二元一次方程根与系数的关系

在中考中，韦达定理作为一元二次方程的重要考点，其考查的方式也是多种多样的，但万变不离其宗。

现在就让我们一起走进南京中考，看看近年来韦达定理在中考题中的风采。

一、已知两根，求系数例1（2017·南京）已知关于x 的方程x 2+px+q=0的两根为-3和-1，则p=；q=。

【解析】本题可以有两种解法：第一种，将两根的值直接带入原方程，转化为二元一次方程组进行求解；第二种，运用根与系数的关系，在本题中x 1+x 2=-p ，x 1·x 2=q ，直接赋值求解即可。

【答案】4，3。

【点评】知道一元二次方程的两个根，我们可以有两种方法去求方程的系数：一种是代入转化为二元一次方程组，另一种是通过根与系数的关系进行求解。

很明显，第二种方法比起第一种方法更为高效。

而这也显示了学习根与系数的关系对于求方程的系数所带来的高效性。

二、已知一个根与一个系数，求另一个根与另一个系数例2（2015·南京）已知方程x 2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m 的值是。

【解析】本题可以有两种解法：第一种，将已知根的值直接带入原方程，转化为一元一次方程，先求m 的值，再求另一个根的值；第二种，运用根与系数的关系，在本题中x 1·x 2=3，可以先求出另一个根的值，再通过x 1+x 2=-m ，求出m 的值。

【答案】3，-4。

例3（2019·南京）已知2+3是关于x 的方程x 2-4x+m=0的一个根，则m =。

【解析】本题可以有两种解法：第一种，将根的值直接带入原方程，转化为一元一次方程进行求解；第二种，运用根与系数的关系，在本题中x 1+x 2=4，先求出另一根的值，再通过x 1·x 2=m ，求出m的值。

【答案】1。

【点评】已知一元二次方程的一个根与一个系数，要求另一个根与系数，可以有两种方法：第一种，通过代入一个根，先求出另一个系数，再对另一个根进行求解；第二种，通过根与系数的关系，先求出另一个根，再对另一个系数进行求解。

二元一次方程求根二元一次方程是一种常见的数学问题，通常表示为ax + by = c，其中a、b、c为已知数，而x、y为未知数。

求解二元一次方程的根是数学中常见的问题之一，通过求解可以得到方程的解集，即方程所表示的直线与坐标轴的交点。

我们需要明确二元一次方程的定义及相关概念。

二元一次方程是一个包含两个未知数的一次方程，即未知数的最高次数为1。

求解二元一次方程的根，即求出方程中未知数的值，使等式成立。

接下来，我们以一个具体的例子来说明如何求解二元一次方程的根。

假设我们有一个二元一次方程2x + 3y = 10，现在我们需要求解该方程的根。

我们可以通过代入法或消元法来解这个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中求解。

对于这个例子，我们可以将方程2x + 3y = 10表示为y = (10 - 2x) / 3，然后代入另一个方程求解。

假设另一个方程为x + y = 5，将y代入该方程中得到x + (10 - 2x) / 3 = 5，进一步化简得到x = 2。

将x = 2代入y = (10 - 2x) / 3中得到y = 2，所以该二元一次方程的解为x = 2，y = 2。

通过以上步骤，我们成功求解了二元一次方程2x + 3y = 10的根，得到了x = 2，y = 2的解集。

这个解集表示方程所表示的直线与坐标轴的交点坐标，即方程的解。

总的来说，求解二元一次方程的根是数学中常见的问题，通过代入法或消元法可以解决这类问题。

掌握求解二元一次方程的方法，可以帮助我们更好地理解数学知识，提高解题能力。

希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解二元一次方程的求根过程，进一步提升数学水平。

谢谢阅读！。

九年级数学一元二次方程根的判别式及根与系数关系探究（一元二次方程）基础练习试卷简介:全卷共4个选择题，9个填空题，1个证明题，6个解答题，分值120，测试时间60分钟。

