9、集合论悖论
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2009年1月数学史试题一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.古代美索不达米亚的数学成就主要体现在( )A.代数学领域B.几何学领域C.三角学领域D.解方程领域2.建立新比例理论的古希腊数学家是( )A.毕达哥拉斯B.希帕苏斯C.欧多克斯D.阿基米德3.我国古代关于求解一次同余式组的方法被西方称作“中国剩余定理”,这一方法的首创者是( )A.贾宪B.刘徽C.朱世杰D.秦九韶4.下列着作中,为印度数学家马哈维拉所着的是( )A.《圆锥曲线论》B.《计算方法纲要》C.《算经》D.《算法本源》5.在射影几何的诞生过程中,对于透视画法所产生的问题从数学上直接给予解答的第一个人是( )A.达?芬奇B.笛卡儿C.德沙格D.牛顿6.提出行星运行三大定律的数学家是( )A.牛顿B.笛卡儿C.伽利略D.开普勒7.欧拉从事科学研究工作的地方,主要是( )A.瑞士科学院B.俄国圣彼得堡科学院C.法国科学院D.英国皇家科学院8.《几何基础》的作者是( )A.高斯B.罗巴契夫斯基C.希尔伯特D.欧几里得9.提出“集合论悖论”的数学家罗素是( )A.英国数学家B.法国数学家C.德国数学家D.巴西数学家10.运筹学原意为“作战研究”,其策源地是( )A.英国B.法国C.德国D.美国二、填空题(本大题共10小题,每空1分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.从现存的一些纸草书中可以了解古代________的数学成就,从现存的一些泥版上可以了解古代________的数学成就。
12.古希腊的三大着名几何作图问题是________、________和三等分角。
13.“杨辉三角”是我国数学家________首先发现的,在西方则被称作“________三角”。
14.阿拉伯数学家________的《还原与对消计算概要》通常被称作《________》。
世界10个著名悖论1. 贝利森悖论(Bertrand's paradox):在概率论中,贝利森悖论指出,当从一个完美无缺的随机分布中选择一个数时,该数却不是随机的。
2. 博克斯悖论(Box paradox):在概率论和统计学中,博克斯悖论指出,对于一个随机抽样样本,大多数情况下,样本均值将会接近总体均值;然而,对于一个随机选择的样本,样本均值却未必接近总体均值。
3. 赫拉克利特悖论(Heraclitus paradox):赫拉克利特悖论指出,尽管我们在同一个河流中无法踏进两次,但我们却可以认为它是同一个河流。
4. 旅行者悖论(The Paradox of the Traveler):旅行者悖论指出,在一个时间旅行的场景中,如果一个人回到过去并阻止了某个事件的发生,那么他将无法回到未来,因此也就无法阻止该事件的发生。
5. 孟德尔悖论(Mendel's paradox):孟德尔悖论指出,在遗传学中,某些基因特征在自然选择中并未得到保留,尽管这些特征为个体带来了优势。
6. 斯巴达克斯悖论(Spartacus paradox):斯巴达克斯悖论指出,当一个群体中的每个成员都想要自由时,整个群体可能会陷入更大的束缚。
7. 罗素悖论(Russell's paradox):罗素悖论是一个关于集合论的悖论,指出一个集合不能包含自身,但同时也不能排除自身。
8. 艾舍尔悖论(Escher's paradox):艾舍尔悖论指出,一些艾舍尔的作品中出现的视觉效果在逻辑上是不可能的,例如无限迭代和不可能的构造。
9. 脑力劳动悖论(The Paradox of Work and Leisure):脑力劳动悖论指出,人们在追求更多的休闲和娱乐时间时,却发现自己更加忙碌和压力更大。
10. 尤金悖论(Eugene's Paradox):尤金悖论指出,当人们追求幸福时,往往反而会感到更加不满和不幸福。
10大悖论1. 邱奇-图灵悖论邱奇-图灵悖论源自数理逻辑中的一个重要命题:不可能存在一个算法,能够判断任意算法是否停机。
这个命题的证明过程非常复杂,但其结论却具有深刻的哲学意义。
在计算机科学中,图灵机是一种抽象的计算模型,被认为是现代计算机的理论基础。
邱奇和图灵分别独立提出了图灵机的概念,并证明了它的等价性。
然而,他们的工作也揭示出了一个无法解决的问题:无法判断一个算法是否会停机。
这意味着,即使我们拥有了最强大的计算机和最聪明的算法,我们仍然无法预测一个算法是否会在有限的时间内停止运行。
这个悖论挑战了我们对计算机科学的基本认识,也引发了对人工智能和机器学习领域的深思。
2. 赫胥黎悖论赫胥黎悖论是关于集合论的一个重要悖论。
在集合论中,我们通常认为一个集合是由它的成员所确定的。
然而,赫胥黎悖论却质疑了这一观点。
考虑一个由所有不包含自己的集合组成的集合。
根据我们的直觉,这个集合应该是一个合法的集合。
然而,如果我们问这个集合是否包含自己,我们会发现一个悖论:如果这个集合包含自己,那么根据定义,它不应该包含自己;如果这个集合不包含自己,那么根据定义,它应该包含自己。
