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由直角三角形OAB 可知，B 点离0点的距离为:a- COSPt第三章平面任意力系[习题3-1] x 轴与y 轴斜交成a 角，如图3-23所示。
设一力系在xy 平面内，对y轴和x 轴上的A 、B 两点有送M jA =0，送M jB = 0 ,且送F iy =0, 2 F i^ 0。
已知0A = a ，求B 点在x 轴上的位置。
解:因为M A =2 M iA =0，但S F ix H 0 ,即卩F^Q ，根据平面力系简化结果的 讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：F R 是原力系的合力，合力F R 的作 用线通过简化中心A 。
又因为M B =S M iB=0，但送F ix^O ，即卩F R HQ ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：F R是原力系的合力，合力F R的 作用线通过简化中心B 0一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。
因此，合力F R 的作用线同时能过A 、B 两点。
又因为F Ry =5： F iy =0，所以合力F R 与y 轴垂直。
即AB 与y 垂直。
图 3-23500［习题3-2］如图3-24所示，一平面力系（在oxy 平面内）中的各力在X 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为 M A =12kN .m, M B =15kN ”m，A 、B 两 点的坐标分别为（2, 3）、（4, 8）,试求该力系的合力（坐标值的单位为m ）。
解：由公式（3-5）可知: MO2 =M O1 中 M O2(F R ) M B =M A +M B (F R ) F RM B =M A +M B (F RX )+ M B (F Ry ) 依题意F RX =0，故有: k*---- C(-6,3)a =8mM B =M A +M B (F Ry ) 15 =12+F Ry>q 4-2) 2F Ry =3F Ry =1.5(kN) F R =F Ry =1.5kNF R 1.5故C 点的水平坐标为：X = -6m 。
F RAM B厂、F R .M A !'F A (2,3)I题3-24图［习题3--3］某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力 F P = 250kN,屋顶传来的力F Q = 30kN ，试将该两力向底面中心O150150F Q |H ^ n “B(4,8)F P简化。
图中长度单位是mm 。
200题3-25图解:主矢量：F R =F p + F Q =250+30 =280(kN) ( J )，作用在 O 点。
主矩:M O =-F p X0.15 + F Q X0.15 =(-250 + 30) x 0.15 = _33(kN -m) ［习题3--4］已知挡土墙自重W = 400kN , 土压力 F =320kN ，水压力F p =176kN ，如图3-26所示。
求 这些力向底面中心0简化的结果；如能简化为一合力, 试求出合力作用线的位置。
图中长度单位为 m 。
(1)求主矢量 F RX = F p -F COS400 =176 -320cos400=-69.134(kN) F Ry—Fsi n4 0° = V00-320si n4 0° =-605.692(kN) F R =』F R X 2 + F Ry 2 = J(-69.134)2 +(-605.692)2 =609.625(kN) F R 与水平面之间的夹角： a = arctan^ =arcta n 凹5692=83029'18" F R X -69.134 (2)求主矩M O =400咒0.8 -176X2 +320cos400咒3sin 600 -320sin40°x (3 — 3cos600) = 296.321(kN -m) (3)把主矢量与主矩合成一个力 d 壬 ^96^ 609.625 O F R =0.486(m)0.486 ~ 605.692 69.134 0.0555(m)［习题3--5］某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅垂力 F i = 1940kN, F 2 = 800kN及制动力F T = 193kN 。
桥墩自重 W = 5280kN ，风力F P = 140kN 。
各力作用线 位置如图所示。
求将这些力向基底截面中心 0简化的结果；如能简化为一合力, 试求出合力作用线的位置。
(1) 求主矢量F RX = -F p - F T = —140 -193 = —333(kN )F Ry = -W — F j - F 2 = —5280 -1940 -800 = -8020(kN ) F R = J F RX 2 +F Ry 2 = J (-333)2 +(d020)2 F R 与水平面之间的夹角：a = arcta n 电=arcta n"8020=87037,21"FR X一333(2) 求主矩M O =140X10.7 +193X21.25—800X0.4+1940X0.4 =6055.25(kN -m)(3) 把主矢量与主矩合成一个力d =呱=6055.25 =0.75)8026.91IM.朽= 8026.91(kN)nOF R［习题3--6］图示一平面力系，已知F i = 200N, 使力系的合力通过0点，问水平力之值应为若干3F RX = F - h cosQ = F -200X - = F -12O54F Ry = -F2 - F 1 sin 0 = —100 -200X - =—260(kN)5主矢量:F R = J (F -12O)2 +(-26O)2 M^FJ =200X 3X 2+200X 4X 2 =560(kN m)5 5M O (F 2)=—100X2 = —200(kN 师) M O (F) = —1.5F 主矩:M 0 =560 -200 -1.5F -300 =60 -1.5F 要使合力通过0点,必使:M 0 =60-1.5F =0,即卩 F =40kN ［习题3--7］在刚架的A 、B 两点分别作用F I 、F 2两力，已知F I = F 2 = lO kN 。
