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2020年高考模拟高考数学一模试卷一、填空题1. 集合A ＝{0，e x}，B ＝{－1,0,1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________. 【答案】0 【解析】 【分析】因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =，从而可以求出x 的取值.【详解】解：集合A ＝{0，e x}，B ＝{－1,0,1}，因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，又0x e >，所以1x e =，即0x =. 故答案为0.【点睛】本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题. 2. 复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是_______． 【答案】-1 【解析】 【分析】由题意，根据复数的运算，化简得2z i =-，即可得到复数z 的虚部． 【详解】由题意，复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-，所以复数z 的虚部为1-． 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3. 24log 4log 2+=________. 【答案】52【解析】 【分析】根据对数的运算公式得到结果.【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础.4. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_______.【答案】56【解析】 【分析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为56【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5. 在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 【答案】1 【解析】【详解】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形6. 已知函数()sin())f x x x ϕϕ=+++，0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6f 的值为____． 【答案】-1 【解析】函数为奇函数，则：()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， 据此有：,33k k ππϕπϕπ+==-，令1k =可得：23ϕπ=，故：()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 7. 已知3()log f x x =，若a ，b 满足(1)(21)f a f b -=-，且2a b ≠，则+a b 的最小值为_______．【答案】32+ 【解析】 【分析】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，得(1)(21)1a b --=，所以212a b +=，所以123(3)22b a a b a b +=++≥ 【详解】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，即3log (1)(21)0a b --=，所以(1)(21)1a b --=，得212a b +=，所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b a a b =，即a =时，等号成立，综上，+a b 的最小值为32+ 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式8. 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___． 【答案】49【解析】分析： 先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有339⨯=种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有224⨯=，所以黑白两球均不在一号盒的概率为49，故答案为49. 点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.9. 若抛物线24x y =的焦点到双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为____． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出．【详解】抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ba=x ， ∴13a c==， ∴e ca==3， 故答案为3．【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题.10. 设,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若,m m αβ，则αβ； ②若,m m αβ⊥，则αβ⊥；③若,m m n α，则n α； ④若,m ααβ⊥，则m β⊥.其中的正确命题序号是______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案． 【详解】对于①，若m∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m∥α，m∥n 则n 可能在α内，故③错误；对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β；故④正确； 故答案为：②④．【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．11. 设0,0x y >>，向量a = ()1,4x -，b = (),x y -，若a b ，则x y +的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据向量平行得到1x +4y=1，再利用基本不等式即可求出最值． 【详解】：因为a ∥b ， 所以4x+（1﹣x ）y=0， 又x ＞0，y ＞0，所以1x +4y=1，故x+y=（1x +4y ）（x+y ）=5+y x +4xy≥9．当y x =4x y ，1x +4y=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立． （x+y ）min =9． 故答案为9．【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.12. 在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=__________．【答案】6 【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅ 213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=, 所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． 13. 已知正数a ，b ，c 满足()220b a c b ac ++-=，则ba c+的最大值为_____________．【答案】22【解析】 【分析】利用求根公式得到b =表示目标1b a c =-++借助均值不等式求最值.【详解】∵()220b a c b ac ++-=∴b =∴11ba c==-+=-++1=-+，当且仅当a=c 时取等号. 【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14. 若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】若0m > ,则当x →+∞时2101m x mx ->+ ,所以0m < ,从而221114m m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 或21114m m m⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩ 所以112m -<<-或112m m ≤-∴<- 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.二、解答题：共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，DE ⊥PA .（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE .【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解. 【解析】 【分析】（1）设PD 的中点为H ，连接,AH HF ,利用三角形中位线定理、矩形的性质、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用相似三角形的判定定理和性质定理，结合线面垂直的判定定理和性质、面面垂直的判定定理进行证明即可.【详解】（1）设PD 的中点为H ，连接,AH HF ,因为F 是PC 的中点，所以有1//,2HF DC HF DC =,又因为四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形, E 是AB 的中点,所以有 1//,2AE DC AE DC =，因此有//,HF AE HF AE =,所以四边形AEFH 是平行四边形，因此有//EF AH ,AH ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ； （2）在矩形ABCD 中，设,AC DE 交于点M ，因为E 是AB 的中点,所以22AE =， 因为22AE DA AD CD ==，所以Rt DAE ∆∽Rt ADC ∆，因此ADE ACD ∠=∠，而 90ADE CDE ︒∠+∠=，所以90ACD CDE AC DE ︒∠+∠=⇒⊥，而DE ⊥PA ，,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC ，而DE ⊂平面PDE ，因此平面PAC ⊥平面PDE .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了平行四边形的判定和性质，考查了矩形的性质，考查了相似三角形的判定和性质，考查了推理论证能力. 16.三角形ABC 中，已知1tan 2B =，10cos C =（1）求角A 的值； （2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长. 【答案】（1）4A π= （2）1BC =【解析】 【分析】（1）由题可知，10cos C =，根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ，在ABC ∆中，利用tan tan()A B C =-+，代入求出tan A ，即可得出A ∠；（2）利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=，即可求出BC 的长. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，10cos 10C =-.得sin C =，故tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<，所以4A π=（2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理：sin sin AB BCC A=得：5a AB a ==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin B =，所以ABC ∆的面积为：1sin 2S AB BC B =⋅213321010a a =⨯==. 所以1a =，即1BC =.【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.17. 建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围； （3）求总造价y 的最小值．【答案】（1）4320()480(0)y x x x=++>；（2）[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）2x =()m ，总造价最小为1760元．【解析】【分析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式； （2）解不等式2080y ≤可得； （3）由函数单调性可得最小值．【详解】（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x =++，∴4320()480(0)y x x x =++>；（2）4320()4802080y x x=++≤，解得14x ≤≤；[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记4()f x x x=+，设1202x x <<≤，则12120,40x x x x -<-<， ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>，即12()()f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增， 所以函数4320()480y x x=++(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增，∴2x =时，min 4320(2)48017602y =⨯++=． ∴2x =()m ，总造价最小为1760元．【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．18. 在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =，求直线MN 的方程.【答案】（1）222x y +=（2）663,3y x y x =+=【解析】 【分析】（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y ，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +，代入12120OA OB x x y y ⋅=+=可得出,k m 的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线2x =（2）设点()00,Q x y ，由2MN NQ =，得002233x y N ⎛+ ⎝⎭，由,Q N 分别在椭圆和圆上，联立方程组解得00,x y 后可得直线方程．【详解】（1）设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得2121222426,1212kb b x x x x k k-+=-=++.因为0OA OB ⋅=，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx xkb x x b ++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k +--+=++，化简得2222b k =+，所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=.此时，当切线为x =0OA OB ⋅=.（2）设点()00,Q x y，点M ，由2MN NQ =，得0022,33x y N ⎛+ ⎝⎭.代入椭圆和圆得22002201,6322,3x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得002x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者002x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点Q ⎛ ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y =. 【点睛】本题考查求圆的方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，用设而不求的思想方法．解题时注意体会． 19. 已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）()222123e a e+-<<-【解析】 【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x ax f xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+， 令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1=x e 或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f a ae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-， 所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-， 其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭， 所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．20. 已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，n n n kc a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足：1nn bb +≤，且{}nc 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列 ．【答案】（1）见解析； （2）n a n =； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）采用1n n n a S S -=-可进行求解，要验证1n =是否成立（2）（3）通过题干，将n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+进行联立求解，代换掉n b ，n c ，可求得数列{}n a 的通项公式【详解】（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==符合上式， 则21(1)n a n n =-≥，2,422∴=-=--n n b k c n k ，则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}∴a a 为()H k 数列.（2）121,1,2==-=a b a ，由数列{}n a 为(1)H 数列，则{}n c 是等差数列，且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ，1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列，110,-=∴=n a a n ，验证：11+=-=-n n n b a a ，1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=． 又由121++=+n n a a n ，1223+++=+n n a a n ， 两式相减，得：22n n a a +-=，211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ，n a n ∴=（3）由数列{}a a 为(2)H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d ， 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d又1n n b b +≤，1+∴=n n b b ，数列{}n b 为常数列，则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a ， {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解，但一定注意要验证1n =是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可 21. 已知矩阵10A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦，20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦，且AB BA = （1）求实数a ； （2）求矩阵B 的特征值. 【答案】（1）0a =（2）1 【解析】 【分析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21fλλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解：()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=-- 令()0f λ=,解得2,1λλ==【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22.在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长. 