数字信号处理中的对称性问题

数字信号处理中的对称性问题

虞粉英;陆锦辉

【摘 要】数字信号处理是利用计算机或信号处理设备、采用数值计算方法对信号进行处理的过程.该文分析了离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散傅里叶变换(DFT)、连续与非周期以及离散与周期的对称性,将N点序列的离散谱视为DTFT连续谱一个周期的采样,解决了利用计算机分析信号频谱的问题.通过对比分析DTFT和DFT的对称性可知,将DFT的对称性应用到实序列DFT计算中,可减少约50％运算量.

【期刊名称】《南京理工大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2018(042)005

【总页数】7页(P615-621)

【关键词】数字信号处理;奇偶对称性;共轭对称性;圆周共轭对称性

【作 者】虞粉英;陆锦辉

【作者单位】南京理工大学 电子工程与光电技术学院,江苏 南京210094;南京理工大学 电子工程与光电技术学院,江苏 南京210094

【正文语种】中 文

【中图分类】TN911.72

数字信号处理(Digital signal processing,DSP)是利用计算机或通用(专用)的信号处理设备，采用数值计算的方法对信号进行处理的一门学科。随着信息、通信、计算机科学与技术的迅速发展，数字信号处理理论得到快速发展，在信息与通信领域应用广泛。文献[1]利用多路欠采样的方法对多分量线性调频(Linear frequency

modulation，LFM)信号进行参数估计。文献[2，3]研究了中继协作通信系统中数字信号处理算法的对称性问题，用于设计上下行链路。数字信号处理理论在自动控制、生物医学、机械、能源、电力、纺织、仪器仪表等领域的应用也日益广泛[4，5]。我国中东部经济发达地区电力供应相对紧缺，为此，在国家西电东输工程中，电力的转换与传输中存在大量的数据监测和监控，利用数字信号处理的方法就可以进行数据的自动分类、准确监控，从而实现高效率、高精度的电力转换与传输。数字信号处理理论在电网储能优化配置中也有着重要作用[6]。在心、脑电图检查中，首先需将人体生物信号转化为微弱的电信号(微伏级)，然后对其放大、采集，再将实时采集的大量数据利用数字信号方法进行分析处理并保存[7，8]。现代医学研究常通过提取DNA序列的信息来判断物种的相似程度，随着越来越多的DNA信息被发现，传统的生物测序分析已经变得越来越复杂和低效，利用离散傅里叶变换(Discrete Fourier transform,DFT)提取DNA序列中子序列的种类、含量和位置3种重要生物特征，可给出一种改进的用于物种聚类且无需对比的DNA序列相似度计算算法[9]。通过离散时间傅里叶变换(Discrete-time Fourier transform,DTFT)、DFT、快速傅里叶变换(Fast Fourier transform,FFT)、连续与非周期、离散与周期的对称性分析，可促进对数字信号处理基本理论和分析方法的理解与应用，以便将数字信号处理更好地应用于工程实际。

1 信号、DTFT及DFT的对称性分析和应用

1.1 连续时间信号的奇偶对称性

对于一个连续时间信号f(t),其奇偶对称性的判断方法为：若f(t)=-f(-t)，说明该信号关于原点对称，称之为具有奇对称性；若f(t)=f(-t)，说明该信号关于纵坐标对称，称之为具有偶对称性。并且任意时间信号f(t)可分解为一个奇分量fo(t)和一个偶分量fe(t)之和，即f(t)=fo(t)+fe(t)，其中fo(t)称为奇分量，具有奇对称性，即fo(t)=-fo(-t)；而fe(t)称为偶分量，具有偶对称性，即fe(t)=fe(-t)。

1.2 序列的对称性

(1)实序列的对称性—奇偶对称性

数字信号处理中的信号为离散时间信号，通常又称为序列。一个实序列的对称性判断与连续时间信号的判断极为相似，若f(n)=-f(-n)，说明该序列关于原点对称，称之为具有奇对称性；若f(n)=f(-n)，说明该序列关于n=0左右对称，称之为具有偶对称性。同样，对任意序列f(n)亦可分解为一个奇分量fo(n)和一个偶分量fe(n)之和，即f(n)=fo(n)+fe(n)。fo(n)和fe(n)分别表示为

(1)

(2)

fo(n)=-fo(-n)

(3)

fe(n)=fe(-n)

(4)

式(3)表示fo(n)具有奇对称性，式(4)表示fe(t)具有偶对称性。

(2)复序列的对称性—共轭对称性

对于一个复数序列f(n)=Re[f(n)]+jIm[f(n)]，其中，Re[f(n)]表示f(n)的实部，Im[f(n)]表示f(n)的虚部。若满足f(n)=-f*(-n)，则称其具有共轭奇对称性，若满足f(n)=f*(-n)，则称其具有共轭偶对称性。复序列 f(n)也可分解为两部分之和，即f(n)=fo(n)+fe(n)，其中fo(n)称为共轭奇对称分量，fe(n)称为共轭偶对称分量。fo(n)与fe(n)分别表示为

(5)

(6)

(7)

(8)

式(7)表示fo(n)具有共轭奇对称性，式(8)表示fe(n)具有共轭偶对称性。

1.3 离散时间傅里叶变换的对称性

离散时间傅里叶变换的对称性体现的是非周期离散时间信号的时域与其频谱的对称关系。离散时间信号f(n)的离散时间傅里叶变换用F(ejω)表示，正、逆变换的定义分别为

(9)

