《实变函数论》试卷五
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《实变函数论》试卷五
一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“√”或“×”。
共5小题，每题3分，共5×3=15分）
1、设2,n E = 则集合12{(,,,,)|,1,2,}n i i E x x x x E i
=?L L L 是可数集合。
（ ） 2、Cantor 集是[0,1]中无处稠密的完备集合。
（ ） 3、设E 是可测集，若对任何有理数,r {|()}x E f x r ?可测，则f 在E 上可测。
4、若p q
E +Ì¡
是可测集，则对任何,p
x x E Ρ
是q ¡上的可测集合。
（ ） 5、若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则
|()|d ()b
b a a
f x x V f ¢³ò。
（ ）
二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)
1、Bernstein 关于两集合对等的定理
2、
n
中开集的构造定理
3、Lusin 定理
4、Fubini 定理
三、计算题（共1题，共1×10 = 10分）
设¤为全体有理数所成的集合，在[0,1][0,1]E =⨯上函数f 定义如下：
sin ,
(,),(,)ln(1||),(,).
x
x y x y f x y e xy x y ∉⨯⎧=⎨++∈⨯⎩ 求
()d E
f z z ⎰。
四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10 = 60分）
1、设E 是G δ集且(,)E a b ⊂，证明：必存在一列单调下降包含于(,)a b 的开集1{}k k G ∞=，使得1
k k E G ∞==。
2、设E 是n
¡
中的测度有限的可测集，若几乎处处有限的可测函数列{()}n f x 在E 上
几乎处处收敛于(),|()|,f x f x <+ a.e.于E ，试用Egoroff 定理证明存在一列可测集合,1,2,,k E k =L 使得在每个k E 上()n f x 一致收敛于()f x ，而
1
(\)
0k k m E E ¥
=?。
3、设(),()f x g x 都是可测集n
E Ì¡上的非负可测函数且()(),f x g x x E <" ，用
()A x c 表示集合A 的特征函数（示性函数）。
证明函数[(),())(,)()f x g x F x t t c =是
1E ´¡上的可测函数。
4、设E 是n
¡
中的可测集，()f x 是E 上的Lebesgue 可积函数。
证明：
（1）若()0f x ³于E ，则存在E 上的非负简单函数列{()}n s x 使得
lim |()()|d 0n E
n f x s x x →∞-=⎰；
（2）存在E 上的简单函数列{()}n S x 使得lim
|()()|d 0n
E
n f x S x x →∞-=⎰。
5、设mE <+∞，证明若在E 上()()n f x f x ⇒，则()()|()|
lim
d 01|()|n E n n
f x f x x f x f x →∞-=+-⎰。
6、设函数()f x 是n
¡
中的有界可测集E 上的Lebesgue 可积函数，且
0|()|d 1E
f x x <
<ò。
证明：
（1）(0,)
()|()|d E B r F r f x x Ç=
ò
是[0,)+ 上的连续函数，其中(0,)B r 是以原点为中心以
r 为半径的开球。
（2）存在可测集12,E E ，使得1212,E E E E E == U I 且
1
|()|d ,1,22
i
E f x x i <
=ò。