【答案】65AB = 【解析】 【分析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长：圆C 的圆心到直线l 的距离为，【详解】解：直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为，圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，则圆C 的圆心到直线l 的距离为，所以.考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理23. 已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++=⎪⎝⎭， 所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24. 如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=（R λ∈），且向量PC 与BD 夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）2λ=；（2）105. 【解析】【详解】（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-，则由15cos ,15PC BD 〈〉=，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-，(0,2,2)PD =-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =，则0n PC ⋅=，0n PD ⋅=，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =，又易得(1,0,2)PB =-， 故10cos ,PB n PB n PB n〈〉=-⋅⋅=， 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为10.考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25. 已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++，n *∈N ．记()021?nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除． 【答案】（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析.【解析】 【分析】（1）由二项式定理得21ii n a C +=，利用公式计算2T 的值；（2）由组合数公式化简n T ，把n T 化为42n +的整数倍即可． 【详解】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+；（1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n k n n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n k n n C +=+， 所以()()()12121000212121n n n n kn k n n k n n k k k T k a k C k C -++-++====+=+=+∑∑∑()()()()11121212100021212121n n nn kn k n k n n n k k k n k n Cn k C n C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑ ()()()()()12212212001122121221221222n n n k n k n n n n n n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221n n n C =+，()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除. 【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．。
南京师大附中2020届高三年级模拟考试数学.观注意事项:1. 本试卷共4页，包括填空题(第1题〜第14题)、解答题(第15题〜第20题)两部分・本 试卷滚分为160分，考试时间为120分钟.2. 答题前•请务必将口己的姓名■学校、班级、学号写在答题卡的相应位置•试题的答案 写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后.交回答题卡.• • •参考公式：1 n 一 一 1 丿样本数据x/2,£的方差疋=丄》(兀yr,其中“一乂兀.n /-I n/=i锥体的体积V^-Sh,其中S 是锥体的底面积，力是锥体的髙.3球体的表面积S=4寸2,其中，•是球体的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解答过程，请把答案写在 爾卡相轆單上.1. 已知集合 A={x^x\ < L xeZ}, B={—l,0,l,6},则 AQB= A .2. 已知复数z=(l - 2i)(a + i),其中i 是虚数单位.若z 的实部为0,则实数a 的值为 ▲•3・样本数据6, 7, 10, 14, 8, 9的方差是 ▲ •4. 下图是•一个算法流程图.若输入的x 的值为1,则输出S 的值为第4题图5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的倍数的概率是▲.6. 己知函数尸sin(2x+^)(--<^<-)的图象关于点(丝，0)对称，则。
的值是▲•2 2 37. 已躲P-ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16兀，且ZAPO = ZBPO = ZCPO = 30° ,则该三棱锥的体积为▲ •8. 若双曲线C ： 4-4 = ,(^>0^ b>®的离心率为3,则抛物线y = ^x 2的焦点到双曲线a 2b 2 4C 的渐近线距离为▲・2020.06/输出S /9. 己知函数/(;c)=sin兀+2卄兀'，若/(a-6) + /(2«2) <0 ,贝I】实数a的取值范围是▲ 一.10. 设等差数列｛a”｝的前n项和为S“，已知4+42+他=47, ©+©=28.若存在正整数使得对任意的"6 N-都有S” <&恒成立，则k的值为▲.11. 已知圆O ： x2 + > 0),直线/：x+2y = 10当x轴，y轴分别交于％, 3两点,若圆。
江苏省南师附中2020届高三年级第一次模拟考试数学Ⅰ2020.03.19参考公式：1．样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑；2．圆锥的体积13V Sh =，其中S 是圆锥的底面圆面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．集合{}0,e x A ，{}1,0,1B =-，若A BB ⋃=，则x =________． 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是________． 3．24log 4log 2+=________．4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为________．5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=________．6．已知函数()()()sin f x x x ϕϕ=++，0x ϕ≤≤，若()f x 是奇函数，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为________．7．已知()3log f x x =，若a ，b 满足()()121f a f b -=-，且2a b ≠，则a b +的最小值为________． 8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为________．9．若抛物线24x y =的点到双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为________．10．设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m αP ，m βP ，则αβP ； ②若m α⊥，m βP ，则αβ⊥； ③若m αP ，m n P ，则n αP ；④若m α⊥，αβP ，则m β⊥．其中的正确命题序号是________．1l ．设0x >，0y >，向量()1,4a x =-r ，(),b x y =-r ，若a b r rP ，则x y +的最小值为________．12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已如CP =4CA =，则CP CA ⋅=________． 13．已知正数a ，b ，c 满足()220b a c b ac ++-=，则ba c+的最大值为________． 14．若()21001m x m mx -<≠+对一切4x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是________． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算．15．如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =2，BC =1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥．(1）求证：EF P 平面PAD ；（2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos C =．（1）求角A 的值；（2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长． 17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/2m 和80元/2m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域； （2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围； （3）求总造价y 的最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22163x y +=，若圆O ：()2220x y R R +=>的一条切线与椭圆C 有两个交点A ，B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r．（1）求O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程．19．已知函数()()()222ln 12a f x ax x x x a R =+++∈． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范田（e 是自然对数的底数，271828e ≈L ．） 20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，()*n n n k c a a n +=+∈N ．若对任意的正整数n 满足：1n n b b +≤，且{}n c 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列．（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且11a =，11b =-，25c =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列．数学Ⅱ（附加题）2l ．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答理区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201a B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：3545x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长． C ．[选修4-5：不等式选讲]已知1x ，2x ，()30,x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡．．．指．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若()DC AB R λ=∈u u u r u u u r，且向量PC uuu r 与BD u u u r夹角的余弦值为15．（1）求λ的值：（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 23．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ，*n N ∈．记()021k n n knT k a=-=+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈，n T 都能被42n +整除．参考答案1．0 2．-1 3．52 4．56 5．1 6．-1 7．32+ 8．499．3 10．②④ 11．9 12．6 13．22 14．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 15．证明：（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ， ∵F ，G 分别是PC ，PD 的中点FG CD ∴P ，且12FG CD =又∵E 为AB 中点AE CD ∴P ，且12AE CD =AE FG ∴P ．AE FG =四边形AEFG 为平行四边形EF AG ∴P ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD EF ∴P 平面PAD（2）设AC DE H =I ，由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点，得12AH AE CH CD ==又AB =1BC =AC ∴=，133AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∆∴∆: 90AHE ABC ∠∴∠==︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE16．解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos C =．得sin C =tan 3C =-所以()()()()13tan tan 2tan tan 111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦．0A π<<Q ，所以4A π= （2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理sin sin AB BCC A=得，a AB ⨯==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin B =所以ABC ∆的面积为21133sin 221010S AB BC B a a =⋅=⨯==，所以1a =，即1BC =． 17．（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， 48422801203204802y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+⨯⨯+⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()43204800y x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）43204802080y x x ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，解得14x ≤≤； []1,4x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记()4f x x x=+，设1202x x <<≤，则120x x -<，1240x x -<， ()()()()1212121212124440x x x x f x f x x x x x x x --∴-=+--=>，即()()12f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增， 所以函数4320480y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在(]0,2上递减，在[)2,+∞上递增， ∴2x =时，min 4320248017602y ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭． ()2x m ∴=，总造价最小为1760元．18（1）设的切为y kx b =+，点()11,A x y ，()22,B x y ．由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得122412kbx x k +=-+，2122212b b x x k -=+．因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=．又因为点()11,A x y ，()22,B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx xkb x x b++++=．所以()()2222222126401212k b k b b k k+---+=++，化简得2222b k =+， 所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=．此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r．（2）设点()00,Q x y，点(M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得023x N ⎛ ⎝⎭，代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛+⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或者00,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以点,2Q ⎛- ⎝⎭或2Q ⎛ ⎝⎭ 故直线MN的方程为y x =y x =+19．（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，()()()()()()2122ln 221ln 2221ln 1f x ax x ax x ax ax x ax ax x x'=+++⋅+=+++=++，则()()1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,+∞，()()2ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，解得1x e >；令()0f x '<，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）函数()()222ln ln 12af x ax x x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线． 由（1）知()()()21ln 1f x ax x '=++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()0f x '>，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；2）当0a <时，令()0f x '=，得1x e =或1a -，其中11e<， ①若111-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()0f x '<，刚以函数()f x 在区间()1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102af e ae e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-， 其中()()2222213421330e e e e e +-----=>，即()222113e e+->-，所以a 的取值范是21a ≤≤-； ②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任()1,x e ∈，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>；所以函数()f x 在区间11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对于任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102a f e ae e e =+++<，解得229213e a e+<-， 其中()222221134221333e e e e e e e e e +----⎛⎫⎛⎫---==<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a 的取值范围是()22211e a e +-<<-．综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-．20．（1）当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 当1n =时，11a S a ==符合上式，则()211n a n n =-≥，2n b k ∴=-，422n c n k =--，则1n n b b +≤，14n n c c +-=对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}n a ∴为()H k 数列．