2017届北京海淀高二年级会考模拟练习

17. 下列列物质的电子子式书写不．不正．确．的是 A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】A、氮气气是单质分子子，电子子式正确，A 正确；B、氯化氢是共价化合物，含有共价
键，电子子式为
，B 错误；C、氢氧化钠是离子子化合物，电子子式正确，C 正确；D、二二
氧化碳是共价化合物，电子子式正确，D 正确，答案选 B。 点睛：书写化合物的电子子式时，首首先要判断化学键类型，其次应注意原子子间的连接顺序，确 定原子子间连接顺序的方方法是先标出各原子子的化合价，然后根据异性微粒相邻，同性微粒相间
为 95，B 错误；C、质子子数与中子子数的差为 241－95－95＝51，C 错误；D、质量量数为 241，D 错误，答案选 A。 点睛：掌握核素组成的表示方方法以及质子子数、中子子数、质量量数、核外电子子数的关系是解答的 关键，即表示原子子组成时元素符号的左下⻆角表示质子子数，左上⻆角表示质量量数。选项 C 是解答 的易易错点，主要是不不明确如何计算中子子数。 14. 下列列属于取代反应的是 A. 乙乙醇与氧气气反应生生成乙乙醛 B. 甲烷与氯气气反应生生成二二氯甲烷 C. 苯与氢气气反应生生成环己己烷 D. 乙乙烯与水水反应生生成乙乙醇 【答案】B 【解析】A、乙乙醇与氧气气反应生生成乙乙醛属于氧化反应，A 错误；B、甲烷与氯气气反应生生成二二氯 甲烷属于取代反应，B 正确；C、苯与氢气气反应生生成环己己烷属于加成反应，C 错误；D、乙乙烯 与水水反应生生成乙乙醇属于加成反应，D 错误；答案选 B。 15. 下列列方方法不．不能．区分苯与乙乙酸的是 A. 观察颜色色 B. 与金金金属钠反应 C. 滴加紫色色石石蕊溶液 D. 观察在水水中的溶解性 【答案】A 【解析】试题分析：A、二二者都是无无色色液体，观察颜色色不不能鉴别，故 A 错误；B、乙乙酸具有 酸性，可与钠反应生生成氢气气，可鉴别，故 B 正确；C、乙乙酸具有酸性，滴加紫色色石石蕊溶液， 溶液变红，可鉴别，故 C 正确；D、苯不不溶于水水，密度比比水水小小，乙乙酸和水水混溶，可鉴别，故 D 正确；故选 A。 考点：考查了了有机物的鉴别的相关知识。

海淀区普通高中会考练习物理2017.12学校姓名成绩第一部分选择题（共54分）一、单项选择题（本题共15小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。

每小题3分，共45分）1．下列物理量中，属于标量的是A ．力B ．位移C ．动能D ．加速度2．物理学发展史上，有一位科学家开创了实验与逻辑推理相结合的科学研究方法，研究了落体运动的规律，这位科学家是A ．安培B ．焦耳C ．伽利略D ．库仑3．如图1所示，一根轻弹簧的一端固定，另一端受到水平拉力F 的作用，弹簧的伸长量为x ，则此弹簧的劲度系数为A ．F xB ．2F xC ．D ．FxxF4．如图2所示，小球在一细绳的牵引下，在光滑水平桌面上绕绳的另一端O 做匀速圆周运动。

关于小球的受力情况，下列说法中正确的是A ．只受重力和支持力的作用B ．只受重力和向心力的作用C ．只受重力、支持力和拉力的作用D ．只受重力、支持力、拉力和向心力的作用5．麦收时，常要用拖拉机拉着一个圆柱形的石滚子在场院里压麦秸。

如果石滚子在拖拉机的牵引下做匀速圆周运动，如图3甲所示，其中的虚线表示它的运动轨迹。

那么关于石滚子经过某点P 时的速度方向，图3乙所示几种情况中正确的是6．如图4所示，一个物块放置在水平地面上，力F 作用在物块上，力F 与水平方向的夹角为θ。

现沿水平和竖直两个方向分解力F ，这两个方向上的分力分别为F 1和F 2。

则分力F 1的大小为A ．FB ．C ．D ．sin F θcos F θtan F θ7．如图5所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，通电直导线与磁场方向垂直，导线长度为L ，导线中电流为I 。

