最短路径Floyd算法动态规划问题及其程序设计样本

动态规划1．最短路线问题解（1）：将上图该画成下图：记a （1,2）=4，a(1,3)=5，依次类推，表示每个点和值的关系。

逆序递推方程：⎪⎩⎪⎨⎧==+++=0)6(61,2,3,4,5)}1(1),({min )(s f k k s k f k u k s k d k uk s k fAB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 8 7 75845348435 6 2 314 31234 5 6 789 101112134523 6 8 7 7584534 8435 6 2 314 3如图各状态：逆序递推，找出上一个状态到下一阶段的最小路径值。

例如，当K=4时，状态 它们到F 点需经过中途 点E ，需一一分析从E 到 F 的最短路：先说从D1到F 的最短路 有两种选择：经过 E1, E2, 比较最短。

这说明由 D1 到F 的最短距离为7，其路径为AB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1 D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 87 75845348435 62 31 4 3第1阶段 第2阶段 第3阶段 第4阶段 第5阶段状态 1状态 2状态3状态 4状态 5状态 6)}(),(),(),(m in{)(252141511414E f E D d E f E D d D f ++=.7}35,43min{=++=.11F E D →→},,{3214D D D S =a=[0,4,5,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 4,0,inf,2,3,6,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 5,inf,0,inf,8,7,7,inf,inf,inf,inf,inf,inf inf,2,inf,0,inf,inf,inf,5,8,inf,inf,inf,inf inf,3,8,inf,0,inf,inf,4,5,inf,inf,inf,inf inf,6,7,inf,inf,0,inf,inf,3,4,inf,inf,inf inf,inf,7,inf,inf,inf,0,inf,8,4,inf,inf,inf inf,inf,5,4,inf,inf,inf,0,inf,inf,3,5,inf inf,inf,inf,8,5,3,8,inf,0,inf,6,2,inf inf,inf,inf,inf,inf,4,4,inf,inf,0,1,3,inf inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,3,6,1,0,inf,4 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,5,2,3,inf,0,3 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,4,3,0]; s8=min(a(8,11)+a(11,13),a(8,12)+a(12,13)); s9=min(a(9,11)+a(11,13),a(9,12)+a(12,13)); s10=min(a(10,11)+a(11,13),a(10,12)+a(12,13)); s4=min(a(4,8)+s8,a(4,9)+s9); s5=min(a(5,8)+s8,a(5,9)+s9); s6=min(a(6,9)+s9,a(6,10)+s10); s7=min(a(7,9)+s9,a(7,10)+s10); s2=[a(2,4)+s4,a(2,5)+s5,a(2,6)+s6]; s2=min(s2);s3=[a(3,5)+s5,a(3,6)+s6,a(3,7)+s7]; s3=min(s3);s1=min(a(1,2)+s2,a(1,3)+s3)运行结果为：s8 = 7 s9 = 5 s10 = 5 s4 = 12 s5 = 10 s6 = 8 s7 = 9 s2 =13s3 = 15 s1 = 17结果分析：s 表示每个点到终点的最短距离，那么最短路程为17。

floyd算法的例题讲解Floyd算法，也称为Floyd-Warshall算法，是一种用于解决所有点对最短路径问题的动态规划算法。

它能够找出图中任意两个节点之间的最短路径，并计算出最短路径的长度。

下面以一个具体的例题来讲解Floyd算法的应用。

假设我们有一个带权有向图，表示城市之间的道路网络，图中的节点表示城市，边上的权重表示两个城市之间的距离。

我们的目标是找出任意两个城市之间的最短路径。

给定以下带权有向图的邻接矩阵表示：A B C DA 0 3 ∞7B ∞0 2 ∞C 5 ∞0 1D ∞∞12 0其中，∞表示两个城市之间没有直接的道路连接。

我们可以使用Floyd算法来解决这个问题。

首先，我们初始化一个与邻接矩阵相同的矩阵，称为距离矩阵。

初始时，距离矩阵的值等于邻接矩阵的值。

接下来，我们使用三重循环来逐步更新距离矩阵的值。

循环变量k表示中转节点，i和j 表示起点和终点。

具体的算法步骤如下：对于每对节点i和j，如果存在中转节点k，尝试更新距离矩阵的值：dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])。

