构建概率模型,判断游戏公平性

例谈“游戏是否公平问题”的解答オ
一、判断游戏的公平
判断游戏是否公平类问题大体分两种情况：一种是判断游戏过程中参加游戏的各方（以两方为常见形式）获胜的概率是否相等；另一种是判断游戏过程中参加游戏的各方（以两方为常见形式）的累积分数或平均得分率是否相等一般来说，这类问题大多出现在解答题中，因此需要考生不仅能正确分析解题思路，而且要写出详尽的解答过程要做到过程完整，一分不失，就应该分四步骤书写，具体为：第一步，画树状图或列表；第二步，分别计算相应的概率或积分；第三步，比较双方概率或积分是否相等；第四步，判断游戏是否公平
二、下面简举两例进行说明
例1（2009年青海中考）王强、张华用4个乒乓球做游戏，这些乒乓球上分别标有数字2、3、6、6（乒乓球的形状、大小、质量相同），他俩将乒乓球放入暗盒中搅匀，王强先摸，摸出后不放回，张华再摸（每人每次只能摸一个乒乓球）他俩规定：若王强摸到的球面数字比张华的大，则王强获胜，若王强摸到的球面数字不大于张华的，则张华获胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由
分析通过概率是否相等来判别游戏是否公平
解画树状图（图1）（第一步：画树状图）P（王强胜）=512，
P（张华胜）=712
（第二步：计算概率）因为P（王强胜）。

第2课时利用概率判断游戏的公平性关键问答①如何判断游戏的公平性？1．①甲、乙两人用2张红心扑克牌和1张黑桃扑克牌做游戏，规那么是：甲、乙各抽取一张，假设两张牌是同一花色，那么甲胜；假设两张牌花色不同，那么乙胜．这个游戏公平吗？答：__________．2．把五张大小一样且分别写有1，2，3，4，5的卡片放在一个暗箱中，由甲随机从里面无放回地抽取两张，并记下两个数字之和，假设两数字之和为偶数，那么甲胜；假设两数字之和为奇数，那么乙胜．甲、乙获胜的概率分别为________．命题点事件公平性的判断[热度：90%]3．小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都一样的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，假设和为奇数，那么小明胜；假设和为偶数，那么小亮胜．获胜概率大的是()A．小明B．小亮C．两人一样D．无法确定4．在不透明塑料袋里装有一个白色的乒乓球和两个黄色的乒乓球．小明一次从袋里摸出两个球；小刚左手从袋里摸出一个球，然后右手从袋里摸出一个球；小华那么先从袋里摸出一个球看一下颜色，又放回袋里，再从袋里摸出一个球．摸出的两个球都是黄色的获胜．你认为这个游戏()A．不公平，对小明有利B．公平C．不公平，对小刚有利D．不公平，对小华有利5．②2021·营口如图3－1－2，有四张反面完全一样的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌反面朝上洗匀．图3－1－2(1)从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规那么为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，假设摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，那么小明获胜，否那么小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图法)说明理由(纸牌用A，B，C，D表示)．解题打破②题干中的“不放回〞说明了什么？在分析时应注意什么？6．③2021·贺州在植树节期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规那么如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全一样的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，假如所摸出的球上的数字之和小于6，那么小王去，否那么就是小李去．(1)用树状图或列表法求出小王去的概率；(2)小李说：“这种规那么不公平．〞你认同他的说法吗？请说明理由．方法点拨③游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的概率是否相等．7．④小敏的爸爸买了一张某项体育比赛的门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个方法，他拿了八张扑克牌，将数字分别为2，3，5，9的四张牌给了小敏，将数字分别为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下规那么做游戏：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌的数字相加，假设和为偶数，那么小敏去；假设和为奇数，那么哥哥去．(1)请用画树状图或列表的方法求小敏去看比赛的概率．(2)哥哥设计的游戏规那么公平吗？假设公平，请说明理由；假设不公平，请你设计一种公平的游戏规那么．方法点拨④修改规那么，使游戏变得公平的问题，对于概率不同的问题，可以通过修改事件来到达概率一样的目的，对于得分问题，既可以通过修改事件，又可以通过修改得分规那么来到达目的．8．