这个悖论揭示了我们对集合的理解存在一些隐含的问题,也引发了对集合论基础的深入思考。
3. 费尔马定理悖论费尔马定理是数学中一个著名的未解之谜。
它声称没有正整数解的方程x^n + y^n = z^n,其中n大于2。
然而,费尔马定理悖论在于,虽然费尔马定理已经被证明是正确的,但其证明过程却非常复杂,以至于无法在有限时间内完成。
这个悖论引发了对数学证明的思考:我们如何确定一个命题是否为真?费尔马定理悖论表明,即使我们相信一个命题是真的,我们也可能无法证明它。
这对于数学和逻辑的发展产生了重要影响。
4. 佩亚诺悖论佩亚诺悖论源自数学中的一个基本问题:是否存在一个能够判断所有数学命题真假的公理系统?佩亚诺悖论证明了这是不可能的。
如果我们假设存在这样一个公理系统,那么我们可以构造一个命题:这个命题在公理系统中是不可证明的,但它却是真的。
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机,简要概括如下:
1. 第一次数学危机:公元前5世纪,毕达哥拉斯学派发现无理数,挑战了当时“万物皆数”(指整数或整数之比)的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机:17至18世纪,围绕无穷小量的问题,主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用,但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终,通过实数理论和极限理论的建立,这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机:19世纪末,集合论悖论的出现,如著名的罗素悖论,暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今,尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述,但第三次数学危机并没有完全解决。
集合论是数学的一个重要分支,研究的是集合的性质和关系。
然而,集合论中存在一些令人困惑的问题和悖论。
其中最著名的悖论之一便是无穷悖论。
无穷悖论最早由德国数学家乔治·康托尔提出。
他认为,有些集合的元素个数是无限的,而这些无穷集合之间也可以进行比较。
例如,自然数集合N={1,2,3,4,5,...}就是一个无穷集合,其元素个数是无限的。
另一方面,偶数的集合E={2,4,6,8,...}也是一个无穷集合,但是它的元素个数比N少,因为它只包含了N中的一半元素。
这样一来,我们就可以说,尽管N和E都是无穷集合,但是E的大小却比N小。
然而,康托尔又提出了一个令人震惊的结论:存在某个集合,其元素个数比任何无穷集合都大。
这个集合被称为“连续统”,用符号C表示。
康托尔认为,C 的大小超过了自然数集合N,偶数集合E,甚至包括所有无穷集合的并集。
康托尔试图证明C确实是一个比任何无穷集合都大的集合。
然而,在他的证明中却出现了一些矛盾的地方。
他认为,如果C是比现有所有无穷集合都大的集合,那么C中必定包含了一切可能的元素。
然而,这样一来,我们可以构造一个新的集合P,P={x∣x∉x},即包含了一切不包含自己的集合。
根据波尔-克劳维奇悖论,我们可以得出结论,P既不属于自己,也不不属于自己。
这就导致了自相矛盾的情况,使得康托尔的证明受到了质疑。
无穷悖论的出现引起了人们对于集合论的深入探讨和思考。
康托尔的无穷悖论揭示了无穷性的复杂性和矛盾之处,对于数学家来说是一次重要的启示。
集合论的发展也在一定程度上受到了这个悖论的影响。
为了解决无穷悖论带来的问题,数学家们提出了一系列关于集合论的公理,以保证集合论系统的一致性和完备性。
无穷悖论还引发了人们对于现实世界的思考。
无穷悖论表明,无穷的概念并非只存在于数学领域,而是与现实世界有着密切的关系。
人们发现,在时间和空间的维度中也存在着无穷的悖论。
例如,我们可以无限地追溯过去或者无限地前进未来,这就涉及到了时间的无限性。
数学史上十个有趣的悖论数学史上十个有趣的悖论1. 贝尔曼-福特悖论:贝尔曼和福特提出了一个悖论,即在某些情况下,一个更短的路径可能比一个更长的路径需要更多的时间来到达。
这与我们直觉中的常识相悖,但在一些特殊的网络或图形结构中确实存在。
2. 贝利悖论:贝利悖论是一个关于概率的悖论。
它认为,如果一个事件在无穷次试验中发生的概率为1,那么在有限次试验中发生的概率也应该接近1。
然而,这个悖论表明,在某些情况下,有限次试验中事件发生的概率可以远远小于1。
3. 监狱悖论:监狱悖论是一个涉及概率和信息理论的悖论。
它认为,如果一个被告的定罪率很高,那么当一个新的证据出现时,这个被告的定罪率反而会降低。
这个悖论挑战了我们对证据和定罪率之间关系的直觉。
4. 伯罗利悖论:伯罗利悖论是概率论中的一个悖论。
它指出,在一个非常大的随机样本中,某个事件的概率与在一个较小的样本中的概率可能截然不同。
