当公路PQ长最短时，求OQ的长．18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆:E22221(0)x ya ba b+=>>的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E右焦点到右准线的距离为5．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求BCD∆面积的最大值．19.（（本题满分16分）已知}{n a ，}{n b ，}{n c 都是各项不为零的数列，且满足1122n n n n a b a b a b c S +++= ，n *∈N ，其中n S 是数列}{n a 的前n 项和， }{n c 是公差为(0)d d ≠的等差数列．（1）若数列}{n a 是常数列，2d =，23c =，求数列}{n b 的通项公式； （2）若n a n λ=（λ是不为零的常数），求证：数列}{n b 是等差数列； （3）若11a c d k ===（k 为常数，k *∈N ），n n k b c +=(2,)n n *≥∈N ，求证：对任意的2,n n *≥∈N ，数列{}nnb a 单调递减．20.（本题满分16分）己知()ln x f x a x a =--e ，其中常数0a >． （1）当a =e 时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()y f x =有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：1211x x a a<<<<； （3）求证：221ln 0x x x x ----≥e e ．2017～2017学年度泰州市第二次模拟考试高三数学试题(附加题)21.（［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心的割线且交圆O 于B 点，过B 作O 的切线交CD 于点1,2E DE EC =． 求证：（1）3CA CB =；（2）CA =．B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵010A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵020B b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，直线04:1=+-y x l 经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B所对应的变换得到直线04:3=++y x l ．（1）求,a b 的值；（2）求直线2l 的方程．AC ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆221169:x y C +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +≤-对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.(本小题满分10分)某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A 、B 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A 奖品，抛掷点数不小于3的获得B 奖品．（1）求这5名幸运之星中获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数的概率；（2）设X 、Y 分别为获得A 、B 两种奖品的人数，并记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学期望．23.(本小题满分10分)已知2()(1)n f x x x =++（n N *∈），()g x 是关于x 的2n 次多项式；（1）若23()()()f x g x g x =恒成立，求(1)g 和(1)g -的值；并写出一个满足条件的()g x 的表达式，无需证明．（2）求证：对于任意给定的正整数n ，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，n a ，使得221222110121()(1)()()()n n n n n n n n f x a x a x x a x x a x x a x ---+-=+++++++++ ．2017～2017学年度泰州市第二次模拟考试高三数学参考答案一、填空题1．2 ； 2．{4}； 3．16； 4．2； 5．28；6．3； 7．163； 8．64； 9．{1}； 10．[1,7]；11．89-； 12．9-或19- ； 13． (,2][5,)-∞+∞ ； 14．. 二、解答题15. 解：(1) 因为//a b ，所以12sin 2cos 22θθ-⋅=⋅，即sin θθ-=， 所以tan θ= 又0πθ<<，所以2π3θ=． ……………７分(2)因为+=a b b ，所以22()+=a b b ，化简得220+⋅=a a b ，又1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，则21=a ，cos θθ⋅=-a b ， 所以1cos 2θθ=--，则π1sin()064θ-=-<， ……………10分又0πθ<<，πcos()6θ-=，所以ππππππsin[()]sin()cos cos()sin 66i 66n 6s 6θθθθ-+=-+-==． ……………14分16. 证：（1）取BE 中点F ，连接,CF MF ， 又M 是AE 中点，则1//,2MF AB MF AB =， 又N 是矩形ABCD 边CD 中点，所以//,MF NC MF NC =，则四边形MNCF 是平行四边形，所以//MN CF ，又MN ⊄面BCE ，CF ⊂面BCE ，所以MN ∥平面BCE ．…（2）因为平面ABCD⊥平面ABE，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABE ，因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，又BE AE ⊥，BC BE B ⋂=，所以AE ⊥平面BCE ， 而AE ⊂平面ADE，所以平面⊥BCE 平面ADE ． ……………14分17. 解：以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系． 设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为22(1)1x y +-=， (1)由题意可设直线PQ 的方程为12x yq+=，即220qx y q +-=，(2)q > ，∵PQ 与圆A1=，解得83q =， 故当P距O处2百米时，OQ的长为83百米． ……………5分 （2）设直线PQ 的方程为1x yp q+=，即0qx py pq +-= ，(1,2)p q >>， ∵PQ与圆A相切，∴1=，化简得22q p q =-，则22222qPQ p q q q =+=+-，令2()(2)2q f q q q q =+>-，∴22222(1)(31)()2(2)(2)q q q f q q q q --+'=-=-- (2)q >，当322q <<时，()0f q '<，即()f q在3(2,2上单调递减；当32q +>()0f q '>，即()f q在3()2+∞上单调递增，∴()f q在q =PQ 长最短时，OQ的长为 答：（1)当P 距O 处2百米时， OQ 的长为83百米；（2）当公路PQ 长最短时， OQ 的 长为百米． ……………14分18. 解：（1）由题意得c a =，2a c c -=，解得3,a c ==，所以4b =，所以椭圆E 的标准方程为22194x y +=．