本套试卷在课本的基础上，对题目稍做一定难度的拔高，主要考察了学生对元二次方程根的判别式及根与系数的关系的灵活运用。

各个题目难度类似，但考察方式不同。

学生在做题过程中要立足课本，对题目考虑全面，做到认真细心。

学习建议:本章主要内容是二元一次方程根的判别式及根与系数的关系，不仅是中考重点考察的内容之一，更是整个数学学科的重要内容之一。

本章题目要求同学们在做题时要考虑全面，千万不能粗心马虎，否则很容易遗漏某些条件或忘记舍去不合适的结果。

一、单选题(共4道，每道3分)1.方程x2-kx-1=0的根的情况是（）A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.根的情况与k的取值有关2.已知方程2x2+4x=3，则下列说中，正确的是（）A.方程两根和是-4B.方程两根积是2C.方程两根和是-2D.方程两根积是两根和的2倍3.若一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根之比为2：3，那么a、b、c间的关系应当是（）A.3b2＝8acB.C.6b2＝25acD.不能确定4.若c为实数，方程x2－3x+c＝0的一个根的相反数是方程x2+3x－c＝0的一个根，那么方程x2－3x+c＝0的根是（）A.1，2B.-1，-2C.0，3D.0，-3二、填空题(共9道，每道4分)1.分别以x2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是______2.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式b2-4ac______0，常数项c______03.已知关于x的方程x2+m2x+m=0的两个实数根是x1、x2，y1、y2是方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1- y1=2，x2- y2=2，则m= ______．4.关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m=______时，两根互为倒数；当m=______时，两根互为相反数.5.如果把一元二次方程 x2-3x-1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是______6.已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，则(a－1)(b－1)=______7.若p2–3p–5=0，q2－3q–5=0，且p≠q，则______8.设x1、x2是方程3x2+4x–5=0的两根，则______ ;______9.若方程kx2–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是______三、解答题(共6道，每道11分)1.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由2.如果关于x的方程kx2-(2k+1)x+(k+2)=0有实数根，求k的取值范围3.已知关于x的方程 3 x2-10 x + k = 0有实数根，求满足下列条件的k 的值：（1）有两个实数根，（2）有两个正数根，（3）有一个正数根和一个负数根4.已知x1，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，求m值．5.设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）（x 1+ 1）（x 2+ 1）； （2）x 12x 2+ x 1x 22；（3）； （4）(x 1-x 2)2．6.已知关于x 的方程x 2+2（m -2）x+m 2+4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 值并解此方程四、证明题(共1道，每道6分)1.求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k-3)=0一定有两个不相等的实数根九年级数学暑期预习领先班（九年级上、下册知识一网打尽+全面系统、夯实基础） 东区总校：郑州市文化路与黄河路交叉口中孚大厦7楼B 室 电话：65335902 西区总校：郑州市陇海路与桐柏路交叉口凯旋门大厦B 座405室 电话：68856662希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。

知识必备02方程与不等式（公式、定理、结论图表）考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间；(2)工程问题：工作量=工效×工时；(3)比率问题：部分=全体×比率；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，；(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.考点二、一元二次方程1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.典例1：已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．【答案】（1）证明：∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..（2）将代入方程，得再将代入，原方程化为，解得．考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.典例2：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得，整理，得．解这个方程，得x1＝4.8，x2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．典例3：如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象、，设，，则方程组的解是( )A． B． C． D．【思路点拨】图象、的交点的坐标就是方程组的解.【答案】B；【解析】由图可知图象、的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组的解为【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集） （大大、小小找不到）（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a， 则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O a＞b；②a-b=O a=b；③a-b＜O a＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.典例4：解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况，看看属于哪种情况．【答案与解析】解不等式①得：．解不等式②得：x≥-1．所以不等式组的解集为-1≤x＜．其解在数轴上表示为如图所示：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.典例5：为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得解得30≤x≤32．所以x的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A种造型30个，B种造型20个；A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．。