（2）1a =Q ，11b =-，22a =，由数列{}n a 为()1H 数列，则{}n c 是等差数列，且13c =，25c = 21n c n ∴=+ 即121n n a a n ++=+，()11n n a n a n +∴-+=-，则{}n a n -是常数列，110a -=Q ，n a n ∴=．验证：11n n n b a a +=-=-，1n n b b +∴≤对任意正整数n 都成立 n a n ∴=． 又由121n n a a n ++=+，1223n n a a n +++=+， 两式相减得；22n n a a +-=，()2112121k a a k k -=+-=-，()22212k a a k k =+-=，n a n ∴=（3）由数列{}n a 为()2H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222n n n n n n n n c c a a a a b b d +++++∴-=+-+=--=， 132n n b b d ++∴--=则()()123220n n n n b b b b d d +++-+-=-= 又1n n b b +≤，1n n b b +∴=，∴数列{}n b 为常数列，则21n n n b a a b +=-=22n n n n n c a a a b +∴=+=-由()112n n n n c c a a d ++-=-=，12n n da a +∴-=，{}n a ∴是等差数列 21．A 解：（1）因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =，所以0a = （2）因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--，令()f λ=，解得2λ=，1λ=． B ．解：直线l ：3545x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）化为普通方程为430x y -=圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为()2211x y -+=， 则圆C 的圆心到直线1的距离为45d ==，所以65AB ==． C ．解：因为1x ，2x ，()30,x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=， 又()()21223312331121111119x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⋅++≥++=⎪⎝⎭， 所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号．【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用． 22．（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -()1,0,0B ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r，所以(),2,0C λ，从而(),2,2PC λ=-u u u r，则由cos ,PC BD =u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=．（2）易得()2,2,2PC =-u u u r ，()0,2,2PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(),,n x y z =r， 则0n PC ⋅=r u u u r ，0n PD ⋅=r u u u r，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量()0,1,1n =r ，又易得()1,0,2PB =-u u u r，故cos ,PB n PB n PB n⋅==⋅u u u r ru u u r r u u u r r ，所以直线PB 与平面PCD．23．（1）由二项式定理得21C ii n a +=，221035T a a a =++；（2）()()()()12221212121C C 21C C 221C n n n n nn n n n n n T n n n ----=+=++=+，进而可得到结论． 解析：由二项式定理得2C ii n i a +=（i =0，1，2，…，2n +1）． （1）210221055535C 3C +5C =30T a a a =++=+；（2）()()()()()()()()()()121221!212!1C 121C 1!!!!n kn kn n n n n n k n k n n k n k n k n k ++++++⋅++=++⋅==+++-+-Q()()()12121002121C21C n nnn k n kn n k n n k k k T k a k k -++-++===∴=+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212102121C21C21C nnnn kn k n kn n n k k k n k n n k n +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()()122122122011221C21C 2212C 21221C 22nnn kn k n n n nnn n n k k n n n n n +++++===+-+=+⋅⋅+-+⋅⋅=+∑∑．()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----∴=+=++=+． *21C n n N -∈Qn T ∴能被42n +整除。
2020届江苏省南京市附中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．2．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A．49B．13C．29D．193．在ABC∆中，23120AB AC BAC==∠=︒，，，AH BC⊥于点H，M为AH的中点，若AM AB ACλμ=+u u u u r u u u r u u u r，则实数λ=（）A．619B．738C．514D．374．已知,Ra b∈，则“1a b>+”是“1a b>+”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．在等差数列{}n a中，10110,0a a，且1110a a>,则使{}n a的前n项和Sn0<成立的中最大的自然数为( )A．11 B．10 C．19 D．206．设函数()2xf x e x=+-，2()ln3g x x x=+-若实数,a b满足()0f a=，()0g b=则（）A．()0()g a f b<<B．()0()f bg a<<C．0()()g a f b<<D．()()0f bg a<<7．如图，在矩形区域ABCD中，2,1AB AD==，且在,A C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是（）A．22π-B．12π-C．14π-D．4π8．已知p：k3q：直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相切．则p⌝是q⌝的()A．充要条件B．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件9．设2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点,P N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=o，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．7D ．5 10．函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知三棱锥P ABC -的体积为43，4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．43πB ．82πC ．123π D ．323π12．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，若对任意的(1,2)a ∈，关于x 的方程()0(0)f x a x m -=≤<总有两个不同的实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南京师大附中2020届高三年级模拟考试数 学 2019.11注意事项：1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题〜第20题）两部分•本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请务必将自己的姓名，学校、班级、学号写在答题卡的密封线内。
试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题歩参考公式：锥体的体积V=Sh,其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 球体的体积343r V π= ,其中r 是球体的半径. 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解答过程，请把答案写在1. 设集合{}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤,则A B =I ▲ .2. 若复数()()12bi i +-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则实数b的值是 ▲ .3. 在右图所示的算法中，若输出y 的值为6,则输入x 的值为▲ .4. 函数()21lg 2y x x x =+-+的定义域是 ▲ .5. 某中学高一、高二、髙三年级的学生人数分别为620人、680人、700人，为了 解不同年级学生的眼睛近视惰况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样 本，则高三年级应抽取的学生人数为 .6. 已知集合{}0,1,2,4A =，若从集合A 中随机抽取2个数，其和是偶数的概率为 ▲ .7. 已知正四棱锥的底面边长为22，体积为8,则正四棱锥的侧面积为 ▲ .8. 设数列{}n a ()*n N ∈是等比数列，前n 项和为n S .已知324239,27a a a -==，则3S的值为 ▲ 。
9.已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过点A 且斜率为36的亶线上，12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=o ，则椭圆C 的离心率为 ▲. 10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，点()4,2M ,点N 在线段OA 的延长线上.设直线与直线OA 及轴围成的三角形面积为S ，则S 的最小值为 ▲ ..11. 已知函数()2ln f x x x =+，若直线1:1l y kx =-与曲线()y f x =相切.则实数k 的值为 ▲ •12. 如图，在直角梯形ABCD 中，,90,2AB DC ADC AB ∠==o P ，1AD =，E 为BC 的中点，若1AE BC ⋅=-u u u r u u u r ，则AB AC ⋅=u u u r u u u r ▲ ,13. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边另别是,,a b c ，已知2222sin sin 2sin sin 3sin A B A B C ++=，则sin C 的最大值为 _.14. 已知函数()41,16,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在等題卡指底库壤内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知函数2()3cos 3sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.(1) 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； (2) 设ABC ∆的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c .已知32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且3A =，4b c +=,求ABC ∆的面积.16. (本小题满分14分)’如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=o ,AC BC =,点D E 、分别为1AB AC 、的中点. (1) 求证:平面平面; (2) 求证：平面・17. （本小题满分14分）在平面直角坐拯系xOy 中,()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，且点21,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在此椭圆上.（1〉求椭圆C 的标准方程；⑵设宜线l 与圆22:1O x y +=相切于第一象限内的点P ，且l 与椭圆C 交于,A B .两点.若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.18. （本小题满分16分）某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成•假定原 木为圆柱体（如图1）,底面半径为r ，高为h •制作要求如下：首先需将原木切割为两 部分（分别称为第I 圆柱和第II 圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗） 然后将第I 圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第II 圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第II 圆柱上下底面圆的内接正方形。
2020届江苏省南京师大附中高三年级模拟数学试题一、填空题1．设集合{}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤，则A B =I __________.【答案】{5,7}【解析】根据交集的定义，即可求解.【详解】 {}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤{5,7}A B =I .故答案为:{5,7}.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．若复数()()12bi i +-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数b 的值是_________.【答案】2-【解析】求出()()12bi i +-实部和虚部，由纯虚数的定义，即可求解.【详解】()()122(21)bi i b b i +-=++-，()()12bi i +-是纯虚数，20210b b +=⎧⎨-≠⎩解得2b =-.故答案为：-2【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的分类，属于基础题.3．在下图所示的算法中，若输出y 的值为6，则输入x 的值为_____________.【答案】1-【解析】算法表示分段函数，由6y =，对x 分类讨论，即可求解.【详解】当1x ≤时，56,1y x x =-==-；当1x >时，56,1y x x =+==（舍去），所以1x =-.故答案为:1-.【点睛】本题考查算法程序的应用问题，解题时应模拟程序运行过程，属于基础题.4．函数()21lg 2y x x x =++的定义域是_______________.【答案】(0,)+∞【解析】根据函数的限制条件，得出不等式组，即可求解.【详解】函数有意义，须21020x x x +≥⎧⎨+>⎩，解得0x >， 函数的定义域为(0,)+∞.故答案为:(0,)+∞.【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.5．某中学高一、高二、髙三年级的学生人数分别为620人、680人、700人，为了解不同年级学生的眼睛近视惰况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为____________.【答案】35【解析】根据分层抽样各层按比例分配，即可求解【详解】分层抽样的方法抽取了容量为100的样本， 则高三年级应抽取的学生人数为700100352000⨯=. 故答案为:35.【点睛】本题考查分层抽样样本抽取个数，属于基础题.6．已知集合{}0,1,2,3,4A =，若从集合A 中随机抽取2个数，其和是偶数的概率为______________. 【答案】25【解析】用组合数求出从集合A 中随机抽取2个数所有方法，再求出和是偶数的基本事件的个数，按求古典概型的概率，即可求解.【详解】从集合A 中随机抽取2个数有2554102C ⨯==， 其和是偶数则这两数同为奇数或同为偶数有22324C C +=， 和是偶数的概率为42105=. 故答案为:25. 【点睛】 本题考查古典概型的概率，属于基础题.，7．已知正四棱锥的底面边长为体积为8，则正四棱锥的侧面积为_____________.【答案】【解析】根据题意求出正四棱锥的高，再求出侧面的斜高，即可求解.【详解】设正四棱锥的高为h ，侧面的斜高为h '，218,3,3V h h h '=⨯⨯====正四棱锥的侧面积142S =⨯=故答案为:【点睛】本题考查椎体的体积和侧面积，注意应用其几何结构特征，属于基础题.8．设数列{}n a ()*n N ∈是等比数列，前n 项和为n S .已知324239,27a a a -==，则3S 的值为_____________.【答案】13【解析】设等比数列的公比为q ，将已知条件转化为关于q 的方程，求出n a ，即可得出结论.【详解】设等比数列的公比为q ，427a =,4432223239a a a a q q-=-=， 即2690,3q q q -+==，133,13913n n a S -==++=.故答案为:13.【点睛】本题考查等比数列通项基本量的运算，数基础题.9．已知12,F F 是椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F ∆为等腰三角形，012120F F P ∠=，则C 的离心率为______． 【答案】14【解析】求得直线AP 的方程，根据题意求得P 点坐标，代入直线方程，根据椭圆离心率的定义，即可求得椭圆的离心率．【详解】如图所示，由题意知：()()()12,0,,0,,0A a F c F c --，直线AP 的方程为：)y x a =+，由012120F F P ∠=，2122PF F F c ==，则()2,3P c c ， 代入直线()3:326AP c c a =+，整理得：4a c =， ∴所求的椭圆离心率为14c e a ==． 故答案为：14．【点睛】本题考查了椭圆标准方程离心率的求解，及直线方程的应用，其中解答中应用题设条件求得点P 的坐标，代入直线的方程，得出4a c =是解答的关键，同时注意数形结合思想的应用，是中档题．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，点()4,2M ，点N 在线段OA 的延长线上.设直线MN 与直线OA 及x 轴围成的三角形面积为S ，则S 的最小值为____________.【答案】12【解析】求出直线OA 方程，设点N 坐标，求出直线MN 的方程，进而求出直线MN 与x 轴交点的坐标，将所求三角形的面积S 表示成N 点坐标的函数，根据函数特征，利用基本不等式求出最小值.【详解】点()1,2A ，直线OA 方程为2y x =，点N 在线段OA 的延长线上，设(,2),1N a a a >，当4a =时，(4,8),16N S =，当1a >，且4a ≠时，直线MN 方程为222(4)4a y x a --=--，令430,4311a y x a a -==-=+--， 1123(1)3()211a S a a a a =⨯⨯+=+-- 13(1)6121a a =-++≥-，当且仅当2a =时，等号成立. 所以S 的最小值为12.故答案为:12.【点睛】本题考查三角形面积的最小值，解题时认真审题，注意基本不等式的应用，属于中档题. 11．已知函数()2ln f x x x =+，若直线1:1l y kx =-与曲线()y f x =相切.则实数k 的值为 ____________.【答案】3【解析】设切点为00(,)M x y ，求出0(),()f x f x ''，求出切线方程，将(0,1)-代入，求出切点坐标，即可求解.【详解】设切点为()()000011(,),2,2M x y f x k f x x x ''=+==+， 切线1l 方程为000012ln (2)()y x x x x x --=+-， 令000,ln 11,1,3x y x x k ==-=-=∴=.故答案为:3.【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意切点坐标的应用，属于基础题.12．如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,2AB DC ADC AB ∠==°，1AD =，E 为BC 的中点，若1AE BC ⋅=-u u u r u u u r ，则AB AC ⋅=u u u r u u u r ____________，【答案】2【解析】以A 为坐标原点，,AB AD 所在的直线为,x y 轴建立坐标系，得出,B D 坐标，设C 点坐标，根据已知求出C 坐标，即可求解.【详解】以A 为坐标原点，,AB AD 所在的直线为,x y 轴建立坐标系，则(2,0),(0,1)B D ，设11(,1),0,(1,),(1,)2222x x C x x E AE >+=+u u u r ， 2113(2,1)(1,)12222x AE BC x x ⋅=-⋅+=-=-u u u r u u u r ， 解得1x =，舍去负值，(1,1),(2,0)(1,1)2C AB AC ∴⋅=⋅=u u u r u u u r .