自动控制原理,自学必备第4章

= cos(ωt ) + jsin (ωt )
j ( ±180° + q ⋅360° )
| G(s) H (s) | e
j∠G ( s ) H ( s )
= 1⋅ e
(q=0, 1, 2, …)
从而得出绘制根轨迹所依据的条件是 ① 幅值条件 幅值条件 |G(s)H(s)|=1 (4.7) ② 相角条件 ∠G(s)H(s)=arg［G(s)H(s)］=±180°+q·360° (q=0, 1, 2, …) (4.8) ± 实际上满足相角条件的任一点, 一定可以找到相应的可变参 数值, 使幅值条件成立。所以, 相角条件式(4.8)也是根轨迹的充 要条件。只要利用相角条件就可确定根轨迹的形状, 但利用幅 值条件才可以求得给定闭环极点所对应的增益 增益K。进行相角计 增益 算时, 规定正实轴方向为0°, 逆时针 逆时针方向为相角的正方向。 正
G( s) =
K (τs + 1) s(Ts + 1)
其中, τ＞T。 试大致绘出其根轨迹。 解 首先将开环传递函数化为如下标准形式:
零极点 形式
k (s + 1/τ ) G( s) = s( s + 1 / T )
第四章根 轨 迹 分析 式中, k=τK/T。系统有两个开环极点p1=0、p2=-1/T和一个开环零 点z1=-1/τ, 所以系统的根轨迹有两条分支。当k=0时, 两条根轨迹 从开环极点开始; 当k→∞时, 一条根轨迹终止于开环零点z1, 另 (2-1)=1条趋于无穷远处。并且根据开环零极点的位置, 可知实 轴上的(z1,p1)和(-∞, p2)区间为根轨迹的区段。系统的根轨迹图 如图4-3所示, 其中“×”表示开环极点, “○”表示开环零点。

jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s

s1.2 1 1 K1 1 1 2 K
第 4章
根轨迹
根轨迹的基本概念(续)
s1 0 ① K 0 s 2 2
j
2
② K 0.5 s1 s2 1 ③ K 1 s1 , 2 1 j ④ K 2.5 s1 , 2 1 j 2 p2
由于实际控制系统闭环特征方程的系数或为已知
实数，或为根轨迹增益Kg 的函数，所以当Kg 由0→∞
连续变化时，闭环特征根的变化必然也是连续的，所
以根轨迹具有连续性。 系统闭环特征方程的系数仅与系统的参数有关。
对于实际控制系统而言，这些参数都是实数。具有实
系数的闭环特征方程的根为共轭复数的形式，必然对
称于实轴。因而，根轨迹也必然பைடு நூலகம்于实轴对称。
s pi s zj
j 1
n
而 ( s z j ) ( s pi ) ( 2 K 1) ——相角方程
j 1 i 1
m
n
第 4章
根轨迹
根轨迹的基本概念(续)
若s平面上的点是闭环极点，则它与zj 、pi所组成
的相量必定满足上述两方程，而且模值方程与Kg有
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 §4-3 广义根轨迹
主要内容
1．根轨迹基本概念和根轨迹方程
2．绘制常规根轨迹的九大法则
3．参量根轨迹与零度根轨迹
第 4章
根轨迹
重点与难点
重 点
1、绘制常规根轨迹的九大法则 2、参量根轨迹与零度根轨迹 3、控制系统根轨迹法分析
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则（续）

ts = 3.5
×
• • • •
Im
[s]
σ % < σ 0% → ζ > ζ 0 ωd < ωd 0 开环增益 (4) 稳态性能 积分环节个数
α β = cos−1 ζ < cos−1 ζ 0
-2
-1 • • •
•
•
×
0
Re
4
开环零、极点与闭环零、 4-1-3 开环零、极点与闭环零、极点
K M ( s) 设：G ( s ) = 1 1 N 1 ( s)
1） 前向通路传函的零点+反馈传函的极点 无关）； 结论： 闭环零点=前向通路传函的零点 反馈传函的极点（ 结论： ）闭环零点 前向通路传函的零点 反馈传函的极点（与K*无关）； 2）闭环极点——不仅与开环零、极点有关，还与 *有关。 ）闭环极点 不仅与开环零、 不仅与开环零 极点有关，还与K 有关。
1 n Π ( s − z i ) + * Π ( s − p i） 0 = i =1 K i =1
m
K*→∞
Π ( s − zi ) = 0
i =1
m
开环零点z 即K*→∞时，闭环极点 si＝开环零点 i 时 当 m ≤ n n时，有n-m 条的终点在无穷远点 n Π s − pi Π s − pi * * i =1 K = lim i =1 = lim s n − m → ∞ K = m s→∞ m s→∞ Π s − zi Π s − zi
K Π ( s − zi ) + Π ( s − pi） 0 =
* i =1 i =1
m
n
闭环根的个数 = 特征方程阶次 = max{n,m} 2) 连续性 闭环特征方程中的某些系数是K ∵闭环特征方程中的某些系数是 *的函数 连续变化时， ∴K*从0→∞连续变化时，那些系数也随之连续变化 连续变化时 特征根的变化也是连续的。 ∴特征根的变化也是连续的。 3) 对称性 实根——位于实轴 实根 位于实轴 特征根 复根——对称于实轴 复根 对称于实轴 根轨迹是特征根的集合——对称于实轴。 对称于实轴。 根轨迹是特征根的集合 对称于实轴