方程含有未知数的等式叫做方程.只含有一个未知数（元），含未知数的项的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程.方程ax+b＝0（其中x是未知数，a，b是已知数，并且a≠0）叫做一元一次方程的标准形式.使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根）.求方程的解的过程，叫做解方程.用等号“＝”来表示相等数量关系的式子叫做等式.像m+n＝n+m，x+2x＝3x，3×3+1＝5×2，3x+1＝5y这等式样的式子，都是等式.我们可以用a ＝b 表示一般的等式.①如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； ②如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 如果a ＝b ，那么ac ＝bc （c ≠0）. 拓展：等式还具有下列性质 (1)对称性：如果a ＝b ，那么b ＝a .(2)传递性：如果a ＝b ，且b ＝c ，那么a ＝c ，这一性质也叫做等量代换.方程中的任何一项都可以改变符号后从方程的一边移到另一边的变形叫做移项.这个法则叫做移项法则，移项的根据是等式的性质.变形 名称具体 做法变形 依据注意 事项去分母在方程的两边同乘各分母的最小公倍数等式的性质(1)不要漏乘不含分母的项；(2)若分子是一个多项式，需加上括号变形名称具体做法变形依据注意事项去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律(1)不要漏乘括号里的项；(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项移到方程的一边，其他各项都移到方程的另一边（记住移项要变号）等式的性质(1)移项要变号；(2)不要丢项合并同类项把方程化为ax＝b（a≠0）的形式合并同类项法则(1)未知数及其指数不变，系数相加；(2)不要漏项系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝ba等式的性质切忌分子、分母位置颠倒这一过程一般包括审、设、列、解、检、答等步骤.提示：列方程解应用题的注意事项 步骤注意事项设未知数 (1)设未知数，一般是问什么就直接设什么； (2)若直接设未知数有难度，可间接设未知数；(3)设未知数时，必须写清楚未知数的单位名称，如“设火车的速度是x”是不正确的，应是“设火车的速度是x 千米/时”s 列方程(1)列方程的等量关系是否正确； (2)方程两边的量所用单位是否统一解答 求得方程的解必须检验，看是否符合题意，是否使实际问题有意义基本量、基本数量关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量.（1）基本量、基本数量关系：大小两个年龄差不会变. （2）寻找相等关系的方法：一年一岁、人人如此.（1）基本量、基本数量关系：常见几何图形的体积公式.（2）寻找相等关系的方法：变形前后体积相等.（1）相向问题寻找相等关系的方法：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离.（2）追及问题寻找相等关系的方法有两种情况：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程.（3）航行问题①基本量、基本数量关系：路程＝速度×时间，顺水速度＝静水速度+水流速度，逆水速度＝静水速度-水流速度.②寻找相等关系的方法：抓住两码头之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变的特点来考虑.寻找相等关系的方法：抓住劳动力调配后，从甲处人数与乙处人数间的关系去考虑.（1）基本量、基本数量关系：把总工作量看作单位“1”，工作量＝工作效率×工作时间.（2）相等关系：各部分工作量之和等于1.（1）基本量、基本数量关系：商品利润＝商品售价-商品进价，商品利润率＝商品利润商品进价×100%.（2）寻找相等关系的方法：抓住价格升降对利润率的影响来考虑.（1）基本量、基本数量关系：设一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别为a 和b ，则这个两位数可以表示为10a +b . （2）寻找等量关系的方法：抓住数字间或新数、原数之间的关系，常需设间接未知数.（1）基本量、基本数量关系：甲∶乙∶丙＝a ∶b ∶c . （2）相等关系：全部数量＝各部分数量之和（设一份为x ）.（1）基本量、基本数量关系：利息＝本金×利率×期数.（2）寻找相等关系的方法：本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数.二元一次方程：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.二元一次方程组：有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1的两个整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组.常见形式有以下几种：①两个二元一次方程合在一起组成的方程组；②一个一元一次方程和一个二元一次方程合在一起组成的方程组；③两个含有不同未知数的一元一次方程组成的方程组.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.提示：①在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值.②一般情况下，二元一次方程有无数个解，但并不是说任何一对数值就是它的解.二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.提示：①二元一次方程组的解是方程组中每个方程的解.②二元一次方程组的解一般情况下是唯一的，但是有的方程组有无数多个解或无解.如2224x y x y +=⎧⎨+=⎩，有无数多个解，252412x y x y +=⎧⎨+=⎩，无解.二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程.我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.其一般步骤如下： 步骤名称具体做法 目的 注意1变形用含一个未知数的式子表示另一个未知数变形为y ＝ax+b （或x ＝ay+b ）的形式选系数简单的方程变形 2 代入把y ＝ax+b （或x ＝ay+b ）代入另消去一个未知数，将二代入时要“只代不算”步骤 名称 具体做法 目的 注意一个没有变形的方程中元一次方程组转化为一元一次方程3 解解代入后的一元一次方程求出一个未知数去括号时不要漏乘，移项时要变号4回代把求得的未知数的值代入变形后的方程中 求出另一个未知数一般代入变形后的方程5写出解把两个未知数的值用大括号联立起来表示为,x y =⎧⎨=⎩的形式当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相减或相加，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.其一般步骤如下：1 变形根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数①选准消元对象：当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该元较简单.②方程两边同乘某个数时不要漏乘2 加减当同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减；当同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程尽量避免出现未知数的系数为负数的情况3 解解消元后得到的一元一次方程求出一个未知数4 回代把求得的未知数的值代入方程组中的某个系数较简单的方程中求出另一个未知数求另一个未知数时选择系数较为简单的方程5 写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来表示为,x y =⎧⎨=⎩的形式含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个整式方程的方程组叫做三元一次方程组.①把方程组中的一个方程分别与另外两个方程组成两组，用代入法或加减法消去这两组中的同一个未知数，得到一个含有另外两个未知数的二元一次方程组；②解这个二元一次方程组；③将所求得的两个未知数的值代入原方程组中含有第三个未知数的方程中，求得第三个未知数的值，从而求出原方程组的解.列二元一次方程组解应用题的分析方法和解题步骤与列一元一次方程解应用题类似，一般可按如下步骤进行：.三、分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程，如752x =-，22xx -＝1等.解分式方程的一般步骤：“一化，二解，三检验”.增根注意：在去分母前，需确定分式方程的最简公分母，若分母是多项式，应先分解因式，再确定最简公分母.使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根.（1）审：理解题意，弄清具体情境中的已知量与未知量以及它们之间的基本关系；（2）设：设未知数，用x （或其他字母）表示某个未知量，由该未知量与其他数量的关系，写出表示相关量的式子； （3）列：找出等量关系，列出分式方程； （4）解：解这个分式方程；（5）检：双重检验，先检验是否为增根，再检验是否符合题意； （6）答：写出答案.四、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），其中ax 2是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.其中因式分解法是特殊解法，而配方法和由配方法推导出来的公式法是一般方法，一般方法对任何一元二次方程都适用.一般地，对于方程x 2=p .（1）当p >0时，根据平方根的意义，方程x 2=p 有两个不相等的实数根：x 1=√p ，x 2=−√p .（2）当p =0时，方程x 2=p 有两个相等的实数根x 1=x 2=0.（3）当p <0时，因为对任意实数x ，都有x 2≥0，所以方程x 2=p 无实数根.如果方程能化成x 2=p 或(mx +n )2=p （p ≥0）的形式，那么可得x =±√p 或mx +n =±√p .通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)化二次项系数为1.(2)移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项. (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.(4)直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解.（1）求根公式：当Δ=b 2−4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的实数根可写成x ＝24b b ac-±-的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式.（2）公式法：把各系数直接代入公式，求出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.（3）用公式法解一元二次方程的步骤：提示：用公式法解一元二次方程的记忆口诀：要用公式解方程，首先化成一般式.调整系数随其后，使其成为最简比.确定系数a，b，c，计算方程判别式.判别式值与零比，有无实根便得知.若有实根套公式，若无实根要告之.通过因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.因式分解法体现了将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程来解的思想，运用这种方法的步骤：拓展：十字相乘法将ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）配方成22b x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2244b aca -后，可以看出，只有当b 2−4ac ≥0时，方程才有实数根，这样b 2−4ac 的值就决定着一元二次方程根的情况.一般地，式子b 2−4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）根的判别式，通常用“Δ”表示它，即Δ=b 2−4ac .若一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有实数根，设这两个实数根分别为x 1，x 2，由求根公式得x 24b b ac-±-（b 2−4ac ≥0），令x 1＝24b b ac-+-，x 224b b ac---.由此可得x 1+x 2＝-b a，x 1x 2＝c a.这一结论可表述为：一元二次方程两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系.（1）验根：不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系，可以检验两个数是不是一元二次方程的两根.（2）已知方程的一个根，求另一根及未知系数.（3）不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求关于x 1，x 2的对称式的值.（4）已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展，两者的解题方法类似，但由于一元二次方程有两个实数解，所以要注意检验得出的方程的解是否符合实际意义.其步骤如下：（1）审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系.（2）设：选用适当的方式设未知数（直接设未知数或间接设未知数），不要漏写单位，用含未知数的代数式表示题目中涉及的量. （3）列：根据题目中的等量关系，用含未知数的代数式表示其他未知数，列出含未知数的等式.注意等号两边量的单位必须一致. （4）解：解所列方程，求出未知数的值.（5）验：一是检验得到的未知数的值是否为方程的解，二是检验方程的解是否符合题意.（6）答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位.。