故答案为:2.【点睛】本题考查向量的坐标表示，以及向量数量积的运算，属于基础题.13．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边另别是,,a b c ，已知2222sin sin 2sin 3sin A B A B C +=，则sin C 的最大值为_____________. 34 【解析】由已知可得222223a b ab c ++=，结合余弦定理，求出cos C 用,a b 表示，用基本不等式求出cos C 的最小值，即可求解.【详解】2222sin sin 2sin 3sin A B A B C +=, 由正弦定理得222223a b ab c +=，由余弦定理得2223336cos c a b ab C =+-，226cos 22ab C a b ab =+-，226cos 22,cos 6a b C C b a =+≥≥， 当且仅当2a b =时，等号成立， 234sin 1cos 6C C ∴=-≤，所以sin C的最大值为6. 故答案为. 【点睛】 本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题.14．已知函数()41,16,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______________. 【答案】3(,3)2【解析】令(),()t f x f t a ==，作出函数()f x 的图像，求出()t f x =有5个交点时，t 值的个数以及范围，转化,()y a y f t ==交点的个数及交点横坐标范围，数形结合，求出a 的范围.【详解】令(),()t f x f t a ==，作出函数()f x 的图像，如下图所示：当0,3t t <>时，()t f x =没有实数解，当0t =或3,()t t f x ==，有1个实数解，当01t <<时，()t f x =有3个实数解，当13t ≤<时，()t f x =有2个实数解，要使()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则()f t a =在(0,1),(1,3)各有一个解，即,()y a y f x ==在(0,1),(1,3)各有一个交点，3(0)0,(1)3,(3)2f f f ===所以实数a 的取值范围是3(,3)2. 故答案为:3(,3)2,【点睛】本题考查复合函数零点个数求参数，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，属于较难题.二、解答题15．已知函数2()3cos 3cos (0)f x x x x ωωωω=>的最小正周期为π. （1）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （2）设ABC ∆的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c .已知32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且3a =，4b c +=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3[3,3]2（2）312【解析】（1）由二倍角正弦、降幂公式、辅助角公式，化简()f x 为正弦型三角函数，由周期值，求出解析式，用整体代换结合正弦函数的图像，即可求解；（2）由（1）和32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出A ，再由余弦定理求出bc ，即可求解. 【详解】（1）333()(1cos 2)2322232f x x x x πωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭. 因为()f x 的周期为π，且0>ω， 所以22ππω=，解得，1ω=， 所以3()3232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 又2x ππ≤≤，得472333x πππ≤+≤，31sin 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 3333sin 23232x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭， 即函数()y f x =在[,]2x ππ∈上的值域为3[3,3]2-. （2）因为()32A f =，所以3sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<， 解得：233A ππ+=，所以3A π=. 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即229b c bc =+-，所以29()3b c bc =+-，因为4b c +=，所以73bc =. 所以173sin 2ABC S bc A ∆==. 【点睛】 本题考查三角恒等变换化简，考查三角函数的性质，考查余弦定理解三角形以及求三角形的面积，属于中档题.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=o，AC BC =，点D E 、分别为1AB AC 、的中点.（1）求证:平面1ACD ⊥平面ABC ； （2）求证：//DE 平面11BCC B .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由已知可得1,CD AB A D AB ⊥⊥，可证AB ⊥平面1A CD ，即可证明结论； （2）连接1C A 、1C B ，可得E 为1AC 中点，结合已知可证1//DE BC ，即可证明结论. 【详解】（1）因为AC BC =，且点D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥. 因为侧面11AA B B 为菱形，所以1AA AB =，又160A AB ∠=︒， 所以1A AB ∆为等边三角形，点D 为AB 的中点，所以1A D AB ⊥，且1A D CD D =I ，1A D 、CD ⊂平面1A CD 所以AB ⊥平面1A CD ，又AB Ì平面ABC所以平面1ACD ⊥平面ABC . （2）连接1C A 、1C B ，因为111ABC A B C -是三棱柱 所以11//AA CC ，11AA CC =， 所以四边形11AAC C 是平行四边形 点E 为1A C 的中点，故11A C AC E =I ， 所以点E 为1AC 的中点，又点D 为AB 的中点， 所以在1ABC ∆中，有1//DE BC因为DE ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ， 所以//DE 平面11BCC B .【点睛】本题考查面面垂直、线面平行的证明，注意空间垂直之间的转换，属于基础题.17．在平面直角坐拯系xOy 中，()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且点⎛ ⎝⎭在此椭圆上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设宜线l 与圆22:1O x y +=相切于第一象限内的点P ，且l 与椭圆C 交于,A B .两点.若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）y x =-+.【解析】（1）将离心率中的,a c 关系，转化为,a b 关系，点1,2⎛ ⎝⎭代入方程，即可求解；（2）根据已知可得4||3AB =，设直线方程:0,0l y kx m k m =+<>，由直线l 与圆相切，可得出,m k 关系，将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，进而求出,A B 两点坐标关系，求出||AB 且等于43，即可求解. 【详解】（1）e a b c =∴=∴=Q ， 可得椭圆方程为222212x y c c+=，将点代入，解得方程为2212x y +=（2）2124,||||,||3233AOB S AB OP AB ∆=∴⋅=∴=Q 因为直线l 与单位圆O 相切于第一象限内的点， 可设:0,0l y kx mk m =+<>l Q 与O e 相切，圆心O 到直线l 距离为1d ∴==，221m k ∴=+ ①设()()1122,,,A x y B x y ，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得()222124220kxkmx m +++-=2222222168(1)(21)8(21)80k m m k k m k ∆=--+=-+=>，12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩AB ∴= ②将①代入②，得4||3AB ==解之可得：4220k k +-=， 21k =∴或2-（舍），1k ∴=± 代入①式可得m =， 因为k 0<，0m >，1,k m =-=所以直线l的方程为y x =-+. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求相交弦长，考查计算求解能力和推理能力，属于中档题.18．某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成，假定原 木为圆柱体（如图1），底面半径为r ，高为h ，制作要求如下：首先需将原木切割为两部分（分别称为第I 圆柱和第II 圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗） 然后将第I 圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第II 圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第II 圆柱上下底面圆的内接正方形.（1）当2,8r h ==时，若第I 圆柱和第II 圆柱的体积相等，求该手王作品的体积； （2）对于给定的r 和()2h h r >，求手工作品体积的最大值. 【答案】（1）32323π+（2）3242(2)3r r h r π+- 【解析】（1）由已知可得第I 圆柱和第II 圆柱高相等为4，等于圆柱底面直径，第I 圆柱的球体最大直径为4，再由条件可求出正四棱柱的底面边长，从而求出体积，即可求解；（2）设第I 圆柱的高为x ，则第II 圆柱的高为h x -，求出正四棱柱体积为222(2)()2()V r h x r h x =⋅-=-，而球半径为x 与2r 较小值，对,2x r 分类讨论，当2r x h ≤<是，球的半径为r ，体积定值，只需求2V 最大值即可；当02x r <<，球最大半径为2x，求出球的体积与正四棱柱体积和，通过求导，求出最大值，对比x 两个范围的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为第I 圆柱和第II 圆柱的体积一样大， 所以它们的高一样，可设为42h r '== 第I 圆柱的球体直径不超过h '和2r因此第I 圆柱内的最大球体半径即为2R r == 球体体积3143233V R ππ== 因为正四棱柱的底面正方形内接于半径为2r =的圆 所以正方形的对角线长为24r =，边长为2正四棱柱体积22(22)8432V h =⋅'=⨯=， 手工作业的体积为1232323V V V π=+=+.（2）设第I 圆柱的高为x ，则第II 圆柱的高为h x -， ①当2r x h ≤<时，第I 圆柱内的球体直径应不超过x 和2r ， 故球体的最大半径应为r由（1）可知，此时第II 圆柱内的正四棱柱底面积为222)2r r =， 故当2x r =时，h x -最大为2h r -， 手工作品的体积最大值为32042(2)3V r r h r π=+-. ②当02x r <<时，第I 圆柱内的球体直径应不超过x 和2r ， 故球体的最大直径应为x ，球体体积33314413326x V R x πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，正四棱柱体积222(2)()2()V r h x r h x =⋅-=- 所以手工作品的体积为32121()2()(02)6V x V V x r h x x r π=+=+-<<. 22221141()2222V x x r x r x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()02V x x r r π'=⇒=<x 20,r π⎛⎫⎪⎝⎭ 2r π2,2r r π⎛⎫⎪⎝⎭()V x ' 0<0=0>(x)V递减 极小 递增23232044(0)2,(2)2(2)4233V r h V r r r h r r r h V ππ⎛⎫==+-=-+= ⎪⎝⎭，因为3404π->， 所以0(2)(0)V r V V => 所以当2x r =时，手工作品的体积最大值为32042(2)3V r r h r π=+- 【点睛】本题考查球的体积和正四棱柱的体积，解题的关键确定球的半径，考查导数求最值的应用，属于中档题.19．设m 为实数，已知函数()xx mf x e+=的导函数为()f x '，且(0)0f '=. （1）求m 的值；（2）设a 为实数，若对于任意x ∈R ，不等式2()x a f x +≥恒成立，且存在唯一的实数0x 使得200()x a f x +=成立，求a 的值；（3）是否存在负数k ，使得3y kx e=+是曲线()y f x =的切线.若存在，求出k 的所有值：若不存在，请说明理由.【答案】（1）1m =（2）1a =（3）1e-【解析】（1）求出()f x '，再由(0)0f '=，即可求出m 值； （2）由（1）的结论将问题转化为210x x x a e ++-≥恒成立，设21()xx x x a e ϕ+=+-，即为min ()0x ϕ≥，通过导数法求出min ()x ϕ，求出a 的取值范围，再由200()x a f x +=唯一解，求出a 的值；（3）设切点的横坐标为t ，求出切线斜率，结合已知得ttk e =-，将切点坐标代入3y kx e =+，整理得到关于t 的方程231tt t e e++=，转化为关于t 的方程正数解的情况，即为21t t t y e ++=与直线3y e =在第一象限交点情况，通过求导，求出21tt t y e++=单调区间，以及最值，即可求解. 【详解】（1）因为1()()xx m f x e -+'=，所以01(0)(0)10m f m e-+'==-=， 故1m =.（2）因为2,()x R x a f x ∀∈+≥，所以210x x x a e++-≥恒成立. 记21()x x x x a eϕ+=+-，则1()22x x x x x x e e ϕ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭， 因为x ∈R ，且0x e >， 所以120x e+>， 因此为0x <时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 当0x >时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 所以()(0)10min x a ϕϕ==-≥，即1a ≥， 当1a >时，2()()10x x a f x a ϕ=+-≥->， 故方程2()x a f x +=无解，当1a =时，当0x ≠时，由单调性知2()()0x x a f x ϕ=+->所以存在唯一的00x =使得200()x a f x +=，即1a =.（3）设切点的横坐标为t ，则()31tk f t t kt e e ='⎧⎪+⎨+=⎪⎩，即31tt t k e t kt e e ⎧=-⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩， 231t t t t e e e +=+，即231(*)tt t e e ++= 原命题等价于存在正数t 使得方程(*)成立.记21()tt t g t e++=，则()2(21)1(1)()ttt t t t t g t e e +-++--'==，令()0g t '=，则1t =，因此当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增，3()(1)g t g e<=； 当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减，3()(1)g t g e<=， 则3()(1)max g t g e==. 故存在唯一的正数1t =使得方程(*)成立， 即存在唯一的负数1e et t k -==-， 使得3y kx e=+是曲线()y f x =的切线. 【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立、方程的解等知识，考查运算求解能力、推理论证能力与问题转化能力，综合性较强，属于难题.20．设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等差数列，（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭（2）13144323n n n n T -=--⋅⋅（i ）（ii ）(9,2)及(3,3).【解析】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，将已知条件用1,a d 表示，解方程组，即可求出n a ；令1111,,2,n n n n b S n b S S -==≥=-，得出{}n b 为等比数列，即可求出通项； （2）（i ）由题意121,,,,,n n n nn n b x x x b +K 成等差数列，求出nk x 的通项公式，进而求出1,3nnk n n k n x T ==∑就为数列{}3n n的前n 项和，利用错位相减法即可求解； （ii ）根据已知得出,m n 的函数关系，利用**,m N n N ∈∈，结合函数值的变化，即可求解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 则由条件369a a a +=，可得()()111258a d a d a d +++=+，1a d ∴=，又由25796a a a +=，可得()()()21114668a d a d a d +++=+， 将1a d =代入上式得254954d d d +=，24949d d ∴=01n d d a n ≠∴=∴=Q由423n n S b += ①当2n ≥时，11423n n S b --+= ② ①-②得：14220n n n b b b -+-=11(2)3n n b b n -∴=≥又111142302b b b +=∴=≠ {}n b ∴是首项为12，公比为13的等比数列，故()1*1123n n b n N -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫∴==∈ ⎪⎝⎭（2）①在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,,n n nn x x x K ，因为121,,,,,n n n nn n b x x x b +K 成等差数列，设公差为n d则11111112323(2)113(1)n n n n n nb b d n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-+-++， 则111233(1)n nk n n nkx b kd n -⎛⎫=+=-⎪+⎝⎭， 11111(1)233(1)23n nnk nn k n n nx n n -=+⎛⎫∴=⋅-⋅= ⎪+⎝⎭∑， 11212212211333n n n nn n nT x x x x x x ∴=+++++++=+++L L L ①则231111133333n n n n nT +-=++⋯++ ② ①-②得：2111111332111111133333323313nnn n n nn n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++-=-=--⎪⎝⎭-L ， 13144323n n nnT -∴=--⋅⋅ ②若12m n ma T a +=，因为n a n =，所以m a m =， 则13111144323222n n n m m m -+--==+⋅⋅， 1111443232n n n m---=⋅⋅， 从而3321432n nn m--=⋅， 故()23234623462323323323n n n n n n n n m n n n --++⋅+===+------， 当1n =时，*10232m N =+=-∉-， 当2n =时，*14292m N =+=∈， 当3n =时，*213m N =+=∈，下证4(*)n n N ≥∈时，有32346n n n -->+， 即证3690n n -->， 设()369(4)xf x x x =--≥，则4()3ln 3636360x x f x '=->-≥->，()f x ∴在[4,)+∞上单调递增，故4n ≥时，43693649480n n -->-⨯-=>即4601323n n n +<<--，从而4n ≥时，m 不是整数故所求的所有整数对为(9,2)及(3,3). 【点睛】本题考查等差数列的通项基本运算和前n 项和，考查由前n 项求等比数列的通项，考查错位相减法求前n 项和，以及不定方程的求解，考查计算、推理能力，属于较难题. 21．.选修4-2:矩阵与变换已知,a b R ∈，矩阵1?3a A b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换A T 将直线10x y --=变换为自身,求a,b的值． 【答案】【解析】试题分析：利用相关点法列等量关系：设直线上任意一点(?)P x y ，在变换A T 的作用下变成点(?)P x y '''，，由13a x x b y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'，得,{3.x x ay y bx y ''=-+=+，与重合，解得试题解析：设直线上任意一点(?)P x y ，在变换A T 的作用下变成点(?)P x y '''，，由13a x x b y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'，得,{3.x x ay y bx y ''=-+=+， 4分 因为(?)P x y '''，在直线上，所以10x y '-'-=，即， 6分又因为(?)P x y ，在直线上，所以． 