……………4分（2）设0000(,),(,)B x y C x y -，显然直线,,,AB AC BD CD 的斜率都存在，设为1234,,,k k k k ，则001200,33y y k k x x ==+-+，00340033,x x k k y y +-=-=，所以直线,BD CD 的方程为：0000000033(),()x x y x x y y x x y y y +-=--+=++， 消去y 得0000000033()()x x x x y x x y y y +---+=++，化简得3x =， 故点D在定直线3x =上运动． ……………10分（3）由（2）得点D 的纵坐标为2000000039(3)D x x y x y y y y --=++=+，又2200194x y +=，所以220994y x -=-，则200000009354(3)4D y x y x y y y y y --=++=+=-，所以点D 到直线BC 的距离h 为00005944D y y y y y -=--=，将0y y =代入22194x y +=得x =±所以BCD ∆面积0119224ABCS BC h y ∆=⋅=⨯22000112727442224y y y -+=≤⋅=，当且仅当2200144y y -=，即0y =时等号成立，故0y =时，BCD∆面积的最大值为274． ……………16分19．解：（1）因为2d =，23c =，所以21n c n =-，因为数列}{n a 是各项不为零的常数列，所以12n a a a === ，1n S na =， 则由1122n n n n S c a b a b a b =+++ 及21n c n =-得12(21)n n n b b b -=+++ ， 当2n ≥时，121(1)(23)n n n b b b ---=+++ ，两式相减得43n b n =-，当1n =时，11b =，也满足43n b n =-，故43()n b n n *=-∈N ． …………4分（2）因为1122n n n n a b a b a b c S +++= ，当2n ≥时，11112211n n n n S c a b a b a b ----=+++ ，两式相减得11n n n n n n S c S c a b ---=， 即111()n n n n n n n S a c S c a b ---+-=，11()n n n n n n n S c c a c a b ---+=，即1n n n S d nc nb λλ-+=， 又1(1)(1)(1)22n n n n S n λλλ-+--=-=，所以(1)2n n n n d nc nb λλλ-+=，即(1)2n n n d c b -+=， 所以当3n ≥时，11(2)2n n n d c b ---+=，两式相减得132n n b b d --=(3)n ≥， 所以数列}{n b 从第二项起是公差为32d 等差数列；又当1n =时，由1111S c a b =得11c b =， 当2n =时，由2211(21)13()222b d c d c d b d -=+=++=+得2132b b d -=， 故数列}{n b 是公差为32d 等差数列． …………15分（3）由（2）得当2n ≥时，11()n n n n n n n S c c a c a b ---+=，即1()n n n n S d a b c -=-， 因为n n k b c +=，所以n n b c kd =+，即n n b c kd -=，所以1n n S d a kd -=⋅，即1n n S ka -=， 所以1(1)n n n n S S a k a -=+=+，当3n ≥时，11(1)n n S k a --=+，两式相减得 1(1)(1)n n n a k a k a -=+-+，即11n n k a a k-+=，故从第二项起数列}{n a 是等比数列， 所以当2n ≥时，221()n n k a a k-+=， 221(1)(1)()n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +==+=+-+=+-+=+，另外由已知条件得1221122()a a c a b a b +=+，又22c k =，1b k =，2(2)b k k =+，所以21a =，因而21()n n k a k -+=，令n d =n nba ，则111n n n n n n d b a d a b +++=(1)()(1)n k kn k k ++=++， 因为(1)()(1)0n k k n k k n ++-++=-<，所以11n nd d +<，所以对任意的2,n n *≥∈N ，数列{}n nba 单调递减． ……………16分20. 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，（1）当e a =时，()e eln e x f x x =--，e ()e x f x x'=-， 而e ()e x f x x'=-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0f '=， 当01x <<时，()(1)0f x f ''<=，则()f x 在(0,1)上单调递减；当1x >时，()(1)0f x f ''>=，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()f x 有极小值(1)0f =，没有极大值． …………3分 （2）先证明：当()0f x ≥恒成立时，有 0a <≤e 成立． 若10ex <≤，则()(ln 1)0x f x a x =-+≥e 显然成立； 若1e x >，由()0f x ≥得e ln 1xa x ≤+，令e ()ln 1xx x ϕ=+，则21e (ln 1)()(ln 1)x x x x x ϕ+-'=+， 令11()ln 1()e g x x x x =+->，由21()10g x x '=+>得()g x 在1(,)e+∞上单调递增， 又因为(1)0g =，所以()x ϕ'在1(,1)e 上为负，在(1,)+∞上为正，因此()x ϕ在1(,1)e上递减，在(1,)+∞上递增，所以min ()(1)e x ϕϕ==，从而0e a <≤．因而函数()y f x =若有两个零点，则e a >，所以(1)e 0f a =-<，由()ln (a f a a a a a =-->e e)得()ln 2a f a a '=--e ，则111()0e ea a f a a ''=->->->e e e ， 所以()ln 2a f a a '=--e 在(,)+∞e 上单调递增，所以2()()330f a f ''>=->->e e e e ，所以()ln a f a a a a =--e 在(,)+∞e 上单调递增，所以2()()22f a f >=->->e e e e e e 0，则(1)()0f f a <，所以21x a <<，由a >e 得111111()ln ln ln 0a a a a f a a a a a a a a a=--=+->+-=>e e e e e ，则 1(1)()0f f a <，所以111x a <<，综上得1211x x a a<<<<． (10)分（3）由（2）知当a =e 时，()0f x ≥恒成立，所以()ln 0x f x x =--≥e e e ， 即()ln x f x x =-≥e e e ， 设()(0)e x x h x x =>，则1()exxh x -'=， 当01x <<时，()0x ϕ'> ，所以()g x 在(0,1)上单调递增； 当1x >时，()0h x '<，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(0)e x x h x x =>的最大值为1(1)e h =，即1x x ≤e e ，因而2x x-≤e e， 所以2()ln x x xf x x -=-≥≥e e e e，即221()ln 0x x f x x x --=--≥e e ． (16)分附加题参考答案21.A ．证：（1）∵CD 是圆O 的切线，∴2CD CA CB =⋅， 连结OD ，则OD CD ⊥， ∵BE 是圆O 的切线，∴BE ED =， 又12DE EC =，∴12BE EC =，∴30C ∠= ，则12OD OC =， 而OB OD =，∴CB BO OD OA ===，∴3CA CB =， …………5分 （2）将3CA CB =代入2CD CA CB =⋅得213CD CA CA =⋅，故CA =．