桃江玉潭实验学校初中部教学设计（ 8 ）节学习主题：2.1 一元二次方程(1)学习目标：1、整式方程和一元二次方程的定义；能识别一元二次方程；2、知道一元二次方程的一般形式ax2+bx + c = 0 ( a≠0 )，能熟练的把一元二次方程整理成一般形式；3、在分析、揭示实际问题中的数量关系并把实际问题转化为数学模型。

学习准备：学习过程：学习环节学习活动学习方式1）创设情境2）探究新知3）学习运用一）学前准备：提出下面问题，由学生设未知数，并列出方程：(1)一个正方形的面积的2倍等于31，求这个正方形的边长。

(2)一个数比另一个数小，且两数之积为0，求这个数。

(3)一个数的平方的－倍与－2的和等于2，求这个数。

(4)一个矩形的长比宽多5 cm，面积为150 cm2，求这个矩形的宽。

二）合作探究问题：(1) 2x2－31 = 0 (2) x2 + x = 0（3）－ x2－4 = 0 （4）4x2 + 5x－150 = 0上述四个方程有什么共同点？1) 都是整式方程(2) 只含有一个未知数(3) 未知数的最高次数是2一元二次方程的一般形式：aX2 + bX + c = 0 ( a≠0 )三）典例剖析1下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？观察思考合作交流知识运用4）归纳总结 (1) 3x + 2 = 5x －3 (2) x 2= 4(3) ( x －1 )( x －2 ) = x 2+ 8 (4) ( x + 3 )( 3x－4 ) = (x + 2)22把方程( x + 3 )( 3x －4 ) = (x + 2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

