第7章 立体几何

第7章 立体几何一、选择题1. （淄博期末）如图所示的三棱柱，其正视图是一个边长为2的正方形，其俯视图是一个正三角形，该三棱柱侧视图的面积为（ ）A ．32B ．3C ．22D ．42. （赣州联考）平面α∥平面β，点A, C∈α, B, D∈β，则直线AC∥直线BD 的充要条件是（ ） A ．AB∥CDB ．AD∥CBC ．AB 与CD 相交D ．A, B, C, D 四点共面3. （兰州诊断）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A ．63π+B ．π343+C ．π3433+D ．633π+【答案】D【解析】由三视图知：原几何体是一个三棱锥和球的组合体。

其中三棱锥的侧棱长为3，底面边长为2，球的直径为1，32412332π⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭633π+。

4. （海淀期末）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BDAC O =，M 是线段1D O 上的动点，过点M 做平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为（ ）A B D ．15.（安阳第一次调研考试）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）A ．27B ．36C ．33D ．30【答案】Ｄ 【解析】试题分析：根据已知中的三视图可知，该几何体由一个正方体和一个正四棱锥组成，其中正方体的棱长为3，故=333=27V ⨯⨯正方体，四棱锥的底面棱长为3，高为1，7. （赣州联考）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积为（ ）A ．54cm 2B ．91cm 2C ．75＋410cm 2D ．75＋210cm 28. （赣州联考）一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是（ ）A ．211πB ．211π＋6 C ．11π D ．211π＋339．(白山一模)如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为错误！未找到引用源。

，一个内角为错误！未找到引用源。

的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）A. 错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【答案】D【解析】由三视图知：原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边长为1，斜高为1，所以这个几何体的表面积为111842S =⨯⨯⨯=。

13. (中山阶段)如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，ABC ∆内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点.现有结论：①BC PC ⊥；②//OM 平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长.其中正确的是 （ ） A.①② B.①②③ C.① D.②③14.【云南师大附中高考适应性月考】某几何体的三视图及部分数据如图1所示，则此几何体的体积是( ) A.23 B.3 C.2 D.3【答案】A【解析】几何体是三棱柱，体积：2333121=⨯⨯⨯==sh V ,故选A ． 考点：三视图和几何体的体积15. （兰州诊断）已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；33侧（左）视图俯视图正（主）视图③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确的命题是 （ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④【答案】D【解析】①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,，正确，此为面面垂直的判定定理； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂，错误，若m//n 就得不出//αβ；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交，错误，m 与n 还可能相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂，正确。

17.（安阳第一次调研考试）设a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题： ①若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α； ②若a ∥α，α⊥β则a ⊥β； ③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥β． 其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】Ａ 【解析】试题分析：①若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α，是错误的，因为有可能b αÜ；②若a ∥α，α⊥β则a ⊥β，是错误的，因为有可能a βÜ，也可以a β，还可以a 与平面β相交；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α，是错误的，因为有可能a αÜ； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥β，显然是错误的． 考点：命题的真假判断，直线与平面的位置关系．18.【吉林市普通中学高中毕业班摸底测试】 设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题：① 若αβαβ⊥⊥⊂m m 则,,；② 若βαβα//,,//m m 则⊂；③ 若βαβα⊥⊥⊥⊥m m n n 则,,,；④ 若//,//,//m m αβαβ则 其中正确命题的序号是（ ） A. ①③B. ①②C. ③④D. ②③考点：线面关系和面面关系.二、填空题20．（朝阳期末）一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 ．是 .22.（北京市东城区上学期期末考试）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．23. （普陀调研）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若直线C B 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 .24. （海淀期末） 已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示. （1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为__________； （2）关于该四棱锥的下列结论中： ①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直； ②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形； ③四棱锥中不．可能存在四组互相垂直的侧面. 所有正确结论的序号是___________.25. （朝阳期末）用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的 .（写出满足条件的图形序号）（1）正三角形（2）梯形（3）直角三角形（4）矩形26.【昆明第一中学高三开学考试】已知A 、B 、C 、D 的球面上，且5AC BD AD BC ====，CD AB =，则三棱锥D ABC -的体积是 ．【答案】8【解析】试题分析：28. 【吉林省白山市高三摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .31.【齐齐哈尔高三第二次模拟考试】 在四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB=3,AD=2,AC=5，则该四面体外接球的表面积为 ．【答案】π12【解析】由球的对称性及,,AB AC AD 两两垂直可以补形为长方体ABD C DC A B ''''-,长方体的对称中心即为球心, 所以2R ，所以 412S π== .考点：球及线面关系的应用.32. （中山阶段）一个空间几何体的三视图如下图所示，其中主视图和侧视图都是半径为错误！未找到引用源。

的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为____________.33. （海淀期末）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为____________.【解析】三、解答题35.（朝阳期末）（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ,PA AC ⊥，AB BC ⊥．设D ， E 分别为PA ， AC 中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面PBC ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PAB ;（Ⅲ）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点 D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．由（Ⅰ）可知DE ∥平面PBC ．40．（朝阳期末）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥.（Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；（Ⅱ）设,O D 分别为,AC AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足13OG OA OB =+（），求证：DG ∥面PBC ；43．【哈尔滨市第二次模拟考试】（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PB =，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是棱AB 的中点．（Ⅰ）求证：//CD 平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE AD ⊥；（Ⅲ）若CA CB =，求证：平面PEC ⊥平面PAB .所以PE 平面ABCD, ------------------------------8分44. 【青岛期末考试】如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱PC 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.（1）证明：AD ⊥平面PBC ；（2）在ACB ∠的平分线上确定一点Q ，使得//PQ 平面ABD ，并求此时PQ 的长.（2）取AB 的中点O ，连接CO 并延长至Q ，使得2CQ CO ，点Q 即为所求．45. 【郑州期末考试】在三棱锥ABC P -4AC =，2AB =，BC =D 、E 分别为PC 、BC 的中点.（1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）求二面角C DA E --的平面角.OB OP OP OB PB ⊥∴+=∴,222.又ABC OB AC O BO AC 面、且⊂= OP ∴⊥平面ABC ，332131=⨯⨯=-BC AB OP V ABC P47. （赣州联考）(12分)如图所示，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2，F, G, H分别为BP, BE, PC的中点。

（Ⅰ）求证：平面FGH⊥平面AEB；（Ⅱ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．【解析】48. （淄博期末）（本小题满分12分）四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形；侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（I）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B-DE-C平面角的余弦值．60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个四棱柱形状的包装盒，其中E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB= x cm ． （I ）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值；（II ）某广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．（Ⅰ）,1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S…………4分所以当15=x 时，S 取得最大值．…………6分（Ⅱ）232V a h ==-+．…………8分由).20(26),30(2222x x V x x -='+-=由0V '=得：0x =（舍）或x =20．当(0,20)x ∈时，0V '>； 当(20,30)x ∈时，0V '<；所以当20x =时，V 取得极大值，也是最小值．…………10分此时1122h a 即，装盒的高与底面边长的比值为1.2…………12分考点：几何体的体积与表面积，二次函数，应用导数研究函数的单调性、最值.51. （淄博期末）（本小题满分12分）如图所示，已知三棱锥A-BPC 中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．（I ）求证：DM∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC.52. （普陀调研）（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计. （1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的函数.（注3310001mm cm =）。