2021·山西模拟小明一家人春节期间参与了“支付宝集五福〞活动，小明和姐姐都缺一个“敬业福〞，恰巧爸爸有一个可以送给其中一个人，两个人各设计了一个游戏，获胜者可得到“敬业福〞，请用适当的方法说明这两个游戏对小明和姐姐是否公平．在一个不透明盒子里放入标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除了标号数字不同外其余都一样，将小球摇匀．游戏1的规那么是：从盒子中随机摸出一个小球，摸到标号数字为奇数的小球，那么判小明获胜，否那么，判姐姐获胜．游戏2的规那么是：小明从盒子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，姐姐再从盒子中随机摸出一个小球，并记下标号数字，假设两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，那么判小明获胜，假设两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，那么判姐姐获胜．9．⑤甲、乙两人所持口袋中均装有三张除所标数值不同外其他完全一样的卡片，甲袋中的三张卡片上所标数值分别为0，－1，3，乙袋中的三张卡片上所标数值分别为－5，2，7，甲、乙两人均从自己的口袋中任取一张卡片，并将它们的数值分别记为m，n.(1)请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；(2)现制定这样一个游戏规那么：假设选出的m，n能使得方程x2＋mx＋n＝0有实数根，那么称甲胜；否那么称乙胜．请问这样的游戏规那么公平吗？请你用概率知识解释．易错警示⑤(1)不要混淆m，n的取值；(2)当关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根时，b2－4ac≥0.10．⑥在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢毽子〞游戏，毽子从一人传到另一人就记为踢一次．(1)假设从小丽开场，经过两次踢毽后，毽子踢到小华处的概率是多少(用画树状图或列表的方法说明)?(2)假设经过三次踢毽后，毽子踢到小王处的可能性最小，请确定毽子是从谁开场踢的，并说明理由．图3－1－3解题打破⑥从小丽开场，第一次踢毽，毽子能踢给哪些人？第二次踢毽，毽子又能踢给哪些人？11．⑦“手心、手背〞是在同学中广为流传的游戏．游戏时，甲、乙、丙三方每次出“手心〞“手背〞两种手势中的一种，规定：①出现三个一样的手势不分胜负，继续比赛；②出现一个“手心〞和两个“手背〞或者出现一个“手背〞和两个“手心〞时，那么出一种手势者为胜，两种一样手势者为负．(1)假定甲、乙、丙三人每次都是等可能地出“手心〞或“手背〞，请用画树状图或列表的方法求甲、乙、丙三位同学获胜的概率．(2)假设甲同学只出“手背〞，乙、丙两位同学仍随机地出“手心〞或“手背〞，那么甲同学获胜的可能性会减小吗？为什么？解题打破⑦第(1)小问和第(2)小问的限制条件有什么不一样？用画树状图法简单还是用列表法简单？详解详析【关键问答】①判断游戏的公平性就是要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否那么就不公平．1．不公平 [解析] 列表如下：共有94种情况，∴甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为49，59>49， 故甲获胜的概率大，即游戏不公平． 故答案为：不公平．2.25，35[解析] 根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两数字之和为偶数的结果有8种， ∴两数字之和为偶数的概率为820＝25，两数字之和为奇数的概率为35.∴甲获胜的概率为25，乙获胜的概率为35.3．B [解析] 画树状图如下：共有9种等可能的情况，其中和为偶数的有5种，所以小亮胜的概率是59，那么小明胜的概率是49，所以获胜概率大的是小亮．4．D [解析] 小明一次从袋里摸出两个球，那么摸出的两个球都是黄色的可能性是13；小刚左手从袋里摸出一个球，然后右手从袋里摸出一个球，两个球都是黄色的可能性为13； 小华先从袋里摸出一个球看一下颜色，又放回袋里，再从袋里摸出一个球，两个球都是黄色的可能性为49>13.所以小华获胜的可能性大，这个游戏不公平，对小华有利． 应选D.5．解：(1)因为共有4张牌，牌面图形是中心对称图形的情况有3种，所以摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是34.(2)这个游戏公平．理由： 列表如下：有6种，∴P (两张牌面图形都是轴对称图形)＝12，因此这个游戏公平． 6．解：(1)画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种， ∴P (小王去)＝34.(2)认同．理由如下：∵P (小王去)＝34，P (小李去)＝14，34≠14，∴这种规那么不公平．7．解：(1)根据题意，可以画出如下树状图： 或者，根据题意也可以列出下表：相等．而和为偶数的结果共有6个，所以小敏去看比赛的概率为616＝38.(2)由(1)知小敏去看比赛的概率为38，哥哥去看比赛的概率为1－38＝58.因为38＜58，所以哥哥设计的游戏规那么不公平．