四）课堂小结：1、一元二次方程属于“整式方程”，其次它“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”， 2、一元二次方程的一般形式aX 2+ bX + c = 0 (a ≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

一元二次方程与二元一次方程的关联一、一元二次方程与二元一次方程的定义：1.一元二次方程：形如 ax^2 + bx + c = 0（a、b、c 是常数，且a ≠ 0）的方程，叫做一元二次方程。

2.二元一次方程：形如 ax + by = c（a、b、c 是常数，且 a、b 不同时为0）的方程，叫做二元一次方程。

3.共同点：一元二次方程和二元一次方程都是整式方程，都含有未知数，都可以通过变形、移项、合并同类项等方法进行简化。

4.不同点：一元二次方程的最高次项是二次项，而二元一次方程的最高次项是一次项；一元二次方程只有一个未知数，而二元一次方程有两个未知数。

三、一元二次方程与二元一次方程的求解方法：1.一元二次方程的求解方法：（1）因式分解法：将一元二次方程转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，然后根据零因子定律求解。

（2）公式法：利用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) 直接求解。

2.二元一次方程的求解方法：（1）代入法：将一个方程的未知数表示为另一个方程的未知数的函数，然后代入另一个方程求解。

（2）加减法：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后求解剩下的未知数。

（3）行列式法：利用行列式求解二元一次方程组。

四、一元二次方程与二元一次方程的应用：1.一元二次方程的应用：（1）物理问题：例如，抛物线的运动轨迹方程。

（2）几何问题：例如，求解二次函数的最值问题。

2.二元一次方程的应用：（1）几何问题：例如，求解直线与直线的交点问题。

（2）实际问题：例如，线性规划问题，求解两条直线的交点等。

通过以上分析，我们可以看出，一元二次方程与二元一次方程在定义、求解方法和应用方面都存在一定的关联。

掌握这两种方程的性质和求解方法，有助于我们更好地解决相关问题。

习题及方法：1.习题：解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

方法：因式分解法（1）找出方程的因式：(x - 2)(x - 3) = 0（2）根据零因子定律，得到 x - 2 = 0 或 x - 3 = 0（3）解得 x1 = 2，x2 = 3答案：x1 = 2，x2 = 32.习题：解一元二次方程：x^2 + 2x + 1 = 0。

中考数学方程和方程式基础知识基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

（4）一元一次方程有唯一的一个解。

2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0）（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆ 当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a bx x -=+21，a cx x =⋅21（6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

老师姓名张解星学生姓名陈萱霖教材版本北师大版学科名称数学年级九年级上课时间3月22日20:00--21:30课题名称方程与不等式教学重点方程与不等式的解法及其应用题教学过程【知识点】一、一元一次方程（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的方程。

（形如ax=b，a ≠0）（2）解法：去分母、去括号→移项→合并同类项→系数化1例1．若x=2是关于x的方程2x+3k-1=0的解，则k的值是________.2．已知关于x的方程4x-m=2(x-2m)与2(3x+4m)=3m+2(x-1)的解相同，求m的值及相同的解.3.当k取什么整数时，关于x的方程313164=---kxx的解是正整数？4.（2010广东茂名9）．用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子（）A．4n枚 B．(4n－4)枚 C．(4n＋4)枚 D．n2枚二、二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法；②加减法1.（2010 珠海）方程组⎩⎨⎧=-=+7211yxyx的解是__________.2.（2010 广州）解方程组⎩⎨⎧=-=+112312yxyx3.（2010 肇庆）我市某企业向玉树地震灾区捐助价值26万元的甲、乙两种帐篷共300顶．已知甲种帐篷每顶800元，乙种帐篷每顶1000元，问甲、乙两种帐篷各多少顶？三、分式方程⑴定义：分母中含未知数的方程，叫分式方程。

如：121232x x+=+⑵基本思想：如何将分式方程化为整式方程？答：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.⑶基本解法：①去分母法；②换元法（如，7222163=-+++-xxxx）⑷验根：将求出的未知数的值代入公分母，若分母不为0则是原方程的根，否则，是原方程的增根。

去分母分式方程整式方程（5）解分式方程的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列→求出未知数的值→检验1．（2010 咸宁）分式方程131x x x x +=--的解为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．3x = D ．3x =-2. （2010 广东）分式方程112=+x x 的解＝ . 3.（2009 广州）解方程：123-=x x ． 4．（2010 益阳） 货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时,依题意列方程正确的是（ ）Ａ．203525-=x x Ｂ．x x 352025=- Ｃ．203525+=x x Ｄ．xx 352025=+ 四、一元二次方程 1．定义及一般形式：)0(02≠=++a c bx ax如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式? 答:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.2．解法：⑴配方法（注意步骤和推导求根公式）(2)公式法：)04(24222,1≥--±-=ac b aac b b x (3)因式分解法（特征：左边=0）说明：用配方法和公式法，都要先将方程化为标准形式才行。