这个悖论揭示了我们在处理大样本和小样本时概率的表现方式的差异。
5. 孟克顿悖论:孟克顿悖论是一个关于集合论的悖论。
它指出,如果一个集合包含了所有不包含自身的集合,那么它既包含自身又不包含自身。
这个悖论揭示了集合论中的一些潜在的矛盾和难题。
6. 伊普西隆悖论:伊普西隆悖论是一个关于几何学的悖论。
它认为,在一个无限大的平面上,可以找到两个面积完全相等的形状,但一个形状的周长比另一个形状的周长更长。
这个悖论在无限性的背景下挑战了我们对形状和大小的直觉。
7. 赫尔曼悖论:赫尔曼悖论是一个关于游戏理论的悖论。
它指出,在一个竞争性的游戏中,一个玩家的最佳策略可能会使其处于劣势的局面。
这个悖论挑战了我们对最佳决策和优势策略的理解。
8. 麦克阿瑟悖论:麦克阿瑟悖论是一个关于进化生物学的悖论。
它认为,自私的个体在一个群体中可以获得更大的优势,但在整个群体中自私的个体却会导致整体效益较低。
这个悖论揭示了个体利益和群体利益之间的矛盾。
9. 巴塞尔悖论:巴塞尔悖论是一个关于级数求和的悖论。
罗素悖论提出的背景研究1902 年6 月16 日,罗素的着作《数学原理》( Principles of Mathematics) 发表前夕,他给弗雷格写了一封信,信中写道: “我在读您的着作《算术基础》( Grundgesetze derArithmetik) 时发现一个困境……。
” 他提到的这个困境可以描述为:设谓词w 表示: 不能描述自己的谓词。
那么w 能不能描述自己呢? 无论肯定还是否定的回答都会推出反面,因此我们只能说w 不是一个谓词。
罗素从这个困境想到了另一个看似不同但更一般的问题: 由所有不属于自己的集合组成的类也存在同样的困境。
因此,由这些不属于自身的集合( 每个都是一个总体) 形成的类( 总体)是不存在的。
这样,我们可以得出结论: 按照这种方式定义形成的类不能作为一个总体。
实际上,他们是两个截然不同的问题。
第一个问题涉及到谓词,一个不能描述自己的谓词。
正如弗雷格在关于概念和对象的理论中描述的那样,他在给罗素的回复中也强调,如果严格区分个体能够满足的谓词和谓词能够满足的( 高阶) 谓词的话,那么考虑自己描述自己的谓词是没有意义的。
“不能描述自己的谓词”是不存在的,因此,悖论也就不会发生。
当时,罗素并没有接受概念需要分类型的想法,而仅仅在《数学原理》的附录 B 中提到这种可能性。
对于罗素来说,第一个悖论是最重要的。
他只是在考虑其他理论,比如弗雷格的理论时,才在这些理论中描述第二个悖论的相关形式。
相反地,弗雷格却立刻意识到第二个悖论揭示出了他的系统中存在的问题。
仅仅 6 天之后,6 月22 日,弗雷格马上给罗素写了回信,信中这样写道:看来一个等式的一般形式不一定总能写成赋值过程的等式①,我提出的基本定律V②是错的,§31 中的解释也不足以保证我给出的符号组合在任何情况下都有意义。
罗素的确是在考虑康托定理时想到了这个悖论。
在康托定理中,如果万有集存在,那么对于任意一个集合,都不存在它的幂集( 所有子集的集合) 到该集合的一一映射。
十大烧脑悖论标题:十大烧脑悖论:挑战逻辑思维的迷局导语:悖论是一种令人困惑的思维迷局,常常挑战我们的逻辑思维和常识。
在这篇文章中,我将为您介绍十个令人烧脑的悖论,希望能够激发您的思考和探索。
1. 赫拉克利特之箭:如果一支箭射向目标,那么在箭到达目标之前,它必须先到达一半的距离。
然而,在到达这一半距离之前,箭又必须先到达四分之一的距离。
这个过程可以无限分割下去,那么箭是如何到达目标的呢?2. 赫拉克利特之河:赫拉克利特说:“你不能两次踏入同一条河流。
”这是因为河流不断流动,所以每次踏入的都是不同的水。
然而,我们又如何定义“同一条河流”呢?3. 莹格尔悖论:如果一个集合包含所有不包含自身的集合,则它不包含自身;如果一个集合不包含所有不包含自身的集合,则它包含自身。
这个悖论挑战了集合论的基本原理。
4. 贝利悖论:如果一个人声称自己是个骗子,那么他说的是真话,他就不是骗子;如果他说的是假话,那么他就是个骗子。
这个悖论使我们陷入了无法判断真假的困境。
5. 赫尔曼悖论:如果你有一个包含所有事物的集合,那么这个集合必须包含一个不包含自身的事物。
然而,如果它不包含自身,那么它就不包含所有事物。
6. 无法停止的力量:如果一个不可阻挡的力量遇到一个不可移动的物体,会发生什么?这个问题挑战了物理学中关于力量和运动的基本原理。
7. 贝尔曼悖论:当我们试图通过改变现实来实现某种目标时,我们可能会发现目标本身也在随之改变。
这个悖论揭示了我们对于目标和行动之间复杂关系的思考。
8. 哥德尔不完备定理:哥德尔证明了数学中存在一些命题无法被证明或证伪。
这意味着数学体系内部存在着无法解决的问题,挑战了我们对于数学的完备性的认知。
9. 莱斯利悖论:如果一个人声称自己是个骗子,那么他说的是真话,他就不是骗子;如果他说的是假话,那么他就是个骗子。
这个悖论与贝利悖论类似,使我们陷入了无法判断真假的困境。
10. 费尔巴哈悖论:如果一个人声称自己是神,那么他就不是神;如果他声称自己不是神,那么他就是神。