该导线所受安培力的大小F 为 A ．B ．C ．BILD ．B IL I BL LBI 请阅读下述文字，完成8、9、10题。

“叠罗汉”是一种游戏和体育活动，可由二人以上的人层叠成各种样式，在中国民间流传甚广。

三人靠近站成一排，两人从地面跃起稳稳地站在三人肩膀上，最后一人再到达最上面，这样就形成了如图6所示的“罗汉”造型。

北京市海淀区2017年高中会考练习高二化学2017．12【SHK01】学校班级姓名可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 S 32 Cl 35.5 Fe 56第一部分选择题（共50分）在下列各题的四个选项中，只有一个选项符合题意。

（每小题2分，共50分）1．白藜芦醇（C14H12O3）是一种天然的肿瘤化学预防剂，来源于花生、葡萄和桑葚等植物。

该物质属于A．无机物B．有机物C．单质D．氧化物2．下列各组元素中，属于同一主族的是A．C、Si B．N、Si C．S、Cl D．O、F3．电解质是一类在水溶液里或熔融状态下能导电的化合物。

下列物质中，属于电解质的是A．乙醇B．氯气C．铜D．氢氧化钠4．高分子化合物在自然界中大量存在。

下列物质中，不．属于．．高分子化合物的是A．葡萄糖B．纤维素C．淀粉D．蛋白质5．当光束通过下列分散系时，能产生丁达尔效应的是A．蔗糖溶液B．淀粉胶体C．葡萄糖溶液D．食盐水6．下列元素中，金属性最强的是A．锂B．钾C．铷D．钠7．下列物质中，只含有共价键的是A．NH3 B．NaCl C．MgCl2D．NaOH893在工业生产中有着重要的用途。

下列关于NH3的性质叙述不正确．．．的是A．密度比空气小B．极易溶于水C．可由N2和H2作为原料进行工业生产D．任何条件下，不能与氧气反应10．在密闭容器中加入浓度均为0.2 mol·L−1的CO和H2O，T℃发生如下反应：CO(g)＋H2O(g)CO2(g) + H2(g)。

下列说法能充分说明该反应已经达到化学平衡状态的是A ．正、逆反应速率都等于零B ．CO 、H 2O 、CO 2和H 2 的浓度相等C ．CO 、H 2O 、CO 2和H 2 的浓度不再变化D ．单位时间内消耗1 mol CO 同时生成1 mol CO 211．原电池原理的发现和发展极大地推进了现代化的进程，改变了人类的生活方式。