8分因此11,{3 1.b a --=-=-解得. 10分【考点】矩阵变换22．在极坐标系中，己知直线l 的极坐标方程是sin 224πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，求直线l 被圆C 截得的弦长. 【答案】22【解析】直线、圆方程化简整理，222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 代入，将直线方程、圆方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，即可求出相交弦长. 【详解】 解：22sin()22,cos sin 22422πρθρθρθ-=-=， 直线l 的直角坐标系方程40x y --=，24cos ρρθ=，圆C 的直角坐标方程是22224(2)4x y x x y +=⇒-+=， 圆心为(2,0)，半径为2， 所以圆心到直线l 的距离为211d ==+，所以弦长为22224222l r d =-=-=. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，考查圆的相交弦长，注意应用几何法求弦长，属于中档题.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的疋方形，侧面PAD 与底面ABCD 垂直，过点P 作AD 的垂线，垂足为O ，且满足1AO =，点E 在棱PB 上，2PE EB =（1）当2PO =时，求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）当PO 取何值时，二面角B PC D --. 【答案】（1.（2）1PO = 【解析】在底面ABCD 内过点O 作OF AD ⊥，OF 交BC 与F ，由已知可证PO ⊥底面ABCD ，建立空间直角坐标系，求出,,,A B C D 坐标.（1）由条件得出,,P E AE u u u r坐标，求出平面PCD 法向量，根据向量的线面角公式，即可求解；（2）设(0,0,)P t ，分别求出平面PCD 、平面PCB 的法向量，根据向量的面面角公式，结合已知，得到关于t 的方程，求解即可得出结论 【详解】解：因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，PO AD ⊥，PO ⊂平面PAD ， AD =平面PAD I 平面ABCD ，所以PO ⊥底面ABCD ，在底面ABCD 内过点O 作OF AD ⊥， OF 交BC 与F ，则2CF BF =，又PO ⊥底面ABCD ， 所以PO OF ⊥，PO AD ⊥，以OF ，AD ，PO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,1,0),(3,1,0),(3,2,0),(0,2,0)A B C D --，（1）点(0,0,2)P ，因为2PE EB =， 所以点22(2,,)33E -， 22122,,(0,1,0)2,,3333AE ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，(3,0,0)DC =u u u r ，(0,2,2)DP =-u u u r，设平面PCD 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，满足30002200x x m DC y z y z m DP ⎧⎧==⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+==⋅=⎩⎪⎩⎩u u u v r u u u v r ，取1y z ==，法向量为(0,1,1)m =u r，22212201133cos ,821221133AE m ⨯+⨯+⨯<>==⎛⎫⎛⎫++⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r r ，所以直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为38282. （2）设,(0,0,),(3,0,0),(0,2,)PO t P t DC DP t ===-u u u r u u u r， 设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，满足30002020x x m DC y tz y tz m DP ⎧⎧==⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+==⋅=⎩⎪⎩⎩u u u v r u u u v r ， 取2z =，法向量为(0,,2)n t =r， (0,3,0),(3,1,)BC BP t ==-u u u r u u u r设平面PCB 的一个法向量为(,,)s x y z =r，满足30003030y y s BC x y tz x tz s BP ⎧⎧==⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨-++==⋅=⎩⎪⎩⎩u u u v r u u u v r ，取3z =，法向量(,0,3)s t =r，由题意22227cos ,12523n s t t <>==-+⋅+r r整理得4213140t t +-=，()()221410t t +-=，21,1t t ==±，即1PO =.【点睛】本题考查空间向量法求直线与平面所成的角、二面角，考查计算求解能力，属于中档题. 24．考虑集合{}1,2,3,...,n 的所有()1,*r r n n N ≤≤∈元子集及每一个这样的子集中的最小数，用(),F n r 表示这些最小的数的算术平均数 （1）求()6,3F ； （2）求(),F n r . 【答案】（1）74（2）1(,)1n F n r r +=+ 【解析】（1）从1，2，3，4，5，6取出3个数，分别求出最小值为1,2,3,4子集个数，进而求出子集中所有最小数的和，即可求解；（2）{1,2,3,,}n K 的所有r 元子集中，求出最小数为k 的子集有1r n k C --个，(1,2,,1)k n r =-+K ，结合111121r r r rn n r n C C C C ------+++=L ，求出这些子集最小值的和，即可求解. 【详解】解：（1）1，2，3，4，5，6，中每次取3个数，则 最小数为1的有25C 个 最小数为2的有24C 个 最小数为3的有23C 个 最小数为4的有22C 个222254323612347(6,3)4C C C C F C ⋅+⋅+⋅+⋅∴== （2）集合{1,2,3,,}n K 的所有r 元子集有rn C 个时， 其中最小数为k 的子集有1r n k C --个(1,2,,1)k n r =-+K ，所以有111121r r r rn n r n C C C C ------+++=⊗L ，这些子集中最小的之和为1111212(1)r r r n n r S C C n r C ------=+++-+L ， 利用⊗式可得111r r r r n n r n S C C C C +-+=+++=L于是111(,)1r n r r n n C S n F n r C C r +++===+.【点睛】本题考查集合子集的个数，考查子集最小数的和以及组合数的运算，考查计算、推理能力，属于中档题.。
2020届江苏省南京师范大附中高三下学期6月高考模拟(1)数学试题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1. 已知集合{}2,3A =，{}2,4B =，则A B =__________．【答案】{}2,3,4 【解析】 【分析】利用并集的知识求得AB .【详解】集合{}2,3A =，{}2,4B =，所以A B ={}2,3,4.故答案为：{}2,3,4【点睛】本小题主要考查并集的概念和运算，属于基础题.2. 设i 是虚数单位，复数(),R z a bi a b =+∈，若242z i =+，则ab =__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则将复数2z 化为一般形式，根据复数相等可求得ab 的值. 【详解】复数(),R z a bi a b =+∈，()2222242z a bi a b abi i ∴=+=-+=+，22ab ∴=，因此，1ab =. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用复数相等求参数，同时也考查了复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3. 将6个数据1，2，3，4，5，a 去掉最大的一个，剩下的5个数据的平均数为1.8，则a =__________． 【答案】1- 【解析】 【分析】利用平均数的计算公式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】若a 是最大的数，则1234535++++=， 不符合题意.故5是最大的数，则1234 1.85a++++=，解得1a =-.故答案为：1-【点睛】本小题主要考查平均数的计算，属于基础题. 4. 下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是__________．【答案】1024 【解析】 【分析】列举出算法循环的每一步，由此可得出输出的S 的值.【详解】第一次循环，010k =<成立，012S =+，011k =+=； 第二次循环，110k =<成立，01122S =++，112k =+=； 第三次循环，210k =<成立，0121222S =+++，213k =+=； 以此类推，执行最后一次循环，910k =<成立，012912222S =+++++，9110k =+=；1010k =<不成立，输出10012912122221102412S -=+++++=+=-.故答案为：1024.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于中等题.5. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．【答案】19【解析】①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8；个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个． ②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个，个位数为0的概率是545＝19. 6. 函数()f x =__________． 【答案】[)8,2- 【解析】 【分析】由二次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，列不等式组，可求得函数的定义域 【详解】解：由题意得，1lg(2)020x x --≥⎧⎨->⎩得021020x x <-≤⎧⎨->⎩，解得82x -≤<，所以函数的定义域为[)8,2-， 故答案为：[)8,2- 【点睛】此题考查求复合函数的定义域，考查对数不等式的解法，属于基础题7. 曲线()π2sin 04y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的一个对称中心的坐标为()3,0，则ω的最小值为__________． 【答案】π4【解析】 【分析】令2sin(3)04πω+=，求出最小的ω即可.【详解】令2sin(3)04πω+=，可得sin(3)04πω+=，3=,4πωπ+∈k k Z +,123ππω=-∈k k Z ，当1,4πω==k 最小故答案为：4π【点睛】本题考查了三角函数的对称中心，考查了运算求解能力，属于基础题.8. 设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点到左准线的距离与它到右准线的距离的比为1:2，则双曲线的右顶点、右焦点到它的一条渐近线的距离分别为1d ，2d ，则12d d =__________．【答案】33【解析】 【分析】先由题意，得到左准线为：2a x c =-；右准线为2a x c=；左右焦点分别记作()1,0F c -，()2,0F c ，根据题中条件，得到223c a =，记该双曲线的右顶点为(),0A a ，过点(),0A a 作1AM l ⊥于点M ，过点()2,0F c 作21F N l ⊥于点N ，其中1l 为双曲线的一条渐近线；根据三角形相似，即可得出结果.【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左准线为：2a x c =-；右准线为2a x c=；左右焦点分别记作()1,0F c -，()2,0F c ，又左焦点到左准线的距离与它到右准线的距离的比为1:2，所以2212a c c a c c-=+，整理得223c a =， 记该双曲线的右顶点为(),0A a ，如图，过点(),0A a 作1AM l ⊥于点M ，过点()2,0F c 作21F N l ⊥于点N ，其中1l 为双曲线的一条渐近线；则易知2Rt OAMRt OF N ，所以2122223d AM OA a a d F N OF c c =====.故答案为：3. 【点睛】本题主要考查双曲线性质的简单应用，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.9. 已知在体积为4π的圆柱中，AB ，CD 分别是上、下底面直径，且AB CD ⊥，则三棱锥A BCD -的体积为__________． 【答案】83【解析】设上，下底面圆的圆心分别为1O ，O ，圆的半径为r由已知，214V r OO ππ⋅==圆柱，则214r OO ⋅=A BCD C OAB D OAB V V V ---∴=+O 是CD 中点C ∴到平面OAB 的距离与D 到平面OAB 的距离相等故C OAB D OAB V V --=，2A BCD C OAB V V --= 设三棱锥C OAB -的高为h 则h r =，21112212223328333A BCD C OAB OAB V V S h AB OO r r OO r OO r --∆⋅⋅∴===⋅⋅===⋅ 10. 已知()3,0sin ,0x x x f x x x ⎧->=⎨≤⎩，()23,0cos ,0x x x g x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩，则不等式()()6f g x >的解集为__________．【答案】{}12x x << 【解析】 【分析】先由()()6f g x >结合函数()y f x =的解析式，求得()g x 的取值范围，再结合函数()y g x =的解析式可得出原不等式的解集.【详解】令()u g x =，由()()6f g x >得()6f u >，且()3,0sin ,0x x x f x x x ⎧->=⎨≤⎩. 当0>u 时，由()6f u >可得360u u -->，即()()22230u u u -++>，()2223120u u u ++=++>，解得2u >；当0≤u 时，()[]sin 1,1f u u =∈-，此时不等式()6f u >无解.所以，()2g x >，且()23,0cos ,0x x x g x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩. 当0x >时，由()2g x >可得232x x -+>，即2320x x -+<，解得12x <<； 当0x ≤时，1cos 1x -≤≤，()cos 1g x x x =+≤，不等式()2g x >无解. 综上所述，不等式()()6f g x >的解集为{}12x x <<. 故答案为：{}12x x <<.【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，考查了分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 11. 直线y ax b =+是曲线1y =的切线，则+a b 的最小值为__________．【答案】2 【解析】 【分析】设直线y ax b =+与曲线1y =相切于点()01x，根据导数的几何意义求出切线方程，可得1a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，再根据基本不等式可得+a b 的最小值. 【详解】设直线y ax b =+与曲线1y =相切于点()()0010x x ≥， 当00x =时，直线y b =不是曲线1y =的切线，故00x >,由1y =得0x x y =='，所以切线方程为))01y x x -=-，即1y x =+，所以1a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以112a b+=+≥=，当且仅当1x=时，等号成立，所以()min2a b+=．故答案为：2.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题.12. 各项为正且公差不为0的等差数列{}n a的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列{}n b的连续三项（顺序不变），设12231111nn nSa a a a a a+=+++，若对于一切的*Nn∈，11nSa≤，则1a的最小值为__________．【答案】13【解析】【分析】根据等差数列{}n a的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列{}n b的连续三项，利用等比中项得到2216a a a=，化简得到13d a=，从而求得()132na n a=-，然后利用裂项相消法求得()2131nnSn a=+，再由()211131nn a a≤+，得到131nan≥+求解.【详解】设等差数列{}n a的公差为d，由2216a a a=得()()21115a d a a d+=+，因为0d≠，所以13d a=，所以()()11132na a n d n a=+-=-，12231111nn nSa a a a a a+=+++11223111111113n na a a a a a a+⎛⎫=-+-++-⎪⎝⎭()()21111133131nd na a n a n a=⋅=++，所以()211131n n a a ≤+，则131n a n ≥+， 因为1111313313n n n ⎛⎫=-< ⎪++⎝⎭， 所以113a ≥， 故1a 的最小值为13． 故答案为：13【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等比中项，裂项相消法求和以及数列不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13. 在ABC 中，24AC BC ==，ACB ∠为钝角，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，若CM CN ⋅的最小值为34，则cos ACB ∠=__________．【答案】1358- 【解析】 【分析】取MN 的中点P 得PN PM =-，12PN PM ==，再将CM CN ⋅用向量,,PN PM CP 表示并结合CM CN ⋅的最小值为34得min 1CP =，即C 到直线AB 的距离为1，再根据几何关系即可求得cos ACB ∠【详解】取MN 的中点P ，取PN PM =-，12PN PM ==， ()()()()214CM CN CP PM CP PN CP PM CP PM CP ⋅=+⋅+=+⋅-=-， 因为CM CN ⋅的最小值34， 所以min 1CP =．作CH AB ⊥，垂足为H ，如图，则1CH =，又2BC =，所以30B ∠=︒， 因为4AC =，所以由正弦定理得：1sin 4A =，15cos A =， 所以()31cos cos 150cos sin 22ACB A A A ∠=︒-=-+ 3151113524248-=-⨯+⨯=． 故答案为：1358-. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中档题.14. 设a ，b 是两个实数，0a b ≤<，直线:l y kx m =+和圆221x y +=交于两点A ，B ，若对于任意的[],k a b ∈，均存在正数m ，使得OAB 的面积均不小于3，则2b a -的最大值为__________．【解析】 【分析】设O 到直线l 的距离为d ，利用三角形的面积均不小于4列不等式，由此求得d 的取值范围，再利用点到直线的距离公式转化为关于,m k 的不等式.根据k 的取值范围，求得m 的取值范围，由此求得关于,a b 的不等式，结合导数求得2b a -的最大值. 【详解】设O 到直线l 的距离为d，则124AOBSd =⨯≥，解得122d ≤≤，即12≤≤，m ≤≤ 因为[],k a b ∈，0m >时，max =min=m ≤≤， 因为存在0m >满足条件，≤， 化简得223122b a -≤，且0a b ≤<，由223122b a -≤得b ，所以()22b a a f a -≤=， 因为0a ≥，解不等式()20f a '=->无解，所以()f a 在[)0,+∞上单调递减，所以()()02f a f ≤=． 故2b a -的最大值为2． 故答案为：2【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用导数求最值，属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF //平面PCD ； （2）平面P AB ⏊平面PCD ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，推导出//FG PC ，//EG DC ，从而平面//EFG 平面PCD ，由此能得出结论；（2）推导出CD AD ⊥，从而CD ⊥平面P AD ，即得CD PA ⊥，结合PA PD ⊥得出PA ⊥平面PCD ，由此能证明结论成立.【详解】（1）取BC 中点G ，连结EG ，FG ，∵E ，F 分别是AD ，PB 的中点， ∴//FG PC ，//EG DC ，∴//FG 面PCD ，//EG 面PCD ， ∵FGEG G =，∴平面//EFG 平面PCD ，∵EF ⊂平面EFG ，∴//EF 平面PCD .