公平的游戏规那么如下：假设数字之和小于或等于10，那么小敏(哥哥)去，假设数字之和大于或等于11，那么哥哥(小敏)去，这样两人去看比赛的概率都为12，那么游戏规那么就是公平的．或者：假如将八张牌中的2，3，4，5四张牌给小敏，而余下的6，7，8，9四张牌给哥哥，那么和为偶数或奇数的概率都为12，那么游戏规那么也是公平的．(只要满足两人手中数字为偶数或奇数的牌的张数相等即可)8．解：游戏1：∵共有6种等可能的结果，一次摸到小球的标号数字为奇数或为偶数的情况各有3种，∴小明获胜的概率为36＝12，姐姐获胜的概率为36＝12，∴游戏1对小明和姐姐是公平的； 游戏2：画树状图如下：共有36种等可能的结果，其中两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的结果有18种，两次摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果也有18种，∴小明获胜的概率为1836＝12，姐姐获胜的概率为1836＝12，∴游戏2对小明和姐姐是公平的．9．解：(1)画树状图如下：∴(m ，n )的可能结果有(0，－5)，(0，2)，(0，7)，(－1，－5)，(－1，2)，(－1，7)，(3，－5)，(3，2)，(3，7)，∴(m ，n )的取值结果共有9种．(2)∵(m ，n )的可能结果有(0，－5)，(0，2)，(0，7)，(－1，－5)，(－1，2)，(－1，7)，(3，－5)，(3，2)，(3，7)，∴当m ＝0，n ＝－5时，Δ＝m 2－4n ＝20＞0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个不相等的实数根；当m ＝0，n ＝2时，Δ＝m 2－4n ＝－8＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根； 当m ＝0，n ＝7时，Δ＝m 2－4n ＝－28＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根； 当m ＝－1，n ＝－5时，Δ＝m 2－4n ＝21＞0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个不相等的实数根；当m ＝－1，n ＝2时，Δ＝m 2－4n ＝－7＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根； 当m ＝－1，n ＝7时，Δ＝m 2－4n ＝－27＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根； 当m ＝3，n ＝－5时，Δ＝m 2－4n ＝29＞0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个不相等的实数根；当m ＝3，n ＝2时，Δ＝m 2－4n ＝1＞0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个不相等的实数根；当m ＝3，n ＝7时，Δ＝m 2－4n ＝－19＜0，此时方程x 2＋mx ＋n ＝0没有实数根； ∴P (甲获胜)＝49，P (乙获胜)＝59，∴P (甲获胜)≠P (乙获胜)， ∴这样的游戏规那么不公平． 10．解：(1)画树状图如下：由树状图可知，经过两次踢毽后，毽子踢到小华处的概率是14.或列表如下：由上表可知，毽子踢到小华处的概率是14.(2)毽子是从小王开场踢的． 理由：画树状图如下：假设从小王开场踢，三次踢毽后，毽子踢到小王处的概率是14，踢到其他两人处的概率都是38，因此，毽子踢到小王处的可能性最小．11．解：(1)画树状图如下：∴一共有8种结果，每种结果出现的可能性相等，其中甲、乙、丙三位同学获胜的情况各有2种，∴P (甲获胜)＝P (乙获胜)＝P (丙获胜)＝28＝14.(2)甲同学获胜的可能性不会减小．理由： 画树状图如下：一共有4种情况，每种情况出现的可能性相等，其中甲获胜的情况有1种，∴甲获胜的概率仍为14，可能性不会减小．。

第2课时 利用概率判断游戏的公平性1．进一步经历用树状图、列表法计算两步随机试验的概率． 2．运用树状图法或列表法判断游戏的公平性．(重点)阅读教材P62～64，完成下列问题： 自学反馈小明和小军两人一起做游戏．游戏规则如下：每人从1，2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．如果你是游戏者，你会选择哪个数？活动1 小组讨论例 小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则如下：由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？解：因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果：总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中，两人手势相同的结果有3种：(石头，石头)(剪刀，剪刀)(布，布)．所以小凡获胜的概率为39＝13；小明胜小颖的结果有3种：(石头，剪刀)(剪刀，布)(布，石头)，所以小明获胜的概率为39＝13；小颖胜小明的结果也有3种：(剪刀，石头)(布，剪刀)(石头，布)，所以小颖获胜的概率为39＝13.