F RX =卩2-戸 COS600 =10 —10X 0.5 =5(kN)F Ry = -F I sin6O 0= -10X 0.866 = -8.66(kN) 主矢量:F R = J 52+(-8.66)2=10(kN)F_ 8 66方向「希如F X 希如于一 6O O（\） M C(F 1^ -lOsin 600x =-8.66X(设 BC = x )M C (F 2)=10天2 =20(kN -m)F 2= 1OO N ，M= 300N ・m 。
以过C 点的一个力F 代替F I 、F 2，求F 的大小、方向及B 、C 间的距离。
I口主矩:M c = —8.66x +20 要使F 通过C 点,且与F I ,F 2两力等效，必使:M e =—8.66x +20 =0,即 x=2.309(m) 当 x=2.309(m)时，F =F^10(kN)方向与 x 轴正向成 600((\).［习题3--8］外伸梁AC 受集中力F p 及力偶（F , F '）的作用。
已知F p = 2 kN,力偶矩M = 1.5kN ・m ，求支座A 、B 的反力。
2 M A (F i ) =0R B 咒4-M —Fsin45° 咒 6 = 0R B =(M +F sin450x6)/4 =(1.5 + 2咒0.7071 x 6)/4 = 2.49(kN) 送 F ix=0R AX + F cos450= 0 R AX = —2COS 450 = —1.41(kN)2 F iy =0R Ay +R B -Fsin450= 0R Ay = —R B +Fsi n4 5° = —2.5 + 2X 0.7071 = —1.08(N)R AX AB 45、J R B mB. C 2m(2) 以AC 为研究对象，画出其受力图如图所示。
因为AC 平衡，所以(1) R Ay解：图(a)(1)以刚架ABCD为研究对象，画出其受力图如图所示。
(2)因为AC平衡，所以① 2 M A（F i）=02R B +2.5+7.5—8 =0R B =1（kN）②乞F ix =03R AX十3=0［习题3-9］求图示刚架支座A、B的反力, 已知：图(a)中，M = 2.5kN-m，F = 5kN;图（b）中，q = lkN/m, F = 3 kN。
「G・■■ ■Q—土 ==—-A-42.5m3= 5 X — =3(kN)5③ 2 F iy =04R Ay+ R B -F X—=054R Ay = —R B +F X—=—1+5x 0.8 = 3(kN) 解：图(b)(1)以刚架ABCD为研究对象，画出其受力图如图所示。
2mF —3mJAir R Ay R AX4m R B［习题3-10］弧形闸门自重W = 150kN,水压力F p = 3000kN,铰A 处摩擦力偶的矩M = 60kN ・m 。
求开始启门时的拉力 F T 及铰A 的反力。
解: 开始打开闸门时，B 与地面脱开，N B =0。
因为此时闸门平衡，所以①2： M A(F i) =0(2)因为AC 平衡，所以Z M A (F i ) =0RBX4-Fx3-q>c4 咒 2=0 4R B -3X3-1X4X2 =0 R B =(9 +8)/4 =4.25(kN)S F ix =0R AX +F =0R AX = —F = -3(kN )2 F iy =0R Ay +R B -q%4 =0RAy = —R B +q X 4 = —4.25 +1^4 = -0.25(kN)M +W X4 -F p X0.1 —F T咒6 =060 +150^4 -3000% 0.1 -F T X 6 = 060 +600 —300 -F T咒6 =010 +100 -50 —F T =0F T =60(kN)②无F ix =0R AX十 F p cos30 — 0R AX = —3000 X 0.866 = —2598( kN) ③送F jy = 0R Ay +F T+F P sin300-W =0R Ay =—F T -F P sin300+W =-60-3000X0.5 + 150 = —1410(kN)［习题3—11］图为一矩形进水闸门的计算简图。
设闸门宽（垂直于纸面）lm. AB=2m，重W= 15kN,上端用铰A支承。
若水面与A齐平后无水，求开启闸门时绳的张力F T。
解:AC =ABsi n300 =2 咒0.5 =1(m)BC =ABcos300 =2X0.866 =1.732(m) 开启闸门时，N B =0，此时，因为AB平衡，所以Z M A(F i) =0—F T x i +[[〈w X 1.73)x1.731 1.73 +W x 0.5 = 02 31 2—F T x1 +—X9.8X1.73X1.73X —X 1.73+ 15X0.5=0T 2 3-F T X16.914 +7.5 =0F T =24.414(kN)［习题3—12］拱形桁架的一端A为铰支座，另一端B为辊轴支座，其支承面与水平面成倾角30°。