重复执行步骤1，直到遍历完所有的节点对(i, j)和中转节点k。

按照上述算法步骤，我们来计算最短路径的距离矩阵。

初始时，距离矩阵与邻接矩阵相同。

对于k = A：更新dist[A][B] = min(dist[A][B], dist[A][A] + dist[A][B]) = min(∞, 0 + 3) = 3。

更新dist[A][C] = min(dist[A][C], dist[A][A] + dist[A][C]) = min(∞, 0 + ∞) = ∞。

更新dist[A][D] = min(dist[A][D], dist[A][A] + dist[A][D]) = min(∞, 0 + 7) = 7。

对于k = B：更新dist[B][A] = min(dist[B][A], dist[B][B] + dist[B][A]) = min(∞, 0 + ∞) = ∞。

引言在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里求出任意两个节点之间的最短距离。

当节点之间的权值是正值的时候，我们可以采用Dijkstra算法，用贪心策略加于解决。

但当节点之间的权值有负数的时候，Dijkstra就行不通了，这里介绍另外一种算法—Floyd最短路径算法。

对于任意图，选择存储结构存储图并实现FLOYD算法求解最短路经。

将问题分解，分解为两方面。

一是对于任意图的存储问题，第二个是实现FLOYD算法求解最短路经。

首先对于图的创建选择合适的存储结构进行存储，对于合适的存储结构可以简化程序。

本实验采用邻接矩阵存储。

然后是实现FLOYD算法求解最短路经，在FLOYD算法中路径的长度即是图中两定点间边的权值，FLOYD算法要求输出任意两个顶点间的最短路径，而且经过的顶点也要输出。

考虑到问题的特殊性，采用一个二维数组和一个三维数组进行存储。

二维数组存储最短路径，三维数组存储路径经过的顶点，在进行适当的算法后对这两个数组进行输出即可。

通过问题的分解，逐个解决，事先所要求的程序。

最短路径算法问题是计算机科学、运筹学、地理信息系统和交通诱导、导航系统等领域研究的一个热点。

传统的最短路径算法主要有Floyd算法和Dijkstra算法。

Floyd算法用于计算所有结点之间的最短路径。

Dijkstra算法则用于计算一个结点到其他所有结点的最短路径。

Dijkstra算法是已经证明的能得出最短路径的最优解，但它的效率是一个很大的问题。

对于具有n个结点的一个图，计算一个结点到图中其余结点最短路径的算法时间复杂度为O(n2)。

对于一座大中型城市，地理结点数目可能达到几万个到几十万个，计算最短路径的时间开销将是非常巨大的。

本文根据吴一民老师的建议，分析当前存在的各种求最短路径的算法，提出一种新的基于层次图的最短路径算法，即将一个平面图划分若干子图，子图抽象为一个高层图。

最短路径的计算首先在高层图中进行，缩小了最短路径的查找范围，降低了最短路径计算的时间开销。

Floyd最短路径算法在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里，求出任意两个节点之间的最短距离。

我们在离散数学、数据结构课上都遇到过这个问题，在计算机网络里介绍网络层的时候好像也遇到过这个问题，记不请了... 但是书本上一律采取的是Dijkstra算法，通过Dijkstra算法可以求出单源最短路径，然后逐个节点利用Dijkstra算法就可以了。

不过在这里想换换口味，采取Robert Floyd提出的算法来解决这个问题。

下面让我们先把问题稍微的形式化一下：如果有一个矩阵D=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距离。

若i与j之间无路可通，那么d(ij)就是无穷大。

又有d(ii)=0。

编写一个程序，通过这个距离矩阵D，把任意两个城市之间的最短与其行径的路径找出来。

我们可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。

如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d (kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。

所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。

重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。

所以我们就可以用三个for循环把问题搞定了，但是有一个问题需要注意，那就是for循环的嵌套的顺序：我们可能随手就会写出这样的程序，但是仔细考虑的话，会发现是有问题的。

for(int i=0; i<n; i++)for(int j=0; j<n; j++)for(int k=0; k<n; k++)问题出在我们太早的把i-k-j的距离确定下来了，假设一旦找到了i-p-j最短的距离后，i到j就相当处理完了，以后不会在改变了，一旦以后有使i到j的更短的距离时也不能再去更新了，所以结果一定是不对的。

摘要现实生活中许多实际问题的解决依赖于最短路径的应用,其中比较常用的是floyd算法.通过floyd算法使最短路径问题变得简单化。

采用图的邻接矩阵或邻接表实现最短路径问题中图的存储。

采用Visual C++6.0的控制台工程和MFC工程分别实现基于floyd 算法求最短路径的应用.关键词:最短路径；floyd算法;邻接矩阵；MFC工程目录1需求分析 (1)2算法基本原理 (1)2。