……10分21.B . 解：（1）020120000a BA b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦设(,)P x y 是1l 上的任意一点，其在BA 作用下对应的点为(,)x y ''，得1l 变换到3l 的变换公式{2x ax y by '='=，则240ax by ++=即为直线1:40l x y -+=，则得1,12a b ==-． (5)分（2）0210B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，同理可得2l 的方程为240y x -+=，即240x y --=．………10分21.C . 解：（1）直线l的极坐标方程sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ= 即sin cos 6ρθρθ-=，所以直线l的直角坐标方程为60x y -+=；…………5分（2）P 为椭圆221169x y C +=:上一点，设(4cos 3sin )P αα,，其中[)02,α∈π，则P到直线l的距离d ==，其中4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=，∴当cos()1αϕ+=-时，d的最小值为21.D . 解： 因为2222()(112)()4a b a b c +≤++++=，所以2a b +≤，…………5分又|1-|22x c b a ≤++对任意实数c b a ,,恒成立, 故2max |-1|()2x a b ≥+=， 解得33≥-≤x x 或 ． …………10分22. 解：这5名幸运之星中，每人获得A 奖品的概率为2163=，B 奖品的概率为4263=． （1）要获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数，则A 奖品的人数可能为3,4,5，则则所求概率为33244555551212151()()()()()33333243P C C C =++=． …………4分 （2）ξ的可能取值为1,3,5，且33222355121240(1)()()()()333381P C C ξ==+=，441455121210(3)()()()()333327P C C ξ==+=，0555552111(5)()()3381P C C ξ==+=， …………8分所以ξ的分布列是：故随机变量ξ的数学期望E ξ=401381⨯+⨯10275+⨯118118581=． (10)分23.解：（1）令1x =，则(1)(1)(1)f g g =，即(1)[(1)1]0g f ⋅-=， 因为(1)1310n f -=-≠，所以(1)0g =； 令1x =-，则23(1)(1)(1)fg g ⎡⎤⎡⎤--=-⎣⎦⎣⎦，即(1)(1)(1)f g g -=-，因为(1)[(1)1]0g f -⋅-=，因为(1)1310n f -=-≠，所以(1)0g -=； 例如2()(1)()n g x x n *=-∈N ． (4)分（2）当1n =时，22()1(1)f x x x x x =++=++，故存在常数01a =，11a =， 使得201()(1)f x a x a x =++．假设当n k =（k N *∈）时，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，k a ， 使得221222110121()(1)()()()k k k k k k k k f x a x a x x a x x a x x a x ---+-=+++++++++ ，即2221222110121(1)(1)()()()k k k k k k k k k x x a x a x x a x x a x x a x ---+-++=+++++++++ ．则当1n k =+时，2122()(1)(1)(1)k k f x x x x x x x +=++=++⋅++222111011(1)(1)()()k k k k kk k x x a x a x x a x x a x --+-⎡⎤=++⋅+++++++⎣⎦11212011110()k k k k k k k k a a x a x a x a x a x a x -+---=++++++++ 212221011110()k k k k k k k k a x a x a x a x a x a x a x +++--+++++++++231232122011110()k k k k k k k k a x a x a x a x a x a x a x +++++--+++++++++ 231010*********()()()()k k k k a a a x a a a x a a a x a a a x ----=+++++++++++++ 1212112()(2)()k k k k k k k k k k k a a a x a a x a a a x ++-----++++++++++ 2122122321210100()()()k k k k a a a x a a a x a a x a x -+++++++++++ 222122010210()()()()()k k k a x x a a x x a a a x x ++=+++++++++ 21121()()(2)k k k k k k k k a a a x x a a x ++---++++++；令00'a a =，101'a a a =+，21'm m m m a a a a --=++（2m k ≤≤），11'2k k k a a a +-=+； 故存在与x 无关的常数0'a ，1'a ，2'a ，…，'k a ，1'k a +；使得222122210121()'(1)'()'()'()'k k k k k k k k f x a x a x x a x x a x x a x +++++=+++++++++ ．综上所述，对于任意给定的正整数n ，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，n a ，使得221222110121()(1)()()()n n n n n n n n f x a x a x x a x x a x x a x ---+-=+++++++++ ． …………10分。

2017年江苏省高考数学模拟应用题大全（三）1、（江苏省连云港、徐州、宿迁2017届高三年级第三次模拟考试）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值 越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．2、（江苏省南京、淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．3、（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟考试数学试题）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当r 和θ分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；A BCDFEO(第1题)G θ（第2题图）（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.4、（江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．5、（江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次调研考试数学试题）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参 观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建该参观线路的最低费用．