一元一次方程根与系数的关系(韦达定理)

数学复习代数方程的根与系数的关系与求解数学复习：代数方程的根与系数的关系与求解代数方程是数学中的重要概念，它描述了未知数与系数之间的关系。

本文将探讨代数方程的根与系数之间的关系，以及如何求解代数方程。

一、代数方程的根与系数的关系代数方程中的根是指使方程等式成立的未知数的值。

我们将关注一元代数方程的根与系数之间的关系。

1. 一元一次方程一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知系数，x是未知数。

解这个方程可以得到方程的根。

求解一元一次方程的根公式为：x = -b/a。

通过求解式子中的系数a和b，我们可以得到方程的根。

2. 一元二次方程一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知系数，x是未知数。

解这个方程可以得到方程的根。

求解一元二次方程的根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

通过求解式子中的系数a、b和c，我们可以得到方程的根。

当方程的判别式（即b^2 - 4ac）大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

以上是一元一次方程和一元二次方程的根与系数的关系。

根据方程的形式不同，我们可以使用不同的求解方法，从而获得方程的根。

二、代数方程的求解1. 一元一次方程的求解一元一次方程的求解相对简单，我们只需根据方程的形式，求出未知数即可。

例如，对于方程2x - 4 = 0，我们可以将方程转化为2x = 4，再除以2得到x = 2。

所以该方程的解为x = 2。

2. 一元二次方程的求解一元二次方程的求解需要使用根公式来得到方程的解。

例如，对于方程x^2 - 3x + 2 = 0，根据一元二次方程的根公式，我们可以计算出判别式为：b^2 - 4ac = 9 - 4(1)(2) = 1。

由于判别式大于0，方程有两个不相等的实根。

根据根公式，我们可以计算出方程的两个根：x = (3 ± √1)/2，即x = 2和x = 1。

一元一次方程根与系数的关系（韦达定理）1. 一元一次方程的根与系数的关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 2. 韦达定理的重要推论：推论1：如果方程20x px q ++=的两个实数根是12,x x ，那么1212,x x p x x q +=-= 推论2：以两个实数12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是方程：()212120x x x x x x -++=3. 利用根与系数关系，可知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有如下重要结论1．若两互为相反数，则120,0bx x b a+=-== 2.若两根互为倒数，则12120,0,1b cx x b x x a a+=-====，得到a c = 3 若有一根是0，则1200cx x c a===， 4.若有一根为1，则0a b c ++= 5. 若有一根为-1，则0a b c -+=根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．：【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（3）定性判断字母系数的取值范围 【典型例题】例1 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．例2 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．A 组1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2B ．2-C ．12D ．923．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或 4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆= B ．M ∆> C ．M ∆< D ．大小关系不能确定5．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为()A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或6．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．8．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．10．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ． 11．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n的值．13．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．14．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2)k 的值．B 组1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围； (2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．3．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 若1212x x =，求k 的值．。

韦达定理根与系数的关系韦达定理是数学中一个重要的定理，它揭示了多项式方程根与系数之间的关系。

韦达定理在代数学和数学分析中有着广泛的应用，对于理解多项式方程的根的性质和特征具有重要意义。

韦达定理的正式表述如下：对于一个n次多项式方程，其一般形式为：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$是多项式的系数，$n$是方程的次数，$x$是未知数。

韦达定理指出，如果多项式方程有一个根为$x=k$，那么可以将方程表示为以下形式：$(x-k)(a_nx^{n-1} + b_{n-1}x^{n-2} + ... + b_1x + b_0) = 0$其中$a_n, b_{n-1}, ..., b_1, b_0$是新的系数，$x-k$是一次因式。

通过展开上述等式，我们可以得到：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$这说明多项式方程的一个根$k$对应着方程的一个一次因式$x-k$。

这意味着，如果我们能够找到多项式方程的所有根，那么我们就能够将方程完全分解成一次因式的乘积，从而得到多项式的因式分解式。

韦达定理还告诉我们，根与系数之间存在着一种重要的关系。

设多项式方程的根为$x_1, x_2, ..., x_n$，那么我们可以得到以下关系：$x_1 + x_2 + ... + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$...$x_1x_2...x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}$这些关系告诉我们，多项式方程的根的各种组合方式与系数之间有着密切的联系。