1邻接矩阵 (1)2.2弗洛伊德算法 (2)3类设计 (3)3.1类的概述 (3)3。

2类的接口设计 (3)3.3类的实现 (4)4基于控制台的应用程序 (7)4.1主函数设计 (7)4.2运行结果及分析 (8)5基于MFC的应用程序 (9)5。

1图形界面设计 (9)5。

1程序代码设计 (11)5。

3运行结果及分析 (20)结论 (22)参考文献 (23)1需求分析Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法.该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

假若要在计算机上建立一个交通咨询系统则可以采用图的结构来表示实际的交通网络。

这个资讯系统可以回答游客提出的各种问题.例如，一位旅客要从A城到B城，他希望选择一条途中中转次数最少的路线。

假设图中每一站都需要换车，则这个问题反映到图上就是要找一条从顶点A到B所含边的数目最少的路径。

我们只需从顶点A出发对图作广度优先搜索，一旦遇到顶点B就终止。

由此所得广度优先生成树上，从根顶点A到顶点B的路径就是中转次数最少的路径，路径上A与B之间的顶点就是途径中的中转站数.但是这只是一类最简单的图的最短路径的问题。

有时对于旅客来说,可能更关心的是节省交通费用；对于司机来说里程和速度则是他们感兴趣的信息。

为了在图上标示有关信息可对边赋以权的值，权的值表示两城市间的距离,或图中所需时间，或交通费用等等。

Floyd最短路径算法Floyd最短路径算法2006-10-20, by leon_jlu 在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里，求出任意两个节点之间的最短距离。

我们在离散数学、数据结构课上都遇到过这个问题，在计算机网络里介绍网络层的时候好像也遇到过这个问题，记不请了... 但是书本上一律采取的是Dijkstra算法，通过Dijkstra算法可以求出单源最短路径，然后逐个节点利用Dijkstra算法就可以了。

不过在这里想换换口味，采取Robert Floyd提出的算法来解决这个问题。

下面让我们先把问题稍微的形式化一下：如果有一个矩阵D=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距离。

若i与j之间无路可通，那么d(ij)就是无穷大。

又有d(ii)=0。

编写一个程序，通过这个距离矩阵D，把任意两个城市之间的最短与其行径的路径找出来。

我们可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。

如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。

所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k 再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。

重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。

所以我们就可以用三个for循环把问题搞定了，但是有一个问题需要注意，那就是for循环的嵌套的顺序：我们可能随手就会写出这样的程序，但是仔细考虑的话，会发现是有问题的。

oi算法模板OI（竞赛信息学）是指竞赛化的信息学学科，通过算法设计和程序编写的方式，解决实际问题。

在OI竞赛中，掌握一些常用的算法模板是非常重要的，因为这些模板可以帮助选手快速解决问题，提高编程效率。

下面是一些常用的OI算法模板，供参考：1. 排序算法模板：- 冒泡排序：依次比较相邻元素，交换位置直到队列有序；- 快速排序：选择一个基准元素，将小于基准的元素置于其左侧，大于基准的元素置于其右侧，再对两侧递归进行快速排序；- 归并排序：将待排序队列划分成两个子队列，对子队列进行排序后再合并。

2. 图论算法模板：- 最短路径算法：例如Dijkstra算法和Floyd算法，分别用于求解单源最短路径和多源最短路径问题；- 最小生成树算法：例如Prim算法和Kruskal算法，分别用于求解无向图的最小生成树问题；- 拓扑排序：用于有向无环图中，将所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u、v满足u在v之前。

3. 动态规划算法模板：- 01背包问题：给定n件物品，每件物品的重量为w，价值为v，背包的容量为C，求解背包可以装入的物品的最大总价值；- 最长公共子序列（LCS）：给定两个序列X和Y，求解X和Y的最长公共子序列的长度；- 最长递增子序列（LIS）：给定一个序列A，求解A的最长递增子序列的长度。

4. 字符串算法模板：- KMP算法：用于在一个文本串S中查找一个模式串P的出现位置，时间复杂度为O(n+m)；- Manacher算法：用于求解一个字符串中的最长回文子串，时间复杂度为O(n)；- Trie树：一种用于高效存储和搜索大量字符串的数据结构，常用于字符串匹配问题。