世界10个著名悖论全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:在哲学中,悖论是指逻辑上似乎矛盾或荒谬的命题或命题集合。
世界上存在许多著名的悖论,它们挑战着人类的逻辑思维和认知能力。
以下将介绍世界上十个著名的悖论,让我们一起探索这些神秘的哲学难题。
1. 赫拉克利特的悖论赫拉克利特,古希腊哲学家和学派创始人,提出了一条著名的悖论:“你无法两次踏入同一条河流。
”这句话看起来似乎有点荒谬,因为我们通常认为河流是不变的。
但赫拉克利特认为,随着时间流逝,河流中的水始终在流动变化,所以每一刻都不同,因此我们无法两次踏入同一条河流。
2. 动物乐园悖论动物乐园悖论是一种心理学悖论,描述了一个虚构的动物乐园,里面有两个笼子,一个有一只狮子,一个有一只老虎。
如果你告诉一个笼子里的动物说你要将它移到另一个笼子,它会咬你,但如果你告诉另一个笼子里的动物说你要将它移到另一个笼子,它会让你带走它。
这个悖论揭示了人类对于未知的恐惧和对于已知的接受的心理差异。
3. 贝拉米悖论贝拉米悖论是一个关于不可能的事件序列的悖论。
如果有一个事件序列,按照某种规则无限延伸,那么这种序列要么会在某个时刻中断,或者会继续无限延伸。
贝拉米悖论揭示了人类对于无限和不可能的事物的理解上存在的困惑。
4. 费尔巴哈里悖论费尔巴哈里悖论描述了当一个人说自己是说真话时,他实际上在说谎。
这个悖论表明了人类在语言和真实之间存在的模糊性和混淆。
5. 罗素悖论罗素悖论是一个逻辑上的悖论,描述了一个人被称为“巴比伦码头负责人”的人,他负责所有不能自己负责的人的工作。
这个人是否应该负责自己的工作呢?如果他负责自己的工作,那么他就不需要负责所有不能自己负责的人的工作;如果他不负责自己的工作,那他也不符合自己的规定。
这个悖论揭示了逻辑上的自指问题。
6. 阿奇里斯和乌龟的悖论阿奇里斯和乌龟的悖论是描述了一个虚构的竞赛,阿奇里斯和乌龟同时出发,但是在阿奇里斯追上乌龟之前,乌龟已经跑到了某个点,然后阿奇里斯再追上这个点之前,乌龟又跑到了另一个点,以此类推。
10大悖论-回复什么是悖论?悖论是指一种逻辑上自相矛盾的陈述、观点、或者信念。
在许多不同领域中,有许多著名的悖论,这些悖论的存在挑战了人类的思维方式,拓宽了我们对世界的认知。
本文将讨论十个著名的悖论,并逐一回答它们背后的奥秘。
1. 鹦鹉悖论:如果我告诉你,我说的都是谎言,那你能相信我说谎了吗?这个问题看似很简单,但实际上却充满了深意。
回答这个问题需要一些哲学上的思考。
虽然鹦鹉悖论存在于日常对话中,但它触及了人类思维的边界。
当我们提出这个问题时,我们置自己于一种悖论的境地。
2. 史诗悖论:如果一直在编写一个没完没了的史诗,那史诗会不会永远写不完?史诗悖论是一种关于无限性的思考。
它暗示了时间与努力之间的关系。
编写一个史诗所需要的时间可能是无限的,但努力本身也没有真正的终点。
面对这个悖论,我们不禁思考起如何定义完成与无限。
3. 哥德尔悖论:这个命题是错误的。
哥德尔悖论涉及到数学与逻辑的领域。
这个命题在形式上是一个悖论,因为如果它是正确的,那么它本身就是错误的。
哥德尔悖论引发了对数学基础和逻辑系统的再思考。
4. 迷因悖论:这是一个迷因。
迷因悖论是一种与文化传播和信息流动有关的悖论。
如果一个迷因声称自己是一个迷因,那么它会自我引发。
这再次揭示了信息传播与其所传达的内容之间的复杂关系。
5. 悖论的悖论:这个陈述是个悖论。
悖论的悖论是在自我描述的悖论中的一个例子。
当一个悖论自称为悖论时,它引发了一种无限循环的逻辑,使我们无法确定一个陈述的真实性。
这个悖论挑战了我们对逻辑推理的认知。
6. 罗素悖论:在某个村庄中,只有那些不为自己修建房子的人才能修建屋顶。
那么,谁来修建所有的屋顶呢?罗素悖论是一个无穷延伸的循环问题。
它暗示了自指的悖论的存在。
这个悖论引发了对自我参照的问题。
7. 斯塔克悖论:这个陈述是假的。
斯塔克悖论是一个真假陈述的悖论。
如果这个陈述是真的,那么它就是假的,反之亦然。
这个悖论强调了陈述的真实性和逻辑的自洽性之间的一种矛盾。
一、单项选择题1、古代美索不达米亚的数学成就主要体现在(A )A.代数学领域B.几何学领域C。
三角学领域 D.解方程领域2、建立新比例理论的古希腊数学家是( C)A。
毕达哥拉斯B。
希帕苏斯C。
欧多克斯 D.阿基米德3、我国古代关于求解一次同余式组的方法被西方称作“中国剩余定理”,这一方法的首创者是(D)A.贾宪 B。
刘徽C.朱世杰D.秦九韶4、下列著作中,为印度数学家马哈维拉所著的是( B)A。
《圆锥曲线论》B。
《计算方法纲要》C.《算经》D.《算法本源》5、在射影几何的诞生过程中,对于透视画法所产生的问题从数学上直接给予解答的第一个人是( C)A。
达·芬奇B。
笛卡儿C。
德沙格 D.牛顿6、提出行星运行三大定律的数学家是(D )A。
牛顿 B.笛卡儿C.伽利略D.开普勒7、欧拉从事科学研究工作的地方,主要是( B)A。
瑞士科学院B。
俄国圣彼得堡科学院C.法国科学院D.英国皇家科学院8、《几何基础》的作者是(C)A.高斯 B。
罗巴契夫斯基C。
希尔伯特 D.欧几里得9、提出“集合论悖论”的数学家罗素是(A)A。