根与系数的关系分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。

分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。

一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1―2k=0有两个实数根x1，x2．（1）若|x1|+|x2|=k的值；（2）当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；（3）当k取哪些有理数时，x1，x2均为整数．（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x2=―2k为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k=―1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形21xx，abxx-=+21acxx=21为x 2+2mx +m ―2=0，即为(x +m )2=m 2―m +2，再结合整数的意义即可解答．解：（1）∵Δ=22―4k (1―2k )=4―4k +8k 2=8k 2―12k =8k+72>0，∴不论k 为何值，关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0都有两个实数根x 1，x 2，∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2kk，分两种情况：①若两根同号，由|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=x 1+x 2=―当x 1+x 2=―2k =k =―当x 1+x 2=――2k =―k =②若两根异号，由|x 1|+|x 2|=(x 1―x 2)2=8，即(x 1+x 2)2―4x 1x 2=8，∴――4×1―2kk=8，解得：k =1，综上，k 的值为1或 ±（2）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2k k，若x 1，x 2均为整数，则x 1+x 2=―2k 为整数，∴整数k =±1,±2，当k =±2时，x 1x 2=1―2kk不是整数，故应该舍去；当k =1时，此时方程为x 2+2x ―1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k =―1时，此时方程为―x 2+2x +3=0，方程的两个根为x 1=―1,x 2=3，都是整数，符合题意；综上，当k 取―1时，x 1，x 2均为整数；（3）显然，当k =―1时，符合题意；当k 为有理数时，由于x 1x 2=1―2kk=1k ―2为整数，∴k 应该是整数的倒数，不妨设k =1m (m ≠0)，m 为整数，则方程kx 2+2x +1―2k =0即为x 2+2mx +m ―2=0，配方得：(x +m )2=m 2―m +2，即x =―m±当m =2即k =12时，方程的两根为x 1=0,x 2=―4，都是整数，符合题意；当m ≠2时，m 2―m +2=(m ―12)2+74不是完全平方数，故不存在其它整数m 的值使上式成立；综上，k =―1或12．1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个根x 1和x 2，且1<x 1<2<x 2<4，那么方程cx 2―bx +a =0的较小根x 3的范围为( )A ．12<x 3<1B ．―4<x 3<―2C ．―12<x 3<―14D ．―1<x 3<―122．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x 2+2px ―3p ―2=0的两个不相等的实数根x 1、x 2满足x 12+x 13=4―(x 22+x 23)，则实数p 的所有值之和为（ ）A ．0B ．―34C ．―1D ．―543．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x 的一元二次方程x 2―2x +a 2+b 2+ab =0的两个根为x 1=m ，x 2=n ，且a +b =1．下列说法正确的个数为（ ）①m·n ＞0；②m >0，n >0；③a 2≥a ；④关于x 的一元二次方程(x +1)2+a 2―a =0的两个根为x 1=m ―2，x 2=n ―2．A ．1B ．2C ．3D ．44．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a 、b 、c 、d 是4个两两不同的实数，若a 、b 是方程x 2―8cx ―9d =0的解，c 、d 是方程x 2―8ax ―9b =0的解，则a +b +c +d 的值为．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c 满足：a +b +c =2,abc =4．求|a |+|b |+|c |的最小值．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x 的一元二次方程整理成a (x +ℎ)2+k ＝0（a ≠0，a 、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝，ax1+x1x2+ax2的最大值是．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy2=484，求x3+y3．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x―5=0的两根分别为x1、x2．（1）求1x1―1+1x2―1的值；（2）求3x21+6x1+x22的值．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=―2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024、β2024，求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值．11．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m的取值范围（2）若满足1α+1β=―1，求m的值．（3）若α>2，求证：β>2；12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．（1）求|α―β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x3+y3=(x+y) x2+y2―xy．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m为整数，关于x的方程(m2+m―2)x2―(7m+2)x+12=0有两个整数实根．（1）求m的值．（2）设△ABC的三边长a,b,c满足c=2+a2m―12a=0,m2+b2m―12b=0．求△ABC的面积．15．（22-23九年级上·湖南常德·材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=―ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=―1，则m2n+mn2=mn(m+n)=―1×1=―1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2―3x―1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2= ___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x2―3x―1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2―3s―1=0，t2―3t―1=0，且s≠t，求1s ―1t的值．16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．（1）已知多项式(3x+1)(x―2)，则此多项式的零点为__________；有一个零点为1，求多项式B的另一个零点；（2）已知多项式B=(x―1)(bx+c)=ax2―(a―1)x―a2（3）小聪继续研究(x―3)(x―1)，x(x―4)及x――x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x=2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M=(2ax+b)(cx―5c)=bx2―4cx―2a―4是“2系多项式”，求a与c的值．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，且(x1+1)⋅(x2+1)=8，求k的值．（2）已知：α，β(α>β)是一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β2，…，s n=αn+βn．根据根的定义，有α2―α―1=0，β2―β―1=0，将两式相加，得α2+β2―(α+β)―2=0，于是，得s2―s1―2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s2的值．②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想s n，s n―1，s n―2之间满足的数量关系，并给出证明．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2―(m+2)x+4m=0有两个实数根x1,x2，其中x1<x2．（1）若m=―1，求x12+x22的值；（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB=m的值；（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x1和x2，求该直角三角形的面积．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=―p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0的二根，则ab +ba=?（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2―y+k=0x―y=1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2―x1x2―x2x1=2若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x，x是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=―10，x2=―3，因―10<―3<0，3<―10―3+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =―1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1―m)x―m=0是“限根方程”，求m的取值范围．。