除了以上介绍的算法模板，还有许多其他常用的算法模板，如最大流算法、二叉树遍历算法、并查集算法等。

选手可以根据题目的要求和具体情况选择合适的算法模板来解决问题。

对于OI算法模板的学习和掌握，建议选手进行一些练习和实战。

可以参加一些在线的编程资源和平台，如Codeforces、AtCoder和LeetCode等，通过参加竞赛和练习题来提高自己的算法能力。

弗洛伊德(Floyd)算法是一种用于求解图中最短路径的经典算法，它可以有效地找到图中任意两点之间的最短路径。

本文将以一道例题为基础，从问题描述、算法原理、算法实现、以及时间复杂度等方面，全面地介绍弗洛伊德算法。

1. 问题描述假设有一个带权重的有向图，点集为V={1,2,...,n}，边集为E，每条边的权重由权重函数w(u,v)表示，表示从顶点u到顶点v的权重。

现在需要求解出从任意一点到任意一点的最短路径。

2. 算法原理弗洛伊德算法是一种动态规划算法，它利用一个二维数组来存储任意两点之间的最短路径长度。

具体而言，设D(k,i,j)为从i到j的路径中，只经过1至k点作为中间顶点的最短路径长度，则弗洛伊德算法的递推关系式如下：D(0,i,j) = w(i,j) //当k=0时，即不经过任何中间顶点，最短路径即为边的权重D(k,i,j) = min{D(k-1,i,j), D(k-1,i,k) + D(k-1,k,j)} //当k>0时，考虑是否经过点k，取最小值作为最短路径的长度3. 算法实现下面我们以具体的例子来说明弗洛伊德算法的实现过程。

假设有一个带权重的有向图，如下所示：11 / \ 3/ \2----5----3\ /2 \ / 44则这个图的邻接矩阵表示如下：0 1 2 30 0 1 ∞ 31 1 0 5 ∞2 ∞ 2 0 43 3 ∞4 0则我们可以利用弗洛伊德算法来求解任意两点之间的最短路径。

4. 时间复杂度弗洛伊德算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为图中顶点的个数。

具体而言，弗洛伊德算法的时间复杂度由三层循环控制，分别为遍历中间顶点、遍历起点和终点，因此总的时间复杂度为O(n^3)。

5. 总结通过本文的介绍，我们对弗洛伊德算法有了一个全面的了解。

弗洛伊德算法是一种经典的求解最短路径的算法，它可以高效地求解出任意两点之间的最短路径。

在实际的应用中，我们可以利用弗洛伊德算法来解决各种实际问题，如交通网络规划、通信网络优化等。

最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法1、单源点的最短路径问题：给定带权有向图G和源点v，求从v到G中其余各顶点的最短路径。

我们⽤⼀个例⼦来具体说明迪杰斯特拉算法的流程。

定义源点为 0，dist[i]为源点 0 到顶点 i 的最短路径。

其过程描述如下：步骤dist[1]dist[2]dist[3]dist[4]已找到的集合第 1 步812+∞{2}第 2 步8×24{2, 3}第 3 步5××4{2, 3, 4}第 4 步5×××{2, 3, 4, 1}第 5 步××××{2, 3, 4, 1}第 1 步：从源点 0 开始，找到与其邻接的点：1，2，3，更新dist[]数组，因 0 不与 4 邻接，故dist[4]为正⽆穷。

在dist[]中找到最⼩值，其顶点为 2，即此时已找到 0 到 2 的最短路。

第 2 步：从 2 开始，继续更新dist[]数组：2 与 1 不邻接，不更新；2 与 3 邻接，因0→2→3⽐dist[3]⼤，故不更新dist[3]；2 与 4 邻接，因0→2→4⽐dist[4]⼩，故更新dist[4]为 4。

在dist[]中找到最⼩值，其顶点为 3，即此时⼜找到 0 到 3 的最短路。

第 3 步：从 3 开始，继续更新dist[]数组：3 与 1 邻接，因0→3→1⽐dist[1]⼩，更新dist[1]为 5；3 与 4 邻接，因0→3→4⽐dist[4]⼤，故不更新。