英国数学家 B.法国数学家C.德国数学家D。
巴西数学家10、运筹学原意为“作战研究”,其策源地是(A )A。
英国 B.法国C.德国D.美国11、数学的第一次危机,推动了数学的发展。
导致产生了( A )A欧几里得几何 B非欧几里得几何 C微积分 D集合论12、世界上第一个把π计算到3。
11415926 <π〈3.1415927的数学家是(祖冲之)13、我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( C )A秦九韶 B杨辉 C朱世杰 D贾宪14、变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。
这个函数定义在18世纪后期占据了统治地位,给出这个函数定义的数学家是( C )A莱布尼茨 B约翰贝努利 C欧拉 D狄利克雷15、几何原本的作者是(欧几里得)16、世界上讲述方程最早的著作是(中国的九章算术)17、就微分学与积分学的起源而言( A )A积分早于微分 B微分早于积分 C积分与微分同时期 D不确定18、在现存的中国古代数学著作中,最早的一部是(周脾算经)19、中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是(三国时期的赵爽)20、发现不可公度量的是(毕达哥拉斯学派)二、填空题1.人类关于数概念的认识大致经历过(身体指代、集合指代、刻痕记事、语言表达、科学记数)等五个阶段。
罗素集合论悖论罗素集合论悖论,又称为罗素悖论或罗素悖论悖论,是数理逻辑领域中的一个重要悖论,由英国哲学家、数学家罗素在1901年提出。
该悖论揭示了集合论的一个内在矛盾,引发了对集合论基础的深刻反思,并对数学逻辑的发展产生了深远影响。
我们需要了解集合论的基本概念。
在数学中,集合是由一些确定的对象构成的整体。
集合论的基本假设是:对于任意给定的条件,都存在一个集合,包含满足该条件的所有对象。
然而,罗素集合论悖论却以一种巧妙的方式否定了这个假设。
罗素集合论悖论的表述如下:考虑一个集合R,该集合包含所有不属于自己的集合。
换句话说,R是一个特殊的集合,其中只包含那些不包含自己的集合。
接下来,我们思考这样一个问题:R是否包含自己?如果R包含自己,根据R的定义,它不应该包含自己;而如果R不包含自己,那么根据R的定义,它应该包含自己。
这样的矛盾使得罗素集合论悖论成为了一个无解的问题。
罗素集合论悖论的重要性在于它揭示了集合论的自指问题。
自指是指一个概念引用了自己的情况。
在罗素集合论悖论中,集合R引用了自己,导致了矛盾的产生。
为了解决这个悖论,数学家们提出了多种方法。
其中一种方法是限制集合的形成条件,即不允许引用自身的集合。
这种方法被称为限制公理,它排除了类似于罗素集合论悖论的自指问题,从而确保了集合论的一致性。
另一种方法是引入层次集合论。
层次集合论的基本思想是将集合分层,每一层只包含前一层的子集。
通过这种方式,集合的自指问题被有效地规避,从而避免了悖论的出现。
罗素集合论悖论的出现对于数学逻辑的发展产生了深远的影响。
它促使数学家们重新审视了集合论的基础,提出了一系列新的公理系统,如ZF集合论和GB集合论,以解决集合论的悖论。
这些公理系统成为了现代数学的基石,为数学家们提供了一个严密而一致的工具。
除了对数学的影响外,罗素集合论悖论还引发了对哲学和认识论的思考。
它挑战了人们对于集合的直觉认识,使得人们对于集合的本质和定义产生了更深入的思考。
集合论中的悖论所谓悖论就是逻辑矛盾:如果假定语句所指为真,那么会推出语句所指为假;反之,如果假定语句所指为假,又会推出语句所指为真。
真是说它对也不是,不对也不是,让人左右为难。
古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考,因此悖论的解决往往可以给人带来全新的观念,从而悖论的出现和解决往往成为数学发展的一种内在动力。
1) 理发师悖论:在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。
”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。
因为这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人。
有言在先,他应该给自己理发。
反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己理发的人理发,他不能给自己理发。
因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾。
这个悖论是罗素给出的对一九○二年提出来的集合论悖论——“罗素悖论”所作的一个通俗的、有故事情节的表述。
2)由“自指”引发的悖论:有人说“我在说慌”。
如果他在说谎,那么“我在说谎”就是一个谎,因此他说的是实话;但是如果这是实话,他又在说谎。
矛盾不可避免。
它的一个翻版是:“这句话是错的”。