数学教案－二元一次方程与一次函数（优秀6篇）元一次方程教案篇一一、复习引入1.已知方程x2-ax-3a=0的一个根是6，则求a及另一个根的值。

2.由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。

其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3.由求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a.观察两式右边，分母相同，分子是-b+b2-4ac与-b-b2-4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：方程 x1 x2 x1+x2 x1?x2x2-2x=0x2+3x-4=0x2-5x+6=0观察上面的表格，你能得到什么结论？(1)关于x的方程x2+px+q=0(p，q为常数，p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？(2)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：方程 x1 x2 x1+x2 x1?x22x2-7x-4=03x2+2x-5=05x2-17x+6=0小结：根与系数关系：(1)关于x的方程x2+px+q=0(p，q为常数，p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=-p，x1?x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。

)(2)形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论即：对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)∵a≠0，∴x2+bax+ca=0∴x1+x2=-ba，x1?x2=ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：(1)x2-3x-1=0 (2)2x2+3x-5=0(3)13x2-2x=0 (4)2x2+6x=3(5)x2-1=0 (6)x2-2x+1=0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？(1)x2-22x+1=0 (x1=2+1，x2=2-1)(2)2x2-3x-8=0 (x1=7+734，x2=5-734)例3 已知一元二次方程的`两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程。

t at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t h i n二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

注意 ：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。

3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②， 因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种： 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得 x=5-y ③ t at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t h i n把y=59/7带入③， x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 基本思路：未知数又多变少。

二元一次方程根与系数的关系公式方程的根是使方程等式成立的值。

对于二元一次方程，存在两个变量，因此方程的解通常表示为一个有序对(x,y)。

如果一个有序对(x,y)满足方程的等式，那么该有序对就是方程的解。

接下来，我们将探讨二元一次方程的根与系数之间的关系公式。

一、关于x的关系公式：1.当b≠0时，方程可以通过对方程两边同时除以b来得到形如x=其他项的表达式，从而得到x与其他项之间的关系。

2.当b=0，且a≠0时，方程变为只含有x的一元一次方程，可以直接解出x的值。

3.当a=b=0时，如果c=0，则该方程对任何x都成立；如果c≠0，则该方程对任何x都不成立。

二、关于y的关系公式：1.当a≠0时，方程可以通过对方程两边同时除以a来得到形如y=其他项的表达式，从而得到y与其他项之间的关系。

2.当a=0，且b≠0时，方程变为只含有y的一元一次方程，可以直接解出y的值。

3.当a=b=0时，如果c=0，则该方程对任何y都成立；如果c≠0，则该方程对任何y都不成立。

三、关于系数之间的关系公式：1. 当方程有解(x, y)时，根据方程的等式，可以得到ax + by = c。

根据该等式可以看出a、b、c之间的关系。

-当x≠0，y≠0时，可以通过将x、y代入方程来确定a、b、c的值。

- 当x=0时，可以得到by = c，从而确定b的值。

- 当y=0时，可以得到ax = c，从而确定a的值。

-当x=y=0时，可以得到c=0，从而确定c的值。

2.当方程无解时，a、b、c之间的关系是不确定的，因为无法通过方程本身来确定这些值。

四、应用示例：例如，对于方程2x+3y=6，可以通过对系数进行变换，得到关于x和y的关系公式：1.关于x的关系公式：通过将方程两边同时除以2，得到x=3-(3/2)y，可以看出x与y之间存在线性关系。

2.关于y的关系公式：通过将方程两边同时除以3，得到y=2-(2/3)x，可以看出y与x之间存在线性关系。

数学方程知识点关于数学方程知识点方程思想在数学思想中占据着极其重要的地位,方程思想构建得是否完善,运用得是否熟练,将直接影响着未来的数学学习是否顺利,成绩是否优异,因为方程知识始终由浅入深地贯穿于整个数学学习生涯。