在dist[]中找到最⼩值，其顶点为 4，即此时⼜找到 0 到 4 的最短路。

第 4 步：从 4 开始，继续更新dist[]数组：4 与 1 不邻接，不更新。

在dist[]中找到最⼩值，其顶点为 1，即此时⼜找到 0 到 1 的最短路。

第 5 步：所有点都已找到，停⽌。

对于上述步骤，你可能存在以下的疑问：若 A 作为源点，与其邻接的只有 B，C，D 三点，其dist[]最⼩时顶点为 C，即就可以确定A→C为 A 到 C 的最短路。

Floyd算法解决全源最短路径问题Floyd算法是一种用于解决全源最短路径问题的图算法。

它能够计算出任意两点之间的最短路径距离，并且可以处理带有负权边的图。

本文将详细介绍Floyd算法的原理和应用，并给出一个实际案例以帮助读者更好地理解。

一、Floyd算法的原理Floyd算法基于动态规划的思想，通过逐步更新图中各顶点之间的最短路径距离来寻找全源最短路径。

其具体步骤如下：1. 初始化距离矩阵D，其中D[i][j]表示顶点i到顶点j的最短路径距离。

若存在直接连接的边，则将其权值作为距离；若没有直接连接的边，则将距离设为无穷大。

2. 对于每对顶点i和j，以及顶点k作为中间节点，如果从i到k再到j的路径距离比当前的最短路径距离小，则更新距离矩阵D[i][j]的值。

3. 重复以上步骤，直到距离矩阵D不再发生变化。

最终，距离矩阵D中的每个元素D[i][j]即为从顶点i到顶点j的最短路径距离。

二、Floyd算法的应用Floyd算法在实际中有着广泛的应用，例如路由选择、交通规划和网络优化等领域。

下面通过一个实例来说明Floyd算法的应用过程。

假设有一个城市间的交通网络，共有n个城市，每两个城市之间的距离用矩阵表示如下：|A B C---------------A |0 5 ∞B |2 0 3C |∞ 1 0其中∞代表两个城市之间没有直接连接的边。

我们需要通过Floyd算法计算出任意两点之间的最短路径距离。

初始化距离矩阵D如下：|A B C---------------A |0 5 ∞B |2 0 3C |∞ 1 0首先考虑顶点A和顶点B之间的最短路径，由于A和B之间存在直接连接的边，因此D[1][2]的值为5。

然后，将顶点C作为中间节点，检查从A到C再到B的路径是否比当前的最短路径更短，发现不是，所以D[1][2]的值保持不变。

接下来，我们依次考虑其他的顶点对，通过逐步更新距离矩阵D来计算最短路径距离。

经过多次迭代后，得到最终的距离矩阵D如下： |A B C---------------A |0 3 6B |2 0 3C |3 1 0最终的距离矩阵D表示每对顶点之间的最短路径距离，例如D[1][2]表示从顶点1（A）到顶点2（B）的最短路径距离为3。

每对顶点之间的最短路径计算赋权图中各对顶点之间最短路径，显然可以调用Dijkstra 算法。

具体方法是：每次以不同的顶点作为起点，用Dijkstra 算法求出从该起点到其余顶点的最短路径，反复执行n 次这样的操作，就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。

这种算法的时间复杂度为)(3n O 。

第二种解决这一问题的方法是由Floyd R W 提出的算法，称之为Floyd 算法。

假设图G 权的邻接矩阵为0A ，1112121222012n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 来存放各边长度，其中： 0=ii a 1,2,,i n =； ∞=ij a j i ,之间没有边，在程序中以各边都不可能达到的充分大的数代替； ij ij w a = ij w 是j i ,之间边的长度，,1,2,,i j n =。

对于无向图，0A 是对称矩阵，ji ij a a =。

Floyd 算法的基本思想是：递推产生一个矩阵序列01,,,,,k n A A A A ，其中),(j i A k 表示从顶点i v 到顶点j v 的路径上所经过的顶点序号不大于k 的最短路径长度。

计算时用迭代公式：)),(),(),,(m in(),(111j k A k i A j i A j i A k k k k ---+=k 是迭代次数，,,1,2,,i j k n =。

最后，当n k =时，n A 即是各顶点之间的最短通路值。

例 某公司在六个城市126,,,c c c 中有分公司，从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。

（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张任意两个城市间的票价最便宜的路线图。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞055252510550102025251001020402010015252015050102540500矩阵path 用来存放每对顶点之间最短路径上所经过的顶点的序号。