（2）因底面ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ．因为PA ⊂平面P AD ，所以CD PA ⊥.又因为PA PD ⊥， PD CD D ⋂=，所以PA ⊥平面PCD ． 因为PA ⊂平面P AB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ．【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 16. 已知α，β均为锐角，且π5tan tan 43αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． （1）求cos2α的值； （2）若()1sin 3βα-=，求tan β的值． 【答案】（1）35；（2）922+. 【解析】 【分析】（1）对所给等式利用两角差的正切公式展开化简可求出tan α，再利用二倍角公式及同角三角函数的关系进行化简求值；（2）利用同角三角函数的关系求出()cos βα-、()tan βα-，角β写为()βαα-+，再利用两角和的正切公式展开求值. 【详解】（1）由π5tan tan 43αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得1tan 5tan 1tan 3ααα-+=+，即23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-，因为α为锐角， 所以tan 2α=，222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5ααααααα--===-++．（2）因为α，β均为锐角，所以ππ22βα-<-<， 所以()()222cos 1sin βαβα-=--=，()()()sin 2tan cos 4βαβαβα--==-， ()()()tan tan tan tan 1tan tan βααββααβαα-+=-+=⎡⎤⎣⎦--()228295242222124+++===--⨯．【点睛】本题考查同角三角函数的关系、三角恒等变换，涉及两角和与差的正切公式、二倍角的余弦公式，属于中档题.17. 一种机械装置的示意图如图所示，所有构件都在同一平面内，其中，O ，A 是两个固定点，2OA =米，线段AB 是一个滑槽（宽度忽略不计），1AB =米，60OAB ∠=︒，线段OP ，OQ ，PQ 是三根可以任意伸缩的连接杆，OP OQ ⊥，O ，P ，Q 按逆时针顺序排列，该装置通过连接点Q 在滑槽AB 中来回运动，带动点P 运动，在运动过程中，始终保持14OP OQ =．（1）当点Q 运动到B 点时，求OP 的长；（2）点Q 在滑槽中来回运动时，求点P 的运动轨迹的长度． 【答案】（13（2）14米．【解析】 【分析】（1）当Q 运动到B 时，由条件可求得3OQ =在直角OPQ △中，再利用14OP OQ =，可得OP 的长.（2）以O 为坐标原点，AO 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出P ，Q 两点坐标，写出直线AB 的方程，找出P 点轨迹的两个临界，即可得出P 的运动轨迹的长度.【详解】（1）在Rt OPQ △中，14OP OQ =，设OP x =，则4OQ x =，当点Q 运动到B 点时，22421212cos603OQ x ==+-⨯⨯⨯︒=， 所以34x =． 答：当点Q 运动到B 点时，OP 的长为34米． （2）以O 为坐标原点，AO 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，()00,Q x y ，则004,4x y y x =-⎧⎨=⎩．因为线段AB 的方程为()32y x =+，32,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以()0032y x =+，032,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，因此()4342x y =-+，342,2y ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，整理得312y x =-+， 由342,2y ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦得3182y ≤≤，设直线312y x =+和直线38y =的交点为M ，直线312y x =+和直线12y =的交点为N ， 则点P 的运动轨迹为线段MN ，易解得338M ⎫⎪⎪⎝⎭，10,2N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以14MN ==．答：点Q 在滑槽中运动时，点P 的运动轨迹的长度为14米． 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，涉及直线的方程，弄清楚模型是关键，属于难题.18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，直线():,R,0l y kx t k t k =+∈≠．（1）若椭圆C 的一条准线方程为4x =，且焦距为2，求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左焦点为F ，上顶点为A ，直线l 过点F ，且与F A 垂直，交椭圆C 于M ，N （M 在x 轴上方），若2NF FM =，求椭圆C 的离心率；（3）在（1）的条件下，若椭圆C 上存在相异两点P ，Q 关于直线l 对称，求2t 的取值范围（用k 表示）．【答案】（1）22143x y +=；（2）6e =（3）220,34k k ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭.【解析】 【分析】（1）利用准线、焦距以及222a b c =+列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得椭圆方程.（2）求得直线l 的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，结合2NF FM =得到关于,a c 的方程，由此求得椭圆的离心率.（3）设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 的中点()00,x y ，利用点差法求得0043t x k y t⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，根据点()00,x y 在椭圆C 的内部列不等式，由此求得2t 的取值范围. 【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为椭圆C 的一条准线方程为4x =，且焦距为2，所以22224,22a c c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为22143x y +=．（2）如图，因为()0,A b ，(),0F c -， 所以AF b k c=， 因为直线l 过点F ，且与F A 垂直， 所以直线l 的方程为bx y c c=--， 与椭圆C 的方程联立得()4222324220b a c yb c y b c ++-=，因为l 过左焦点F ， 所以>0∆恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则321242242124222,b c y y b a c b c y y b a c ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（*）， 因为2NF FM =， 所以212y y =-，代入（*）得32142242214222,2b c y b a cb cy b a c ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩， 消去1y 并化简得4222280b a c b c +-=， 因为222b a c =-， 所以()()2222222280a ca c a c c -+--=，即4224990c a c a -+=， 因为c e a=， 所以429910e e -+=，解得236e ±=，所以e ==（3）如图，设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 的中点()00,x y ，则221122221,43143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得 2121212134y y y y x x x x -+⋅=--+，即0034PQ y k x ⋅=-，因为1PQ k k=-， 所以0034ky x =， 又00y kx t =+，所以004,3t x k y t⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，因为点()00,x y 在椭圆C 的内部，所以()2243143t t k ⎛⎫- ⎪-⎝⎭+<，化简得22234k t k <+．故2t 的取值范围为220,34kk ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭．【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.19. 已知函数()()11x f x ax a e-=-+，()21122g x ax x a =+-，其中R a ∈． （1）当0a =时，求函数()()()2112F x f x x =--在R 上的零点个数； （2）对任意的1≥x ，有()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()F x 在R 上只有一个零点；（2）[)0,+∞. 【解析】 【分析】（1）求得()()12112x F x e x -=--，利用导数分析函数()F x 在R 上的单调性，结合零点存在定理可得出结论；（2）令()()()h x f x g x =-，求得()()()111x h x ax e-'=+-，对实数a 的取值分0a ≥、1a ≤-、10a -<<三种情况讨论，利用导数分析函数()h x 在区间[)1,+∞上的单调性，验证不等式()0h x ≥是否恒成立，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）0a =时，()()()()221111122x F x f x x e x -=--=--，()11x F x e x -'=-+， 令()11x G x ex -=-+，则()11x G x e -'=-，当1x <时，()0G x '<，当1x >时，()0G x '>，所以()G x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()110G x G ≥=>， 所以()0F x '>，()F x 在R 上单调递增， 由于()11002F e =-<，()110F =>，所以()F x 在R 上只有一个零点．（2）令()()()()1211122x h x f x g x ax a eax x a -=-=-+--+， 则对任意的1≥x ，()0h x ≥恒成立，注意到()10h =，()()()()()1111111111x x x x h x ae ax a e ax ax e ax ax e ----'=+-+--=+--=+-因为1≥x ，所以110x e --≥．①若0a ≥，当1≥x 时，10ax +>，()0h x '≥，所以()h x 在[)1,+∞上单调递增， 当1≥x 时，()()10h x h ≥=，符合题意．②若1a ≤-，当1x >时，10ax +<，()0h x '<，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减， 当1x >时，()()10h x h <=，与()0h x ≥矛盾，不符合题意． ③当10a -<<时，由（1）知，()()12112x F x e x -=--在R 上单调递增，且只有一个零点， 设该零点为0x ，则()00,1x ∈，当1x >时，()()()010F x F F x >>=，即1x >时，()21112x ex ->-，()21112x ae a x -->--， 则()()()()()21211111111222x x h x ax a e ax x a ax a e a x a x a --=-+--+=-+---++()()()()11111211x x x ax a e ae a x a ax a e a x a ---<-+--++=-+-++，当210ax a -+<，即121x a>->时，()1210x ax a e --+<， 当10a -<<，1x >时，()10a x a -++<， 所以12x a>-时，()0h x <，与()0h x ≥矛盾，不符合题意． 故实数a 的取值范围是[)0,+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查计算能力，属于难题.20. 若无穷数列{}n a 和无穷数列{}n b 满足：存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤，则称数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ．（1）设无穷数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且2n a n =，()*2N n b n n =+∈，问：数列{}n a 与{}n b 是否具有关系()1P ？说明理由；（2）设无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，11n n b a +=+，*N n ∈，证明：数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ，并求A 的最小值；（3）设无穷数列{}n a 是首项为1，公差为()R d d ∈的等差数列，无穷数列{}n b 是首项为2，公比为()*N q q ∈的等比数列，试求数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A 的充要条件．【答案】（1）数列{}n a 与{}n b 不具有关系()1P ；理由见解析；（2）证明见解析，A 的最小值为1；（3）数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A 的充要条件为0d =，1q =． 【解析】 【分析】（1）先假设数列{}n a 与{}n b 具有关系()1P ，根据题意，推出矛盾，即可得出结论；（2）根据等比数列的通项公式，得到1112111333n nn n n a b -⎛⎫⎛⎫-=--=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即可得出数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ．设A 的最小值为0A ，0n n a b A -≤，结合题中条件，即可求出结果；（3）先由等差数列与等比数列的通项公式得出两数列通项，设1d a -=，20b q=>，根据数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ，即存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤．分0d =，1q =；0d =，2q ≥；0d ≠，1q =；0d ≠，2q ≥四种情况讨论，结合导数的方法，以及反证法，分别求解，即可得出结果.【详解】（1）因为2n a n =，()*2N n b n n =+∈，若数列{}n a 与{}n b 具有关系()1P ， 则对任意的*N n ∈，均有1n n a b -≤， 即()221n n -+≤，亦即21n -≤， 但4n =时，221n -=>，所以数列{}n a 与{}n b 不具有关系()1P ．（2）证明：因为无穷数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列， 所以113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为11n n b a +=+，所以113nn b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以1112111333n nn n n a b -⎛⎫⎛⎫-=--=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ． 设A 的最小值为0A ，0n n a b A -≤， 因为1n n a b -<，所以01A ≤． 若001A <<，则当302log 1n A >-时，0231n A >-，则0213n A ->，这与“对任意的*N n ∈，均有0n n a b A -≤”矛盾， 所以01A =，即A 的最小值为1．（3）因为数列{}n a 是首项为1，公差为()R d d ∈的等差数列， 无穷数列{}n b 是首项为2，公比为()*N q q ∈的等比数列，所以()111n a a n d dn d =+-=+-，112n nn b b qq q-==⋅， 设1d a -=，20b q=>，则n a dn a =+，nn b bq =，*N n ∈．数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ，即存在正常数A ， 使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤．（Ⅰ）当0d =，1q =时，1211n n a b -=-=≤，取1A =， 则n n a b A -≤，数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ；（Ⅱ）当0d =，2q ≥时，假设数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ， 则存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤． 因为n n n n b a a b -≤-，所以，对任意的*N n ∈，n n b a A -≤， 即1n bq A ≤+，1nAq b+≤， 所以1log qAn b+≤， 这与“对任意的*N n ∈，均有n n b a A -≤”矛盾，不合；（Ⅲ）当0d ≠，1q =时，假设数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ， 则存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤． 因为n n n n a b a b -≤-，所以，对任意的*N n ∈，n n a b A -≤， 即2n a A ≤+，2dn a A +≤+，所以2dn a A -≤+，2a An d++≤，这与“对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤”矛盾，不合；（Ⅳ）当0d ≠，2q ≥时，假设数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A ， 则存在正常数A ，使得对任意的*N n ∈，均有n n a b A -≤． 因为n n n n b a a b -≤-，所以，对任意的*N n ∈，n n b a A -≤， 所以nbq dn a A d n a A ≤++≤++， 所以n d a Aq n b b+≤+， 设0d b λ=>，0a Abμ+=>，则对任意的*N n ∈，n q n λμ≤+． 因为，2n n q ≥，所以，对任意的*N n ∈，2n n λμ≤+，下面先证明：存在1N >，当n N >时，22n n >． 即证ln 22ln 0n n ->．设())ln 0f x x x =>，则()122f x x x'==， 所以()0,4x ∈时，()0f x '>，()f x 在区间()0,4上递增， 同理()f x 在区间()4,+∞上递减， 所以()()max 4ln 420f x f ==-<，所以ln x <因此，())ln 22ln ln 222x x x ->-=-，所以，当22ln 2x ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，ln 22ln 0x x ->， 设22ln 2N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则当x N >时，ln 22ln 0x x ->， 即当n N >时，22n n >，又2nn λμ≤+， 所以2n n λμ<+，即20n n λμ--<，解得0n <<，这与对任意的*N n ∈，2nn λμ≤+矛盾，不合．综上所述，数列{}n a 与{}n b 具有关系()P A 的充要条件为0d =，1q =．【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的应用，涉及导数的方法求最值，以及反证思想的应用，综合性较强，难度较大.第Ⅱ卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4－2：矩阵与变换21. 已知二阶矩阵M 的逆矩阵1213122--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M ． （1）求矩阵M ；（2）设直线:4l x =-在矩阵M 对应的变换的作用下得到直线l '，求l '的方程． 【答案】（1）1234M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）240x y --=. 【解析】 【分析】（1）利用逆矩阵的计算公式可求得矩阵M ；（2）设直线l 上一点(),P x y ，则直线l '上一点(),P x y '''，根据矩阵的乘法可计算得出2322x y x y y x '=-⎧'''⎪⎨=-⎪⎩，代入4x =-，化简可得出直线l '的方程.