因此，这个游戏对三人是公平的． 活动2 跟踪训练 1．在“石头、剪子、布”的游戏中(剪子赢布，布赢石头，石头赢剪子)，当你出“剪子”时，对手胜你的概率是( ) A.12 B.13C.23D.142．在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”(如图2)的概率等于( ) A.23 B.12C.13D ．13．如图所示，甲、乙两人玩游戏，他们准备了1个可以自由转动的转盘和一个不透明的袋子．转盘被分成面积相等的三个扇形，并在每一个扇形内分别标上数字－1，－2，－3；袋子中装有除数字以外其他均相同的三个乒乓球，球上标有数字1，2，3.游戏规则：转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字与随机从袋中摸出乒乓球的数字之和为0时，甲获胜；其他情况乙获胜．(如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止)(1)用树状图或列表法求甲获胜的概率；(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请判断并说明理由． 活动3 课堂小结1．一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等的．通常可用列表法和树状图法求得各种可能结果．2．一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，通常采用树状图法．【合作探究】 活动2 跟踪训练 1．B 2.B3．(1)列表法：树状图：则甲获胜的概率为P(甲)＝39＝13；(2)不公平；乙获胜的可能性大．。

第六章概率初步3 等可能事件的概率课时2 用概率判断游戏的公平性【知识与技能】（1）了解必然事件、不可能事件、确定事件、不确定事件、等可能事件等概念，会求确定事件和等可能事件的概率；（2）在实际问题情境中感受事件发生的可能性的大小.【过程与方法】初步运用对比法，确定事件与不确定事件的区别与联系，进一步发展概率意识.【情感态度与价值观】进一步体会数学就在我们身边，发展学生的应用数学能力。

了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性．(难点)了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性．(难点)多媒体课件一、情境导入一个箱子中放有红、黄、黑三个小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出黑色小球为赢，那么这个游戏是否公平？二、合作探究探究点一：与摸球有关的等可能事件的概率【类型一】摸球问题一个不透明的盒子中放有4个白色乒乓球和2个黄色乒乓球，所有乒乓球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个乒乓球，摸出黄色乒乓球的概率为()A.23 B.12 C.13 D.16解析：根据题意可得不透明的袋子里装有6个乒乓球，其中2个黄色的，任意摸出1个，则P(摸到黄色乒乓球)＝26＝13.故选C.方法总结：概率的求法关键是找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目．二者的比值就是其发生的概率．【类型二】与代数知识相关的问题已知m为－9，－6，－5，－3，－2，2，3，5，6，9中随机取的一个数，则m4＞100的概率为()A.15 B.310 C.12 D.35解析：共有10个数，满足条件的有6个，则可得到所求的结果．∵m为－9，－6，－5，－3，－2，2，3，5，6，9中随机取的一个数，只有(－3)4＝81，(－2)4＝16，34＝81，24＝16小于100，∴P(m4>100)＝610＝35.故选D.探究点二：利用概率分析游戏规则是否公平在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球．(1)小明从中任意摸出一个小球，摸到的白球机会是多少？(2)小明和小亮商定一个游戏，规则如下：小明从中任意摸出一个小球，摸到红球则小明胜，否则小亮胜，问该游戏对双方是否公平？为什么？解析：(1)由题意可得共有6种等可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有1种情况，利用概率公式即可求得答案；(2)游戏公平，分别计算他们各自获胜的概率再比较即可．解：(1)∵在一个不透明的口袋中有6个除颜色外其余都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球，∴P(摸出一个白球)＝1 6；(2)该游戏对双方是公平的．理由如下：由题意可知P(小明获胜)＝36＝12，P(小亮获胜)＝1＋26＝12，∴他们获胜的概率相等，即游戏是公平的．方法总结：判断游戏是否公平，关键是看双方在游戏中所关注的事件所发生的概率是否相同．1．等可能事件的概率计算2．等可能事件的概率的应用教学过程中，强调简单的概率的计算应确定事件总数及事件A包含的数目．事件A发生的概率P(A)的大小范围是0≤P(A)≤1，通过适当的练习，及时巩固所学知识，引导学生从练习中总结解题规律，培养学生独立思考与归纳总结的能力。