（第4题图）DCB AO（第5题）6、（江苏省南通、扬州、泰州、徐州、淮安、宿迁2017届高三二模数学试题）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截 成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．7、（江苏省如皋市2017届高三下学期语数英学科联考（二）数学试题）如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB 围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB 上，街道由两条平行于对称轴l 且关于l 对称的两线段EF 、CD ，及夹在两线段EF 、CD 间的弧组成．若商业街在两线段EF 、CD 上收益为每千米2a 元，在两线段EF 、CD 间的弧上收益为每千米a 元．已知2AOB π∠=，设2EOD θ∠=，(1) 将商业街的总收益()f θ表示为θ的函数； (2) 求商业街的总收益的最大值．北(第6题)8、（江苏省苏州大学2017届高考数学考前指导卷 1）如图，某地区有一块（百米），植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为.（1（2，若计划9、舞，试求这块圆形广场的最大面积．(10、（江苏省泰州市2017届高三考前参考题数学试题）甲、乙分别位于扇形居民区弧⌒AB合）处建造一个大型快件集散中心，经过前期的调查，发现可以分别用抗拒系数⌒AB的中点时，（1（211、（上海市崇明区2017届高三第二次（4月）模拟考试数学试卷）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．E为A B中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比（1AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，甲？12、（江苏省学大教育2017届高考数学密2）13、（江苏省学大教育2017届高考数学密1）某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面仪容镜（仪容镜为平面镜），如图，仪容2米，（1（2答案1、（12分分，所以定义域为10分12分所以，所以，故有最大，此时（2）1m ．………16分2、（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ．＝(4－23cos θ) 800sin θ ，即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分34、解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40，从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252 平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b 2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立．设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)．则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分5、【解】设DE 与半圆相切于点QDQ＝QE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）方法一：由题意得，点E……1分设直线EF，因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF (3)分F……5分即．……7分方法二：切圆所以Rt△EHF≌Rt△OGF，……3分……5分所以．……7分（2①所以当时，取最小值为……11分②……13分且当时，；当时，调递增．由①②知，取最小值为……15分答：（1（2）修建该参观线路的最低费用为万元．……16分6、解：（1，……2分．……5分又B到边界线l……8分（2AB C图甲走私……12分1.55所以缉私艇能在领海内截住走私船．……14分答：（1（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．……16分18.7、1）①3分②6分由①②8分（2）①列表：11分所以在时单调递减所以…………………14分10分的面积最大值为分⌒AB（2由（119.11、解：（1分分.....................................................6分（2）以所在直线为轴，中垂线为分分6为半径的上半圆在矩形区域人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲...........................................14分12、13由正弦定理，)2,21(tan 2321sin )32sin(sin sin ∈+=-==C C C C B AB AC π即的取值范围为AB AC 的取值范围为（2,21）（2）易知AD A A 2='、又由三角形ABC 的面积A AC AB AD BC S sin 2121⋅=⋅=,可得AC AB AD ⋅=43由余弦定理，AC AB AC AB AC AB A AC AB AC AB BC ⋅=⋅-⋅≥⋅⋅-+==2cos 24222, 解得4≤⋅AC AB ，当且仅当2==AC AB 时。

江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.设复数z a b =+i (,∈a b R,i 为虚数单位），若(43z =+i)i ，则ab 的值是 ．2.已知集合{}{}|0,|2U x x A x x =>=≥，则U A =ð ．3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ．4. 如图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ．5.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是 ．6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差52,10d a ==，则10S 的值是 ．7.在锐角ABC ∆中，3,4AB AC ==，若ABC ∆的面积为则BC 的长是 ．8.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210x y a a-=>经过抛物线28y x =的焦点，则该双曲线的离心率是 ．9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则这个圆锥的高为 ．10.若直线2y x b =+为曲线x y e x =+的一条切线，则实数b 的值是 ． 11.若正实数,x y 满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ． 12.如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,3,2AB DC ABC AB BC DC ∠==== ，若,E F分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围是 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，点()1,1,B P -为圆222x y +=上一动点，则PBPA的最大值是 ． 14.已知函数()3,3,x x a f x x x x a≥⎧=⎨-<⎩若函数()()2g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点,32π⎛ ⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足()()1,0,2f παααπ⎛⎫+--∈ ⎪⎝⎭，求角α值. 