1.2同角三角函数的基本关系

1.2.2同角三角函数的基本关系猜想：sin 2α+cos 2α=1 αααcos sin tan =二、知识探究（一）：基本关系（1、以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长度构成直角三角形，由勾股定理得sin 2α+cos 2α=12、根据三角函数的定义当)(2Z k k ∈+≠ππα时，有αααtan cos sin =） 思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ，那么，正弦线MP 和余弦线OM 的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？MP 2+OM 2=1sin 2α+cos 2α=1思考2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？sin 2α+cos 2α=1思考3：设角α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，根据三角函数定义，有sin α=y ，cos α=x ，)0(tan ≠=x xy α， 由此可得sin α，cos α，tan α满足什么关系？ αααtan cos sin =思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？)(2Z k k ∈+≠ππα思考5：平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？sin 2α+cos 2α=1 αααtan cos sin = 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切.三、知识探究（二）：基本变形思考1：对于平方关系sin 2α+cos 2α=1可作哪些变形？sin 2α=1-cos 2αcos 2α=1-sin 2α(sinα+cos α)2=1+2sinαcos α(sinα-cos α)2=1-2sinαcos α思考2：对于商数关系αααtan cos sin =可作哪些变形？ s inα=cos αtan α αααtan sin cos = 四、课本例6练习P20 1、2、3、4五、课本例7练习P20 5六、小结1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点.2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论．3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总结、提高.七、习题例1、化简︒-440sin 12分析1：︒=︒=︒-=︒-80cos 80cos 80sin 1440sin 1222分析2：︒=︒=︒=︒=︒-80cos 440cos |440cos |440cos 440sin 122练习1、4sin 12-练习2、教材P22 B 组2例2、已知tanα=2，求下列各式的值.ααααsin 11sin 112cos sin 11++-⨯）（）（ 例3、已知π<<=+q q q 0,51cos sin 求sin q -cos q 的值. 练习3、P21 12练习4、已知21cos sin =+q q ，求sin 4q +cos 4q 的值. 例4、 已知tanα=2，(1)求sinα和cosα的值. (2)1sin cos sin 5cos 3cos sin sin 222++--ααααααα求 (3)αααα22cos 3cos sin sin 2-+求八、作业P21习题1.2A 组：11 13(1)(2)。

2 2
证法二：因为
(1 sin )(1 sin ) 1 sin cos
2 2
由原题可知 1 - sin 0, cos 0, cos 1 sin 所以 1 sin cos
证法三：
cos 0,1 sin 0 cos cos (1 sin ) 原式左边 2 1 sin cos cos (1 sin ) cos (1 sin ) 2 2 1 sin cos 1 sin 右边 cos
同角三角函数基本关系式的应用
1.求值题型
已知某个角的一个三角函数 值,求这个角的其余三角函数值.
3 例6 已知 sin ， 求 cos ，tan 的值． 5
注意开方运算时根号前正、负号的选取， 即根据角所在的象限讨论正负号。
课本P23 练习 1，2，3
2.化简三角函数式. 函数种类要最少，项数要最少，函数 次数尽量低，能求出值的要求出数值，尽 量使分母不含三角形式和根式。
主客呀."能给咱壹千斤吗?"根汉问道."壹千斤..."在场の十几人都张大了嘴巴,这还是人吗,这小子也太能吃了,买壹千斤腌牛肉吃?（正文贰叁贰7壹千斤）贰叁贰捌赚钱"有!"中年老板立即拍板道："小老弟呀,给你算便宜壹些吧,你给二十二壹斤就好了,壹共是二万二...""好, 谢谢了..."根汉立即就掏出了二万五千星海币,厚厚の壹大叠放在桌上,又说道："再给咱准备十几缸红米酒吧,这里剩下の钱能装多少装多少吧...""好の..."中年老板笑得合不拢嘴,赶紧将这壹大叠钱给收好了,开什么玩笑,这壹天の功夫,就做了两个月の生意.今天真得烧香 拜拜财神了,壹斤少说也得赚个八到十块星海币

1 即有 cos 1 tan 2
2
又 tan 为非零实数
为象限角
当 在第一、四象限时，即有 cos 0 ，从而
1 1 tan 2 cos 2 1 tan 1 tan 2
tan 1 tan 2 sin tan cos 1 tan 2
引入
1．任意角的三角函数定义： 设角 是一个任意角， 终边上任意一点
2 2 2 2 P( x, y) 它与原点的距离为 r ( r | x | | y | x y 0)
那么：
y sin r
x cos r
y tan x
．
2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、 tanα的符号分别是怎样的？
数值；
3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根
据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方
关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切， 则可构造方程组来求值。
作业
课本20页练习
3 3．背景：如果 si n A ，A为第一象限的角， 5 如何求角A的其它三角函数值；
4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表 示的，则角α的六个三角函数之间有什么关系？
新课
1.由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）商数关系：
sin tan ( k , k Z ) cos 2
1 cos (1 2 ) 1 m
2
m2 cos 2 1 m2
又 m 0， 为象限角
当 在第一、四象限时，即有
cos 0
m2 cos 2 m 1
当 在第二、三象限时，即有

1.2.2 同角三角函数的基本关系
复习回顾
1.任意角的三角函数定义？
2.任意角的三角函数线定义？
归纳探索
sin 30 45 60 150
1 2
2 2
3 2
cos tan
3 2
2 2
sin cos
2 2
3 3
1 1 1 1
sin cos 3 3
1
3
3 3
1
1）从左向右证
2）从右向左证
3）左右两边同时证
4）证其等价变形的成立性
单方向证明时选取“由繁到简”的方向.
练习
2sin 3cos (1)已知 tan 3求 sin 4cos
(2) ( 3) 已知 tan 3求角三角函数的基本关系
sin cos sin cos cos sin cos sin cos cos
sin cos cos cos sin cos cos cos
弦化切
tan 1 tan 1
21 3 21

同角三角函数基本关系:
sin cos 1
2 2
称为平方关系
sin tan cos
关于两种关系
1.“同角”的概念与角的表达形式无关.
称为商数关系
如 : sin 2 3 cos 2 3 1;
2.关系式(公式)必须在定义域允许的范围内成立. 3.掌握公式的正用、逆用、变形用。
3
3 3
1 2
1 2
3 2
sin cos 1
2 2
sin tan cos