(10)

DTFT变换对简记为f(n)↔F(ejω)，则DTFT的对称性如式(11)-(15)所示

f(-n)↔F(e-jω) f*(n)↔F*(e-jω)

f*(-n)↔F*(ejω)

(11)

f(n)=Re[f(n)]+jIm[f(n)]

(12)

F(ejω)=Fe(ejω)+Fo(ejω) (13)

f(n)= fe(n)+ fo(n)

(14)

F(ejω)=Re[F(ejω)]+jIm[F(ejω)]

(15)

式中：Re[F(ejω)]表示F(ejω)的实部，Im[F(ejω)]表示F(ejω)的虚部，Fo(ejω)称为F(ejω)的共轭奇对称分量，具有共轭奇对称性；Fe(ejω)称为F(ejω)的共轭偶对称分量，具有共轭偶对称性。Fo(ejω)与Fe(ejω)的求解与对称性分别为

(16)

(17)

(18)

(19)

因此，DTFT的对称性表现在以下两方面：(1)信号与频谱的共轭对称性。一个域变量取反(时域或频域)另一个域亦变量取反，一个域(时域或频域)函数取共轭另一个域变量取反、函数取共轭；(2)实部与共轭偶对称分量，虚部乘以j与共轭奇对称分量的对称性。一个域(时域或频域)函数的实部，对应于另一个域函数的共轭偶对称分量；一个域(时域或频域)函数的虚部乘以j，对应于另一个域函数的共轭奇对称分量。

由上述对称性可知，若序列f(n)为实序列，则其DTFT为F(ejω)，且F(ejω)具有偶对称性，也就是说F(ejω)的实部具有偶对称关系，虚部具有奇对称关系，或者模满足偶对称关系，相角满足奇对称关系。

1.4 离散傅里叶变换的对称性

离散傅里叶变换(DFT)不是一种新的变换，而是周期离散时间信号傅里叶级数(DFS)在时域与频域都取其主值区间的结果。对称性体现的是周期离散时间信号的第一个周期与周期离散时间信号的傅里叶级数的第一个周期(频域)的对称关系。离散时间信号f(n)的离散傅里叶变换用F(k)表示，正、逆变换的定义分别表示为

(20)

(21)

式中:因此，在DFT运算中，有限长序列都是作为周期序列的一个周期，所有的变换和性质都隐含着周期性。圆周对称性的判断则是将N点序列等间隔排列在圆周上，以n=0(或k=0)为对称(或反对称)中心，观察其对称性。DFT变换对简记为f(n)↔F(k)，其圆周对称性如式(22)-(26)所示

f(N-n)↔F(N-k) f*(n)↔F*(N-k)

f*(N-n)↔F*(k)

(22)

f(n)=Re[f(n)]+jIm[f(n)]

(23)

F(k)=Fep(k)+ Fop(k)

(24)

f(n)=fep(n)+ fop(n) (25)

F(k)=Re[F(k)]+jIm[F(k)]

(26)

式中：fop(n)为f(n)的圆周共轭奇对称分量，fep(n)为f(n)的圆周共轭偶对称分量；Fop(k)为F(k)的圆周共轭奇对称分量，Fep(k)为F(k)的圆周共轭偶对称分量。fop(n)、fep(n)、Fop(k)、Fep(k)的计算如式(27)-(30)所示

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

式(31)表示fop(n)具有圆周共轭奇对称性，式(32)表示fep(n)具有圆周共轭偶对称性；式(33)表示Fop(k)具有圆周共轭奇对称性，式(34)表示Fep(k)具有圆周共轭偶对称性。

因此，DFT的对称性表现在以下两方面：(1)离散信号与离散谱的共轭对称性。一个域(时域或频域)变量圆周反褶(N-n或N-k)，另一个域变量亦圆周反褶(N-n或N-k)；一个域(时域或频域)函数取共轭另一个域变量圆周反褶(N-n或N-k)后函数取共轭；(2)实部与圆周共轭偶对称分量，虚部乘以j与圆周共轭奇对称分量的对称性。一个域(时域或频域)函数的实部，对应于另一个域函数的圆周共轭偶对称分量；一个域(时域或频域)函数的虚部乘以j，对应于另一个域函数的圆周共轭奇对称分量。

若f(n)是N点的实序列，F(k)=DFT[f(n)]，由于f(n)=f*(n)，所以F(k)=F*(N-k)，则

|F(k)|=|F(N-k)|

arg[F(k)]=-arg[F(N-k)]

(35)

由式(23)-(26)和式(35)所示的对称性可知，若序列f(n)为实序列，则F(k)具有圆周共轭偶对称性，即实部具有圆周偶对称性，虚部具有圆周奇对称性。或者说，模|F(k)|满足圆周偶对称关系，即在k=N处补与k=0处相同的序列值后，关于k=N/2成镜像对称(偶对称)，相角arg[F(k)]满足圆周奇对称关系[10]。

1.5 DFT共轭对称性的应用

(1)利用DFT的共轭对称性减少实序列DFT的计算量

若已知F(k)，k=0，1，2，…，N/2，且f(n)是实的偶对称序列，即f(n)的共轭奇对称分量为零，则根据DFT的对称性可知X(k)虚部为零，而X(k)实部具有圆周共轭偶对称性，所以另一半X(k)可根据式(36)求得

F(k)=F*(N-k)