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面,,,ABCD AP AD M N =分别为棱,PD PC 的中点.求证：（1）//MN 平面PAB ； （2）AM ⊥平面PCD .17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，且经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直.若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求ABDF的值.18. 如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米.为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C D E F ---,且,,CD DE EF ,均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形，设DE t =百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t 万元，经测算()15,03118,23t f t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建参观线路的最低费用.19. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组()(),,E m p r m p r =<<.（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p p r r m a b a b a b +=+=+，求q 的最大值.（3）若11,02n n m m p p r r b a b a b a b -⎛⎫=-+=+=+= ⎪⎝⎭，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式n a .(注：本小问不必写出解答过程)20. 已知函数()2cos (f x ax x a =+∈R ），记()f x 的导函数为()g x .（1） 证明：当12a =时，()g x 在R 上的单调函数； （2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(),m D +∞⊆.若()h x 在(),m +∞上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调.试证明函数()ln y f x x x =-在()0,+∞上广义单调.数学Ⅱ(附加题)21. 【选做题】 本题包括A 、B 、C 、四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦,PC PD 分别交AB 于点,E F .求证：PE PC PF PD ⋅=⋅.B. 选修4-2：距阵与变换 已知矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，点()1,1-在M 对应的变换作用下得到点()1,5--，求矩阵M 的特征值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在坐标系中，圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点4π⎛⎫⎪⎝⎭，求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：选修4-5：不等式选讲已知,,,a b c d 是正实数，且1abcd =，求证：5555a b c d a b b d +++≥+++.【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90,2,1ADC DAB SD AD AB DC ∠=∠===== .（1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD 所成角的正弦值为13，求线段CP 的长. 23. 已知函数()()00,0cx df x a ac bd ax b+=≠-≠+，设()n f x 为()1n f x -的导数，n ∈N *. （1）求()()12,f x f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论.江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题参考答案一、填空题:1．12- 2.{}|02x x << 3.564.35.75006.11021 11.8 12：[]4,6-13.2 14.3,22⎛⎫-⎪⎝⎭二、解答题:15. 解：(1)由条件，周期2T π=，即22ππω=，所以1ω=，即()sin 3f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为()f x 的图象经过点3π⎛ ⎝，所以()2sin1,sin 33A A f x x ππ⎛⎫=∴=∴=+ ⎪⎝⎭.(2)由()12f παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得sin 1332πππαα⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 1,2sin 13333ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=∴+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即1sin 2α=.因为()0,,6παπα∈∴=或56π. 16. 解：(1)因为,M N 分别为棱,PD PC 的中点，所以//MN DC ，又因为底面ABCD 是矩形，所以//,//AB DC MN AB ∴.又AB ⊂平面,PAB MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .(2)因为,AP AD M =为PD 的中点，所以AM PD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD 平面,,ABCD AD CD AD CD =⊥⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为,CD PD ⊂平面,,PCD CD PD D AM =∴⊥平面PCD .17. 解：(1)由题意，知24,2a a ==∴=.又2221,,c a b c b ==+∴=22143x y +=. (2)设直线AB 的方程为()1y k x =+.①若0k =时，24,1,4ABAB a FD FO DF====∴=. ②若0k ≠时，()()1122,,,,A x y B x y AB 的中点为()00,M x y ，代入椭圆方程，整理得()22223484120k x k x k +++-=，所以()2120002243,13434k k x x x y k x k k ==∴=-∴=+=++，所以AB 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭.因为DA DB =，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22222233,0,1343434k k k D DF k k k ⎛⎫+-∴=-+= ⎪+++⎝⎭，因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得()1142AF x =+，同理()()2212021112124,442234k BF x AB AF BF x x x k+=+∴=+=++=+=+，所以4ABDF =，综上，得ABDF的值为4. 18. 