通过这些关系，我们可以在已知多项式方程的系数的情况下，计算出方程的根的和、乘积以及根的各种组合之和。

2021-2022新高一初高中衔接辅导课程（解析版） 衔接教材06 根与系数的关系（韦达定理）知识点讲解1.一元二次方程的根我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a -±；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=，则有122222b b b bx x a a a a -+---+=+==-；221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a-+---=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．3.一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =∴| x 1－x 2|＝=||a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 经典例题解析例1判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0； （3）x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x =，22a x -=．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2， 所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x =21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题． 例2已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35．由（－35）＋2＝－5k ，得k ＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例3已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得m 2－16m －17＝0， 解得m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可。

一元二次方程根的判别式及根与系数关系（讲义）一、知识点睛1． 通过分析求根公式，我们发现24b ac -决定了根的个数，因此24b ac -被称作根的判别式，用符号记作Δ；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根（也叫有两个解）；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根（也叫有一个解）；当Δ<0时，方程没有实数根（也叫无根或无解）．2． 从求根公式中我们还发现1212b c x x x x a a+=-⋅=，，这两个式子称为根与系数的关系，数学史上称为韦达定理．注意：使用韦达定理的前提是Δ0≥．二、精讲精练1. 方程210x kx --=的根的情况是（ ）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关2. 如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，那么m =_________．3. 若一元二次方程22(4)60x x kx -+-+=无实数根，则k 的最小整数值是A ．1B ．2C ．3D ．44. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ⋅的值分别是A ．7，4B ．72-，2C ．72，2D ．72，-2 5. 若x 1=2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 a =__，该方程的另一个根x 2=___．6. 若x 1，x 2是方程22430x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值．（1）1211x x +； （2）2212x x +； （3）12(1)(1)x x ++； （4）221212x x x x +； （5）2112x x x x +；（6）212()x x -．7. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是m =________．8. 若2350p p --=，2350q q --=，且p ≠q ，则=+2211pq 9. 若x 1，x 2是某个一元二次方程的两根，且121x x +=，123x x ⋅=-，则这个一元二次方程是____________；若1212x x +=，123x x ⋅=-，则这个一元二次方程是10. 如果把一元二次方程2310x x --=的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是_____________________．11. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是_____12. 已知a ，b ，c 为三角形的三边长，且关于x 的方程2()2()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根．试判断此三角形的形状．13. 已知关于x 的方程2(1)20m x x ---=．若x 1，x 2是该方程的两个根，且22121218x x x x +=-，求实数m 的值．14. 已知a ，b 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，求代数式()()2a b a b ab -+-+的值．15. 已知关于x 的方程222(2)40x m x m +-++=有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值，并解此方程．【参考答案】1．A 2．1 3．B 4．D 5．-4，2．6．解：由原方程知：a =2，b =4，c =-3，()22Δ4446400b ac =-=-⨯-=＞∵∴122x x +=-，1232x x ⋅=-． （1）原式121224332x x x x +-===-； （2）7； （3）52-； （4）3； （5）143-； （6）10． 7．2± 8．19259．230x x --=，2260x x --=． 10．2530x x -+=． 11．12a <≤．12．此三角形为等腰三角形且不是等边三角形．13．5m = 14．-1 15．1m =-，1215x x ==，．。

根与系数的关系
根与系数的关系一般指的是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根x1、x2与系数的关系。

即x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a，这个公式通常称为韦达定理。

根与系数的关系简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数,其一般用字母r表示。

其是用来度量定量变量间的线性相关关系。

复相关系数：又叫多重相关系数复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。

例如某种商品的需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关系。

根与系数的关系，又称韦达定理。

所谓的韦达定理是指一元二次方程根和系数之间的关系。

一个一元二次方程的根可由求根公式求出，公式是含各项系数的代数式。

因此一元二次方程的的根与各项系数之间一定存在着某种数量上的关系。

根和系数的关系指的是一个一元二次方程的根可由求根公式求出，而公式是含各项系数的代数式，因此一元二次方程的的根与各项系数之间一定存在着某种数量上的关系。

根与系数的关系，分为偏相关系数，典型相关系数，具体又称韦达定理，另外根与系数的关系简单相关系数一般用字母r表示，是用来度量定量变量间的线性相关关系。

根与系数的关系公式
根与系数的关系一般指的是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2与系数的关系。

即x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a，这个公式通常称为韦达定理。

根与系数的关系简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数。

它一般用字母r表示。

它是用来度量定量变量间的线性相关关系。

复相关系数:又叫多重相关系数复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。

例如，某种商品的需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关系。

根与系数的关系，又称韦达定理。

所谓的韦达定理是指一元二次方程根和系数之间的关系。

一个一元二次方程的根可由求根公式求出，公式是含各项系数的代数式。

因此一元二次方程的的根与各项系数之间一定存在着某种数量上的关系。