这类悖论的一个标准形式是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则推导出A,这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。
3)集合论悖论——“罗素悖论”:“R是所有不包含自身的集合的集合。
”这是罗素(B. Russell)由于怀疑数学基础的严密性,于1902年找到的悖论。
用集合的描述性定义方式可定义为R={S|S∉S}。
于是就产生了这样的逻辑矛盾:若R包含R本身,则根据R的定义,R∉R,即R不属于R。
若R不包含R本身,即R∉R,则根据R的定义,R∈R,即R包含R。
4)书目悖论:一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。
哲学中常见的十大悖论哲学中有许多悖论,那么比较常见的悖论都有哪些呢?以下列举十个常见的悖论,供您参考。
1、赫拉克利特的悖论:悖论内容:赫拉克利特认为一切都在不断变化,但他同时也提出了“人不能踏入同一条河流两次”这一观点,即认为河流是不变的。
这个悖论揭示了存在变与不变的矛盾,并引发了对于变与恒的哲学思考。
2、康德的反射悖论:悖论内容:康德认为,我们无法通过理性思考来认识自身的理性能力,因为我们的理性能力正是用于进行理性思考的。
这个悖论暗示了我们对于自身认知的局限性,以及理性思考的边界。
3、贝利塔的悖论:悖论内容:贝利塔悖论是集合论中的一个悖论,指的是一个集合既不属于自身,也不不属于自身。
这个悖论揭示了集合论中的一些逻辑矛盾,对于集合的定义和性质提出了挑战。
4、肯特悖论:悖论内容:肯特悖论指的是一个陈述既不能被证明为真,也不能被证明为假。
这个悖论暗示了陈述和证明之间的复杂关系,以及我们对于真理和证明的认知局限。
5、孔子的悖论:悖论内容:孔子曾说“我知道我什么都不知道”,这表明他意识到自己的无知,但同时他也知道自己的无知。
这个悖论揭示了人类对于知识和无知的认知困境,以及对于认知能力的反思。
6、彭罗斯悖论:悖论内容:彭罗斯悖论是一个关于真理和谬误的悖论,指的是一个陈述既不能被证明为真,也不能被证明为谬误。
这个悖论挑战了真理的定义和确定性,引发了对于真理和知识的思考。
7、狄尔斯悖论:悖论内容:狄尔斯悖论是一个关于自指的悖论,指的是一个陈述既不能被证明为真,也不能被证明为假。
这个悖论揭示了自指陈述的复杂性,对于逻辑和语言的理解提出了挑战。
8、神谕悖论:悖论内容:神谕悖论是一个关于预言的悖论,指的是一个预言的内容既不能发生,也不能不发生。
这个悖论对于预言和命运的解释提出了疑问,引发了对于自由意志和确定性的讨论。
9、隐形狮子悖论:悖论内容:隐形狮子悖论是一个关于存在性的悖论,指的是一个隐形狮子既存在,也不存在。
哲学史上最著名的10个悖论1.电车难题电车难题是伦理学领域最为知名的思想实验之一,其内容大致是:一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。
一辆失控的电车朝他们驶来,并且片刻后就要碾压到他们。
幸运的是,你可以拉一个拉杆,让电车开到另一条轨道上。
但是还有一个问题,那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。
考虑以上状况,你应该拉拉杆吗?电车难题最早是由哲学家Philippa Foot提出的,用来批判伦理哲学中的主要理论,特别是功利主义。
功利主义提出的观点是,大部分道德决策都是根据“为最多的人提供最大的利益”的原则做出的。
从一个功利主义者的观点来看,明显的选择应该是拉拉杆,拯救五个人只杀死一个人。
但是功利主义的批判者认为,一旦拉了拉杆,你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。
然而,其他人认为,你身处这种状况下就要求你要有所作为,你的不作为将会是同等的不道德。
总之,不存在完全的道德行为,这就是重点所在。
许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则,并且还存在着没有完全道德做法的情况。
2.缸中之脑缸中之脑假想:一个人被邪恶科学家施行了手术(这个人可能就是你),他的脑被从身体上切了下来,放进一个盛有维持脑存活营养液的缸中。
脑的神经末梢连接在计算机上,这台计算机按照程序向脑传送信息,以使他保持一切完全正常的幻觉。
对于他来说,似乎人、物体、天空还都存在,自身的运动、身体感觉都可以输入。
这个脑还可以被输入或截取记忆(截取掉大脑手术的记忆,然后输入他可能经历的各种环境、日常生活)。
他甚至可以被输入代码,“感觉”到他自己正在这里阅读一段有趣而荒唐的文字。
那么问题来了:你如何担保你自己不是在这种困境之中?缸中之脑最初是被Edmund Gettier用来批判主流上作为知识的定义的JTB(justified true belief)理论,即当人们相信一件事时,它就成为了知识;这件事在事实上是真的,并且人们有可以验证的理由相信它。