【详解】（1）由1213122--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M ，知其行列式为：13121222⎛⎫-⨯--⨯=- ⎪⎝⎭． 得112111222334221122M ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦； （2）设直线l 上一点(),P x y ，则直线l '上一点(),P x y '''，在矩阵M 的作用变换下，1223434x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以234x x y y x y =+⎧⎨=+''⎩，所以2322x y x y y x '=-⎧'''⎪⎨=-⎪⎩．4x =-，24y x ''∴-=-，即直线l '的方程为240x y --=．【点睛】本题考查二阶逆矩阵的求解，同时也考查了矩阵变换，考查计算能力，属于中等题.B ．选修4－4：坐标系与参数方程22. 已知直线P 的参数方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】5. 【解析】【详解】直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C上，设()22,P s ，从而点P 到直线l 的距离224s d +==，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l . C ．选修4－5：不等式选讲23. 已知：a ，b ，c +∈R 且231a b c ++=，求证：222114a b c ++≥． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】构造柯西不等式，即可得出结果.【详解】由柯西不等式，得()()()22222221231231a b ca b c ++⋅++≥⋅+⋅+⋅=，∴222114a b c ++≥． 当且仅当123a b c==，即114=a ，214=b ，314=c 时取等号．【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了运算求解能力，属于一般题目.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24. 某中学有4位学生申请A 、B 、C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的． （1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望()E X ． 【答案】（1）827；（2）分布列见解析，()6527E X =． 【解析】 【分析】（1）所有可能的方式有43种，利用组合计数原理计算出恰有2人申请A 大学的种数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有1、2、3，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可；【详解】（1）所有可能的方式有43种，恰有2人申请A 大学的申请方式有2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 大学的概率为224428327C ⋅=； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3，则()4311327P X ===，()2232434341422327C A C A P X ⋅+===，()234344339C A P X ===. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()1144651232727927E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查运用概率、离散型随机变量的期望知识解决实际问题，考查计算能力，属于中档题． 25. 设整数3n ≥，集合{}1,2,3,,P n =，,A B 是P 的两个非空子集．记n a 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(),A B 的个数． （1） 求3a ；（2）求n a ．【答案】（1）35a =,（2）【解析】试题分析：（1）当3n =时，{}1,2,3P =，其非空子集为：{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3， 则所有满足题意的集合为(),A B 为：{}{}(){}{}(){}{}(){}{}(){}{}()1,2,1,3,2,3,1,2,3,1,2,3共5对，所以35a =；（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n ≤≤-，整数3n ≥，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，1k - 可在A 中，故A 的个数为：01111112k k k k k C C C -----+++=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素1,2,,k k n ++可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：0112n kn k n k k n n C C C ----+++=-,所以集合对(),A B 的个数为：()11122122k n k n k ----⋅-=-，所以()()()111111112221222112n n n k n n n k a n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑． 考点：集合，组合数公式，重点考查分析问题能力【方法点睛】新信息题都很有创意，本题定义了A ，B 两个集合，首先要求A 、B 必须是集合P 的非空子集，其次满足A 中的最大数小于B 中的最小数，这样的集合对(),A B 的个数为，不妨研究当3n =时，{}1,2,3P =的情况，可用列举法一一列出，得到35a =，显然解决新信息题目最重要的是读懂题目提供的信息，按照新的规则去处理问题即可.。
2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、填空题1．集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________. 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是_______． 3．24log 4log 2+=________.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_______.5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．6．已知函数()sin())f x x x ϕϕ=++，0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6f 的值为____．7．已知3()log f x x =，若a ，b 满足(1)(21)f a f b -=-，且2a b ≠，则+a b 的最小值为_______．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___．9．若抛物线24x y =的焦点到双曲线C ：22221x y a b-=(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为____．10．设,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若,m m αβP P ，则αβP ； ②若,m m P αβ⊥，则αβ⊥； ③若,m m n P P α，则n αP ； ④若,m P ααβ⊥，则m β⊥. 其中的正确命题序号是______.11．设0,0x y >>，向量a =r()1,4x -，b =r(),x y -，若a b r P r，则x y +的最小值为______．12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知CP =u u u v 4CA =u u u v ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u v u u u v__________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________．14．若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =，1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.(1)求证：//EF 平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos C =. （1）求角A 的值； （2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长. 17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围； （3）求总造价y 的最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.19．已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足：1nn bb +≤，且{}nc 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列 ．21．已知矩阵10A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦，20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值. 22．在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.23．已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v 夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 25．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ，n *∈N ．记()021?nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除．参考答案1．0 【解析】 【分析】因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =，从而可以求出x 的取值. 【详解】解：集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，又0x e >，所以1x e =，即0x =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题. 2．-1 【解析】 【分析】由题意，根据复数的运算，化简得2z i =-，即可得到复数z 的虚部． 【详解】 由题意，复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-，所以复数z 的虚部为1-． 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．52【解析】 【分析】根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础. 4．56【解析】 【分析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】 s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为：56【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形 6．-1 【解析】函数为奇函数，则：()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，据此有：,33k k ππϕπϕπ+==-，令1k =可得：23ϕπ=，故：()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7．32【解析】 【分析】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，得(1)(21)1a b --=，所以212a b+=，所以123(3)22b a a b a b +=++≥【详解】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，即3log (1)(21)0a b --=，所以(1)(21)1a b --=，得212a b+=，所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b =，即a =时，等号成立，综上，+a b 的最小值为32+ 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 8．49【解析】分析： 先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有339⨯=种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有224⨯=，所以黑白两球均不在一号盒的概率为49，故答案为49. 点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.9．3 【解析】 【分析】先求出抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出． 【详解】 抛物线x 2＝4y的焦点坐标为（0，1），双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ba=x ， ∴13a c==， ∴e ca==3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题. 10．②④ 【解析】 【分析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案． 【详解】对于①，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m ⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m ∥α，m ∥n 则n 可能在α内，故③错误；对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β；故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键． 11．9 【解析】 【分析】先根据向量平行得到1x +4y=1，再利用基本不等式即可求出最值．【详解】 ：因为a r∥b r， 所以4x+（1﹣x ）y=0， 又x ＞0，y ＞0， 所以1x +4y=1， 故x+y=（1x +4y ）（x+y ）=5+y x +4xy≥9． 当y x=4x y ，1x +4y =1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立． （x+y ）min =9． 故答案为9． 【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 12．6 【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vQ213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=u u u v u u u v u u u v ,所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． 13．√5−22【解析】 【分析】利用求根公式得到b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，表示目标b a+c =−1+√1+ac(a+c )2，借助均值不等式求最值. 【详解】∵b 2+2(a +c)b −ac =0 ∴b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，∴ba+c =−(a+c )+√(a+c )2+aca+c=−1+√(a+c )2+aca+c=−1+√1+ac(a+c )2，=−1+√1+1a c +ca+2≤√5−22，当且仅当a=c 时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】若0m > ,则当x →+∞时2101m x mx ->+ ,所以0m < ,从而221114m m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 或21114m m m⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以112m -<<-或112m m ≤-∴<-点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 15．（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ，根据G ，E ，F 分别是PD ，AB ，PC 的中点，可知道四边形AEFG 为平行四边形，即可说明//EF 平面PAD（2）要证明平面PAC ⊥平面PDE ．由题意已知PA DE ⊥，即只需证明DE AC ⊥,根据矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，AB =，1BC =，即可说明DE AC ⊥，即平面PAC ⊥平面PDE ． 【详解】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F Q ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点 得12AH AE CH CD ==又AB =Q 1BC =AC ∴13AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理：,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ；②利用面面平行的性质定理：,l l αβββ//⊂⇒// ．要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面．属于基础题． 16．（1）4A π= （2）1BC =【解析】 【分析】（1）由题可知，cos 10C =-，根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ，在ABC ∆中，利用tan tan()A B C =-+，代入求出tan A ，即可得出A ∠；（2）利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=，即可求出BC 的长. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos C =.得sin 10C =，故tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<，所以4A π=（2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理：sin sin AB BCC A=得：5a AB a ==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 5B =，所以ABC ∆的面积为：1sin 2S AB BC B =⋅213321010a a =⨯==. 所以1a =，即1BC =. 【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.17．（1）4320()480(0)y x x x=++>；（2）[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）2x =()m ，总造价最小为1760元．【解析】 【分析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式； （2）解不等式2080y ≤可得； （3）由函数单调性可得最小值． 【详解】（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x =++，∴4320()480(0)y x x x=++>；（2）4320()4802080y x x=++≤，解得14x ≤≤；[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记4()f x x x=+，设1202x x <<≤，则12120,40x x x x -<-<， ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>，即12()()f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增，所以函数4320()480y x x=++在(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增， ∴2x =时，min 4320(2)48017602y =⨯++=． ∴2x =()m ，总造价最小为1760元． 【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．18．