解：设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，,OQ l DQ QE ⊥=，以OF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy . (1)设EF 圆切于G ，连结OG 过点E 作EH AB ⊥，垂足为H .因为,,EH OG OFG EFH GOF HEF =∠=∠∠=∠，所以1,2Rt EHF Rt OGF HF FG EF t ∆≅∆∴==-.由()2221111,0224t EF HF EF t EF t t⎛⎫=+=+-∴=+<< ⎪⎝⎭.(2) 设修建该参观线路的费用为y 万元. ①当11320,525342t t y t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<≤=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由232'502y t ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ ，则y 在10,3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以当13t =时，y 取得最小值为32.5. ②当123t <<时， 2111632821242t y t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()()223316241331'12t t t y t t t-+-=-+=， 212,33103t t t <<∴+-> ，且当1,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y <；当()1,2t ∈时，'0y >，所以y在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增.所以当1t =时，y 取得最小值为24.5. 由 ①②知，y 取得最小值为24.5.答：（1）EF 的长为114t ⎛⎫+⎪⎝⎭百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元. 19. 解：(1)由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，即()()21221,2101d b q q q q d b q ⎧=-⎪∴--=⎨=-⎪⎩， 11,2q q ≠±∴=- .(2)由m p p r a b a b +=+，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()()1r m m r p d b q --=-，因为,,m p r 成等差数列，所以()12p m r p r m -=-=-.记p m q t -=，则有2210t t --=，1,1q t ≠±∴≠± ，故12t =-，即1,102p m q q -=-∴-<<.记p m α-=，则α为奇函数，又公差大于1，所以113113,22q αα⎛⎫⎛⎫≥∴=≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1312q ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，当3α=时，q 取最大值为1312⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)满足题意的数组(),2,3E m m m =++，此时通项公式为11331,288m n a n m m -⎛⎫⎛⎫=---∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭N *.例如：()3111,3,4,88==-n E a n . 20. 解：(1)当12a =时，()()21cos ,'sin 2f x x x f x x x =+∴=-，即()()sin ,'1cos 0g x x x g x x =-∴=-≥，()g x ∴在R 上单调递增.(2)()()()'2sin ,'2cos g x f x ax x g x a x ==-∴=- . ①当12a ≥时，()'1cos 0g x x ≥-≥，所以函数()'f x 在R 上单调递增.若0x >，则()()'00f x f >=；若0x <，则()()''00f x f <=，所以函数()f x 的单调增区间是()0,+∞，单调减区间是(),0-∞，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意.②当12a ≤-时，()'1cos 0g x x ≤--≤，所以函数()'f x 在R 上单调递减.若0x >，则()()''00f x f <=；若0x <，则()()''00f x f >=，所以()f x 的单调减区间是()0,+∞，单调增区间是(),0-∞，所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意. ③当1122a -<<时，()00,x π∃∈，使得0cos 2x a =，即()0'0g x =，但当()00,x x ∈时，cos 2x a >，即()'0g x <，所以函数()'f x 在()00,x 上单调递减，所以()()''00f x f <=，即函数()f x 在()00,x 单调递减，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）记()()2cos ln 0h x ax x x x x =+->. ①若0a >，注意到ln x x <，则1122ln x x <，即ln x < 当2x >时，()'2sin 1ln 22h x ax x x ax =--->-112022a a =>⎭.所以212m a ⎛+∃= ⎝⎭，函数()h x 在(),m +∞上单调递增.②若0a ≤，当1x >时，()'2sin 1ln sin 1ln 0h x ax x x x x =---<---<，所以1m ∃=，函数()h x 在(),m +∞上单调递减，综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间()0,+∞上广义单调.数学Ⅱ(附加题)21. A. 解：连结,,,PA PB CD BC ，因为PAB PCB ∠=∠，又点P 为弧AB 的中点，所以,PAB PBA PCB PBA ∠=∠∴∠=∠，又DCB DPB ∠=∠，所以PFE PBA DPB PCB DCB PCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以,,,E F D C 四点共圆.所以PE PC PF PD ⋅=⋅.B. 解：由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，解得2,4a b ==，所以矩阵1214M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.所以矩阵M 的特征多项式为()11f λλ-= 22564λλλ-=-+-，令()0f λ=，得122,3λλ==，所以M 的特征值为2和3.C. 解：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 极坐标方程为cos a ρθ=，又因为点4π⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆C 上，所以cos 4a π=，解得6a =，所以圆C 极坐标方程为6cos ρθ=.D. 解：因为,,,a b c d 是正实数，且51,4abcd a b c d a =∴+++≥=，①同理54b b c d b +++≥，② 54c b c d c +++≥， ③ 54d b c d d +++≥，④将①②③④式相加并整理，即得5555d b c d a b c d +++≥+++.22. 