北京市海淀区2016-2017学年度高三第二次统练理科数学2017．5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{}201A =-， ， ，{1B x x =<-或}0x >，则A ∩B =AB =（ ） A ．{}20-，B ．{}1C ．{}21-，D ．{}201-， ， 2．二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是（ ） A ．46x B ．46x - C ．412x D ．412x - 3．已知实数x y ，满足10303x y x y y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最小值为（ ）A ．11B ．3C ．4D ．24．圆2220x y y +-=与曲线1y x =+的公共点个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．05．已知{}n a 为无穷等比数列，且公比1q >，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下面结论正确的是（ ）A ．32a a >B ．120a a +>C ．{}2n a 是递增数列D ．n S 存在最小值6．已知()f x 是R 上的奇函数，则“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③8．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234x x x x ，，，，大圆盘上所写的实数分别记为1234y y y y ，，，，如图所示．将小圆盘逆时针旋转()1234i i =， ， ， 次，每次转动90，记()1234i T i =， ， ， 为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++．若12340x x x x +++<，12340y y y y +++<，则以下结论正确的是（ ）A ．1234T T T T ，，，中至少有一个为正数B ．1234T T T T ，，，中至少有一个为负数C ．1234T T T T ，，，中至多有一个为正数D ．1234T T T T ，，，中至多有一个为负数二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，极点到直线cos 1ρθ=的距离为_________．10．已知复数1i z i-=，则z =_________． 11．在ABC ∆中，2A B =，23a b =，则cos B =_________．12．已知函数()12x f x x =-，则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭_________()1f （填“＞”或“＜”）；()f x 在区间11n n n n -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上存在零点，则正整数n =_________．13．在四边形ABCD 中，2AB =．若()12DA CA CB =+，则AB DC ⋅=_________．14．已知椭圆(222:=106x y G b b +<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个； ③OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数()33sin 2cos cos 2sin 55f x x x ππ=-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值．为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A B C D E ，，，，为人文类课程，课程F G H ，，为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M ”）．（Ⅰ）在“组M ”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M ”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F 或课程H 的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G 的同学参加，费用为每人2000元．（ⅰ）设随机变量X 表示选出的4名同学中选择课程G 的人数，求随机变量X 的分布列；（ⅱ）设随机变量Y 表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y 的期望．如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =．（Ⅰ）求证：//AC 平面PDB ；（Ⅱ）求二面角P AB C --的余弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在点E 使得PC ⊥平面ABE ，如果存在，求CE CP 的值；如果不存在，请说明理由．已知动点M 到点()10N ， 和直线:1l x =-的距离相等．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知不与l 垂直的直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，以AP 为直径作圆C ．判断点N 和圆C 的位置关系，并证明你的结论．已知函数()ax f x e x =-．（Ⅰ）若曲线()y f x =在()()00f ，处的切线l 与直线230x y ++=垂直，求a 的值；（Ⅱ）当1a ≠时，求证：存在实数0x 使()01f x <．对于无穷数列{}n a ，记{}j i T x x a a i j ==-<，，若数列{}n a 满足：“存在t T ∈，使得只要m k a a t -=（m k N *∈，且m k >），必有11m k a a t ++-=”，则称数列{}n a 具有性质()P t ． （Ⅰ）若数列{}n a 满足22253n n n a n n ≤⎧=⎨->⎩，，，判断数列{}n a 是否具有性质()2P ？是否具有性质()4P ？ （Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{}n a 具有性质()0P ”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{}n a 是各项为正整数的数列，且{}n a 既具有性质()2P ，又具有性质()5P ，求证：存在整数N ，使得12N N N N k a a a a +++，，，，是等差数列．2017年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{1} C．{﹣2，1} D．{﹣2，0，1}【解答】解：∵集合A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1或x＞0}，∴A∩B={﹣2，1}．故选：C．2．（5分）二项式的展开式的第二项是（）A．6x4B．﹣6x4C．12x4D．﹣12x4【解答】解：二项式的展开式的第二项==﹣12x4．故选：D．3．