295第九章 集合论悖论9.1 集合论悖论将集合定义为任何一堆东西的总体,不但不精确(所以严格地说根本不是定义),而且还会产生矛盾,这就是形形色色的集合论悖论。
最主要的有序数悖论、基数悖论和Russell 悖论。
序数悖论 令Ord 是全体序数的集合,由定理5.3.12得存在序数α,使得任给β∈Ord ,都有α>β,所以α∉Ord ,但由α是序数得α∈Ord ,矛盾。
基数悖论 令V 是全体集合的集合,令A = ∪V ,则 任给集合X ∈V ,都有X ⊆ A ,所以对于集合P (A )∈V ,也有P (A ) ⊆ A ,所以| P (A ) | ≤ | A |,但由Canton 定理(定理4.4.1)得| P (A ) | > | A |矛盾。
Russell 悖论 Russell 将集合分成两类,自身是自身的元素的集合(即满足X ∈X 的集合X )称为第一类集合,自身不是自身的元296素的集合(即满足X ∉X 的集合X )称为第二类集合。
全体第二类集合的集合是哪一类呢?如果它是第一类的,则由第一类集合的定义,它就是它自身的元素,而它的元素都是第二类的,所以它是第二类的。
如果它是第二类的,则因为第二类的集合都是它的元素,所以它就是它自身的元素,由第一类集合的定义,它是第一类的。
用形式的方法可以更简单地叙述Russell 悖论,令Rus = {X | X 是集合且X ∉X },则任给集合X ,都有X ∈Rus 当且仅当X ∉X ,所以对于集合Rus 也有Rus ∈Rus 当且仅当Rus ∉Rus ,这就是矛盾。
Russell 悖论是集合论中最著名的悖论。
虽然序数悖论和基数悖论发现较早,但因为它们涉及到序数、基数等概念,人们往往倾向于认为问题出在那些概念上,而不是集合概念本身。
Russell 悖论只涉及到集合和属于关系,它的发现使人们认识到问题确实出在集合概念本身。
因为当时Peano 和Fregs 已经将数学建立在集合的基础上,所以集合论出现的问题对整个数学产生了巨大的影响。
Fregs 的话可以代表这种巨大影响的力量,Fregs 在接到Russell 告诉他Russell 悖论的信后曾说:“在工作结束之后而发现那大厦的基础已经动摇,对于一个科学工作者来说,没有比这更为不幸的了。
”集合论悖论产生的根源在哪里呢?如何解决呢?以Brouwer 为代表的直觉主义认为问题出在无限集合,他们从直觉主义哲学观出发,认为数学是一个创造过程,只能接受越来越大的有限集合,而不能接受无限集合。
以自然数为例,只能承认有越来越大的自然数,因此任何时候只能有自然数的有限集合,而不能承认有全体自然数这样一个无限集合。
297按直觉主义的数学观,有相当一部分古典数学不能被承认,能够承认的部分也弄得非常复杂,所以他们的主张很难被数学界所接受。
但他们的主张和观点对现代逻辑的发展起了重要作用。
Russell 和其他一些人认为集合论悖论产生的原因在于所谓的“恶性循环”,“恶性循环”是指一个集合中某些元素的定义中用到了这个集合本身,每个集合论悖论中都有这样的定义存在。
为此Russell 根据排除“恶性循环”的原则,提出了类型论。
类型论的主要思想是将集合论讨论的对象分成不同的类型,只允许相同的类型的元素组成集合。
作为解决悖论,类型论是漂亮的。
但由于它过于复杂,作为数学基础并不合适,而且为了推出全部数学,还必须引进很有争议的可化归公理。
不过它在现在逻辑中仍有重要的地位。
排除“恶性循环”的主张过于激烈,因为大多数这样的定义并不产生矛盾。
在Cantor 定理的证明中,在数学一些基本概念的定义中,都有“恶性循环”,要把这些证明和定义全部改成没有“恶性循环”的证明和定义,不但相当复杂而且有些是做不到的。
实际上,类型论也没有排除所有的“恶性循环”。
另一解决集合论悖论的方案是公理集合论。
它的最早的倡导者Zermelo 认为,由于集合论悖论,直观的集合概念必须加以限制,但没有一种有效的限制方法,所以应该采取相反的方法。
公理集合论是采用不加定义的集合的概念,用公理来确定哪些东西是集合,也用公理来确定集合有哪些性质。
要求这些公理的范围足够窄,以保证不产生悖论,又要求这些公理的范围足够宽,能容纳全部数学。
现在用得最多的是由Zermelo 提出的,经过Fraenkel 和Skolorn 修改的ZFC 系统(或没有选择公理的ZF 系统)。
ZFC 中只有一个初始概念——集合。
另一个常用的是由V on Neumann 提出的,经过Gödel 和Bernays 修改的NGB 系统。
在NGB 中作了类和集合的区分,允298许许多不是集合的类的存在,如全体集合的类V ,全体基数的类Card 和全体序数的类Ord ,等等。
V on Neumann 指出,悖论产生的原因并不在于承认这些类,而在于将这些类当作集合。
只要不将这些类当作集合,就不会产生悖论。
如果不允许这些类的存在,就会丢掉很多有用的数学手段。
这两个系统本质上是一样的,它们关于集合的限制也是相同的,从而有相同的关于集合的定理。
将直观的集合概念作类和集合的区别,仍然可以在直观的背景上进行,用直观和素朴的观点对待类和集合,可以在素朴集合论中避免已经发现的那些悖论。
用直观和素朴的观点,通过类和集合的区别来讨论集合论悖论,肯定是不深刻的,也不是集合论悖论的解决方案。