解：(1)以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则()()()()0,0,0,2,2,0,0,1,0,0,0,2D B C S ，所以()()()2,2,2,0,1,2,0,0,2SB SC DS =-=-=，设平面SBC 的法向量为()1,,n x y z = ，由110,0n SB n SC ⋅=⋅=，得2220x y z +-=且20y z -=，取1z =，得1,2x y =-=，所以()11,2,1n =-是平面SBC 的一个法向量.因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量()20,0,1n = ，设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos n n n n θ⋅===，由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A --(2)由（1）知()1,0,1E ，则()()2,1,0,1,1,1CB CE ==-.设()01CP CB λλ=≤≤ ，则()()()2,1,02,,0,12,1,,1CP PE CE CP λλλλλ==∴=-=---，易知CD ⊥平面(),0,1,0SAD CD ∴=是平面SAD 的一个法向量.设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos ,PE CD PE CD PE CD α⋅====13λ=或119λ=（舍）.所以21,,0,33CP CP ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以线段CP的长为3.23. 解：（1）()()()()()()()()'''10212232',+-+--⎡⎤⎡⎤======⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+++⎣⎦cx d bc ad cb ad a bc ad f x f x f x f x ax b ax b ax b ax b . （2）猜想()()()()1111!,n n n n a bc ad n f x n N ax b --*+-⋅⋅-⋅=∈+.证明：① 当1n =时，由(1)知结论正确；②假设当,n k k N *=∈时，结论正确，即有()()()()1111!k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+.当1n k =+时，()()()()()'11'111!--++⎡⎤-⋅⋅-⋅==⎢⎥+⎣⎦k k k k k a bc ad k f x f x ax b()()()()'1111!--+-⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦k k k a bc ad k ax b ()()()()211!+-⋅⋅-⋅+=+k k k a bc ad k ax b ，所以当1n k =+时结论成立，由①②得，对一切n N *∈结论正确.。

江苏省南通市2017届高三高考全真模拟数学试卷（一）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{0,1,2}A =，则的子集个数为________．2．已知复数12z 2,2i ai z =+=-，（其中0a >，i 为虚数单位）．若12|z ||z |=，则a 的值为________． 3．执行如图所示的流程图，则输出的结果S =________．4．若直线1y x b =+（e 是自然对数的底数）是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值是________．9．已知函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩，若方程()log (2)(01)a f x x a =+<<有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为________．O 到正六角星12个顶点的向量都写成15．在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(4,3)B ，若,,A B C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC ，且直线BC 与x 轴交于点．（1）求cos CAD ∠的值；（2）求点C 的坐标．16．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A ABB ⊥底面ABCD ，且π2ABC ∠=．（1）求证：BC ∥平面11AB C ；（2）求证：平面11A ABB ⊥平面11AB C ．17．已知城A 和城相距20 km ，现计划以AB 为直径的半圆上选择一点C （不与点A ，B 重合）建造垃圾处理厂．垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与城B 的影响度之和．记点到C 城A 的距离为km x ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ．统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比例关系，比例系数为k ．当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城和城的总影响度为0．065．（1）将y 表示x 成的函数．（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，请说明理由．18．已知椭圆22:31(0)C mxmy m +=>的长轴长为O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程和离心率．（2）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且点P 在y 轴的右侧．若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值．19．已知函数32()(0)f x ax bx cx b a a =-++=>．（1）设0c =．①若a b =，曲线()y f x =在0x x =处的切线过点(1,0)，求0x 的值；②若a b >，求()f x 在区间[0,1]上的最大值．（2）设()f x 在1x x =，2x x =两处取得极值，求证：11()f x x =，22()f x x =不同时成立．20．若数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为111||mi a b =-∑．（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离．（2）记A 为满足递推关系111n n na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，数列{}nb 和{}nc 为A 中的两个元素，且项数均为m ．若12b =，13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离小于2 016，求m 的最大值．（3）记S 是所有7项数列{}n a （其中17n ≤≤，0n a =或1）的集合，T S ⊆，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3．求证：T 中的元素个数小于或等于16．（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．如图，,AB BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且2AC AD =，求证：2BC OD =．B ．