（5分）已知实数x，y满足则2x+y的最小值为（）A．11 B．3 C．4 D．2【解答】解：由已知得到平面区域如图：设z=2x+y，则y=﹣2x+z，由它在y轴的截距最小，得到z最小，由图可知当直线过A（0，3）时，z最小，所以最小值为3；故选：B．4．（5分）圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：圆x2+y2﹣2y=0，可得x2+（y﹣1）2=1，圆心为（0，1），半径为1，圆心（0，1）到直线y=x﹣1的距离d==＞1，圆心（0，1）到直线y=﹣x﹣1的距离d==＞1，∴圆x2+y2﹣2y=0与曲线y=|x|﹣1的公共点个数为0，故选D．5．（5分）已知{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，则下面结论正确的是（）A．a3＞a2B．a1+a2＞0C．是递增数列D．S n存在最小值【解答】解：由{a n}为无穷等比数列，且公比q＞1，记S n为{a n}的前n项和，知：在A中，当a1＜0时，a3＜a2，故A错误；在B中，当a1＜0时，a1+a2＜0，故B错误；在C中，=，∴是递增数列，故C正确；在D中，当a1＜0时，S n不存在最小值，故D错误．故选：C．6．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴若x1+x2=0，则x1=﹣x2，则f（x1）=f（﹣x2）=﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）=0成立，即充分性成立，若f（x）=0，满足f（x）是奇函数，当x1=x2=2时，满足f（x1）=f（x2）=0，此时满足f（x1）+f（x2）=0，但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f（x1）+f（x2）=0”的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，其侧棱VC⊥底面ABC，∴侧面VAC⊥底面ABC，满足条件；编号为②的三棱锥，其直观图可能是②，其侧面PBC⊥平面ABC，满足条件；编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．综上，满足题意的序号是①②．故选：B．8．（5分）已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90°，记T i（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（）A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数【解答】解：由题意可知：（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）＞0，则（x1+x2+x3+x4）（y1+y2+y3+y4）=x1y1+x1y2+x1y3+x1y4+x2y1+x2y2+x2y3+x2y4+x3y1+x3y2+x3y3+x4y4+x4y1+x4y2+x4y3+x4y4，=T1+T2+T3+T4＞0∴T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，故选A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=1的距离为1．【解答】解：直线ρcosθ=1，即x=1，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=1的距离为1，故答案为1．10．（5分）已知复数，则|z|=．【解答】解：复数==﹣i﹣1，则|z|==．故答案为：．11．（5分）在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB=．【解答】解：由正弦定理化简2a=3b得：2sinA=3sinB，把A=2B代入得：2sin2B=3sinB，即4sinBcosB=3sinB，∵sinB≠0，∴4cosB=3，即cosB=，故答案为：12．（5分）已知函数f（x）=，则＞f（1）（填“＞”或“＜”）；f（x）在区间，上存在零点，则正整数n=2．【解答】解：易知函数f（x）=为减函数，则f（）＞f（1），∵f（1）=1﹣2=﹣1，f（）=2﹣＞0，∴f（1）f（）＜0，∴函数f（x）的零点所在的区间为（，1），∵f（x）在区间，上存在零点，∴=，故答案为：＞，213．（5分）在四边形ABCD中，AB=2．若，则=2．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，则：；∴；∴四边形ADCE是平行四边形；∴，且AB=2；∴．故答案为：2．14．（5分）已知椭圆G：＜＜的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；③|OP|的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是①③．【解答】解：椭圆G：＜＜的两个焦点分别为F1（0）和F2（﹣，0），短轴的两个端点分别为B1（0，﹣b）和B2（0，b），设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|=2a=2＞2b，即有P在椭圆+=1上．对于①，将x换为﹣x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确；对于③，由图象可得，当P满足x2=y2，即有6﹣b2=b2，即b=时，|OP|取得最小值，可得x2=y2=2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．故答案为：①③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2xcos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和对称轴的方程；（Ⅱ）求f（x）在区间，上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）．所以f（x）的最小正周期，令2x﹣=+kπ，解得x=+kπ．所以f（x）的对称轴方程为x=+kπ，k∈Z．（Ⅱ）因为，，所以2x∈[0，π]，所以，所以，当即时，f（x）在区间，上的最小值为﹣1．16．（13分）为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H 为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列；（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望．【解答】解：（Ⅰ）选择人文类课程的人数为（100+200+400+200+300）×1%=12（人）；选择自然科学类课程的人数为（300+200+300）×1%=8（人）．（ⅰ）依题意，随机变量X可取0，1，2.；；．（Ⅱ）故随机变量X的分布列为（ⅱ）法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500（4﹣X）=6000+500X，所以随机变量Y的数学期望为E（Y）=6000+500E（X）=6000+500（）=6500．（ⅱ）法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000．