通过类和集合的差异来说明集合论悖论,是作者的一种尝试,在这里仅仅是简单的介绍,没有详细和严格的论证。
这样一种思路,目的是抛砖引玉,以求促进人们进一步地思考和探讨集合论和集合论悖论。
习题9.19.1.1 证明:从全体基数的集合Card 能够推出矛盾。
9.1.2 A 是集合,如果任给n ∈N ,存在集合A n ,使得A 0 = A 且任给n ∈N ,都有A n +1∈A n ,则称A 是奇异集合,不是奇异集合的集合称为正则集合。
证明:(1) 如果A ∈A ,则A 是奇异集合。
(2) 如果A 是奇异集合,则存在集合B ∈A ,使得B 是奇异集合。
(3) 从全体正则集合的集合Reg 能够推出矛盾。
2999.2 类 和 集 合原来说一堆东西的总体是一个集合。
在应用集合的概念时,我们实际上总是假定有一堆东西,就有一堆东西的总体。
正是由于这个没有指出的假定,我们才得到了全体集合的集合V ,全体基数的集合Card 和全体序数的集合Ord 等产生悖论的集合。
这些悖论的发现使我们认识到上述假定是不对的,我们必须将一堆东西和一堆东西的总体加以区别。
类 任何一堆东西称为一个类,类没有任何限制。
集合 如果一堆东西的总体存在,则称这堆东西是一个集合。
在这种情况下,可以将这堆东西和这堆东西的总体看作等同的。
真类 不是集合的类称为真类。
集合论悖论说明了真类是存在的。
实际上,从区分类和集合的角度,每个集合论悖论都可以看作是用反证法证明了所构造的类不是集合。
例如,在Russell 悖论证明中,Rus = {X | X 是集合且X ∉X }是一个类,既然从Rus 是集合推出矛盾,就说明了Rus 不是集合。
类似地,从习题9.1.2可以证明全体正则集合的类Reg 不是集合。
如果一堆东西的总体存在,则它就是一个东西,就可以和其它东西一起构成类,从而可以成为其它类的一个元素。
如果一堆东西的总体不存在,则它只能是一堆东西而不能是一个东西,从而不能成为其它类的一个元素。
所以,集合就是可以作为其它类的元素的类,真类就是不可以作为其它类的元素的类,可以用属于关系将它们严格定义如下:9.2.1 定义 集合和真类 A 是一个类,如果存在类B ,使得A ∈B ,则称A 是一个集合。
如果不存在类B ,使得A ∈B ,300则称A 是一个真类。
一堆东西的总体存在,也就是说可以从整体把握这堆东西。
真类的存在告诉我们,有的一堆东西,虽然其中每一个我们都能够认识,但我们无法从总体上把握这堆东西。
前面对于集合的讨论中,极大部分只用到集合作为一堆东西的性质,而不需要假定这堆东西的总体存在,这样的讨论在类上也是成立的。
9.2.2 定义 子类 A 和B 都是类,如果任给x ,从x ∈B 得到x ∈A ,则称B 是A 的子类,也称B 包含于A ,记为B ⊆ A 。
9.2.3 定义 类的运算 A 和B 都是类,A ∩B = {x | x ∈A 且x ∈B }, A ∪B = {x | x ∈A 或x ∈B }, A \B = {x | x ∈A 且x ∉B },分别称为A 和B 的交、A 和B 并、A 和B 差。
前面讨论的关于集合运算的大多数性质对于类的运算也是成立的,如交换律、结合律、吸收律、幂等律、分配律、De −Morgan 律(参见定理1.3.9和1.4.5),类运算和子类的关系(参见定理1.3.7和1.4.4)等。
每个元素都是集合的非空类称为集合族,这个集合族的定义和以前稍有差别。
9.2.4 定义 集合族的交和并 Γ是集合族,∩Γ = {x |任给X ∈Γ,都有x ∈X },∪Γ = {x |存在X ∈Γ,使得x ∈X },分别称为Γ的交和Γ的并。
前面讨论的关于集合族的交和并的大多数性质现在仍然成立,如结合律、分配律、De −Morgan 律(参见定理1.5.11),集合族的交和并和子类的关系(参见定理1.5.10)等。
下面定义卡氏积和关系,为了简单起见,我们使用有序对的301集合表示法。
有序对<x , y > = {{x }, {x , y }},所以必须认为两个元素的类(无序对)是集合,才能定义卡氏积和关系。
两个元素的类是集合应该是没有问题的。
9.2.5 定义 卡氏积 A 和B 是两个类,类{<x , y > | x ∈A 且y ∈B }称为A 和B 的卡氏积,记为A ×B 。
前面讨论的关于集合卡氏积的大多数性质对于类的卡氏积也是成立的,如卡氏积的对于交、并、差的分配律(参见定理1.6.4),类的卡氏积和子类的关系(参见定理1.6.3)等。
9.2.6 定义 关系 有序对的类称为关系。
R 是关系,可以定义R 的定义域dom(R ) = {x | 存在y ,使得<x , y >∈R },和R 的值域ran(R ) = {y | 存在x ,使得<x , y >∈R }。
同样有R ⊆ dom(R )×ran(R )。
R 和Q 是关系,可以定义R 的逆R −1 = {<x , y > | <y , x >∈R },和R 与Q 的复合Q °R = {<x , y > | 存在z ,使得<x , z >∈R 且<z , y >∈Q }。