在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C ，(0,2)D ，先将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90︒，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M ．C ．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．现以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．D ．已知,a b 为互不相等的正实数，求证：3334()()a b a b +>+．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =中，抽取三个不同的元素构成子集123{,,}a a a ．（1）求对任意的i j ≠满足||2i j a a -≥的概率；（2）若125,,a a a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望．23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n =，且221,1(),2n nn S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩． （1）计算(1),(2),(3)f f f 的值；（2）比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．。

2016—2017学年江苏省泰州中学高三(上）摸底数学试卷一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1．已知集合A={x｜x＞0｝,B=｛﹣1，0，1，2},则A∩B等于．2．已知复数z满足（1+i）•z=﹣i，则的模为．3．已知+=2，则a=．4．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损,则乙的平均成绩超过甲的概率为．5．若双曲线x2﹣=1的焦点到渐进线的距离为2,则实数k的值是．6．在△ABC中，AB=2，BC=1。

5,∠ABC=120°,若△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是．7．下面求2+5+8+11+…+2012的值的伪代码中，正整数m的最大值为．8．向量=（cos10°，sin10°），=(cos70°，sin70°）,|﹣2｜=．9．对于函数y=f(x），若存在区间[a,b］，当x∈[a,b]时，f（x）的值域为[ka，kb］（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是．10．函数y=1﹣(x∈R）的最大值与最小值之和为．11．已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）及圆上的点A(0，﹣r)，过点A的直线l交圆于另一点B,交x轴于点C，若OC=BC,则直线l的斜率为．12．已知|AB｜=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC,△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．13．已知实数x、y满足,若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．14．设等比数列{a n}满足公比q∈N＊，a n∈N＊，且{a n｝中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有可能取值的集合为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知0＜α＜＜β＜π且sin（α+β）=，tan=．（1）求cosα的值；（2）证明：sinβ．16．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．17．某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润(单位:万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1)求g（10)；（2)求第x个月的当月利润率g（x);（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率．18．已知椭圆Γ：．(1）椭圆Γ的短轴端点分别为A,B（如图），直线AM,BM分别与椭圆Γ交于E，F两点，其中点M（m，）满足m≠0,且m．①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关；②若△BME面积是△AMF面积的5倍,求m的值；（2）若圆φ：x2+y2=4．l1，l2是过点P（0,﹣1）的两条互相垂直的直线,其中l1交圆φ于T、R两点，l2交椭圆Γ于另一点Q．求△TRQ面积取最大值时直线l1的方程．19．已知数列｛a n｝的前n项和S n满足:S n=t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．(1）求｛a n}的通项公式;(2）设b n=a n2+S n a n，若数列｛b n｝为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2)的情形下，设c n=4a n+1，数列｛c n｝的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．20．已知函数f（x）=（e为自然数的底数）．（1)求f(x）的单调区间；（2)是否存在实数x使得f（1﹣x)=f（1+x），若存在求出x，否则说明理由；（3）若存在不等实数x1，x2，使得f（x1)=f(x2),证明：f（）＜0．2016—2017学年江苏省泰州中学高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1．已知集合A=｛x|x＞0}，B={﹣1，0,1，2｝，则A∩B等于．【考点】交集及其运算．【分析】直接由交集的运算性质得答案．【解答】解:由集合A=｛x|x＞0}，B=｛﹣1，0，1，2}，则A∩B=｛x｜x＞0｝∩｛﹣1，0，1，2｝={1，2}．故答案为：｛1，2｝．2．已知复数z满足(1+i)•z=﹣i，则的模为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式变形得到，运用复数的除法运算化简z，从而得到，则的模可求．【解答】解：由（1+i)•z=﹣i，得：．所以，所以．故答案为．3．已知+=2，则a=．【考点】对数的运算性质．【分析】利用换底公式对等式进行化简，便可求出a值．【解答】解：,可化为log a2+log a3=2，即log a6=2，所以a2=6，又a＞0,所以a=．故答案为：．4．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为．【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图计算甲乙的平均数,利用古典概率的概率公式即可得到结论．【解答】解：由图示可知，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90，设被污损的数字为x，则乙的平均成绩为90+(﹣7﹣7﹣3+9+x）＞90，即x﹣8＞0，解得x＞8．即x=9，故所求概率为．故答案为：5．若双曲线x2﹣=1的焦点到渐进线的距离为2，则实数k的值是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先分别求双曲线的渐近线方程，焦点坐标，再利用焦点到渐近线的距离为，可求实数k的值【解答】解:双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是．由焦点到渐近线的距离为，不妨．解得k=8．故答案为8．6．在△ABC中，AB=2，BC=1。