数据构造课程设计报告撰写要求〔一〕纸与页面要求1．采用国际标准A4型打印纸或复印纸，纵向打印。

2．封页和页面按照下面模板书写〔正文为：小四宋体1.5倍行距〕。

3．图表及图表标题按照模板中的表示书写。

〔二〕课设报告书的容应包括以下各个局部：〔按照以下顺序装订〕1.封页(见课设模版)2、学术诚信声明，所有学生必须本人签字，否那么教师拒绝给予成绩。

2.任务书(学生教师均要签字,信息填写完整)3.目录4.正文一般应包括以下容:〔1)题目介绍和功能要求〔或描述〕课程设计任务的详细描述(注意不能直接抄任务书),将容做更详细的具体的分析与描述；〔2) 系统功能模块构造图绘制系统功能构造框图及主要模块的功能说明；〔3)使用的数据构造的描述:数据构造设计及用法说明;〔4) 涉及到的函数的描述;〔5) 主要算法描述( 程序流程图)〔6) 给出程序测试/运行的结果设计多组数据加以描述〔包括输入数据和输出结果〕〔7) 课程设计的总结及体会〔8) 参考文献格式要求：[1]作者，等. 书名.出版地：，出版年5.附录：程序清单(应带有必要的注释)航空航天大学课程设计报告课程设计名称：数据构造课程设计课程设计题目：利用弗洛伊德〔Floyd)算法求解最短路径院〔系〕：计算机学院专业：计算机科学与技术(物联网方向)班级：34010105学号：姓名：指导教师：说明：结论〔优秀、良好、中等、及格、不及格〕作为相关教环节考核必要依据；格式不符合要求；数据不实,不予通过。

报告和电子数据必须作为实验现象重复的关键依据。

学术诚信声明本人声明：所呈交的报告〔含电子版及数据文件〕是我个人在导师指导下独立进展设计工作及取得的研究结果。

尽我所知，除了文中特别加以标注或致中所罗列的容以外，报告中不包含其他人己经发表或撰写过的研究结果，也不包含其它教育机构使用过的材料。

与我一同工作的同学对本研究所做的任何奉献均己在报告中做了明确的说明并表示了意。

报告资料及实验数据假设有不实之处，本人愿意承受本教学环节“不及格〞和“重修或重做〞的评分结论并承当相关一切后果。

floyd算法模板Floyd算法是一种动态规划算法，用于计算带权图中任意两点之间的最短路径。

该算法使用一个二维数组来存储任意两点之间的最短路径长度，数组中第i行第j列的元素表示从顶点i到顶点j的最短路径长度。

Floyd算法的核心思想是通过中间顶点逐步缩小路径长度，直到得到任意两点之间的最短路径。

具体实现过程中，需要使用三重循环，其中i、j、k分别代表起点、终点和中间节点。

算法步骤：1. 初始化二维数组d，d[i][j]表示从顶点i到顶点j的最短路径长度。

若不存在i到j的边，则d[i][j]=INF(无穷大)；否则d[i][j]等于i到j的边权。

2. 三重循环更新d数组。

外层循环k表示中间节点，内层循环i和j表示起点和终点。

若使用中间节点k可以使得i到j的距离缩小，则更新d[i][j]的值。

3. 输出d数组。

算法优化：Floyd算法的时间复杂度为O(n^3)，在处理大规模图时效率较低。

可以通过以下两种方式进行优化：1. 当d[i][j]>d[i][k]+d[k][j]时，不必更新d[i][j]的值。

因为d[i][j]已经是i到j的最短路径，如果使用中间节点k再次更新d[i][j]的值，得到的结果必然大于等于d[i][j]。

2. 若图中存在负权回路，则Floyd算法无法求出最短路径，因为中间节点k的选择会导致路径长度无限缩小。

可以使用Bellman-Ford算法或SPFA算法判断图中是否存在负权回路，如果存在则Floyd算法无法求解最短路径。

代码实现：以下是使用C++语言实现Floyd算法的代码，其中INF表示无穷大。

floyed算法例题
弗洛伊德算法（Floyd's Algorithm），也称为弗洛伊德-沃舍尔算法（Floyd-Warshall Algorithm），是一种用于求解所有顶点对最短路径的动态规划算法。

它可以在有向图或带权图中计算出任意两个顶点之间的最短路径。

下面是一个使用弗洛伊德算法求解最短路径的简单例题：
假设有一个带权有向图如下所示：
图中的边上显示了权重，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。