所以随机变量Y的分布列为所以随机变量Y的数学期望为E（Y）==6500．17．（14分）如图，三棱锥P﹣ABC，侧棱P A=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．（Ⅰ）求证：AC∥平面PDB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为AD⊥DB，且DB=1，AB=2，所以，所以∠DBA=60°．因为△ABC为正三角形，所以∠CAB=60°，又由已知可知ACBD为平面四边形，所以DB∥AC．因为AC⊄平面PDB，DB⊂平面PDB，所以AC∥平面PDB．解：（Ⅱ）由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，所以PD⊥DA，PD⊥DB．如图，以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知B（1，0，0），，，，P（0，0，1），，，．平面ABC的法向量=（0，0，1），设=（x，y，z）为平面P AB的一个法向量，则由，得，令y=1，则，，所以平面P AB的一个法向量=（，，），所以cos＜，＞==，由图象知二面角P﹣AB﹣C是钝二面角，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，，，，，因为，，，，，所以PC与AB不垂直，所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE．18．（14分）已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）设动点M（x，y），由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N（1，0）为焦点，直线l：x=﹣1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为y2=4x．（Ⅱ）点N在以P A为直径的圆C上．理由：由题意可设直线l'：x=my+n，由可得y2﹣4my﹣4n=0（*），因为直线l'与曲线E有唯一公共点A，所以△=16m2+16n=0，即n=﹣m2．所以（*）可化简为y2﹣4my+4m2=0，所以A（m2，2m），令x=﹣1得，，因为n=﹣m2，所以，，所以NA⊥NP，所以点N在以P A为直径的圆C上．19．（13分）已知函数f（x）=e ax﹣x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线l与直线x+2y+3=0垂直，求a的值；（Ⅱ）当a≠1时，求证：存在实数x0使f（x0）＜1．【解答】（Ⅰ）解：f'（x）=ae ax﹣1，∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与直线x+2y+3=0垂直，∴切线l的斜率为2，∴f'（0）=a﹣1=2，∴a=3；（Ⅱ）证明：当a≤0时，显然有f（1）＜e a﹣1≤0＜1，即存在实数x0使f（x0）＜1；当a＞0，a≠1时，由f'（x）=0可得，∴在，时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在，上递减；，时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在，上递增．∴=是f（x）的极小值．设，则＞，令g'（x）=0，得x=1．∴当x≠1时g（x）＜g（1）=1，∴＜，综上，若a≠1，存在实数x0使f（x0）＜1．20．（13分）对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t （m，k∈N*且m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列{a n}具有性质P（t）．（Ⅰ）若数列{a n}满足，，判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{a n}是各项为正整数的数列，且{a n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+k，…是等差数列．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵，，，a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可得，数列{a n}具有性质P（4）．（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，所以不具有性质P（0）；（必要性）因为数列{a n}具有性质P（0），所以一定存在一组最小的且m＞k，满足a m﹣a k=0，即a m=a k由性质P（0）的含义可得a m+1=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m﹣k﹣1=a m﹣1，a2m﹣k=a m，…所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m﹣1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m﹣1个不同的项，所以T最多有个元素，即T是有限集．（Ⅲ）因为数列{a n}具有性质P（2），数列{a n}具有性质P（5），所以存在M′、N′，使得a M'+p﹣a M'=2，a N'+q﹣a N'=5，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P（2），P（5）的含义可得，a M'+p+k﹣a M'+k=2，a N'+q+k﹣a N'+k=5，若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得a N'+p﹣a N'=2；若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得a M'+q﹣a M'=5．记M=max{M'，N'}，则对于a M，有a M+p﹣a M=2，a M+q﹣a M=5，显然p≠q，由性质P（2），P（5）的含义可得，a M+p+k﹣a M+k=2，a N+q+k﹣a N+k=5，所以a M+qp﹣a M=（a M+qp﹣a M+（q﹣1）p）+（a M+（q﹣1）p﹣a M+（q﹣2）p）+…+（a M+p﹣a M）=2qa M+qp﹣a M=（a M+pq﹣a M+（p﹣1）q）+（a M+（p﹣1）q﹣a M+（p﹣2）q）+…+（a M+q﹣a M）=5p所以a M+qp=a M+2q=a M+5p．所以2q=5p，又p，q是满足a M+p﹣a M=2，a M+q﹣a M=5的最小的正整数，所以q=5，p=2，a M+2﹣a M=2，a M+5﹣a M=5，所以，a M+2+k﹣a M+k=2，a M+5+k﹣a M+k=5，所以，a M+2k=a M+2（k﹣1）+2=…=a M+2k，a M+5k=a M+5（k﹣1）+5=…=a M+5k，取N=M+5，则，所以，若k是偶数，则a N+k=a N+k；若k是奇数，则a N+k=a N+5+（k﹣5）=a N+5+（k﹣5）=a N+5+（k﹣5）=a N+k，所以，a N+k=a N+k所以a N，a N+1，a N+2，…，a N+k，…是公差为1的等差数列．第21页（共21页）。