下面店铺为大家提供了有关数学方程知识点，希望可以帮助到有需要的朋友。

数学方程知识点 11、表示相等关系的式子叫做等式。

2、含有未知数的等式是方程。

3、方程一定是等式;等式不一定是方程。

等式>方程4、等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

这是等式的性质。

等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。

这也是等式的性质。

5、求方程中未知数的过程，叫做解方程。

解方程时常用的关系式：一个加数=和-另一个加数减数=被减数-差被减数=减数+差一个因数=积÷另一个因数除数=被除数÷商被除数=商×除数注意：解完方程，要养成检验的好习惯。

6、五个连续的自然数(或连续的奇数，连续的偶数)的和，等于中间的一个数的5倍。

奇数个连续的自然数(或连续的奇数，连续的偶数)的和÷个数=中间数7、4个连续的自然数(或连续的奇数，连续的偶数)的和，等于中间两个数或首尾两个数的和×个数÷2(高斯求和公式)8、列方程解应用题的思路：A、审题并弄懂题目的已知条件和所求问题。

B、理清题目的等量关系。

C、设未知数，一般是把所求的数用X表示。

D、根据等量关系列出方程。

E、解方程。

F、检验。

G、作答。

数学方程知识点 2一．列方程解应用题的一般步骤：1．认真审题：分析题中已知和未知，明确题中各数量之间的关系；2．寻找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，找出能够表示应用题全部含义的相等关系；3．设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法；4．列方程：根据这个相等关系列出所需要的代数式，从而列出方程注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量；列方程应满足三个条件：方程各项是同类量，单位一致，左右两边是等量；5．解方程:解所列出的方程，求出未知数的值；6．写出答案：检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。

240x x a ++=24m 12x x -1211x x +2212x x +4k第12课时 根与系数的关系一、【教学目标】1. 掌握一元二次方程的根的判别式;2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系二、【重点难点】重点:一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系.难点:一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的应用三、【教学流程】【考点回顾】 (一)、根的判别式1、一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （a ≠0）的根的判别式Δ= ；2、一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （a ≠0）（1）有两个不相等的实数根的条件 ；（2）有两个相等的实数根的条件 ；（3）没有实数根的条件 ；【小试牛刀】1、一元二次方程3x 2﹣2x-1=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2、如果关于x 的方程 有两个相等的实根，那么a ＝ .3、已知关于x 的方程x2+（1﹣m ）x+ =0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是 ．(二)、一元二次方程的根与系数的关系：若 ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根为 X 1、x 2， 且b 2﹣4ac ≥0 则x 1+x 2= ； x 1x 2= ；【比比看 谁最行】已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-1=0的两根，求下列代数式的值。

（1） （2） （3）（x 1+1）（x 2+1） （4）【典例分析】 关于x 的方程kx 2 +(k+2)x+ =0有两个不相等的实数根. ⑴求k 的取值范围.⑵是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0? 若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.第 28课时220x x m ++=()()22a b ++链接中考【链接中考】（2015娄底）若关于x 的一元二次方程 有实数根，则m 的取值范围是 .（2015•赤峰）若关于x 的一元二次方程 x 2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b ，ab 的值 ．【能力提升】1、设a ，b 是一元二次方程x 2+3x-7=0的两个根，则a 2+4a+b= .2、设实数a 、b （a ≠b ）同时满足a 2-2a-3=0，b 2-2b-3=0，求代数式 的值。

x1+x2和x1x2的公式韦达定理是x1+x2=-b/a，可以先求（x1-x2）^2，而来（x1-x2）^2=x1^2+x2^2-2*x2*x1=x1^2+x2^2+2*x2*x1-4*x2*x1=（x1+x2）^2-4*x2*x1，然后带入韦达定理开根号源即可求出x1-x2。

1加x2的公式是什么（x1+x2和x1×x2的公式）韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。

由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

两坐标轴相加怎么算？坐标向量相加公式坐标向量相加公式：已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即 a+b=（x1+x2，y1+y2）。

同理可得a-b=（x1-x2，y1-y2）。

这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。

箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。

与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

坐标向量相加公式：已知a=（x₁，y₁）、b=（x₂，y₂）a+b=（x₁+x₂，y₁+y₂）同理可得a-b=（x₁-x₂，y₁-y₂）。

二次函数x1x2怎么算？按照你的提问感觉应该是求二次函数与X轴的交点。

那就是让y=0，从而化为关于x的一元二次方程，解方程即可。

1加x2的公式是什么（x1+x2和x1×x2的公式）x1减x2等于什么？答αⅹ方+bx+C=0，(α≠0)通过对方程配方可推导出它的求根公式:ⅹ=(一b±√b方一4αC)/2α。

于是得出上述结论。