我们要使用弗洛伊德算法计算出所有顶点之间的最短路径。

1.初始化距离矩阵，对于图中的边，用实际的权重赋值；对
于不可达的边，用一个很大的数（例如9999）表示。

2.使用弗洛伊德算法更新距离矩阵。

逐个顶点遍历，以k作
为中介顶点，在i、j两个顶点之间比较是否有更短的路径，
如果有则更新距离矩阵。

o k = A：
o k = B：
o k = C：
o k = D：
3.根据最终的距离矩阵，我们可以得到所有顶点之间的最短
路径。

使用矩阵的对角线元素，可以看出最短路径为：
o A到A的最短路径长度为0；
o A到B的最短路径长度为2，最短路径为A -> B；
o A到C的最短路径长度为1，最短路径为A -> C；
o A到D的最短路径长度为3，最短路径为A -> C -> D。

同样的，我们可以得到其他顶点之间的最短路径。

弗洛伊德算法通过动态规划的方式，逐步优化所有顶点之间的最短路径，时间复杂度为O(V^3)，其中V为顶点的数量。

这使得它非常适用于解决小规模的图的最短路径问题。

最短路径算法floyd代码1.引言1.1 概述最短路径算法是图论中一个重要的问题，它的目标是找到两个节点之间最短的路径。

在实际生活中，最短路径算法被广泛应用于交通规划、物流配送、通信网络等领域。

针对不同类型的图，有不同的最短路径算法可供选择，其中Floyd算法是一种被广泛使用的算法之一。

Floyd算法是一种动态规划算法，它通过逐步优化图中各个节点之间的最短路径长度来求解最短路径。

其基本思想是通过计算任意两个节点之间的中间节点，以确定最短路径的中间节点集合。

通过反复迭代更新中间节点集合，最终可以得到节点之间的最短路径长度。

本文将介绍Floyd算法的原理和实现代码。

首先，我们将详细解释Floyd算法的原理，包括其计算最短路径的思路和步骤。

接着，我们将给出Floyd算法的代码实现，通过具体的编程示例来展示算法的具体实现过程和运行结果。

本文的目的是帮助读者了解Floyd算法，并通过实例代码帮助读者理解算法的具体实现步骤。

读者可以通过学习和实践运用Floyd算法，为实际问题寻找最短路径提供一种有效的解决方案。

此外，本文还将总结Floyd 算法的优缺点，以及对该算法在实际应用中的一些考虑和限制。

通过阅读本文并实践代码，读者将能够更好地理解Floyd算法的原理和实现方法，并在实际问题中灵活运用该算法来解决最短路径问题。

无论是对于图论的研究者还是对于应用场景中的实际需求，本文都将提供一些有价值的参考和启示。

在接下来的章节中，我们将逐步介绍Floyd算法的详细原理和代码实现。

让我们一起开始这段有趣的学习之旅吧！文章结构（Article Structure）本篇文章主要围绕最短路径算法Floyd展开讨论，按照以下结构进行阐述。

1. 引言1.1 概述：对最短路径算法的背景和应用进行简要介绍，强调其在网络通信、路线规划和图论等领域的重要性。

1.2 文章结构：本节内容。

1.3 目的：明确本文旨在通过介绍Floyd算法的原理和代码实现，帮助读者理解和应用该算法。

floyd算法实现思路及实例代码正如我们所知道的，Floyd算法⽤于求最短路径。

Floyd算法可以说是Warshall算法的扩展，三个for循环就可以解决问题，所以它的时间复杂度为O(n^3)。

Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若⼲个节点X到B。

所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每⼀个节点X，我们检查Dis(AX) + Dis(XB) <Dis(AB)是否成⽴，如果成⽴，证明从A到X再到B的路径⽐A直接到B的路径短，我们便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB)，这样⼀来，当我们遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

很简单吧，代码看起来可能像下⾯这样：复制代码代码如下:for ( int i = 0; i < 节点个数; ++i ){for ( int j = 0; j < 节点个数; ++j ){for ( int k = 0; k < 节点个数; ++k ){if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] ){// 找到更短路径Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];}}}}但是这⾥我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点X放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，⽽当后⾯存在更短的路径时，已经不再会更新了。

让我们来看⼀个例⼦，看下图：图中红⾊的数字代表边的权重。

如果我们在最内层检查所有节点X，那么对于A->B，我们只能发现⼀条路径，就是A->B，路径距离为9。

⽽这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。

造成错误的原因就是我们把检查所有节点X放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时Dis(AC)尚未被计算。