（1）222x y +=（2）y x y x ==+【解析】 【分析】（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y ，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +，代入12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r可得出,k m 的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线x =（2）设点()00,Q x y ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得023x N ⎛ ⎝⎭，由,Q N 分别在椭圆和圆上，联立方程组解得00,x y 后可得直线方程． 【详解】（1）设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++.因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx x kb x x b++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k+--+=++，化简得2222b k =+，所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=.此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（2）设点()00,Q x y，点M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得0022,33x y N ⎛⎫⎪⎝⎭.代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点22Q ⎛-- ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y x =.【点睛】本题考查求圆的方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，用设而不求的思想方法．解题时注意体会．19．（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e +-<<-【解析】 【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+， 令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-， 所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立； 对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-， 其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭， 所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 20．（1）见解析； （2）n a n =； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）采用1n n n a S S -=-可进行求解，要验证1n =是否成立（2）（3）通过题干，将n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+进行联立求解，代换掉n b ，n c ，可求得数列{}n a 的通项公式 【详解】（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==符合上式， 则21(1)n a n n =-≥，2,422∴=-=--n n b k c n k ，则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}∴a a 为()H k 数列.（2）121,1,2==-=Q a b a ，由数列{}n a 为(1)H 数列，则{}n c 是等差数列，且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ，1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列，110,-=∴=Q n a a n ，验证：11+=-=-n n n b a a ，1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=．又由121++=+n n a a n ，1223+++=+n n a a n ， 两式相减，得：22n n a a +-=，211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ，n a n ∴=（3）由数列{}a a 为(2)H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d ， 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤，1+∴=n n b b ，数列{}n b 为常数列，则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a ， {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解，但一定注意要验证1n =是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可 21．（1）0a =（2）1 【解析】 【分析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解：()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--令()0f λ=,解得2,1λλ== 【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22．65AB = 【解析】 【分析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长：圆C 的圆心到直线l 的距离为，【详解】解：直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为，圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，则圆C 的圆心到直线l 的距离为，所以.考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理 23．证明见解析 【解析】 【分析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=， 所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++= ⎪⎝⎭， 所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24．（1）2λ=；（2）5. 【解析】【详解】 （1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r ，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则0n PC ⋅=u u u r r ，0n PD ⋅=u u ur r ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =， 不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ，又易得(1,0,2)PB =-uu r ，故cos ,PB n PB n PB n〈〉=⋅⋅=u u u r u u u r r r u u u r r所以直线PB 与平面PCD考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25．（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析. 【解析】【分析】（1）由二项式定理得21i i n a C +=，利用公式计算2T 的值；（2）由组合数公式化简n T ，把n T 化为42n +的整数倍即可．【详解】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+L ； （1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n k n n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n k n n C +=+，所以()()()12121000212121n n nn k n k n n k n n k k k T k a k C k C -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212100021212121n n nn kn k n k n n n k k k n k n Cn k C n C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑ ()()()()()12212212001122121221221222n n n k n k n n n n n n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221n n n C =+，()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除.【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．。
绝密★启用前南京师范大学附属中学2020届高三毕业班下学期高考模拟试卷(一)数学试题2020年6月第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{2，3}，B ＝{2，4}，则A B ＝ ． 2．设i 是虚数单位，复数i z a b =+(a ，b ∈R)，若242i z =+，则ab ＝ ．3．将6个数据1，2，3，4，5，a 去掉最大的一个，剩下的5个数据的平均数为1.8，则a ＝ ．4．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．5．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是 ．6．函数()1lg(2)f x x =--的定义域为 ．7．曲线2sin()4y x πω=+(ω＞0)的一个对称中心的坐标为(3,0),则ω的最小值为 ．8．设双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的左焦点到左准线的距离与它到右准线的距离的比为 2：1,则双曲线的右顶点、右焦点到它的一条渐近线的距离分别为1d ,2d ,则12d d ＝ ． 9．如图,一个圆柱的体积为4π,AB 、CD 分别是上、下底面直径,且CD ⊥AB,则三棱锥A —BCD 的体积为 ．第4题10．已知3 , 0()sin , 0x x x f x x x ⎧->=⎨≤⎩ ,23, 0()cos , 0x x x g x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩ ,则不等式(())6f g x >的解集为 ．11．直线y ax b =+是曲线1y =的切线,则a ＋b 的最小值为 ．12．各项为正且公差不为0的等差数列{}n a 的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列{}n b 的连续三项（顺序不变）,设12231111n n n S a a a a a a +=+++ ,若对于一切的N n *∈ ,11n S a ≤,则1a 的最小值为 ． 13．在△ABC 中,AC ＝2BC ＝4,∠ACB 为钝角,M,N 是边AB 上的两个动点,且MN ＝1,若CM CN ⋅的最小值为34,则cos ∠ACB ＝ ．第9题 第13题 第14题 14．设a ,b 是两个实数,0≤a ＜b ,直线l ：y kx m =+和圆221x y +=交于两点A,B,若对于任意的k∈ a ,b ],均存在正数m ,使得△OAB 的面积均不小于4,则b ﹣2a 的最大值为 ． 二、解答题（本大题共6小题,共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）如图,在四棱锥P—ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD,PA ⊥PD,PA ＝PD,E,F 分别为AD,PB 的中点．。
2020年江苏省南京师大附中高考数学押题试卷(6月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设集合A ={1,2，3，5，8}，B ={x|2≤x ≤4}，则A ∩B =______．2. 复数z =(1+2i)(3−i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是______．3. 样本数据10，9，8，11，12，10的方差s 2为______________．4. 如图是一个算法的流程图，若输入的x 的值为1，则输出的S 的值为______5. 若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的倍数的概率是________．6. 已知函数y =sin(2x +φ) (−π2<φ<π2)的图象关于直线x =π3对称，则φ的值是7. 所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S −ABC 中，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB =2√2，则正三棱锥S −ABC 的体积为______ ，其外接球的表面积为______ ． 8. 已知抛物线C 1：y 2=4x 的焦点到双曲线C 2：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线的距离为√33，则双曲线C 2的离心率为______ ．9. 已知函数f(x)=sinx +3x ，如果f(1−a)+f(1−a 2)<0，则a 的取值范围______ ． 10. 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 1+a 4+a 7=99，a 2+a 5+a 8=93，若存在正整数k ，使得对任意n ∈N ∗，都有S n ≤S k 恒成立，则k 的值为__ ．11. 已知直线y =√3x −√2与圆x 2+y 2=2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______ ．12. △ABC 满足AB =AC ，BC =2，G 为△ABC 的重心，则BG⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．13. 已知k 为常数，函数f(x)={x+2x−1,x ≤0|lnx|,x >0，若关于x 的方程f(x)=kx +2有且只有4个不同的解，则实数k 的取值集合为______14. 已知sinα−3cosα=0，则sin2α=______． 二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2A +sin 2C −23sinAsinC =sin 2B .(1)求sin B 的值；(2)若b =2，△ABC 的面积为√2，求△ABC 的周长．16. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=BC ，D ，E 分别是AC ，A 1B 的中点．(1)求证：DE//平面BCC 1B 1(2)若AB ⊥DE ，求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1．17.已知函数f(x)=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．(1)当a=−1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0,e］上的最大值为−3，求a的值；(3)当a=−1时，试推断方程是否有实数解．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F(1,0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，A，B为左右顶点．过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记△AFP与△BFQ的面积分别为S1，S2，若S1S2=32，求直线l的方程．19.已知函数f(x)=lnx+1(其中k∈R，e=2.71828…是自然对数的底数)．e x(1)求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)证明：对任意x>0，f′(x)<e−2+1恒成立．x2+x20.设数列{a n}的前n项和为S n,S n=(n+1)a n−n，(1)写出a1,a2,a3；(2)求证：对任意n∈N∗,a n+1⩾1+a n．221.已知矩阵M=[13]，点(1,2)在矩阵M对应的变换作用下得到点(7,6).求矩阵M−1的特征值．2222.在极坐标系Ox中，设曲线C的方程为ρ=4sinθ，直线l的方程为psin(θ+π3)=2，若直线l 与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．23.函数f(x)=|x−1|+|x+2|，x∈R，其最小值为m．(1)求m的值；(2)正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证：1a+1+1b+1+1c+1≥32．24.某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮命中的概率都为34，且每次投篮是否命中相互独立．(Ⅰ)求该同学在三次投篮中至少命中2次的概率；(Ⅱ)若该同学在10次投篮中恰好命中k次(k=0,1，2，…，10)的概率为P k，k为何值时，P k最大？25.设n∈N∗，对1，2，…，n的一个排列i1i2…i n，如果当s<t时，有i s>i t，则称(i s,i t)是排列i1i2…i n的一个逆序，排列i1i2…i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．(1)求f3(2)，f4(2)的值；(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示)．-------- 答案与解析 --------1.答案：{2,3}解析：本题主要考查集合交集运算，基础题型．解：∵A={1,2，3，5，8}，B={x|2≤x≤4}；∴A∩B={2,3}．故答案为：{2,3}．2.答案：5解析：本题考查复数的概念、运算，考查考生的运算求解能力．解：复数z=(1+2i)(3−i)=5+5i，其实部是5．3.答案：53解析：本题考查方差的计算，求出平均数，然后利用公式求解即可．解：由已知样本数据的平均数为x=10+9+8+11+12+106=10，所以s2=(10−10)2+(9−10)2+(8−10)2+(11−10)2+(12−10)2+(10−10)26=53．故答案为53．4.答案：100解析：解：由流程图知，第一次循环：x=1，S=1，不满足S≥50第二次循环：x=2，S=9；不满足S≥50第三次循环：x=3，S=36，不满足S≥50第四次循环：x=4，S=100，满足S≥50此时跳出循环，所以输出S=100．故答案为：100．据流程图可知，计算出S，判定是否满足S≥50，不满足则循环，直到满足就跳出循环即可．本题考查算法流程图，直到型循环结构．循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．5.答案：14解析：本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，求出基本事件个数，然后根据概率公式计算即可，是基础题．解：将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和为4的倍数包含的基本事件有9个，分别为：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)∴出现向上的点数之和为4的倍数的概率是p=936=14，故答案为14．6.答案：−π6解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．解：∵y=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x=π3对称，∴2×π3+φ=kπ+π2，k∈Z，即φ=kπ−π6，k∈Z，∵−π2<φ<π2，∴当k=0时，φ=−π6，故答案为：−π6．7.答案：43；12π解析：解：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形ABC的中心，∵SO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥SO，又BO⊥AC，∴AC⊥平面SBO，∵SB⊂平面SBO，∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，AM∩AC=A，∴SB⊥平面SAC，同理可证SC⊥平面SAB．∴SA，SB，SC两两垂直．∵△SOA≌△SOB≌△SOC，∴SA=SB=SC，∵AB=2√2，∴SA=SB=SC=2．∴三棱锥的体积V=13S△SAC⋅SB=13×12×2×2×2=43．设外接球球心为N，则N在SO上．∵BO=23×√32AB=2√63.∴SO=√SB2−BO2=2√33，设外接球半径为r，则NO=SO−r=2√33−r，NB=r，∵OB2+ON2=NB2，∴83+(2√33−r)2=r2，解得r=√3．∴外接球的表面积S=4π×3=12π．故答案为：43，12π．设棱锥的高为SO，则由正三角形中心的性质可得AC⊥OB，AC⊥SO，于是AC⊥平面SBO，得SB⊥AC，结合SB⊥AM可证SB⊥平面SAC，同理得出SA，SB，SC两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体积．外。
